傅立叶级数的指数形式(图)

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第三章周期信号的傅立叶级数表示

将两边在一个周期内（从0～T）对t积分，可得
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性

信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示

sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号

周期信号的傅立叶变换

H ( j) YZS ( j) F( j)
H ( j) 是线性系统的频率传输函数，有时也叫系统频响函数。它的定义是零状态响应傅氏变换与激励傅氏变换之比。
X
2、H ( j)与 h(t)的关系
Q yzs (t) f (t)*h(t) 令 f (t) (t) 则yzs (t) h(t)
F [h(t)] Y(j) H(j)F(j) H(j)
抽样原理图：
f (t)
fs (t ) A/D
f (n)
量化编码
周期信号
p( t )
需解决的问题
:
fs (t) Fs j与F
由fs t能否恢复f
j 的关系
t
X
二．抽样信号的频谱（单位冲激序列抽样）
f(t)
f(t)
连续信号
1
F j
1
F jft
抽样信号
fs t
o
ot
t
p(t) f(tp)(f(t)t)
F n e jn1t
n
FT j F fT t
F
n
•
F
n
e jn1t
n
•
F
nF
e jn1t
•
F n 2π n1 n
•
2π F n n1 n
X
几点认识
•
FT j 2π F n n1
1 fTt的频谱由冲激序列组成;
(2)这些冲激函数位于谐波频率处: n1 谐波频率
mommoommoomPPPmmmmjjj
(1p(()(11((11tp)))))(t)EEEE
o
ooo TTTSSS o TffSSSfTS(((ttS))t) fS(ftS)(t)

033第三章傅里叶变换

T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1

周期信号的傅里叶级数表

17
分量e j0t 可表示为
1
0
cos 0t
1 2
(e
j0t
e
j0tபைடு நூலகம்
)
表示为
1
1
2
2
0 0 0
因此，当把周期信号 x(t)表示为傅里叶级数
x(t) ake jk0t时，就可以将 x(t) 表示为 k
a1a0 a1
a3a2
a2 a3
0 0
这样绘出的图
称为频谱图
18
频谱图其实就是将 a随k 频率的分布表示出来，
14
有 x(t) ake jk0t , k 0, 1, 2
k
显然 x(也t)是以
为2周期的。该级数就是傅里叶级
0
数，称为a傅k 立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。
例1：
x(t)
cos 0t
1 e j0t 2
6
3.1历史的回顾（A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献出了生命。历史的经验告诉我们, 要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(t) ak H (sk )eskt
k

第3章傅里叶级数

同频率
cos(t )
LTI
A cos(t )
LTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号
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复指数信号激励LTI系统的情况。
e
st
LTI
?
s ( t )
y(t ) h(t ) * e h( )e
st
d
e
st

x(t )
a0 1
k 3
a e
k
3
jk 2t
a1 a1 1 / 4
a3 a3 1 / 3
a2 a2 1 / 2
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解：
1 j 2t j 2t x(t ) 1 (e e ) 4 1 j 4t 1 j 6t j 4t j 6t (e e ) (e e ) 2 3
sincossincossincos322傅里叶级数系数的确定正交函数集t的周期函数正交函数集的概念一个以t为周期的周期函数在一段长度为t的区间上的积分与起始位置无关jkdtsincostdttdt正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等对于高次谐波而言无非是在一个周期之内上对于高次谐波而言无非是在一个周期之内上波瓣和下波瓣多了一些但是上波瓣的总面积和波瓣和下波瓣多了一些但是上波瓣的总面积和下波瓣的总面积还是相等的下波瓣的总面积还是相等的sincosjkdt构成了一个正交函数集
周期函数的一个基本性质。
x(t ) x(t T )

T a
a
x(t )dt x(t )dt
a
T
T a
T
x(t )dt

第4(5)章傅里叶级数和变换

t0

2 2
f (t ) cos( n1t )dt

2 T1

2
E cos( n1t )dt

4 T1

0
E cos( n1t )dt

2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立叶分析的应用开辟了广阔的前景周期信号——傅里叶级数非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1

t 0 T1

2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt

2 T1

周期信号的傅里叶级数表

傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余弦函数都对应一个系数，表示该函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01

第三章周期信号的傅里叶级数表示

1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt

周期信号傅里叶级数

07
分析公式（正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式（反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于C0是实的，所以b0=0，故由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式功率谱
信号的平均功率为包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。

傅立叶级数指数形式

F(0) 1 T
T
2 T
2
f (t)dt 0
得到傅立叶级数的指数形式：
f (t) F (n1)e jn1t n
j E (1)ne jn1t
n 2n
n0
其中，F (n1)
E
2n
(n 1,2,)
n
2
n
2
n为正奇数和负偶数 n为负奇数和正偶数
指数展开式的频谱图
| F(n1 ) |
E
E
E E 4
2
2 E 4
E
6
6
31 21 1 0 1 21 31 n1
(a) 幅度频谱
n
2
21
31
1 0
1
3 1
21
n1
2
(b) 相位频谱
周期信号的频谱只在于0，±ω1， ±2ω1 ，… ±nω1 ，…等离散的谐波点上出现。
因此离散性是周期信号的重要特征。指数形式频谱图同样具有谐波性、收敛性（幅度频谱）。
F
(n1
)
1 T
T
2 T
2
f (t)e jn1tdt
式中，n从－∞到∞的整数。
周期信号f(t)与它的谱系数F(nω1) 构成了一一对应关系。
即f(t)↔F(nω1)。
谱系数一般情况下是复函数，即有：
F (n1) | F (n1) | e jn
|F(nω1)|与nω1的关系图称为幅度频谱； θn与nω1的关系图称为相位频谱。
傅立叶变换
对于周期为T的周期函数，在满足狄利克雷条件下，都可以由这些指数函数的线性组合来表示，称为f(t)的傅立叶级数的指数形式，即
f (t) F0 F1e j1t F2e j21t Fne jn1t

傅里叶变换的证明

§3.1 引言
法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分(变换)分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.

t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积

T
n2 f (t ) sin(nw1t )dt 0
n为奇数 n为偶数
2 1 f (t ) [sin(w1t ) 1 3 sin(3w1t ) 5 sin(5w1t ) ]
2 1 1 [cos(w1t 2 ) 3 cos(3w1t 2 ) 5 cos(5w1t 2 ) ]
n1

c0 1 c1 a12 b12 5
0 0 1 arctan
b1 a1
c2 1
Cn
Fn
n
w
相位频谱
w1 2 w1 3w1
幅度频谱
w
二:周期性方波信号的频谱
1
奇函数
1
T1 2
只含正弦项奇次谐波项,奇次正弦项
T1
t
奇谐函数
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )]

傅里叶变换(周期和非周期信号)

T
(t)
n
F e jn1t n
n
1 e jn1t T
1
e jn1t
T n
1
2 T
傅里叶变换的几个重要性质
1. 线性性质
若 f1(t) F 1()f,2(t) F 2() 则 a 1f(t)a 2f(t) a 1F 1()a 2F 2()
式中，a1 、a2为任意常数。
例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。
以下图 2 为或例 f1
信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄；信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。
6
4
2
Fn
A
F0 T
图中 T14
1 2 1
2
4
6
n1
信号的周期、持续时间与频谱的关系
1. τ不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。但包络过零点坐标并不改变。
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
bn an2 bn2
sin0t
a0 cn(cosn cosn0t sinn sinn0t)
n1
c0 cn cos(n0t n)
n1
f(t)c 0 cncon s0t(n) n1
式中，
c0
a0
1 T
T
2 -T
2
f (t)dt
cn an2bn2,narctaban nn
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点； (2)频谱包络线过零点的横坐标是：
n1 2k (k1,2,3...)
每条谱线只出现在 n1 处
图中 T14

傅里叶变换课件

快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将低频信号转换为高频信号，以便在信道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器对图像进行滤波操作，以减少噪声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以突出图像的边缘信息，使图像更加清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以改变图像的对比度，使图像更加鲜明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。

(完整版)傅立叶级数的指数形式(图)

傅立叶级数的指数形式（图）上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。

但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。

一、傅立叶级数的三角形式对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即：（1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为（2）（3）（4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分量系数。

二、傅立叶级数的指数形式根据欧拉公式有（5）其中j为虚数单位，即（6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式：（7）其中傅立叶系数一般为复数（8）三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系根据欧拉公式由式（7）有（9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。

其中两种形式的傅立叶系数关系如下：（10）或（11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。

四、周期信号的频谱分析从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。

由式（9）得（12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为（13）基波分量的振幅为（14）基波初相位为各高次谐波分量的振幅为（16）各高次谐波分量的初相位为（17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为（18）五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。

在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即（19）傅立叶系数一般为复数，可写成（20）其模就是双边的振幅频谱其幅角φn就是双边频率各次谐波成分的初相位，其中n为整数。

再看看傅立叶级数的指数形式可写成（22）其数学含义就是说，一般周期信号可以分解为无穷多个离散频率分量的叠加，各分量的频率是基频的整数倍，振幅是傅立叶系数C n的复模，初相位是傅立叶系数C n的幅角。

傅里叶级数

得信号的傅立叶展开式为：得信号的傅立叶展开式为：
f (t ) = 1 4 1 1 sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + ⋯ + sin( nΩt ) + ⋯, n = 1,3,5,⋯ π 3 5 n
它只含一、奇次谐波分量。它只含一、三、五、…奇次谐波分量。
n
因为傅里叶系数将
an b 和
n
Fn =
1 1 1 An e jϕn = ( An cos ϕ n + jAn sin ϕ n ) = (an + jbn ) 2 2 2
系数公式带入上式得
1 Fn = T
∫
T 2
−T 2
1 f (t ) cos(nΩt )dt − j T
∫
T 2
−T 2
f (t ) sin(nΩt )dt
0, 2 = [1 − cos(nπ )] = 4 nπ nπ ,
n = 2,4,6,⋯ n = 1,3,5,⋯
将系数代入下面的式子：将系数代入下面的式子：
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数的波形有关而且与时间坐标原点的选择有关，时间坐标原点的选择有关的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关如下图是三角波的偶函数。。如下图是三角波的偶函数。 f (t )
T 1 − 2 T 2
0
f (t )
坐标原点左移
∑Aeϕe
n
n

傅里叶变换(周期和非周期信号)

例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周期矩形脉冲
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
A
F0 T
Back
非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f ( t ) F( ) : F( ) f ( t )e jtdt
F( ) f (t ):
F -1F( ) f ( t ) 1 F( )e jtd
1、三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即

§4.3 周期信号的傅里叶级数

5
例4-3-1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t )
1

T

T 2
0
1
T 2
T
3T 2
t
T 0 2 T 2 2 an 2T f (t ) cos(nt )dt T (1) cos(nt )dt 2 1 cos(nt )dt T 2 T 2 T 0 0 T 2 1 2 1 [ sin(nt )] T [sin(nt )] 2 T n T n 0 2
1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 2 2
1 T

T 2 T 2
1 f (t ) cos( nt ) d t j T

T 2 T 2
1 f (t ) sin( nt ) d t T
2
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为 T , 基波角频率为 2F T
n =1基波分量直流分量
在满足狄氏条件时，可展成

f ( t ) a0 an cos nt bn sin nt
n 1
1
n >1谐波分量
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
14
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 Fn T
0
T
f (t )e j nt d t
利用欧拉公式
1 T 1 f (t ) cos nt d t j T 0 T 1 a n jbn 2
0
T
f (t ) sin nt d t
Fn
1 T
1 T
0

傅立叶级数的指数形式(图)

第三章周期信号的傅立叶级数表示

信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示

周期信号的傅立叶变换

033第三章 傅里叶变换

周期信号的傅里叶级数表

第3章傅里叶级数

第4(5)章 傅里叶级数和变换

周期信号的傅里叶级数表

第三章周期信号的傅里叶级数表示

周期信号傅里叶级数

傅立叶级数指数形式

傅里叶变换的证明

傅里叶变换(周期和非周期信号)

傅里叶变换课件

(完整版)傅立叶级数的指数形式(图)

傅里叶级数

傅里叶变换(周期和非周期信号)

§4.3 周期信号的傅里叶级数

033第三章傅里叶变换

第4(5)章傅里叶级数和变换