(完整版)高中不等式难题

不等式单元测试

一：填空题

1．不等式a x x >--+21解集为R ，则实数a 的取值范围为_________________ 2

归纳出的一般结论是 ．

3．已知a +1，a

+2，a +3是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是

4__________. 5．（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x 2

﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 _________ ．

6．设不等式组0,24,24≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩

x x y x y 所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 ；若直

线1=-y ax 与区域D 有公共点， 则a 的取值范围是 ．

7．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤-≤+a

x y x y x 11

，若

恒成立，则实数a 的取值范围为________．

8．若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.

9．设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A,B,C 三点共线,则+的最小值是________.

10．已知,a R b R +

+

∈∈，函数2x

y ae b =+的图象过（0，1是______.

11．若正数x ，y 满足012=-+y x ，则

的最小值为 ． 12．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则值为 ．

二：解答题

13．如果57(0,1)x

x a a a a -+>>≠且，求x 的取值范围.

14．（本小题满分10分）已知关于x 的不等式（1）当8=a 时，求不等式解集； （2）若不等式有解，求a 的范围.

15．某公司计划2014年在A,B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A,B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A,B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在两个电视台做广告的时间,才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元?

16．如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？

(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．

参考答案 1．（-∞，-3）（或a<-3） 【解析】

试题分析：因为()()()3112211232x x x x x x -≤-⎧⎪

+--=--<≥⎨⎪>⎩

，它的最小值为3-，所以3a <-．

考点：绝对值不等式的性质，恒成立问题．

2．()

2

2211121

12311n n n ++

++⋅⋅⋅+<++ 【解析】解：观察左右两边表达式吧变化规律发现，左侧表示的为连续正整数平方的倒

数和，2,3，4项，项数逐一增加1，右边则是项数的倒数分之，等差数列2n+1,则按照这个规律我们就可以得到()222

11121

1231

1n n n ++

++⋅⋅⋅+<++ 3．)2,0( 【解析】略

4．1(,1]2

-

【解析】

试题分析：原不等式变形为：0

1

2111()22x x -+⎛⎫

≥ ⎪⎝⎭

，因为112<，所以1021x x -≤+同解变形

为：()()210

2110

x x x +≠⎧⎨

+-≤⎩解得：112

x -

<≤，所以原不等式的解集为：1

(,1]2-.

考点：1.解指数型不等式；2.接分式不等式.

5．[0，

]∪[

，π]

【解析】由题意可得，△=64sin 2

α﹣32cos2α≤0，

得2sin 2α﹣（1﹣2sin 2

α）≤0 ∴sin 2

α≤， ﹣≤sinα≤， ∵0≤α≤π ∴α∈[0，]∪[

，π]

6

【解析】

当P 是x a =与1x y +=交点时，PQ 的斜率最小，为

得02a ≤≤，又1a ≤，所以[01]a ∈，. 考点：线性规划.

8．1 【解析】

试题分析：由log 41,a b =-得1

04a b

=>， 所以112144a b b b b b +=

+≥⋅=（当且仅当14b b =即12

b =时，等号成立） 所以答案应填1.

考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式. 9．8

【解析】=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2), 因为A,B,C 三点共线, 所以与共线,

所以2(a-1)+b+1=0,即2a+b=1. 因为a>0,b>0,

所以+=(2a+b)=4++≥4+4=8, 当且仅当=,即b=2a 时等号成立.

10．322+ 【解析】

试题分析：因为函数过点()0,1,把点带入函数2x

y ae b =+可得12=+b a ，所以

223232211+≥++=+++=+b a a b b b a a b a b a 2b a a b =.故填322+

考点：基本不等式

11．9 【解析】 试题分析：

210,21x y x y +-=∴+=

0,0

x y >>()2222122x y x y x y x y xy xy xy y x y x

+++∴

=+=+=+=

2222145x y x y

y x y x

+++=++ 2252

549x y y x

≥+⋅=+=(当且仅当22x y

y x =,即13x y ==时,“＝”成立) 考点：基本不等式