第八章二重积分习题答案

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高等数学课后习题答案--第八章

第八章多元函数积分学 §3 三重积分的计算及其应用习题
1. 计算下列三重积分（1） ∫∫∫ xy 2 z 3 dσ ，其中 Ω 是曲面 z = xy 和平面 y = x, x = 1, z = 0 所围成的区域；
Ω
（2） ∫∫∫ xzdσ ，其中 Ω 是由平面 z = 0 ， x = y, y = z 以及抛物柱面 y = x 2 所围成的
D D
的大小。【解】利用 sin 2 x ≤ x 2 .则 sin 2 ( x + 2 y + 3z ) ≤ ( x + 2 y + 3z ) 2 积分得
∫∫∫ sin
D
2
( x + 2 y + 3 z )dσ ≤ ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z ) 2 dσ
D
4. 利用重积分的性质，估计积分值
（1） ∫∫ sin( x 2 + y 2 )dσ ，其中 D = {( x, y ) |
D
π
4
≤ x2 + y2 ≤
3π }; 4
dxdy , 其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 8}; ln(4 + x + y ) D 2 2 1 （3） ∫∫ e x + y dσ ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ }. 4 D
习题参考资料
第八章多元函数积分学 §2 二重积分的计算习题
1. 计算二重积分
（1） ∫∫ xye xy dσ ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1};
2
D
（2） ∫∫

二重积分习题及答案

将D 分成
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
2 2 ( x y ) dxdy , D : x y 1 D
分析积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号. 解采用直角坐标 ( x y )dxdy 4 dx
D
1
1 x 2 0
0
( x y )dy 8 3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
解
x r cos 在极坐标系下 y r sin 所以圆方程为 r 1, 1 直线方程为 r , sin cos
x2 y2 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
D

2
0
d
1
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
8
计算 ( x y )dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
x 2 y 2 2 y ， x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0 ， y 3 x 0 所围成的平面闭区域. 解 y 3x 0 2
3
x y 4 y r 4 sin
2 1
4. 计算二重积分

经济数学(二重积分习题及答案)

第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+⎰⎰224(2)d x y x y*+≤⎰⎰解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+<⎰⎰(2)因为224d x y x y+≥⎰⎰222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x yx y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当221x y +≤1，且此区域面积为π，则221d x y x y π+≤≤⎰⎰当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤⎰⎰当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-⎰⎰当2234x y <+≤≤且此区域面积为π,则2243d x y x y <+≤≤⎰⎰故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=<⎰⎰.3．试用二重积分的定义证明:(1) d DDS σ=⎰⎰(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==∆∑⎰⎰则当1),(≡y x f 时,上式变为01d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==∆==∑⎰⎰.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==∆=∆=∆∑⎰⎰∑∑　(,)d .Dk f x y σ=⎰⎰4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小.()2(1) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;()2(2) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示. 因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为22cos 12sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则32(sin cos )32sin()4x y πθθθ+=++=++图9－2min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()23d ()d .D D x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰， :01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=⎰⎰， :0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰， :01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++⎰⎰，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0102xy x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 因0,0x y ππ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0sin 10sin 1x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==⎰⎰⎰⎰（3）因0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=⎰⎰⎰⎰而 24D S r ππ== 故 36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤;22(2) ()d ,Dx y x σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;2(3) d ,Dxy σ⎰⎰其中D2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 2111sin (4) d d .y x y x x -⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－3 所示.11222211()d d ()d Dxy x x y yσ--+=+⎰⎰⎰⎰12128(2)d .33x x -=+=⎰ 图9－3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-⎰⎰⎰⎰232019313()2486y y dy =-=⎰图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 1470111()d 3340x x x =-=⎰图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.22111110110sin sin d d d d sin d sin1cos1.x y xx y x x yx x x x x +-===-⎰⎰⎰⎰⎰图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ⋅求证：()()d d ()d ()d bdacDf xg y x y f x x g y y⋅=⎰⎰⎰⎰.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=⎰⎰⎰⎰()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d b xb baaayx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=⎰⎰按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4). y=x积分区域D 如图9－9 所示. 于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得420d (,)d xxI x f x y y=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2414d (,)d .y y I y f x y x =⎰⎰(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得22d (,)d rr x rI x f x y y--=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2222d (,)d rr y r y I y f x y x---=⎰⎰图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d yy y f x y x⎰⎰10(2) d (,)d yy f x y x⎰⎰1(3) d (,)d e ln xx f x y y⎰⎰221101(4) d (,)d y y y f x y x---⎰⎰2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+⎰⎰⎰⎰解 (1)因为原积分区域{}(,)01,D x y y y x y=≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故211d (,)d d (,)d .yxyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .yoxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .xexee xf x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰（4）因为原积分区域{}22(,)01,11D x y y y x y =≤≤≤≤－－－为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2221111011d (,)d d (,)d .y x yy f x y x x f x y y -----=⎰⎰⎰⎰图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y yx f x y y x f x y yy f x y x --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+⎰⎰.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ⎰⎰1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +⎰⎰ D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成;()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=⎰⎰⎰⎰2222(4) ()d d ,D y x x y a b +⎰⎰2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=⎧⎨+=⎩，解得()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂故()()22sin d d Dx y x y x y -+⎰⎰22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=⋅=⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 图9－183431().3223ππππ=⋅-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 xy u yv x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得u x v y uv ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成.其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂2111()122222v v u u v u v v v u uvuv⋅-==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v =⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==⎰⎰ （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=⎧⎨=⎩，解得x u vy v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v∂∂-∂∂∂====∂∂∂∂∂图9－22故 10'd d 1d d d d y v v x yuuuoDD ex y e u v u e v+=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()1011d 2e u e u -=-=⎰.（4）积分区域D 如图9－23所示.令 cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩则新积分区域为 (){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23因为(,)(,)x xx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y xx y r abr r a bab r r ab πθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、 (2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =⎧⎨=⎩，解得,u vx u y v u ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂31221211122u u uv v vvvu u uv-==-81515545'd d111d d d d4ln2ln3.222DDDS x yu v u v vv v====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－24(2) 令33yuxxvy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得838311xu vyuv⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂图9－25 1113988883293111888831188()81388u v u vuvu v v u-----------==--故d dDDS x y=⎰⎰()33442211342111d d d()d8811d.88Duv u v u uv vu u---====⎰⎰⎰⎰⎰’100D x y x y+===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2Dx yx yx y-=+⎰⎰证积分区域D如图9－26所示.令x y vx y u+=⎧⎨-=⎩，解得()()1212x v uy v u⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D由v = 1,v = -u, 及v = u围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂'1cos d d cos d d 2D D x y u x y u vx y v -=⋅+⎰⎰⎰⎰故图9－27101d cos d 2vv uv uv -=⎰⎰101[sin ]d 21sin1d sin1.2v v u v v v v v =-==⎰⎰4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤⎰⎰⎰证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=⎧⎨-=⎩, 解得()()1212x u v y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====-∂∂∂-∂∂ 故'1()d d ()d d 2DD f x y x y f u u v +=-⎰⎰⎰⎰1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==⎰⎰⎰习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y⎰⎰化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3) 0 (4) 0101a x y b a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－31所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 22(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－33所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=⎰⎰⎰⎰2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222222222001122222000(1) d ()d (2) d d (3) d ()d (4) d ()d aax x axxa a y xx x y y x x y y x x y y yx y x---++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－34所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则22y ax x =-的极坐标方程为2cos ,r a θ=而D 被夹在02πθθ==与之间, 故图9－342222cos 22320d ()d d d .aax x a x x y y r r πθθ-+=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－35所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 则0x a x ==与的极坐标方程分别为图9－26cos a r θ=与0;r =0y x y ==与的方程分别为04πθθ==与,故sec 22240d d d d .axa x x y y r r πθθ+=⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－36所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则2y x y x ==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec r θθ=4πθ=与,故211tan sec 2224000d ()d d d .xx x x y y r πθθθ-+=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－37所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则222x y a +=上方程为,r a =而D 被夹在02πθθ==与之间, 故222232000d ()d d d .aa y ay x y x r r πθ-+=⎰⎰⎰⎰ 图9－373．用极坐标计算下列各题：22(1) d ,xy De σ+⎰⎰D 由圆周224x y +=所围成；22(2) d ,Dx y σ+⎰⎰{}2222(,);D x y a x y b =≤+≤(3) arctand ,Dy x σ⎰⎰2222140D x y x y y y x +=+===由、、和所围成的第I 象限部分；222224 d , :.DR x y D x y Rx σ--+≤⎰⎰（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ {}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r Dee r r πσθ+=⎰⎰⎰⎰图9－382224012d (1)2re r e ππ==-⎰.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39222203333d d d 22().33baDx y r rb a b a πσθππ+=-=⋅=⋅-⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),12,04D r r πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0cos ,22D r r R ππθθθ⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭则, 故图9－41 ()cos 22222202cos 2220322220 d d d 2d d cos 2 d 03R DR R x y R r r rR r r rR R r πθππθπσθθθθ---=-⋅=-⋅⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-⎰.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>⎰⎰，由、、、所围成;222(2) d d :,00;Dy x y D x y a x y +=≥≥⎰⎰，、(3) d d 212;Dxy x y D y x y x xy xy ====⎰⎰，由、、与围成()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===⎰⎰，解 (1) 令,y x uy v -=⎧⎨=⎩得变换式x v u y v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为 11(,)101(,)x y J u v -∂===-∂()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ⎡⎤+=-+⋅-⎣⎦=-+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==⎰⎰⎰⎰图9－43（3）令y u xxy v ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 得变换式v x u y vu ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()11122(,)1,21122v x y u u vu J u v uv u uv-∂===-∂- 图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）令x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得变换式11u x vuv y v ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++∂===∂+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=⋅⋅++⎰⎰⎰⎰故 ()322233111525d d d .72961u u v u u v ===+⎰⎰⎰5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ϕθϕθαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βϕθαϕθθ==⎰⎰⎰⎰图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥⎰⎰⎰⎰解（1）积分区域D 如图9－46所示.220 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxex +∞+∞--+∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰(2)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故()2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=⋅⎡⎤+∞=-⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－48212100224d d 124d d d 33()Dx yr r rx y ππθθπ=⋅==+⎰⎰⎰⎰⎰.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++⎰⎰解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=⎰⎰()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=⎰⎰由普阿松积分 ()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I e x I I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则由普阿松积分可得由奇函数的性质可得 ()22222222221222224220d d d d d d cos ,sin d sin cos d x x x y x yr I x e x x e xx e x y e y x y ex yx r y r r e r rπθθθθθ+∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+∞-======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而 2225002201d sin 2d 411 sin 2d 44r e r r ππθθθθπ+∞-==⎰⎰⎰1I ==即()221d 0x x x e x +∞--∞++++⎰综合习题九1.选择填空：(1) 设Ｄ由x 轴、ln y x x e ==、围成，则(,)d d ( ).D f x y x y =⎰⎰① ln 1d (,)d exx f x y y⎰⎰②ln 0d (,)d ex x f x y y⎰⎰③1d (,)d ye yf x y x⎰⎰④10d (,)d yee yf x y x⎰⎰(2) 当( )a =时，有221d .xy x y π+≤=⎰⎰① 1 ②③④(3) 下列不等式中，（）是正确的.①||1||1(1)d 0x y x σ<<->⎰⎰ ②22221()d 0x y x y σ+≤-->⎰⎰③ ||1||1(1)d 0x y y σ≤≤->⎰⎰④ ||1||1(1)d 0x y x σ≤≤+>⎰⎰(4) 设3123d d d 444DD Dx y x y x yI I I σσσ+++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，,22:(1)(1)1,D x y -+-≤ 则有（）.① 123I I I << ② 231I I I <<③ 312I I I << ④ 321I I I << 解 (1) ① ④； (2) ②； (3) ④； (4) ①. 2．计算下列二重积分：.25512100d (1) d (2) d dln y xyxy x ey y x-⎰⎰⎰⎰2222(3) d , :,12D xy D y x x y x y σ≥≤+≤+⎰⎰2222(4) 1()()d d , :()()1Dy y x xx y D a b a b -++≤⎰⎰22222(5) ln()d , :1Dx y D x y σε+≤+≤⎰⎰，并求此二重积分当0ε→时之极限.解积分区域D 如图9－49所示.交换积分次序，得55511151d d d ln ln d 4.x y yx y dx y x y xx ===⎰⎰⎰⎰⎰故(2) 积分区域D 如图9－50所示. 图9－49 交换积分次序，得2221112200d d d d y y xyx eyy ex--=⎰⎰⎰⎰21220(1)d y ey y-=-⎰22112220d y y edy y ey--=-⎰⎰22222112211122220d d()1d d .0y y y y y ey y eeyyee y e ------=+=+-=⎰⎰⎰⎰图9－50(3) 积分区域D 如图9－51所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 ()5,12,44D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故图9－51522422214544cos sin d d d d 3sin 2d 0.xyr x y r rx y rππππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰D(4)积分区域D 如图9－52所示. 图9－52cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令{},01,02D r r θθπ≤≤≤≤则＝（）（如图9－53）因为(,)(,)x xx y r J y yr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 图9－53 cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==212222220021201()()d d d 1cos sin d 2d 1cos 2d .3Dy xx y r r abr ra b ab r r r ab ππθθθθθπ-+=-+=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故(5) 积分区域D 如图9－54所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},1,02D r r θεθπ=≤≤≤≤则，故2122202220222 ln()d d ln d 1 (ln )d 2(ln 1)Dx y r r rπεπσθεεεθπεεε+=⋅-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－5422ln()d ,DI x y σ=+⎰⎰令则2220220lim lim (ln 1)ln lim 2lim.I εεεεπεεεεπεπππε→→-→→=--=--=-3.改变下列积分次序：2222sin 120sin211221(1) d (,)d (2) d (,)d(3) d (,)d (4) d (,)d d (,)d yx x xx x e y y x f x y y x f x y y y f x y x y f x y x y f x y xπ----+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)因为积分区域{}2(,)12,22D x y x x y x x =≤≤-≤≤-为X 型区域, 其图形如图9－55 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故22221111202d (,)d d (,)d .x x y x yx f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰(2)因为积分区域(,)0,sin sin 2x D x y x y x π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭为X 型区域, 其图形如图9－56 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故sin 0sin21arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d d (,)d .xx yyyx f x y yy f x y x y f x y x πππ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－55 图9－56(3)因为积分区域{}(,)01,0yD x y y x e =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－57 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故11111ln d (,)d d (,)d d (,)d .ye exy f x y x x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)因为积分区域{}121,(,)21,02D D D D x y y x y =+=-≤≤-≤≤+{}22(,)10,0D x y y x y =-≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－58所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2121212d (,)d d (,)d d (,)d .y y xx y f x y x y f x y x x f x y y -+----+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－57 图9－58 4.计算下列二重积分：24212(1) d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰112111224(2) d d d d y y yyxxyy e x y e x+⎰⎰⎰⎰22222(3) d d ,Dxy x y D x y a x y+≤+⎰⎰是由曲线位于第一象限的部分；22(4) d d ,(1cos )D x y x y D r a θ+=-⎰⎰由曲线所组成；22(5) d d :()() 1.Dy xy x y D a b +≤⎰⎰，()0,0(6) (,)d d (,).0x y D ex y f x y x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰且其它解（1）积分区域D 如图9－59所示.24212d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰2222222221222221222113d sind d sind d sind 222d sind d sind 222d sind (cos)d 224(2).y y yyy y y yy yxxxy x y x y xyyyxxy x y xyyxyy x y yyππππππππππ=++=+==-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）积分区域D 如图9－60所示.22112111224212122212112222d d d d d d d d d d yyyyx x yy y y x x x x x x x y e xy e x x e y x e y x e y+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222122122112d d d d d d .82y y xxx x x x yxxx x e yx e ye e x e y =+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－59 图9－60（3）积分区域D 如图9－61所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故 222222220cos sin d d d d 1 sin 2d .24aDxy r x y r rx yra a ππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－61(4) 积分区域D 如图9－62所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},0(1cos ),02D r r a θθθπ=≤≤-≤≤则，故2(1cos )22023330d d d d 15 (1cos )d .33a Dx y x y r r ra a πθπθπθθ-+=⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰图9－62（5）积分区域D 如图9－63所示. cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令因为 (,)(,)xxx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-== 图9－63(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故222222221(0)1(0)d d d d ()d d Dx y x y y y a b a b y x y y x y y x y+=≥+≤<=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰112d sin d d (sin )d 4.3br abr r br abr rab ππθθθθπ-=⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰()00020(6) (,)d d d d d d (d ) 1.x y Dx y xf x y x y x e y e x e y e x +∞+∞-++∞+∞--+∞-==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.设(,)f x y 在xoy 平面上连续且(0,0),f a =求22221lim (,)d d .t x y t I f x y x y tπ+→+≤=⎰⎰解222222(,)(,)lim lim x y t t t f x y dxdyf t I tt ξηπππ+++≤→→==⎰⎰222((,)x y t ξη+≤其中为圆域的内点)0(,)(0,0)t ξη→→当圆域半径时，必有，故 (,)0,0)lim (,)(0,0).f f a ξηξη→==（6.设()[0,]f x a 在上连续，求证：202[()d ()d ][()d ].aaaxf x x f y y f x x =⎰⎰⎰证令21200()d ()d [()d ]a a ax I f x x f y y I f x x ==⎰⎰⎰，I 1的积分区域D 1与交换积分次序后的积分区域D 2如图9－64所示.而102()d ()d ()d ()d aaaaxxI f x x f y y f x x f y y=+⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d aaaaxyf x x f y y f y y f x x=+⎰⎰⎰⎰12()()d d ()()d d D D f x f y x y f x f y x y=+⎰⎰⎰⎰12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰则20()d ()d a a I f x x f x x=⎰⎰()d ()d d ()()d aaaaf x x f y y x f x f y y==⎰⎰⎰⎰ 图9－64 12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰.7.已知()[,]f x a b 在上连续，求证：当0n >时，有11d ()()d ()()d .1byb n n aaa y y x f x xb x f x x n +-=-+⎰⎰⎰证因为积分区域{}(,),D x y a y b a x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－65所示.交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故d ()()d d ()()d bybbnn aaaxy y x f x x x y x f x y-=-⎰⎰⎰⎰111()[()]d 1()[()]d 11()()d .1n ba n ba b n a b y x f x x x n b x f x x n b x f x x n +++-=+-=+=-+⎰⎰⎰8.设()[,]f x a b 在上连续，求证：图9－6522[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰证 ,()()[,],k R f x g x a b ∀∈若与在上连续则必有2[()()]0f x kg x -≥从而2[()()]d 0baf x kg x x k -≥∆≤⎰关于的0.222()()]4()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ∆-≤⎰⎰⎰即=[0故222[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰在上式中令()1,g x ≡则22[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰.9．求证：221(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰其中{}(,)0101.D x y x y =≤≤≤≤，解积分区域D 如图9－66所示.考虑 22(,)sin cos f x y x y =+在D 内的最值，为此解方程组222cos 2sin x y f x x f y y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩ 图9－66得驻点(0,0)(0,0) 1.f =且而在该区域内y x =上，有222(,)sin cos 2sin()4f x y x y x π=+=+因23301,1444244x x ππππππ≤≤≤+≤+<+=则由正弦函数的性质知min 0,0,1;x y f ===当时 max ,, 2.22x y f ππ===当时则 1(,)2f x y ≤≤故22(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰110．已知()[0,1]f x 在上连续，求证：11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰证令()(),f x F x e =则()[0,1]()0.F x F x >在上连续，且由综合习题六的第9题知2d ()d ()()b b a a x F x x b a F x ≥-⎰⎰即11()2()00d d (10)1f x f x x e x e ⋅≥-=⎰⎰故11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰11．求球体22224x y z a ++≤与圆柱体222x y ax +≤的公共部分的体积. 解由题意所求立体的图形如图9－67所示.上半球面的方程为 2224z a x y =-- 由对称性，得12221 444d d cos ,sin , d d = d d D V V a x y x yx r y r x y r r θθθ==--==⎰⎰令图9－671(,)0,02cos 2D r r a πθθθ⎧⎫=<<<<⎨⎬⎩⎭则 ,其图形如图9－68所示.11222122 4d d 4d d D D V a x y x ya r r r θ=--=-⋅⎰⎰⎰⎰2cos 2220d 4d a a r r rπθθ=-⋅⎰⎰图9－682cos 2222203222233201 d 4d(4)22cos 1 [(4)]d 031(2)(sin 1)d 3a a r a r a a r a πθππθθθθθ=---=--=--⎰⎰⎰⎰3220233031(2)[(1cos )d cos ]3281[(cos cos )]33282().323a x a a πππθθπθθπ=----=--+-=-⎰312432().69V V a π==-所以。

二重积分(答案)

第五次课一．（上册）回顾一元定积分的定义，牛顿-莱布尼兹公式（很重要，要掌握）二．二重积分的定义几何意义（了解）, 课本65页三．二重积分的性质（课本68页）四．二重积分的计算（重点）课本70页（注：最主要的是确定积分的上限限）1. 直角坐标系下计算二重积分（X 型， Y 型，如何选择）2. 极坐标系下计算二重积分一．选择题1．设D 是以(0,0),(1,0),(1,2),(0,1)O A B C 为顶点的梯形所围成的有界闭区域，(,)f x y 是域D 上的连续函数，则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰ （ B ）（A ）1101(,)xdx f x y dy +⎰⎰（B ）110(,)xdx f x y dy +⎰⎰（C ）11211(,)(,)y dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰（D ）112111(,)(,)y dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰2．二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 的另一种积分次序是（ A ）（A ）⎰⎰402),(ydx y x f dy （B ）⎰⎰40),(ydx y x f dy （C ）⎰⎰4022),(x dx y x f dy （D ）⎰⎰402),(ydx y x f dy3．设f 是连续函数，而D ：122≤+y x 且0>y ，则dxdy y x f D)(22⎰⎰+= （ A ）（A ）⎰1)(dr r rf π （B ）⎰1)(dr r f π （C ）2⎰1)(dr r rf π （D ）2⎰1)(dr r f π二．填空题1．若积分区域D 是2214x y ≤+≤，则=3D dxdy π⎰⎰2．改换积分的次序⎰⎰⎰⎰-+102120),(),(xxdy y x f dx dy y x f dx =三．计算题1．设区域D 由22,y x y x ==所围成，求2()Dx y d +σ⎰⎰解：原式＝241122200)[)]22x x x dx x y dy x x dx +=+-⎰⎰＝54142033()22140x x x x dx -+-=⎰2．设D 是由直线2x =，y x =及1xy =所围成的平面区域，求22Dx dxdy y⎰⎰解：原式＝222312119()4xxx dx dy x x dx y=-+=⎰⎰⎰ 解：原式＝111200111(1)()266xdx x y dy x x dx ---=-+=⎰⎰⎰3.计算（课本81页例题13）4. （课本81页例题12）.:222a y x D ≤+120(,)yydy f x y dx -⎰⎰,d d 22⎰⎰--Dy x y x e。

高等数学第八章课后习题答案

第八章习题解答（2）节8.4部分习题解答1、设22v uv u z ++= y x v y x u -=+=,，求x z ∂∂，yz ∂∂ 解：v u u z +=∂∂2 v u vz 2+=∂∂ 1=∂∂x u ，1=∂∂x v ；1=∂∂y u ，1-=∂∂yv 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xvx v u v u v u 6)(3)2()2(=+=+++y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv y v u v u v u 2)2()2(=-=+-+ 2、设v u z ln 2= y x v yxu 23,-==，求x z ∂∂，y z ∂∂解：v u u zln 2=∂∂ vu v z 2=∂∂ y x u 1=∂∂，3=∂∂x v ；2yx y u -=∂∂，2-=∂∂y v所以 x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂x v )23(3)23l n (23ln 21222y x y x y x y x v u v u y -+-=+y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂y v )23(2)23l n (22ln 2223222y x y x y x y x v u v u y x ----=-- 3、设v e z uln = 22222,2y x v y x u -=-=，求x z ∂∂，yz∂∂ 解：v e u z uln =∂∂ ve v z u =∂∂ x x u 4=∂∂，x x v 2=∂∂；y y u 2-=∂∂，y yv 4-=∂∂ 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xv]21)2ln(2[22ln 42222222yx y x xe v e x v xe y x u u-+-=+-y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv ]22)2ln(2[24ln 2222222yx y x ye v e y v ye y x u u-+--=--- 4、设y x e z 2-= 3,sin t y t x ==，求 dtdz解：y x e x z 2-=∂∂ y x e yz 22--=∂∂，t dt dx cos =，23t dt dy =，所以dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy223c o s t te y x +-)2(2y x e --=)6(c o s 22s i n 3t t e t t -- 5、设)arcsin(y x z -= 34,3t y t x ==，求 dtdz 解：2)(11y x x z --=∂∂ 2)(11y x y z ---=∂∂，t dt dx 3=，212t dt dy =，所以 dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy=---22)(1123y x t 232)43(1123t t t ---6、设)23tan(22y x t z -+= t y tx ==,1，求dtdz 解：2sec 4x x z =∂∂)23(22y x t -+ 2s e c 2y yz -=∂∂)23(22y x t -+， 2sec 3=dt dz )23(22y x t -+；21t dt dx -=，tdt dy 21=， 1=dt dt 所以t dz ∂⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =∂∂+t z dt dy 2s e c )23(22y x t -+]3212)1(14[2+--tt t t 2sec =)22(2t t +)42(3t -⋅ 7、设1)(2+-=a z y e u ax xz x a y cos ,sin ==，求 dx du解：=∂∂x u 1)(2+-a z y ae ax ，=∂∂y u12+a ae ax ，-=∂∂z u 12+a ae ax x dx dy cos =；x dxdzsin -=，所以 dx du ⋅∂∂=x u ⋅∂∂+y u =⋅∂∂+dx dzz u dx dy ]s i n c o s )c o s s i n ([12x x a x x a a a e ax ++-+ x e ax sin =8、设222z y xe u ++= x y z sin 2=，求x u ∂∂，yu∂∂ 解：x x u 2=∂∂222z y x e ++⋅ y yu2=∂∂222z y x e ++⋅，z z u 2=∂∂222z y x e ++⋅ x y x z cos 2=∂∂，x y yz sin 2=∂∂；所以：x u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅+∂∂=xzz u y u x u 0]cos 22[2222x zy x e z y x +++ =+=++]cos sin 22[22sin 2422x xy y x e xy y x]2sin 2[4sin 2422x y x e xy y x+=++y u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂=yz z u y u x u 0]sin 222[222x y z y e z y x ⋅+++ =⋅+=++]sin 2sin 22[2sin 2422x y x y y e xy y x]sin 21[222sin 2422x y ye xy y x+++9、设)cos(22y x y x z +++= v y v u x arcsin ,=+=，求vu zu z ∂∂∂∂∂2, 解：)sin(2y x x x z +-=∂∂，)sin(2y x y yz +-=∂∂ 1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，0=∂∂u y211vv y -=∂∂所以)a r c s i n s i n ()(2)s i n (2v v u v u y x x uz++-+=+-=∂∂)111)(arcsin cos(222vv v u v u z -+++-=∂∂∂ 10、设,arctan y xz =v u y v u x -=+=,验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂ 证明：22yx yx z +=∂∂，22y x x y z +-=∂∂，1=∂∂u x ，1=∂∂v x ，11=∂∂u y ，1-=∂∂v y所以)(122x y y x u z -+=∂∂22v u v +-=，)(122x y yx v z ++=∂∂22v u u += 故有左边=+-=∂∂+∂∂=22vu vu v z u z 右边 11、设f 具有连续的一阶偏导数，求下列函数的一阶偏导数（1）、)34,23(y x y x f z -+=解：设y x v y x u 34,23-=+=，于是有3=∂∂x u ，2=∂∂y u ，4=∂∂x v ，3-=∂∂yv2143f f x z +=∂∂ =∂∂yz2133f f - （2）、),(22xy e y x f z -= 解：设xy e v y x u =-=,22，于是有x x u 2=∂∂，y y u 2-=∂∂，xy ye x v =∂∂，xu xe yv=∂∂ =∂∂x z 212f ye xf xy + 212f xe yf yzxy +-=∂∂ （3）、)32,ln (y x x y f z +=解：设y x v x y u 32,ln +==，于是有x y x u =∂∂，x y u ln =∂∂，2=∂∂x v ，3=∂∂yv212f f x y x z +=∂∂ 213ln f xf yz+=∂∂ （4）、),(yxx y f z = 解：设y x v x y u ==,，于是有2x y x u -=∂∂，x y u 1=∂∂，y x v 1=∂∂，2yx y v -=∂∂ 2121f y f xy x z +-=∂∂2211f y x f x y z -=∂∂ （5）、),,(y x y x x f z -+=解：设y x v y x u -=+=,，于是有1=∂∂x u ，1=∂∂x v ，1=∂∂y u ，1-=∂∂yv321f f f x z ++=∂∂ 32f f yz -=∂∂ （6）、),,(x y z xy x f u =解：设xyz t xy s ==,，于是有y x s =∂∂，yz x t =∂∂，x y s =∂∂，zx yt=∂∂ 0=∂∂z x ，0=∂∂z s xy zt=∂∂ 321yzf yf f x u ++=∂∂ 32z x f xf yu+=∂∂ 3xyf z u =∂∂ 12、设)(u f 具有连续的导数，)(xyxf xy z += 验证：z xy yz y x z x+=∂∂+∂∂ 验证：)])(()([2xy x y f x x y f y x x z x-'++=∂∂)()(x y f y x y xf xy '-+= ='+=∂∂)])(([xyx y f x x y y z y)(x y f y xy '+左边==+=+=∂∂+∂∂z xy xyxf xy y z y x z x)(2右边 13、设)(22y x f z +=，)(u f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22y z∂∂ 解：设22y x u +=有1f u z=∂∂ 1122f u z =∂∂ x x u 2=∂∂ 222=∂∂x u 0=∂∂∂y x u y y u2=∂∂ 222=∂∂yu 12xf x z =∂∂ x xf f x z 22211122+=∂∂112142f x f += 11112422xyf y xf yx z ==∂∂∂ 12yf y z=∂∂ 11212242f y f yz +=∂∂ 14、设f 具有二阶连续的导数，求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22yz∂∂（1）、),(xy y x f z += 解：设xy v y x u =+=,有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z =∂∂ 2222f v z =∂∂ 1=∂∂x u 022=∂∂x u 02=∂∂∂y x u 1=∂∂y u 022=∂∂y u y x v =∂∂ 022=∂∂x v 12=∂∂∂y x v x y v =∂∂ 022=∂∂yv 于是有：22222)(xv v z x u u z z v y u x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f y yf f ++=y x vv z y x u u z z v x u v y u y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂222))((2221211)(f xyf f y x f ++++= 22222)(y vv z y u u z z v x u yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f x xf f ++= （2）、),(yxxy f z =解：设yx v xy u ==, 有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z=∂∂ 2222f v z =∂∂ y x u =∂∂ 022=∂∂x u 12=∂∂∂y x u x y u =∂∂ 022=∂∂yu y x v 1=∂∂ 022=∂∂x v221yy x v -=∂∂∂ 2y x y v -=∂∂ 3222y x y v =∂∂ 于是有：22222)1(x v v z x u u z z v y u y x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2221211212f y f f y ++=yx vv z y x u u z z v y x u x v y u y y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂2222))(1(221223111f y f f y x xyf -+-+=222222)(y v v z y u u z z v y x u x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂232242122211222f y x f y x f y x f x ++-=。

高等数学第八章二重积分试题及答案

第八章多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ）则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质（1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。

高等数学教材二重积分答案

高等数学教材二重积分答案在进行高等数学学习的过程中，二重积分是一个非常重要的概念。

掌握了二重积分的求解方法以及相应的答案，对于我们理解和应用高等数学知识有着至关重要的作用。

本文将回答一些关于二重积分的题目，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 求解二重积分∬(x^2+y^2)dxdy，其中积分区域为x^2+y^2≤1。

首先要确定积分区域，由于条件限制为x^2+y^2≤1，因此积分区域为单位圆。

接下来我们可以将此二重积分转换成极坐标下的积分形式。

当x和y用极坐标表示时，x=rcosθ，y=rsinθ，其中r为极径，θ为极角，那么根据雅可比行列式的性质，dx dy=r dr dθ。

现在我们将原来的二重积分改写成极坐标下的形式：∬(r^2) r dr dθ。

由于积分区域为单位圆，所以对于极径r，积分范围为0到1；对于极角θ，积分范围为0到2π。

将上述积分范围代入原式，得到二重积分的答案为：∫[0,2π]∫[0,1](r^3) dr dθ。

2. 求解二重积分∬(2xy-3x^2)dydx，其中积分区域为0≤x≤1，0≤y≤2。

根据题目给定的积分区域，可以直接进行二重积分的计算。

首先计算内层的y方向的积分，即对2xy-3x^2关于y进行积分，得到xy^2-3x^2y。

然后再对x进行积分，积分范围是0到1。

将上一步得到的结果乘以x的积分范围并进行积分，即∫[0,1] (xy^2-3x^2y)dx。

计算这一步的结果，得到(1/4)y^2-(3/4)y。

最后，将y的积分范围0到2代入上一步得到的结果进行积分，即∫[0,2] [(1/4)y^2-(3/4)y]dy。

将这一步的计算结果代入，得到最终的答案为(-11/2)。

通过以上两个例子的解答，我们可以看到在求解二重积分时，首先需要确定积分区域，然后根据积分区域的不同，选择合适的计算方法。

在一些情况下，我们可以将二重积分转换成极坐标下的形式，从而简化计算过程。

二重积分习题答案精编WORD版

二重积分习题答案精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y =20d πθ⎰⎰=22201()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习题八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

第八章二重积分习题答案

第⼋章⼆重积分习题答案第⼋章⼆重积分习题答案练习题8.11.设D：0y ≤0x a ≤≤，由⼆重积分的⼏何意义计算d Dx y解：d Dx y=20rd πθ??=22201()2d a r πθ=--??2. 设⼆重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 126d rdr πθπ=?练习题8.21.2d Dx σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ??=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+= 2计算⼆重积分σd yx D)341(--，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y x D)341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--=222(1)84xdx --=?3. 应⽤⼆重积分，求在xy 平⾯上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的⾯积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=4. 求旋转抛物⾯224z x y =--与xy 平⾯所围成的⽴体体积解： 2222220(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==习题⼋⼀．判断题1.d Dσ??等于平⾯区域D 的⾯积.（√）2.⼆重积分 100f(x,y)d ydy x ??交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ?（×）⼆．填空题1.⼆重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =12π12π.2.⼆重积分d d Dxy x y ??的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.⼆重积分1(,)ydy f x y dx ?交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy. 11(,)xdx f x y dy ?4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ?=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +??.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +??6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

二重积分习题练习及解析

1
x y1
记D1为D的y≥0的部分. 则
D1
1
ox
x y 1
原式= 2 (| x | | y |)dxdy
1
D1
0
1 x
2
(
y
x)dxdy
2 dx 1
4
又
2d 2πa2 , 所以原式 = πa4 2πa2 .
x2 y2a2
4
21
例证明: 曲面z a ( x) b ( y) , x2 y2 c2 , z 0 (x) ( y)
所围立体的体积等于 1 πc2(a b),其中 (u)是连续
2
的正值函数, 且a 0,b 0,c 0.
4
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积.
3. 物理意义
若平面薄片占有平面内有界闭区域D,
它的面
密度为连续函数 ( x, y), 则它的质量M为:
M ( x, y)d .
D
5
（二）二重积分的性质
(重积分与定积分有类似的性质)
性质1(线性运算性质) 设、为常数, 则
f ( y), f (arctan y) 或积分域为圆域、扇形域、
x
x
圆环域时, 则用极坐标计算;
18
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应
将积分域分割成几个子域, 使被积函数在每个子域中保持同一符号, 以消除被积函
数中的绝对值符号.
19
典型例题
1.交换积分次序
z = f (x, y)的二重积分 n
其中 I是各D小f闭( x区, 域y)的d直径l中im0的i最1 大f (值i.,i ) i

微积分第八章二重积分习题解答

第八章习题解答练习3．解：(1)在D 内显然有1x y +≥,所以在D 内有23()()x y x y +≤+ 故23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰. (2)由已知可得BC 的直线方程为2,x y +=从而D 内有12, 0ln()1x y x y ≤+≤≤+< 所以2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.4．解: (1)114(,)x y x y D ≤++≤∈由于所以(1)4DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1)4(2D D D DS x y d S S D σ≤++≤=⎰⎰为面积）21)8Dx y d σ≤++≤⎰⎰（.(2) 因为229913(,)x y x y D ≤++≤∈所以229(9)134D D D DS xy d S S σπ≤++≤=⎰⎰2236(9)52Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰.5. 因为(,)x y D ∈有1x y +≤，所以2()1x y +≤22121x y xy +≤-≤即所以22()0In x y +≤于是22()0DIn xy d σ+≤⎰⎰ 故I 取负号.练习1. 对.因为根据定理1有所以等式成立.2. (1)由已知的二次积分得积分区域2:12,1D x y x ≤≤≤≤ 推出D 由2,1,2y x y x ===围成；yxx y +=1y =xx写成y型区域:142D y x ≤≤≤≤故2211(,)x dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰241),(ydx y x f dy .（2）由已知得积分区域D 为：y x y y ≤≤≤≤，10推出D 由2,y x y x ==围成；写成x 型区域2:01,D x x y x ≤≤≤≤故1(,)ydy f x y dx =⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰.（3）由已知得积分区域D 为：y x yy ≤≤≤≤121，推出D 由1,,2y y x y x===围成；将D 写成x 型区域1D :111,22x y x≤≤≤≤ 2D ：12,2x x y ≤≤≤≤故211(,)y ydy f x y dx ⎰⎰=12112(,)xdx f x y dy ⎰⎰+221(,)xdx f x y dy ⎰⎰.（4）由已知得积分区域D 由1D 和2D 构成1D : 01,0x y x ≤≤≤≤ 2D : 12,02x y x ≤≤≤≤-推出D 由,0,2y x y x y ==+=围成; 写成y 型区域:012D y y x y ≤≤≤≤-，故 12201(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-yydx y x f dy 210),(.3. (1)113233230(3)(3)Dx x y y d dx x x y y dy σ++=++⎰⎰⎰⎰x2x1xx=2y =2xx431011()1424x x x =++=.(2)3322112222(1)(1)Dyy d dx dy xy x y σ=++++⎰⎰⎰⎰=32112220011[]2(1)dy dx x y ++⎰⎰=110-⎰⎰（利用第六章公式）2)ln(1=-.(3)由已知推出D 由,0,y x y x π===围成；=[sin()]xx x y dx π+⎰322πππ=--=-. (4)D 为：2,,22y pp y p x p -≤≤≤≤ =222222py ppp x y dy -⎰=2422()88pp p y y dy p --⎰ 237502122838721p p p y y p p =⋅⋅-⋅⋅=. 4.(1) 因为222:D x y a +≤极坐标系下:020D r a θπ≤≤≤≤，所以20(,)(cos ,sin )aDf x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2)因为22:2D x y x +≤，即22(1)1x y -+≤ 将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)xxyx 2p y -22y px=极坐标系下:02cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤，所以2cos 202(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.5. (1)已知:0,0D x R y ≤≤≤≤为推出D 由222,0,0x y R y x +===围成；极坐标系下:002D r R πθ≤≤≤≤，22()Rd f r rdr πθ=⎰⎰.(2)已知D为：02,0y R x ≤≤≤≤推出D 由222x y Ry +=即222(),0x y R R x +-==围成；将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y Ry +=得222sin (2r R x y Ry θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:002sin 2D r R πθθ≤≤≤≤，20(,)Rdy f x y dx ⎰2sin 200(cos ,sin )R d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰.6. (1)22:4D x y +≤极坐标系下:0202D r θπ≤≤≤≤，2208816sin cos 1633πππθθπ=-+=.(2)22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 极坐标系下:0012D r πθ≤≤≤≤，()(1)(2)42428ππππππ==-=-. (3) 222:2,0,0D x y x y +≤≥≥极坐标系下:0022D r πθ≤≤≤≤，5511(ln )4t t dt π=-⎰(5ln 54)4π=-.(4) 2222:4,0,0D x y x y ππ≤+≤≥≥x极坐标系下:022D r πθππ≤≤≤≤，2222(cos )(cos cos 4)44r ππππππ=-=-.练习8.31. (1) 22x y x y +≤+由，得22211()()22x y -+-≤ 令11,,22u x v y =-=-作变换11,,22x u y v =+=+ 101001J ==≠ 在变换下D 变成221:2D u v '+≤原积分20cos sin 1)d r r rdr πθθθ=++⎰220(sin cos )1242ππθπθθ=-+=.（2）令,,x yu v a b== 作变换,,x au y bv == 000a J ab b==≠ 在变换下D 变成22:1D u v '+≤原积分212222220(cos sin )d a r b r abrdr πθθθ=+⎰⎰22()4ab a b π=+. 2. 令 ,,y u x y v x =+= 作变换,,11u uvx y v v==++ 在变换下D 变成:D m u n a v b '≤≤≤≤2221()()()()212(1)(1)n b ma ub a n m v a b --=⋅-=+++. 习题81. 填空题（1）312I I I <<因为01y <<,所以122y y y <<；而30x <，于是133232y x yx y x <<，故312I I I <<.(2)()(1)()x x f x ϕ=- 所以()(1)()x x f x ϕ=-. (3)1k =31(0)k k =>，所以 1k =.(4)()x ϕ=因为0,y a x ≤≤≤≤推出D 为222x y a +=的上半圆；换积分次序有:,0D a x a y -≤≤≤≤所以()x ϕ=(5)11101()()xx dx x y dy dx x y dy ---++⎰⎰⎰⎰由12D D D =有11101()()()xx Dx y dxdy dx x y dy dx x y dy --+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(6)12((),())y y ϕϕ= 因为322311320(,)(,)([0,1])x x xxdx f x y dy dx f x y dy x x x =-∈≤⎰⎰⎰⎰由已知推出D 由32,y x y x ==围成；换积分次序有:01,D y x ≤≤≤所以原二次积分21111()()(,)(,)(,)y y dyf x y dx dy f x y dx dy f x y dx ϕϕ=-==⎰⎰⎰⎰故12((),())y y ϕϕ=.(7)a =因为:020D r a θπ≤≤≤≤，a33231,32a a ==，所以a =. (8)2()2()F t tf t π'=由积分区域222x y t +≤和被积函数22()f x y +的形式知用极坐标计算2()2()F t tf t π'=.2. 选择题 (1) C由已知有1410102002D S =⋅⋅⋅=, 据二重积分中值定理有22200(,)100cos cos D I f S ξηξη=⋅=++(,)D ξη∈又220coscos 2ξη<+<,得200200102100I << 即1.962I <<，故选C . (2) C因为2D 与1D 在第一象限重合，1D 关于x 轴、y 轴都对称，关于y 、x 都是偶函数，所以124I I =，故选C .(3) C因为:01,0D x y ≤≤≤≤1Dxydxdy dx =⎰⎰⎰, 故选C .(4) C已知:00cos 2D r πθθ≤≤≤≤ 由cos r θ=有2cos r r θ=得22x y x +=即22211()()22x y -+=，推出D 为22211()()22x y -+=的上半圆；所以:010D x y ≤≤≤≤于是cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰1(,)dx f x y dy ⎰，故选C .(5) B正确的是(,)(,)b d d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰, 故选B .(6) D已知:0101D x y x ≤≤≤≤-,推出D 由1,0,0x y y x +===围成；换积分次序有:0101D y x y ≤≤≤≤-所以1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰110(,)y dy f x y dx -⎰⎰, 故选D .(7) C由1r =有21r =得221x y +=12DD S d d σσ==⎰⎰⎰⎰,1D 是D 在x 轴上方部分22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩交点：11)22- 故有1sin ,26πθθ== 于是S=1/6122D d d rdr πθσθ=⎰⎰⎰, 故选C .(8) A .B .C11212A I S ∆==⋅⋅=,(21)(43)1B I S ==-⋅-=矩, 211[()]122C I S ==--=矩,1441122D I S ∆==⋅⋅⋅=, 故选A .B .C .(9) A .B .C 因为(,)Df x y dxdy =⎰⎰常数，所以(,)0Ddf x y dxdy =⎰⎰，(,)0Df x y dxdy x ∂=∂⎰⎰ (,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰，故选A .B .C . (10) C .D12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F =⋅-⋅-⋅+⋅, 故选C .D .(11) C 已知:010D x y x ≤≤≤≤,推出D 由,0,1y x y x ===围成；换积分次序:011D y y x ≤≤≤≤1(,)x dx f x y dy ⎰⎰=110(,)ydy f x y dx ⎰⎰, 故选C .(12) B 因为22213D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰，故选B . (13) B由已知显然有12D D S S =,但被积函数只是记号(,)f x y 不是具体解析式,而12D D D =,所以(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,故选B .(14) A 设1234D D D D D = (如图)12:D D 图形关于y 轴对称，被积函数中cos sin x y 关于xxy 关于x 是奇函数；34:D D 图形关于x 轴对称，被积函数关于y 是奇函数；1234(cos sin )(cos sin )(cos sin )DD D D D xy x y dxdy xy x y dxdy xy x y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 002cos sin D D x ydxdy x ydxdy =++=⎰⎰⎰⎰, 故选A .(15) C 因为200()()[()]()[()]2x dx xf y dy xdx f y dy f y dy ππππππ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰2()12f y dy ππ==⎰,所以22()()f y dy f x dx πππ==⎰⎰, 故选C .(16) A1100()()()f r rdr rf r dr πθπ=⋅=⎰⎰, 故选A . (17) D 由已知22222(1)1y x y x x y =+=-+=有得推出D 由222x y x +=即22(1)1,x y y x -+==围成；将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:02cos 42D r ππθθ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy =⎰⎰/22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰, 故选D .(18) C由已知的:001D r θπ≤≤≤≤推出D 为单位圆221x y +=的上半圆部分，所以直角坐标系下:110D x y -≤≤≤≤11(,)I dx f x y dy -=⎰, 故选C .(19) C 由已知的D 可知112x y ≤+≤,1ln 2ln ln()ln102x y -=≤+≤= 3()0ln x y +≤非正,3()0x y +>,3sin ()0x y +>而sin()x y x y +<+,于是333()sin ()()ln x y x y x y +<+<+所以132I I I <<, 故选C . (20) A由已知有:010D x y x ≤≤≤≤11002sin 2cos 22cos1xdx x ==-=-⎰, 故选A . 3. (1)由22(,)49f x y x y =++，22:4D x y +≤显然有(0,0)9m f ==最大值在边界2222x y +=上取得，即求22(,)49f x y x y =++满足2222x y +=的最值，将224y x =-代入有222()4(4)9325f x x x x =+-+=-+()60f x x '=-=令得唯一驻点 0x =，()6f x ''=-，(0)60f ''=-< 0x =是极大值点也就是最大值点，(0)25M f ==于是2294925(,)x y x y D ≤++≤∈ 所以229(49)25D D D S x y d S σ≤++≤⎰⎰,4D S π= 即2236(49)100Dxy d πσπ≤++≤⎰⎰故36100I ππ≤≤.(2) 因为2211(,)x y x y D e ≤+≤∈ 所以2211ln ln()ln10x y e-=≤+≤=221(1)()0DIn x y d e πσ--≤+≤⎰⎰所以1(1)0I e π-≤≤.(3) 由:0,0D x y ππ≤≤≤≤ 有22220sin sin sinsin 122x y ππ≤≤=于是2220sinsin D Dx yd S σπ≤≤=⎰⎰所以20I π≤≤.4．(1) 由:11,11D x y -≤≤-≤≤ 有1111(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ--=⎰⎰⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）1111(,)dy f x y dx --=⎰⎰.（先对x 积分，后对y 积分）(2) 将D 表示成x 型：1,10≤≤≤≤y x x(,)Df x y d σ⎰⎰11(,)xdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：y x y ≤≤≤≤0,10(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)ydy f x y dx =⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）(3) 将D 表示成x 型：1,0x e y Inx ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)e Inxdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：01,y y e x e ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)yee dyf x y dx =⎰⎰（先对x 积分，后对y 积分）5.(1)积分区域为：x y x x -≤≤≤≤1,210 换成y 型：y x y D ≤≤≤≤0,210:11120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰120(,)ydy f x y dx =⎰⎰+11102(,)ydy f x y dx -⎰⎰.(2) 第一项积分的积分区域1:01,0D x y ≤≤≤≤第二项积分的积分区域x y x D -≤≤≤≤20,21:222222(1)1y x y x x y =+=-+=由有即，22y x x =-=-+将两区域合并成区域D 并表示成y 型：1221(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰1201(,)ydy f x y dx -=⎰⎰.(3) 第一项积分的积分区域为211:0202D x y x ≤≤≤≤，,第二项积分的积分区域为2:20D x y ≤≤≤≤228y x y =+=由得，212y x =将两区域合并成区域D 并表示成y 型：21222(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰2(,)dy f x y dx =⎰.(4) 积分区域:01,D x y ≤≤≤≤222211()24y x y x x y =+=-+=由得即，y =将D 表示成y 型域要分成三个区域123D D D 、、：1(,)dx f x y dy⎰221111112221122(,)(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.6.（1）:015D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)3763767613102=⋅==⎰x dx x . (2)将D 表示成x 型分为：111111()()22e e e e e e e e=----+=-. (3) :022yD y x y ≤≤≤≤(y 型)432019113()24486y y =-=. (4):01,0D y x y ≤≤≤≤(y 型)110111()663t e e e--=-+=-. (5)2:01,D x x y x ≤≤≤≤(x 型)10sin1(sin1cos )1cos1x =-+=-.7. (1) :02,12D r θπ≤≤≤≤(2)由22221112210x y x y x y -+-=+--+=（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++=或由22221112210x y x y x y -+-≤+--+≤（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++≤2[(cos sin )]sin 2r θθθ-+≤，(cos sin )r θθ-+≤故极坐标系下:0,2D πθ≤≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+8．(1) 由已知的:02D x x y ≤≤≤推出D 由,,2y x y x ===围成，tan 14y x x x πθθ====，tan 3y x πθθ==== 2cos 22sec (2x r r x θθ====由，有，得的极坐标方程)所以极坐标系下:02sec 43D r ππθθ≤≤≤≤故22sec 304()xdx f dy d f r rdr πθπθ=⎰⎰⎰.(2) 由已知的2:010D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,0,1y x y x ===围成，将cos ,sin x r y r θθ==代入2,1y x x ==得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)sec (1r x θ==的极坐标方程)所以极坐标系下1:00sec 4D r πθθ≤≤≤≤故21sec sec tan 440(,)(cos ,sin )(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr d f r r rdrππθθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰sec sec tan 4000[(cos ,sin )(cos ,sin )]f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰故21sec 40sec tan (,)(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr πθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰.9. (1)22:D x y x +≤,由2222211()()22x y x x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ==代入22x y x +=得22cos (r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤2304sin 8(sin )5315πθθ=-=. (2) 将cos ,sin x r y r θθ==代入2y x =得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)所以极坐标系下:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤4sec tan d πθθθ=⎰4sec 1πθ==.10. (1)1:12,D x y x x≤≤≤≤(x 型) 2211()x x dx x =-+⎰=42232119()()424x x x x dx -=-=⎰. (2) :3,D a y a y a x y ≤≤-≤≤(y 型)2y x =y22()Dxy d σ+⎰⎰=322()a y ay ady x y dx -+⎰⎰443333411()1434343a aa aa ay y a y aa -=-+=.(3) 由22222()()22R R x y Rx x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ==代入22x y Rx +=得22cos (r R x y Rx θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r R ππθθ-≤≤≤≤23302133R d R πθπ==⎰.11.由224(2)4x y yx y =-=--+有2:14,44D y y x y y ≤≤-≤≤-(y 型)23424119(54)(54)232y y y y dy y =--=--=⎰.12．由已知的:01,1D y y x ≤≤≤≤推出D 由,0,1y x y x ===围成，将D 表示成x 型：01,0x y x ≤≤≤≤221210111(1)222x x e dx e e ===-⎰. 13 .因为 22()DV x y dxdy =+⎰⎰ 而:01,01D x y x ≤≤≤≤- 所以 11220()x V dx x y dy -=+⎰⎰123011(6431)36x x x dx =--+=⎰. *14 .这题是求定积分，但积分难以进行. 注意到ln ln yb a byb aax x x x dy xx-==⎰，因此I 可化为二次积分.交换二次积分次序：11ln 1ln(1)ln(1)ln11bb aab dy y b a y a +==+=+-+=++⎰. *15 .将(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰两边同时二重积分而312100133D x S x dx ===⎰ 所以11(,)18D DDf x y dxdy xydxdy S ==-⎰⎰⎰⎰ 1(,)8Df u v dudv =⎰⎰即，所以1(,)8f x y xy =+.*16 .12D D D ={}21(,)(,),D x y x y D y x =∈≤，{}22(,)(,),D x y x y D y x =∈≥表示成不等式：21:11,0D x y x -≤≤≤≤53102462(2)5315x x x =-+=. *17 .12D D D ={}1(,)(,),D x y x y D x y π=∈+≥,{}2(,)(,),D x y x y D x y π=∈+≤表示成不等式：1:0,D x x y πππ≤≤-≤≤[cos()cos ](cos cos )2x dx x dx ππππππ=+---=⎰⎰.*18 .因为yx yedx +⎰,y x yedy +⎰都积不出来，所以在直角坐标系下积分无法计算；但注意到11()y x x yyxeef y++==，故用极坐标系来计算.将cos ,sin x r y θθ==代入1x y +=得1(1cos sin r x y θθ=+=+的极坐标方程)所以极坐标系下1:0,02cos sin D r πθθθ≤≤≤≤+sin cos sin 211(1)22e e θπθθ+==-. *19 . 由已知的12D D D =1:12,D x y x ≤≤≤≤，2:24,2D x y ≤≤≤≤推出D由,2y x y y ===围成，将D 表示成y 型：212,y y x y ≤≤≤≤224242(1)(1)ππππ=---=+.*20 .D 用直线y x =分割有12D D D ={}1(,)(,),0D x y x y D x y =∈-≤,{}2(,)(,),0D x y x y D x y =∈-≥表示成不等式：15:,0144D r ππθ≤≤≤≤11[cos()sin()sin()cos()]344344ππππππππ=-+++++-+-=*21 .由22222(1)1x x y y x y =+=+-=有即显然y型域易算:02,2D y x ≤≤-≤≤而2⎰2=⎰令1sin ,sin 1,cos y t y t dy tdt -==+= 所以Dydxdy ⎰⎰42π=-.*22 . 由22221131()()222x y x y x y +=++-+-=得令12x u -=，12y v -=有2232u v +=12x u =+，12y v =+，则 dx du dy dv ==()Dx y dxdy +⎰⎰11()22D u v dudv '=+++⎰⎰(1)D u v dudv '=++⎰⎰D '为2232u v +≤极坐标系下:02,0D r θπ'≤≤≤≤所以()Dx y dxdy +⎰⎰20cos sin 1)d r r rdr πθθθ=++⎰注意到,0cos 20=⎰θθπd .0sin 20=⎰θθπd故原积分2033.42d πθπ==⎰*23 .因为()f u 连续，所以必有()F u 存在且()()F u f u '=，由已知有3:11,1D x x y -≤≤≤≤ 因为226(1)()F x F x x +-+为x 的偶函数，所以226[(1)()]x F x F x x +-+为x 的奇函数. 故2222[1()]055DI x yf x y dxdy =++=-+=-⎰⎰. *24 .12D D D ={}1(,)(,),D x y x y D y x =∈≥,{}2(,)(,),D x y x y D x y =∈≥表示成不等式：1:0,0D y x y π≤≤≤≤ (y 型)2:0,0D x y x π≤≤≤≤ (x 型)*25.由二重积分中值定理得而222:D x y r +≤，所以2D S r π= 故21lim (,)r Df x y dxdy r π+→⎰⎰221lim (,)r r f rπξηπ+→=⋅⋅ 因为0r +→时区域D 趋于一点，所以(,)(0,0)ξη→又已知(,)f x y 在D 上连续，且(0,0)0f = 所以21lim (,)r Df x y dxdy r π+→⎰⎰(,)(0,0)lim(,)(0,0)0f f ξηξη→===.*26 .因为2()202x tt u x dt edu --⎰⎰2()22x x t u tdt e du --=-⎰⎰交换二次积分次序：:0,02xD u t u ≤≤≤≤ 所以2222++()2()20244lim lim 11xtxt u ut u x x x x x dt e dudu e dtee----→→---=--⎰⎰⎰⎰而+0x →时，2241~4x x e---+0x →时，220()()20()0x uut u t u du edt e dt du ----→=⎰⎰⎰⎰故原式2+()20200lim ()0()4xut u x du e dtx --→-=--⎰⎰ 或对于2()22x x t edt --⎰：令2x v t =-，则 2xt v =+，dt dv =2()22x x t edt --⎰=202v xedv --⎰22x v e dv --=-⎰于是原式2+20lim ()0xv x e dv x--→=⎰2+401lim 2x x e -→=-12=-. *27 .因为()0f x >，所以对于任意λ都有将上式展开得 2[()2]0()Df x dxdy f x λλ++≥⎰⎰而2222()DDdxdy dxdy b a λλλ==-⎰⎰⎰⎰ 因此221[]2()()0()DDdxdy b a f x dxdy f x λλ+-+≥⎰⎰⎰⎰( 对λ恒成立) 不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故21()()()bb aadx f x dx b a f x ≥-⎰⎰.*28 .设:,D a x b a y b ≤≤≤≤显然对于任意λ都有将上式展开得222[()][2()()]()0DDDg x dxdy f x g x dxdy f x dxdy λλ++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (对λ恒成立)不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故222[()()]()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⋅⎰⎰⎰.*29.方法1）2[()][()][()]bb baaaf x dx f x dx f y dy =⋅⎰⎰⎰而221()()[()()]2f x f y f x f y ≤+ 所以2[()]baf x dx ⎰()()Df x f y dxdy =⎰⎰2()()bab a f x dx =-⎰.方法2）因为2[()()]0f x f y -≥，所以2[()()]0D f x f y dxdy -≥⎰⎰:,D a x b a y b ≤≤≤≤即故22[()]()()bbaaf x dx b a f x dx ≤-⎰⎰.方法3）设:,D a x b a y b ≤≤≤≤显然对于任意λ都有将上式展开得22[()2()]0Df x f x dxdy λλ++≥⎰⎰ 即22()[2()]()0DDDdxdy f x dxdy f x dxdy λλ++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (对λ恒成立) 不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故22[()]()()bbaaf x dx b a f x dx ≤-⎰⎰.注：还可利用 *28题结论：22222[()][()1]()1()()b b b b b a a a a a f x dx f x dx f x dx dx b a f x dx =⋅≤⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰.。

微积分第八章习题解答

第八章习题解答1.利用积分性质求下列函数在给定区间上的二重积分。

()()(){}()()()()13241321431,,,,50,21,53,21432,21320,211,1321321=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅++=≤≤≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰S S S d y x f d y x f d y x f d y x f y x y x R y x y x y x y x f R R R Rσσσσ解：()()(){}()22144,2,32,4,2=⋅=⋅=≤≤≤≤==⎰⎰R RS d y x f x y x y x R y x f σ解：2. 估计下列不定积分()()(){}(){}()()624624624,32,10,32,10,,21≤++≤⇒⋅≤++≤⋅∴≤++≤≤≤≤≤=≤≤≤≤=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσσd y x S d y x S y x y x y x R y x y x R d y x I RR RR R中在解：()()(){}(){}()()()202020,10,10,10,10,,2≤+≤⇒⋅≤+≤⋅∴≤+≤≤≤≤≤=≤≤≤≤=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσσd y x xy S d y x xy S y x xy y x y x R y x y x R d y x xy I RR RR R中在解：3. 利用对称性确定下列积分值。

()()(){}(){}()()022,0,4,0,4,,212323222223=+=∴+≥≤+=≥≤+=+=⎰⎰⎰⎰σσd x y y I y x y y x y x y x R x y x y x R d x y y I RR轴对称关于中在解：()(){}(){}0,20,22,20,22,,2222==∴≤≤≤≤-=≤≤≤≤-==⎰⎰⎰⎰σσd xy I x xy y x y x R y x y x R d xy I RR轴对称关于中在解：4计算下列积分。

二重积分计算习题

习题解答习题8-2 P288 1题(1)
1 计算下列二重积分：
(1) ( x2 y2 )d ,其中D {(x, y) x 1, y 1}
D
解积分区域下图所示
y
( x2 y2 )d
D

1
dx
1 (x2
y2 )dy
1 1
D
x

1 [x2
1
y

1 3
2
习题解答习题8-2 P288 2题(1)-----作业题 2 画出积分区域，并计算下列二重积分
(1) x yd ,其中D是由两条抛物线y x,
D
y x2所围成的区域
解积分区域下图所示
x yd
D
D
1
x
dx ydy
0
x2
x

[2 3
y
3 2
]
x x2
dx
(
x

x 3 )dx
1
D
o
2x
[
x2 2

x4 4
]
2 1
9 4
习题解答习题8-2 P290 11题(4)
（2） x2 y2d ,其中D是圆环形闭区域
D
{(x, y) a2 x2 y2 b2 }
解 D如下图所示：
y
则 x2 y2d
D
2
b
0 d a r rdr
y
e
ln x
1 dx0 f ( x, y)dy
1
e
dy f ( x, y)dx
0
ey
(e ,1)
D
o

二重积分练习题答案

11
8、 ∫∫ x − y dxdy ， D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解：原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y) 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
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3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax ， 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1，将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累次积分 =
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr

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第八章二重积分习题答案
练习题8.1
1.设D
：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义
计算d D
x y
解：d D
x y
=200
d π
θ⎰⎰
=2220
01()2d a r π
θ=--⎰⎰
332012236
a d a ππ
θ==⎰ 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =
⎰⎰22
1
26d rdr π
θπ=⎰
⎰
练习题8.2
1.2d D
x σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.
解：2d D
x σ⎰⎰=22
222301001515
cos [cos2]84
d r dr d d πππθθθθθπ=
+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd y
x D
)3
41(--
⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y
x D
)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰
=2
22
(1)84x dx --=⎰
3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.
解：
2
2
2
42
20
2320(42)
28
(2)|33
x x x
D
A dxdy dx dy x x x x -===-=-
=⎰⎰⎰⎰⎰
4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积
解： 22
222
2
(4)(4)48D
V x y d d r rdr d ππ
σθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰
习题八
一．判断题
1.d D
σ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）
2.二重积分 100f(x,y)d y
dy x ⎰⎰交换积分次序后为1
1
f(x,y)d x
dx x ⎰
⎰ （×）
二．填空题
1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =
⎰⎰
12π12π.
2.二重积分d d D
xy x y ⎰⎰的值为
112
，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.
112
3.二重积分
10
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰
交换积分次序后为
11
(,)x
dx f x y dy
⎰⎰
.
11
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0
.0
5.
交换积分次序
1
d (,)y f x y dx ⎰
=
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy
+⎰⎰
.
2
1
1
(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰
6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

则22
1D
dxdy
x y ++⎰⎰
=_ln 2πln 2π
三. 选择题
1.设1ln D
I =⎰⎰（x y +）d d x y ，2D
I =⎰⎰（x y +）2d d x y ，3D
I =⎰⎰（x y +）d d x y ，其中D
是由直线0x =，0y =，12
x y +=，1x y +=所围成的区域，则1I ，2I ，3I 的大小顺序为（ B ）.
A 321I I I <<
B 123I I I <<
C 132I I I <<
D 312I I I <<
2.设 1 1
2 0 d sin d y I y x x =⎰⎰，则I 等于（ A ）.
A
)1cos 1(2
1
- B 1cos 1-
C 1sin 1+
D 积不出来
3.设D
f ⎰⎰（x ，y ） 1
1 0 0
d d d x
x y x f -=⎰⎰（x ，y ）d y ，则改变其积分次序后应为（ D ）.
A 1 1
0 0d x
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
B 1 1 0 0d x
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
C 1
1
0 0d y f ⎰⎰（x ，y ）d x
D . 1 1 0 0
d y
y f -⎰⎰（x ，y ）d x
4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B ）时D
π=
A 1
B
C
D 四计算二重积分
1.计算二重积分2D
dxdy ⎰⎰，其中D 是由2214x y ≤+≤围成.
解：2dxdy =
⎰⎰22
1
26d rdr π
θπ=⎰
⎰
2.计算二重积分(6)D
x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,5,1y x y x x ===所围成的区域。

解：150
(6)(6)x
x
D
x y dxdy dx x y dy +=+⎰⎰⎰⎰
1
23100
76767633
x dx x ==
=⎰
120
dy xy dx
⎰3.求积分
解：
1
2
00
3dy xy dx ⎰1
23033()22y y dy =-⎰34103111
()2348
y y =-= 4.()D
x y d σ+⎰⎰计算二重积分，
2,1,D y x x x ==其中由曲线轴围成. 解：
2
1
()()x o
D
x y d dx x y dy σ+=+⎰⎰⎰⎰
1
344510
1117
()()241020
x x dx x x =+
=+=⎰ xy D
xe d σ⎰⎰5.计算二重积分，
{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤其中
解：
110
xy xy o
D
xe d dx xe dy σ=⎰⎰⎰⎰1
1
00
(1)()2x x e dx e x e =-=-=-⎰ 6.
x y D
e dxdy +⎰⎰其中区域 D 是由 0,1,0,1x x y y ==== 围成的矩形；解：
21
1
)1(-==⎰⎰⎰⎰+e dy e dx e dxdy e
o
y x
D
y
x
,D
xdxdy ⎰⎰
7.计算二重积分
2
4y x y x x =-2其中D为=与所围成的区域。

解：
2
2
2
40
x x x
D
xdxdy dx xdy -=⎰⎰⎰
⎰2
23342
0418(43)()
32
3
x x dx x x =-=-=
⎰
8. ()D
x y d σ+⎰⎰计算二重积分，
1,1D y x ≤≤其中由曲线围成. 解：
1
1
1
1
()()D
x y dxdy dx x y dy --+=+⎰⎰⎰
⎰
1
2
1
1
1
20xdx x --===⎰
2,2,0,1D
x ydxdy D y x y x ===⎰⎰9.求二重积分其中是由围成的区域。

解：
1
2220
x
D
x ydxdy dx x ydy =⎰⎰⎰⎰1
45
10
2225
5
x dx x ==
=
⎰ 10.2,D
xy dxdy ⎰⎰计算二重积分
()202
p
y x x p =>其中D 为=2p 与所围成的区域。

解：2
22
2p
D
xy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰
353722
22
2
5
20
02437
21
p p
p p x dx p x ===⎰。