北京林业大学2010-2011第一学期概率论与数理统计参考答案

北京林业大学 2010---2011学年第一学期考试试卷
（参考答案）
试卷名称： 数理统计B （A 卷） 课程所在院系： 理学院
一、填空（每空3分，共15分）
1． 9/16 。

2． 0.6 3． 0.905 (181/200) 。

4． 6 ; 5． 5.5 。

二、选择题（单项选择，每题3分，共15分）
1. D;
2.B; 3 C; 4 B; 5.C
三、（7分）随机变量X 的分布律如右表所示,
求（1）X 的数学期望和方差; （2）2
X 的分布律.
解：（1）10.300.210.50.2EX =-⨯+⨯+⨯
= 2222(1)0.300.210.50.8EX =-⨯+⨯+⨯=
22()0.76DX EX EX =-=
（2）
四、（6分）设随机变量X 的密度函数为2,01,()0,
.X x x f x <<⎧=⎨⎩其它，求随机变量X
Y e
=的密度函数()Y f y 。

解：
(1,)y e ∈时，()()()(l n )X Y X
F y P Y y P e y P X y F y =≤=≤=≤= ------ 3分
两边对y 求导，得 1
()(ln ).Y X f y f y y
=
----------------5分
所以，2ln , (1,)()0, Y y
y e y f y ⎧∈⎪
=⎨⎪⎩
其他------ 6分
五、（9分）已知随机变量X 的密度函数为()f x =1
,01
2
0,x x ⎧+<<⎪⎨⎪⎩
当其它。

(1)求X 的分布函数；(2)计算概率{0.20.5}P X ≤≤；(3)计算2
EX 。

解： （1） 0y ≤时，()0F y =，
01y ≤<时，20111
()()222
x
F y t dt x x =+=+⎰ ------2分
1y ≥时，()1F y =
20,0
11(),012
21,1
x F y x x x x <⎧⎪⎪
=+≤<⎨⎪≥⎪⎩----- 3分
(2) {0.20.5}(0.5)(0.2)0.255P X F F ≤≤=-=----- 6分
（3）1
2
2
1()5/122
EX x x dx =
+=⎰----- 9分 六、（12分）设G 为第一象限内由两坐标轴以及直线21y x =-+所围成的三角形区域。

二维连续型随机变量()X Y ，的密度函数为, (,)(,)0, A x y G f x y ∈⎧=⎨
⎩当其它
， 其中A 为
常数。

（1）求A 的值；（2）求,X Y 各自的边缘密度函数,并且判断X Y 和是否独立；（3）计算概率{}P Y X ≤。

解:(1)由密度函数的性质，得
()1f x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞=
⎰⎰，
G
A dxdy =
⎰⎰()(050.5)A G A =⨯=⨯⨯的面积.
,4A =所以， 3分 (2) ()()X f x f x y dy +∞
-∞
=
⎰，
12048,00.54,00.50,0,
x
x x dy x -⎧-<<<<⎧⎪
==⎨⎨
⎩⎪⎩⎰，其它其它 5分
()()Y f y f x y dx +∞
-∞
=
⎰，
12022,014,010,0,
y y y dx y -
⎧-<<⎧⎪<<==⎨⎨⎩⎪⎩⎰，其它其它 7分
因为 ()()()X Y f x y f x f y ≠，
X Y 所以，随机变量与不独立．
9分 {}(3)P Y X ≤=11/3
2
41/3y
y
dx
dx -==⎰⎰ 12分
七、（6分）某系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。

系统要正常工作，损坏的部件不能超过15个。

用中心极限定理计算该系统正常工作的概率。

()( 1.6670.952)Φ=
解：记损坏的部件数为 X 则 (100,0.1)X B
100,0.1,10,9n p EX np DX npq ====== 2分
由拉普拉斯中心极限定理知：
(10,9),(0,1)X N N 近似
近似
， 3分
整个系统能正常工作当且仅当15.X ≤
5{15} 0.9523P X P ⎛⎫
≤=≤≈Φ= ⎪⎝⎭ 6分
4分 5分
八、（10分）总体X
的密度函数为1,01
()00, x f x θ<<=>⎪⎩，其中其它
，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量。

解：由于1
1
())EX xf x dx x dx ∞
-∞
===
⎰
⎰， 2分
2
1EX EX θ⎡⎤
∴=⎢⎥-⎣⎦
， 3分 所以的矩法估计量为=θˆ 2
1X X ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
； 5分
样本似然函数为
∏==n i i x f L 1);()(θ
θ1
1
1
1
n
n
n
i i ====∏ 7分
ln L
=1
1
n
n
i =
∏1
ln 1)ln 2n
i i n
x θ==+∑. 8分
令1
ln ln 02n
i
i d L n x
d θθ==+
= 9分
求得θ的极大似然估计2
1ln n
i i n x θ=⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑ 10分 九、（10分）某批齿轮的重量服从正态分布2
(,)N μσ。

从中抽取其中9件，测量得它们的重量的平均值为90.5,方差为15。

在95%的置信度下，求：（1）这批齿轮的平均重量μ的置信区间；（2）这批齿轮的重量的方差2
σ的置信区间。

（0.0250.9752
2
0.025(8) 2.3,(8)12.53,(8) 2.18t χχ===） 解：
95.01=-α，05.0=α，11112=-=f
,
查表得 /2
0.025(8) 2.3t t α==，X =90.5
/2( 2.3t n α∆=-=，μ的置信度为95%的置信区间为
/2/2 [(([87.53,93.47]X t n X t n αα--+-= 5分 2分
（2）2σ置信度为95%的估计： 0.0250.97522
(8)12.53,(8) 2.18χχ==
22
2
(1)815
9.577(1)12.53
n s n αχ-⨯==-
22
12
(1)815
55.046(1) 2.18
n s n αχ-
-⨯==- 所以，方差
2
σ
的区间估计为[9.577,55.046]. 5分
十、（10分）A X 和B X 分别表示A 、B 两种小麦品种从播种到抽穗所需的天数，
2
~(,)A A A X N μσ，2
~(,)B B B X N μσ。

现在分别对这两品种的小麦进行抽样，调查
从播种到抽穗所需的天数，样本容量都是10,相关数据如下：
A 品种：101 100 99 99 98 100 98 99 99 99
B 品种：100 98 100 99 98 99 98 98 99 100
在α=0.05的显著水平下，（1）比较2
A σ 和2
B σ是否有显著差异, (2)比较A μ 和B μ是否有显著差异。

(0.0250.0250.975(18) 2.1,(9,9) 4.03,(9,9)0.2481t F F ===)
解：199.2x =，298.9x =， 210.8444s =，220.7667s = 2分
（1）检验22
210:σσ=H ， 2
2211:σσ≠H 3分 101=n ，210n =， 2122s F s =0.8444
1.10130.7667
=
=， 5分 0.9750.025(9,9)0.2481(9,9) 4.03F F F =<<=，，所以，接受0H ，即认为2
A σ 和2
B σ相等(无显著差异)。

6分
（2）检验问题：210:μμ=H 211:μμ≠H 7分 =1n 10，=2n 10，，， 2
12122
221
12
1112
)1()1(n n n n s
n s n x x T +-+-+--=
=0.7474， 9分
120.025(2)(18) 2.1t n n t α+-==，因为0.025||(18) 2.1T t >=，故拒绝0H ，即认为A μ
和B μ有显著差异。

10分。