高中数学 3.4生活中的优化问题举例课件 新人教版选修1-1
新课标人教A版选修1-1课件 3.4生活中的优化问题举例
= 2 x +
求导数， 求导数，有
512 s'(x) = 2 - 2 , x 512 令s' ( x ) = 2 − 2 = 0, 解得，x=16 (x=-16舍去） 解得， 舍去） 舍去 x
128 128 = =8 x 16
x
x x
60
x
60
设箱底边长为x,则箱高 解:设箱底边长为 则箱高 设箱底边长为 则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 解得x=0(舍去 舍去),x=40.且V(40)= 令V ′( x) = 60x − x = 0 ,解得 解得 舍去 且 2 16000.
你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道 它的道理吗? 它的道理吗 是不是饮料瓶越小,饮料公司的利润越大 饮料公司的利润越大? 是不是饮料瓶越小 饮料公司的利润越大
例题: 例题
某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成 某制造商制造并出售球形瓶装饮料 瓶子制造成 已知每出售1ml的饮料 可获利 的饮料,可获利 本是0.8πr2分.已知每出售 已知每出售 的饮料 本是 0.2分,且瓶子的最大半径为 且瓶子的最大半径为6cm. 分 且瓶子的最大半径为 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为 所以每瓶饮料的利 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 4πr 3 润为： 润为： y = f ( r ) = 0.2 × − 0.8πr 2 0 < r ≤ 6 令 f ' ( r ) = 0.8π ( r 2 − 2r ) = 0 当r = 2时, f ' ( r ) = 0. 当r ∈ (0,2)时, f ' ( r ) < 0;
2020-2021学年人教A版数学选修1-1：第3章3.4生活中的优化问题举例
3.4生活中的优化问题举例学习目标核心素养1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点) 借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.1．生活中的优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．2．用导数解决优化问题的基本思路1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．7万件B．9万件C．11万件D．13万件B[设y＝f(x)，即f(x)＝－13x3＋81x－234，故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0<x<9时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；当x>9时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减．因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B．20 3C．－1 D．－8C[由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝13x3－392x2－40x(x>0)．为使耗电量最小，则速度应定为__________．40[y′＝x2－39x－40，令y′＝0，即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x＝－1(舍)．当0<x<40时，y′<0，当x>40时，y′>0，所以当x＝40时，函数y＝13x3－392x2－40x有最小值．]面积、体积的最值问题四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨]设自变量(高)为x―→根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数―→利用导数求出容积的最大值―→结论[解]设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．[跟进训练]1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．6πS3π[设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr 2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr2 2πr.又圆柱的体积V＝πr2h，＝r2(S－2πr2)＝rS－2πr32，V′(r)＝S－6πr22，令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．此时，S＝2π×h24＋πh2，∴h＝6πS3π.]用料(费用)最省问题要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的函数解析式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[思路点拨]代入数据求k的值⇒建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x)⇒利用导数求最值．[解](1)设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5，而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－2 400(3x＋5)2，令f′(x)＝0，即2 400(3x＋5)2＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)，当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x＝5时，为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题时应注意的问题(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域. (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.[跟进训练]2．已知A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水而行到B 地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v ＝12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？[解] 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k ，则y 1＝k v 2.当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，解得k ＝5，∴y 1＝5v 2.∴全程的燃料费y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8(8<v ≤v 0)． y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v (v －8)2. 令y ′＝0得v ＝16或v ＝0(舍去)．所以函数在v ＝16时取得极值，并且是极小值．当v 0≥16时，v ＝16使y 最小，即全程燃料费最省．当8<v 0<16时，可得y ＝1 000v 2v －8在(8，v 0]上递减， 即当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8. 综合上述得：若v 0≥16，则当v ＝16千米/时时，全程燃料费最省；若8<v 0<16千米/时，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省．利润最大(成本最低)问题[探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] (1)根据x ＝5时，y ＝11，求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6， 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．[跟进训练]3．某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数表达式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．[解] (1)设5858－u ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．(2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．1．判断正误(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题．( ) (2)生活中的优化问题必须运用导数解决．( ) (3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√2．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A ．6 mB ．8 mC ．4 mD ．2 m C [设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝1 024x ＋x 2，S ′＝2x －1 024x 2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．]3．某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．115 [利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000(30<x <200)，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0，得x ＝115，这时利润达到最大．]4．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解] 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为(x －20) cm ，y －252 cm ，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25. 广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ， ∴S ′＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25. 令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175，即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教A版选修1-1课件：第3章生活中的优化问题举例
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
学习目标：1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简 基
合 单的实际生活中的优化问题．(重、难点)
作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习
标
达 标
•
•
探
现有下列四种说法：
固
新
双
知
①前四年该产品产量增长速度越来越快；
基
合
②前四年该产品产量增长速度越来越慢；
作
探 究
③第四年后该产品停止生产；
•
攻
④第四年后该产品年产量保持不变．
重
图3-4-1
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
其中说法正确的有( )
• 固
新
双
知
A．①④
B．②④
主
堂
预 x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.
达
习
标
• 探
【导学号：97792167】
• 固
新 知
[解] 设矩形边长AD
双 基
＝2x(0<x<2)，
合
作
则|AB|＝y＝4－x2，
探
究 •
则矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)，
人教A版高中数学选修1-1课件高二3.4生活中的优化问题举例.pptx
【规范解答】利用导数解决生活中的优化问题 【典例】(12分)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件) 间的关系为 (c为常p＝数，623－，1且xx0，0<cc，<x6).c，
已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元. (1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数； (2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率 ＝ 次品 ×100%)
所以 p2＝250 000，p＝500，x 0.
x
x
设总利润为y万元，则y＝ 500gx－1 200－ 2 x3
x
75
＝500 x －275x3－1 200.
求导数得，y＝250－ 2 x2.
x 25
令y′＝0得x＝25. 故当x<25时，y′>0； 当x>25时，y′<0. 因此，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值. 答案：25
2.解决优化问题的基本思路是
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的_数__学__建__模__过程．
1.求函数最值的常用方法有哪些? 提示：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利 用导数.
2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最
2.(1)因为x＝5时，y＝11，
所以 a＋10＝11，a＝2.
2
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝ 2＋10(x－6)2.
x－3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)［ 2＋10(x－6)2］＝2＋10(x－3)(x－6)2，
x－3
3<x<6.
高二数学,人教A版选修1-1, 3.4生活中的优化问题,举例 课件
标
1.优化问题 在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题, 通常称为优化问题. 2.解决优化问题的基本思路
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1 某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项 措施来获得更大的利益.通过对市场的预测,当对两项投入都不大于 3(百万元)时,每投入 x(百万元)广告费,增加的销售额可近似地用函 数 y1=-2x2+14x(百万元)来计算;每投入 x(百万元)技术改造费用,增加 的销售额可近似地用函数 y2=- x3+2x2+5x(百万元)来计算.现该公司 准备共投入 3(百万元),分别用于广告投入和技术改造投入,请设计 一种资金分配方案,使得该公司的销售额最大.(参考数 据: 2≈1.41, 3≈1.73)
∴L(x)在[20,50)上单调递增,在[50,80)上单调递减, ∴当 x=50 时,L(x)max=1 000ln 50-250;
当 x∈(80,100]时,L(x)=1 000ln x,L'(x)= , ������ 2������2 L(x)在(80,100]上单调递增,∴L(x)max=L(100)=1 000ln 100-2 000. ∵1 000ln 50-250-(1 000ln 100-2 000) =1 750-1 000ln 2>1 750-1 000>0, ∴当x=50,即年产量为50 000吨时,利润最大,最大利润为(1 000ln 50-250)万元.
高中数学选修1-1优质课件3：3.4 生活中的优化问题举例
故它就是最大值点，且最大值为 f(200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)． 所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 31 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
题目类型一、面积体积的最值问题 例 1、 用长为 90 cm，宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无 盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后 把四边翻折 90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的 容积最大？最大容积是多少？ 【思路探究】
【思路探究】 (1)根据题意，你能找出 x、y 之间的关系式 吗？能把框架的周长表示成 x 的函数吗？(2)你能确定上函数的 定义域并用导数求出最小值吗？
【自主解答】 依题意，有 xy＋21·x·2x＝8， 所以 y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)， 于是框架用料长度为 l＝2x＋2y＋2 22x＝32＋ 2x＋1x6. l′＝23＋ 2－1x62 .
令 S′＝0，则 x＝14＋00ππ. ∵S 是关于 x 的二次函数，由其性质可知当 x＝140＋0ππcm 时， 面积之和最小．
题目类型二、用料最省、费用最低问题
例 2、 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是 边长分别为 x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要 求框架围成的总面积为 8 m2，问 x、y 分别为多少时用料最省？ (精确到 0.001 m)
第三章 导数及其应用
§3.4 生活中的优化问题举例
●三维目标 1.知识与技能 通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在 解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活 优化问题． 2．过程与方法 让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模， 从而掌握用导数法解决优化问题的方法．
高二数学人教A版选修1-1课件：3.4 生活中的优化问题举例
(1)求S以x为自变量的函数表达式,并写出其定义域; (2)求S的最大值.
案例探究
思悟升华
思路分析:
案例探究
思悟升华
解:(1) 依题意,以 AB 的中点 O 为原点,AB 为 x 轴,建立直角坐标 系 xOy,则点 C 的横坐标 x,纵坐标 y 满足方程������������22 + 4������������22=1(y≥0),
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路分析:(1)把x=5,y=11代入关系式中即可求a;(2)计算出每件的利润,求出总利润函数关系式,运用导数求
最值.
解:(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,a=2.
������ 2
于是,当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x)
(3,4) +
4
(4,6)
0
-
f(x)
单调递增↗
极大值 42 单调递减↘
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 所以当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路分析:本题主要考查利用导数解决“费用最省”型的优化问题,正确建立目标函数,利用导数法求最值.
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
解:如图,依题意,点 C 在直线 AD 上,设 C 点距 D 点 x km.
∵BD=40 km,AC=(50-x)km,
高二数学选修1、3-4生活中的优化问题举例
A 版 数 学
当140＋0ππ<x<100 时 S′>0，
∴当 x＝41＋00ππ时 S′取极小值，这个极小值也就是函数
的最小值，
故当弯成圆的铁丝长为140＋0ππcm 时，面积之和最小．
第三章 导数及其应用
[点评] 该题中涉及的量较多，一定要通过建立各个
量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分
与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分
人 教
A
为a元．
版 数
学
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，
并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
第三章 导数及其应用
[误解] (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模
型．
人
解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审
教 A
版
清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设
数 学
定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题
时间为vs，全程运输成本为 y＝a·vs＋bv2·vs＝sav＋bv，所求
人
函数及其定义域为 y＝sav＋bv，v∈(0，c]．
教 A 版 数
学
(2)由题意知 s、a、b、v 均为正数，
由 y′＝sb－va2＝0 得 v＝± ab，又 0<v≤c，所以当
高中数学 34生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1
2
∴函数在(0，1000)上是减函数
当x 800时，y取最小值
故每天应生产800件产品
练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为
x c 25000 200 x (元) 40
变题2：若产品以每件500元售出，要使得利润最大， 每天应生产多少件产品？
2
b [注] 对于型如 y ax (ab 0) 的函数最值问题， x
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则
1 3 100 3 h( x ) ( x x 8). 128000 80 x 1 2 800 15 x (0 x 120) 1280 x 4
x 800 x3 803 h '( x) 2 (0 x 120) 2 640 x 640 x
• [例] 在边长为60cm的正方形铁片的四角 上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线 折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的 边长是多少时，箱子的容积最大？最大容 积是多少？
• [ 解析 ] 设箱高为 xcm ，则箱底边长为 (60 －2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， • V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) • ＝4x3－240x2＋3600x. • ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， • 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) • 当0<x<10时，V′(x)>0， • 当10<x<30时，V′(x)<0. • ∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值 就是V(x)的最大值V(10)＝16000(cm3)
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。
2017-2018学年高中数学选修1-1课件：3.4 生活中的优化问题举例(共51张PPT)
所以a＝2.
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
解答
命题角度2 费用(用材)最省问题 例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙 需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的 隔热层建造成本为 6万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元) k 与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建 3x＋5 隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的 能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； 解答
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
题型探究
类型一
几何中的最值问题
命题角度1 平面几何中的最值问题 例1 如图所示，在二次函数f(x) ＝4x－ x2 的图象与x轴所围成图形中
解答
有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.
反思与感悟
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要 研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数， 求极值，从而求最值.
是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 ______.( 单位：元)
答案 解析
1
2
3
4
5
5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售 0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； 解答
或组合，以便简化求值过程.
高中数学人教A版选修1-1课件：3.4+生活中的优化问题举例
思维辨析
-10-
3.4 生活中的优化问题举例
探究一
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INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
思维辨析
变式训练1 某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一
单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是
1
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D当堂检测
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2
做一做 已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:
1 3
y=x +81x-234, 则使该生产厂家获取最
万件)的函数关系式为
3
大年利润的年产量为(
)
A.13万件
B.11万件
C.9万件 D.7万件
思维辨析
解设直径为 d,高为 h,表面积为 S,
由
2
2 000
πh=500,得 h= 2 .
2
2
2
2 000
又 S=
所以
令
π+dπh=
2
2 000
S'=- 2
此时 h=
因为 d<2
+
,
+ .
2
2 000
S'=0,即- 2
3
4
+
=0,得
2
d=2
3
500
,
500
.
3
当 x∈(20,30)时,V'<0.