高中数学专题学习：函数的单调性与奇偶性

第3讲 函数的单调性与奇偶性一、知识梳理1．奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数．函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内．即定义域是关于原点的对称点集．（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称．（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． （6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-． 2．单调性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为A ，区间A M ⊆． 如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2，改变量12x x x -=∆＞0，则 当)()(12x f x f y -=∆＞0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数； 当)()(12x f x f y -=∆＜0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）．（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u = 的象集．①若)(x g u =在 A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数．（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反． ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．3．最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值．设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值．（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）．二、方法归纳1．利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2）确定)(x f -与)(x f 的关系； （3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝ 0，则)(x f 是偶函数； 若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝ 0，则)(x f 是奇函数．2．利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ； （2）作差)()(21x f x f y -=∆； （3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）． 3．求函数最大（小）值的 一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值．求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等．（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值． （3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性．（1）x x x x f -+-=11)1()(； （2）22)1lg()(2---=x x x f ．【错解分析】（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(2 1)1)(1(2-=+-=x x x ．显然有)(x f -＝)(x f∴)(x f 为偶函数．（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ， 于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f ． ∴)(x f 为非奇非偶函数． 解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1． 定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数． （2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x ．∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22 ∴)(x f 为奇函数．【技巧提示】正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域． 又例:判断下列函数的奇偶性．（1）551)(2-+-=x x x f ； （2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ； （3）33)(22-+-=x x x f ．解析：（1）∵ 21x -≥0，即－1≤x ≤1．此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数．（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()()(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()()(x f ＝－)(x f -； ∴ )(x f 为奇函数． （3）∵33)(22-+-=x x x f的定义域为{|x x =．此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =． ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数．【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性． 解析：函数定义域为R ，且11161222116)(++=++=----xxx x x x f ＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅． ∴)(x f 为偶函数．【技巧提示】判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）．如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-xx xx x f ，显然)(x f 为偶函数．从这可以 看出，化简后再解决要容易得多．又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数． 解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++ ＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数．再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22 （a ≠0）的奇偶性．解析： ∵ 2x ≤2a ，∴ 要分a ＞0与a ＜0两类讨论． （i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为 ],0()0,[a a -，∵a x +≥0， ∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a -，∵a x +≤0， ∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间．【错解分析】设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ，∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间． 又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数，∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间．解析：设23)(2+-=x x x t ， 由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间． 又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间．【技巧提示】函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域．运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义．又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性．解析：在定义域内任取1x ＜2x ， ∴)()(21x f x f -＝1212x a x ax b x b++-++ ))(())(())((212121b x b x a x b x b x a x ++++-++=))(())((2121b x b x x x a b ++--=， ∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调． 当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0．∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间．【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数． （1） 求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数． 解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx x e a ae ae a e+=+． ∴11()()xx a e ae--0= 对一切x R ∈成立，则10a a-=，即1a =±． ∵0a >，∴1a =．（2）设120x x <<，则12121211()()x xx x f x f x e e e e -=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e ee e+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数．【技巧提示】两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难．两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标．又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围．解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数．∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2．再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________．解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线， 由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小． ∴22122122--+<--x x x 即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x ∴－2＜x ＜0． 答案：－2＜x ＜0．【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论．解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1， ∴0＜)(1x f )(2x f ＜1， ∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；②若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1, ∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F ．综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数．【技巧提示】该题属于判断抽象函数的单调性问题．抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点．又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1．求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a ．解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数．（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0．于是有 )()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=．所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+． 因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a ．【例6】设函数)(x f ＝xx 1-．对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立， 则实数m 的取值范围是 ．解析：方法一 显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0．当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数， 因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=， 于是，0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1． 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞． 方法二 显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立， 因此m ＜0．若xm mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()( ＝mx m mx 212+-＝mxm x m 22212--＜0恒成立，因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立， 设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数， 于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g ．解 ⎩⎨⎧<>-012m m ，得m ＜－1．于是实数m 的取值范围是)1,(--∞．方法三 显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0． 因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立， 所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ， 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1． 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞． 【技巧提示】函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数．在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零． 又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠， （1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。