第三章--静力学平衡

第 3 章
静力学平衡问题
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程
§3-2 简单的刚体系统平衡问题 §3-3 考虑摩擦时的平衡问题
§3-4 结论与讨论
§3-1 平面力系平衡条件与平衡方程 一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程
y F1
O
F2
F4
y
F R
O
Fi FR
i 1
n
n
F3 (a)
F5 x
约束反力方位亦可确定，画受力图。
B B C
F′C
C
M2
M1
A 60
o
M2
60o D
A 60o
60o
D
FD
FD = FC = F M2 = 0.5 a F
Mi = 0
(2)
- 0.5a F + M2 = 0
联立(1)(2)两式得:M1/M2=2
§3-2 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
F R=0
F3 (a)
F5 x
(b)
x
M M M
(F ) 0 B (F ) 0 ( F ) 0 C
A
三力矩式 (A、B、C三点不共线)
例题 3-4
求图示梁的支座反力。
A
P m a B
解：以梁为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx P cos 0
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5 KN
FAB B
30° 30° FT1
x
FBC 74.5KN
FBC
FT2
反力FAB 为负值，说明该力实际指向与图上假 定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。
例题 3-7 折杆AB的支承方式如图所示，设有一力矩数
值为M的力偶作用在折杆AB上，求支承处的约束力大小。
M A FC 4a 2qa 2a M 0
y
M
A
0
2-4 物体系统平衡问题
q
A B
M
C
a
a
a
a
q
M
C
2. BC 梁为研究
F 0 F 0 M 0
x
FBx
FBx 0
B
FBy
FC
y
FBy qa Fc 0
a qa M Fc 2a 0 2
L
M3
M2
B
L
M3
B
FB
解：取工件为研究对象、画受力图。 解得 由 Mi=0 FA l M1 M2 M3 0
FA FB 200N m
例题 3-9 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,
它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。 问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?
i 1
Fix 2 Fiy 2
F
i 1
iy
0
o
M
i 1
n
( Fi ) 0
F
i 1
n i 1
n
ix
0
0
F
n i 1
iy
平面一般力系的平衡方程 （基本形式）
M
o
( Fi ) 0
为了书写方便，通常将平面一般力系的平衡方程简写为
Fx 0
Fy 0 M o (F ) 0
l
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
l
FP
l
Fx = 0, q Fy = 0,
2l
M
FAx ql 0 FAy FP 0
l
MA= 0，
FAx A MA FAy
3l M A M FPl ql 0 2
3 2 M A M FPl ql 2
例 1 例题
3-2
求图示刚架的约束反力。
A
a
b
P
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx qb 0
q
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 :
P
MA
1 2 M A Pa qb 0 2 解得：
FAx qb
FAx
A FAy
q
2-4 物体系统平衡问题
例题 3-11 如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此
用铰链A联结，再用铰链B和C固结在两岸桥墩上。每 一部分的重量P1=40 KN，其重心分别在点D和E点。 桥上载荷P=20KN。求A、B、C 三处的约束力。
1m 3m
P
4m
1m
D 4m
A
E
P1
B
10m
P1
C
1m 3m
P
4m
A
8m
B
Fy 0 : FA sin FB 0
由几何关系
5 2 5 sin , cos 5 5
P
A
y

B
FA
FB
x
解得
5 1 FA P , FB P 2 2
例题 3-6
利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN
的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点 B (图(a) )。不计滑轮的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。
由此解得
FAx ql FAy FP
二、平面一般力系平衡方程的其它形式
y F1
A
F2
F4
y
B
F R =0
M (a)
F3
F5 x (b) x
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
x A B
二力矩式 （AB不垂直于x轴）
y F1 M
F2
F4
y
C B A
1m
解： 1.取整体为研究对象
D
A
E
4m
B
P1
10m
P1
C 4m
F 0 ，F F 0 F 0，F 2P P F 0
x Bx Cx
y By 1 Cy
1m 3m P
1m
M
B
0 ，
FCy 48KN FBy 52KN
D
4m
A
E
P1 1 4 P 9 P1 10FCy 0
例题 3-10
图a所示铰接横梁。已知荷载q，力偶矩M
和尺寸a，试求杆的固定端A及可动铰B、C 端约束力。
q
A
M
C
a
a
B
a
a
2-4 物体系统平衡问题
研究方法 一: 整体到局部
1.取整体为研究对象
MA
FAy
A
q
B
M
C
FAx
a
a
a
a
FC
F 0 F 0
x
FAx 0
FAy FC 2qa 0
P FAx
A
m
B C FB
FAy
三、平面汇交力系与平面力偶系的平衡方程
1.平面汇交力系的平衡方程
y y
F5 F3
F4
O
F2 F1
x
FRy
O
FR
x
FRx
FR Fi 0
2 2 Ry
因为
FR FRx F
Fx 0

Fx Fy
2
2
0
Fy 0
平面汇交力系的平衡方程
B
C
M1
A 60o 60o
M2
D
解: 取杆AB为研究对象画受力图。 杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B
C
FA = FC = F,
C
AC = a
FC
M1
A 60o 60o
M2
D
M1
A
Mi = 0
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F
(1)
取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定 , 则D点
M B ( F ) 0 : FAy a m P sin b 0
C
b
M A (F ) 0: FB a P sin (a b) m 0
解得： FAx P cos
m Pb sin FAy a m P sin (a b) FB a
独立平衡方程只有三个
上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要与充分条件是： 力系中所有的力在直角坐标系 Oxy的各坐标轴上的投影的代 数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。
求解力系平衡问题的方法和步骤。 （1）选取研究对象； （2）分析研究对象受力，画受力图； （3）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的 坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可 能每个方程中只有一个未知量。 （4）求解未知量，分析和讨论计算结果。
2L 2L
L
M
B
L
M
B
FB
A
A
FA
解： 由
Mi=0
FA l M 0
M FA FB l
例题 3-8 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：
M1= M2= 10N· m， M3 =20N· m，固定螺栓A和B的距
离l=200mm。求两光滑螺栓所受的水平力。
FA
A
M1 M2
A
M1
F B
4a
约束反力数 m 独立平衡方程数 n 静不定的次数为： k=m-n
m = n m >n
静定问题 静不定问题
二、刚体系统的平衡问题的特点与解法
1. 刚体系统：由几个刚体通过一定的约束方式联 系在一起的系统。
q
A
M
C
a
a
B
a
a
返回
2.求解刚体系统平衡问题的一般方法和步骤 方法一：整体
弄清 题意， 标出 已知 量 选整体 为研究 对象画 受力图 ，列平 衡方程 局部 选局部为 研究对象 画受力图 ，列平衡 方程求解 。 检 查 结 果， 验 算
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量
的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
q Me A C F B
2a
a 8a
2、静不定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未 知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学 方法就不能解出所有的未知量。
q
Me
A 2a 4a C a D
注意：
力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。
方法二：局部
选局部 为研究 对象画 受力图 ，列平 衡方程
局部 检 查 结 果， 验 算
弄清 题意， 标出 已知 量
再选局部 为研究对 象画受力 图，列平 衡方程求 解。
注意：
力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。
FAy P
2 M A Pa 1 qb 2
例题 3-3 平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平
面内。A处为固定端约束。若图中q、FP、M、l 等均为 已知，试求: A处的约束力。
l
FP FP
lwk.baidu.com
l
l
2l
A
FAx A
2l
M
q
M
q
l
MA FAy
解：1.选择研究对象。
2 受力分析,画出受力图如图所示。
例题 3-1 图示简支梁AB，梁的自重及各处摩擦均
不计。试求A和B处的支座约束力。
q y Me C 2a 4a a D
q
Me C D a 4a
A
B
A FAx FAy 2a
B x FNB
(a)
(b)
解：
(1)选AB 梁为研究对象。 (2)画受力图如右图所示。
(4) 列平衡方程
Fx 0 FAx 0
2.平面力偶系的平衡方程
h1
F3 F1
h2
F
h
F2
平面力偶系可以合成为一个合力偶,合力偶之
矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和。
M=Mi
M=Mi=0 平面力偶系的平衡方程
例题 3-5
图示平面刚架的支反力。
P
4m
解：以刚架为研究对象，受 力如图，建立如图坐标。
Fx 0 : FA cos P 0
a qa M Fc 2a 0 2
A
q
M
C
1、再以AB梁为研究对象
MA
A
a
a
B
a
a
FAy
A
q
B
FAx
a
a
Fx 0
F 0 M 0
y
0 FAx FBx
0 FAy qa FBy
M A qa
F′ By
F′ Bx
B
3a ’ 2a 0 FBy 2 3qa M qa M FBy FC 4 2a 4 2a 7qa M FAy M A 3qa2 M 4 2a
C
B
P1
MO
(b)
x
M o M o ( Fi )
i 1
平面一般力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一 点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。 n Fix 0 n
Fi 0 FR
n
因为
FRx 2 FRy 2 FR
i 1
n
i 1
M o M o ( Fi ) 0
y
A
30°
30°
B
FAB
30°
B
30° F
T1
x
C
P FBC
FT2
解：1.
取滑轮B 连同销钉作为研究对象。 画出受力图
2.
3. 列出平衡方程：
Fx 0 : FBC cos300 FAB FT 2 sin 300 0
Fy 0 : FBC sin 300 FT 1 FT 2 cos 300 0
y
q
Fy 0 FAy q 2a FNB 0
M o (F ) 0
解得
FAx 0,
Me
C D a 4a
A
B x FNB
FAx
FAy
2a
q 2a a M e FNB 4a 0
(b)
Me 1 FN B qa , 2 4a Me 3 FAy qa . 2 4a
B
qa M FC 4 2a
FAy 7qa M 4 2a
3qa M FBy 4 2a
M A 3qa2 M
研究方法二: 局部到局部
q
A B
M
C
a
a
a
a
1、 BC 梁为研究
FBx
B
q
M
C
FBy
FC
F 0 F 0 M 0
x
y
FBx 0
FBy qa Fc 0