不等式高考真题汇编(含答案)

【2010课标卷】设函数f(x)=241x -+

（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；

（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.

【答案】

【2011课标卷】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集

（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。

解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。 ( Ⅱ) 由()0f x ≤得： 30x a x -+≤

此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩

或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a

x x ≤- 由题设可得2a

-= 1-，故2a =

【2012课标卷】 已知函数()2f x x a x =++-

（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥

2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323

x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥

（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立

22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤

【2013课标Ⅰ卷】已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.

（Ⅰ）当a =2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；

（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12

)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【解析】当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，

设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩

， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0

∴原不等式解集是{|02}x x <<.

（Ⅱ）当x ∈[2a -

，12

)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2

a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为（-1，43].

【2013课标Ⅱ卷】设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：

（Ⅰ）13

ab bc ac ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥

【2014课标Ⅰ卷】若0,0a b >>，且

11ab a b +=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ) 由112ab a b ab

=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立， 故3333342a b a b +≥=，且当2a b ==

时等号成立，∴33a b +的最小值为42. （Ⅱ）由62326a b ab =+≥，得32

ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立.

【2014课标Ⅱ卷】设函数()f x =1(0)x x a a a

++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.

【2015课标Ⅰ卷】已知函数()12,0f x x x a a =+--> .

（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；

（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.

（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩

，

所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3

a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. 【2015课标Ⅱ卷】设,,,a

b

c

d 均为正数，且a b c d +=+，证明：

（Ⅰ）若ab cd >a b c d >

a b c d >+是a b c d -<-的充要条件．

【解析】（Ⅰ）因为2(2a b a b ab =++，2(2c d c d cd =++，由题设a b c d +=+，ab cd >，得22()a b c d >+a b c d > （Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因

为a b c d +=+，所以ab cd >a b c d >

． a b c d >22a b c d >. 即2a b ab ++>2c d cd ++a b c d +=+，所以ab cd >.

于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-.

a b c d >+是a b c d -<-的充要条件．