线性规划经典例题

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线性规划典型例题

例1：生产计划问题某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。

若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。

现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。

试建立模型。

解：法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4则要满足每个季度的需求x4≥26x1+ x2≥40x1+ x2+ x3≥70x1+ x2+ x3+ x4=80考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤300≤x2≤400≤x3≤200≤x4≤10每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用第一季度15.0x1第二季度14 x2 0.2(x1-20)第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40)第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)工厂一年的费用即为这四个季度费用之和,得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26s.t．x1+ x2≥40x1+ x2+ x3≥70x1+ x2+ x3+ x4=8020≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。

法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨根据合同要求有：xll=20x12+x22=20x13+x23+x33=30x14+x24+x34+x44=10又根据每季度的生产能力有：xll+x12+x13+x14≤30x22+x23+x24≤40x33+x34≤20x44≤10第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。

minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44s．t． xll=20，x12+x22=20，x13+x23+x13=30，x14+x24+x34+x44=10，x1l+x12+x13+x14≤30，x22+x23+x24≤40，x33+x34≤20，x44≤10，xij≥0， i=1，…，4;j=1，…，4，j≥i。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。

工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。

每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。

玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。

每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。

每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。

现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。

2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。

1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。

2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。

四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。

2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。

线性规划经典例题及详细解析

一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为。

二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值就是。

3. 已知变量x,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则 y x 的取值范围就是( )、 A 、 [95,6] B 、(－∞,95]∪[6,＋∞) C 、(－∞,3]∪[6,＋∞) D 、 [3,6]三、研究线性规划中的整点最优解问题4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 与y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值就是。

四、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题5. 已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为。

6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( )A. －3 B 、 3 C 、－1 D 、 1五、求可行域的面积7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 ( )A. 4 B 、 1 C 、 5 D 、无穷大图1解析:1.如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z最大值为18。

图22. 如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。

六种经典线性规划例题

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是（）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩ppp p作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C 、13，45D 、13，25 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六·比值问题当目标函数形如y a z x b -=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。

工厂有两个生产车间：车间1和车间2。

生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。

每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。

我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。

二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。

假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述假设某公司生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源，并且每种产品的利润也不同。

公司希翼通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。

二、数据采集根据公司的生产情况和资源消耗情况，我们采集到以下数据：1. 产品A的每单位资源消耗量：2单位人力，3单位材料。

2. 产品B的每单位资源消耗量：4单位人力，2单位材料。

3. 公司目前拥有的资源数量：10单位人力，12单位材料。

4. 产品A的利润：5单位。

5. 产品B的利润：8单位。

三、目标函数我们的目标是最大化利润，因此我们可以定义目标函数为：Maximize Z = 5A + 8B其中A表示生产的产品A的数量，B表示生产的产品B的数量。

四、约束条件根据资源消耗情况和拥有的资源数量，我们可以列出以下约束条件：1. 人力资源消耗约束：2A + 4B <= 102. 材料资源消耗约束：3A + 2B <= 123. 非负约束：A >= 0，B >= 0五、求解过程我们可以使用线性规划的方法来求解该问题。

首先，我们将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 5A + 8B约束条件：2A + 4B <= 103A + 2B <= 12A >= 0，B >= 0然后，我们可以使用单纯形法或者其他线性规划求解方法来求解该问题。

求解过程中，我们需要进行迭代计算，不断更新变量A和B的取值，直到找到最优解。

六、结果分析经过计算，我们得到最优解为：A = 2，B = 3此时，最大利润为：Z = 5(2) + 8(3) = 34单位根据最优解，公司应该生产2个产品A和3个产品B，以获得最大利润34单位。

七、灵敏度分析在实际情况中，资源消耗量和利润可能会发生变化。

为了评估最优解的稳定性，我们可以进行灵敏度分析。

1. 资源消耗量变化：如果人力资源消耗量增加1单位，即2A + 4B <= 11，则最优解会发生变化。

八种经典线性规划例题(超实用)

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是（）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划经典例题

线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。

产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。

每天的生产量不能超过100件。

工厂希翼最大化每天的利润。

【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。

【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。

由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。

【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。

这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。

【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。

为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。

线性规划例题集锦

Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3.
A
B
O1
5
x=1
2x+y=0
3x+5y-25=0
x
(2)若z=2x-y,求z的最值.
解：画出可行域如图：
画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点 C使Z最小。
x 4y 3 0
由
可得A为（5,2）
3x 5y 25 0
4
A
2
6
4
2
O
2
4x
R
2
B
x3
此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.
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x y 6 0
例3 已知 x, y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
求：(1). z x2 y2最大值和最小值;
2
(2). z x2 2x y2最大值和最小值;
6
4
2
O
2
解: (1) z x2 y2 表示可行域内任一点
x
因为kQA 2 , kQB 0,
z 所以的范围为 ( , 2][0, ).
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(2).z y 2 表示可行域内任一点与定点
x 1
R（-1,-2）连线的斜率,
因为
kRA
5 2
,
kRB
1 2
,
z 所以的范围为( , 5][ 1 , ). 22
点评：
x y6 0
C
y
6
x y 0
（x,y)到原点的距离的由平图方可，得点A使Z
最大，点B 使Z最小。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源，且每种产品的利润也不同。

公司希望通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。

二、数据分析1. 资源消耗情况：- 产品A每单位需要消耗3个资源1和2个资源2；- 产品B每单位需要消耗2个资源1和4个资源2。

2. 利润情况：- 产品A每单位利润为10；- 产品B每单位利润为15。

3. 资源限制：- 资源1的总量为30个；- 资源2的总量为40个。

三、数学建模1. 定义变量：- 设生产的产品A数量为x，产品B数量为y。

2. 建立目标函数：- 目标函数为最大化利润，即Maximize Z = 10x + 15y。

3. 建立约束条件：- 资源1的消耗约束：3x + 2y ≤ 30；- 资源2的消耗约束：2x + 4y ≤ 40；- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。

四、求解将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用合适的求解方法，例如单纯形法、内点法等，求解得到最优解。

五、结果分析根据求解结果，得到最优解为x = 6，y = 6，此时利润最大为Z = 150。

意味着公司应该生产6个产品A和6个产品B，才能达到最大利润。

六、敏感性分析为了进一步了解模型的稳定性和可行性，可以进行敏感性分析。

通过改变资源数量、利润等参数，观察最优解的变化情况，以评估模型的可行性和鲁棒性。

七、结论根据线性规划模型的求解结果和敏感性分析，可以得出以下结论：- 公司应该生产6个产品A和6个产品B，以达到最大利润。

- 如果资源数量发生变化，最优解可能会有所调整。

- 如果产品利润发生变化，最优解也会相应变化。

综上所述，通过线性规划模型，我们可以帮助公司制定最优的生产计划，以达到最大利润。

同时，敏感性分析可以提供决策者对模型的可行性和鲁棒性的评估，为决策提供参考依据。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要2个工时和3个材料单位，每单位产品B需要3个工时和2个材料单位。

已知该工厂每天有40个工时和50个材料单位可用。

产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位80元。

问该工厂应该生产多少单位的产品A和产品B才能使利润最大化？二、数学建模1. 假设生产产品A的单位数量为x，生产产品B的单位数量为y。

2. 根据题目要求，可以得到以下约束条件：- 工时约束：2x + 3y ≤ 40- 材料约束：3x + 2y ≤ 50- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 03. 目标函数：利润最大化，即最大化目标函数 Z = 100x + 80y。

三、标准格式的线性规划模型最大化目标函数：Z = 100x + 80y约束条件：2x + 3y ≤ 403x + 2y ≤ 50x ≥ 0，y ≥ 0四、求解方法可以使用线性规划的求解方法，如单纯形法或者求解器进行求解。

以下是使用求解器求解的步骤：1. 打开线性规划求解器，输入目标函数和约束条件。

2. 设置目标为最大化。

3. 添加约束条件：2x + 3y ≤ 40，3x + 2y ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0。

4. 点击求解按钮，得到最优解及最优值。

5. 解释结果并作出决策。

五、求解结果与决策分析经过求解器计算，得到最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 1800。

根据最优解，该工厂应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，才能使利润最大化，最大利润为1800元。

六、敏感性分析对于该线性规划问题，我们可以进行敏感性分析来了解目标函数系数的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数变化：- 如果产品A的利润系数从100变为110，产品B的利润系数从80变为90，重新求解得到新的最优解为x = 10，y = 10，最优值为Z = 2000。

可以看出，利润系数的变化对最优解有一定的影响，但最优解仍然是生产10个单位的产品A和10个单位的产品B。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。

现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。

已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。

同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。

公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。

二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 目标函数：最大化利润。

利润可以表示为10x + 15y。

3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。

通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。

四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。

同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。

五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。

b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。

2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要1小时的加工时间，产品B每件需要2小时的加工时间。

公司每天的总加工时间不能超过8小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。

公司希望最大化每天的利润。

二、数学建模：设公司每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

则目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：1. 生产时间约束：x + 2y ≤ 82. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、线性规划模型：Maximize Z = 100x + 200ySubject to:x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0四、求解方法：可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用单纯形法或内点法等。

以下是使用单纯形法求解的步骤：1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 02. 引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束：x + 2y + s1 = 8x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 03. 构建初始单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | 0 | 0-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 84. 进行单纯形法迭代计算：a. 选择进入变量：选择目标函数系数最大的非基变量，即选择y进入基变量。

b. 选择离开变量：计算各个约束条件的最小比值，选择比值最小的非基变量对应的约束条件的基变量离开基变量。

在本例中，计算得到最小比值为4，对应的约束条件为x ≥ 0，所以x对应的基变量离开基变量。

c. 更新单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | -2 | -400-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 8d. 继续迭代计算，直到目标函数系数均为负数或零，达到最优解。

线性规划经典例题

线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

本文将介绍几个经典的线性规划例题，以匡助读者更好地理解和应用线性规划的原理和方法。

一、问题一：生产计划问题1.1 生产目标：某公司希翼最大化其利润。

1.2 生产约束：公司有两种产品A和B，每周生产时间有限，每一个产品的生产时间和利润有限制。

1.3 数学建模：设产品A和B的生产时间分别为x和y，利润分别为p和q，则目标函数为Maximize p*x + q*y，约束条件为x + y ≤ 40，3x + 2y ≤ 120，x ≥ 0，y ≥ 0。

二、问题二：资源分配问题2.1 目标：某公司希翼最大化其销售额。

2.2 约束：公司有三个部门，每一个部门需要的资源不同，且资源有限。

2.3 建模：设三个部门分别为A、B和C，资源分别为x、y和z，销售额为p、q和r，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，2x + y + 3z ≤ 240，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

三、问题三：投资组合问题3.1 目标：某投资者希翼最大化其投资组合的收益。

3.2 约束：投资者有多个可选的投资项目，每一个项目的收益和风险不同，且投资金额有限。

3.3 建模：设投资项目分别为A、B和C，收益分别为p、q和r，风险分别为a、b和c，投资金额为x、y和z，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，a*x + b*y + c*z ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

四、问题四：运输问题4.1 目标：某物流公司希翼最小化运输成本。

4.2 约束：公司有多个供应地和多个销售地，每一个供应地和销售地之间的运输成本和需求量不同，且供应量和销售量有限。

4.3 建模：设供应地和销售地分别为A、B和C，运输成本为p、q和r，需求量为x、y和z，供应量为a、b和c，则目标函数为Minimize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ a + b + c，x ≤ a，y ≤ b，z ≤ c，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

简单的线性规划典型例题

简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题典型例题【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验． 3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)①二元一次不等式Ax+By+C>0（或②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产A、B两种产品，每天生产的产品数量不同，且每种产品的生产时间和利润也不同。

现在需要确定每种产品的生产数量，以使得总利润最大化。

已知每天可用的生产时间为8小时，A产品的生产时间为2小时/件，利润为200元/件；B产品的生产时间为3小时/件，利润为300元/件。

同时，还有以下限制条件：1. A、B产品的总生产数量不能超过100件；2. A产品的生产数量不能超过60件；3. B产品的生产数量不能超过80件。

二、问题分析这是一个典型的线性规划问题，需要确定A、B产品的生产数量，使得总利润最大化。

根据题目中的限制条件，可以得到以下数学模型：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0三、数学模型目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0四、求解过程1. 根据数学模型，列出线性规划的标准形式：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：A +B ≤ 100A ≤ 60B ≤ 80A, B ≥ 02. 根据标准形式，画出目标函数和约束条件的图形：在二维坐标系中，以A为横轴，B为纵轴，画出以下直线：A +B = 100A = 60B = 80并标明非负约束条件。

3. 确定可行解区域：根据约束条件，可得到可行解区域为一个三角形，顶点分别为(60, 40)、(60, 80)和(0, 80)。

4. 确定目标函数的最优解：由于目标函数是线性的，最优解一定在可行解区域的某个顶点上。

计算每个顶点的目标函数值：(60, 40)：Z = 200 * 60 + 300 * 40 = 28,000(60, 80)：Z = 200 * 60 + 300 * 80 = 36,000(0, 80)：Z = 200 * 0 + 300 * 80 = 24,000可知，目标函数的最优解为Z = 36,000，对应的生产数量为A = 60，B = 80。

八种经典线性规划例题(超实用)

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为100元，每个单位产品B的利润为150元。

公司有两个车间可用于生产这两种产品，每个车间每天的工作时间为8小时。

产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。

每天车间1的生产能力为400个单位产品A或200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或150个单位产品B。

公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。

二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。

目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。

1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。

线性规划例题集锦

5
y C
x-4y+3=0
由
x 4y 3 0
3x 5 y 25 0
可得A为（5,2）
A B
O
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x 1 由可得C为（1,4.4） 3x 5 y 25 0
x
zmax 2 5 2 8
zmin 2 1 4.4 2.4
由直角三角形直角边与斜边关系,容易
6
4
2
P M
O
2
4
x
2
z 的最小值是 | MP | 1 , z 的最大值为判断出 2
| MC | 96.
B
x3
点评：
此类问题转化为可行域内的点到定点的距离.
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• [变式训练1] 某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg，维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg，那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素Z?
解：画出可行域如图：
(4)若 z
y
5
y , 求z 的最斜率，由图可得点C使 Z最大，点A使Z最小。
由
y , x 表示可行域内的点
C
x-4y+3=0
x 4y 3 0 求出A 为（5,2)。 3x 5 y 25 0

线性规划例题

线性规划例题例题1、某公司生产的彩电每台利润是1000元，需要投资1000元，成本1200元，那么此时生产该电视的利润是多少？解：①直接从题目中选取代数式。

1000x1200=10000x1200，得： x=2，因此，公司的利润是10000×2=20000元。

②求出最大利润，利润等于或小于20000元的电视机，最大利润是10000×2。

根据条件求出应选取的单位“ 1”：20000÷(2+1)= 1000，所以，选取1作为单位“ 1”，有：1200÷1000=12，再查解得： x=3，因此，答案应选为(3)×3=6台。

2、某市国税局所属工商银行和建设银行都准备发行各种储蓄债券，总金额均为20000元，现将储蓄债券分别以三个价格销售：①工商银行以900元的面值卖给储户，以800元的面值卖给储户；②建设银行以850元的面值卖给储户，以900元的面值卖给储户；③建设银行以950元的面值卖给储户，以850元的面值卖给储户。

请问：两家银行的实际收入相比，工商银行获得的利润大还是建设银行获得的利润大？4、在某种情况下，王师傅生产某种零件的总成本比计划成本节约100元，完成了10件。

照这样计算，他所用的天数，比原计划缩短了20天。

(如果天数不变，缩短的天数是原来的20%)。

(1)当天数不变，成本减少100元时，工人小王生产的件数可能是多少件？(2)当天数不变，成本增加100元时，工人小王生产的件数可能是多少件？(3)两种情况中，小王各生产多少件零件？(4)当天数不变，成本增加200元时，工人小王生产的件数可能是多少件？(5)当天数不变，成本增加400元时，工人小王生产的件数可能是多少件？当天数不变，成本增加100元时，工人小王可能生产10×100÷(100+100)=12件。

当天数不变，成本增加100元时，工人小王可能生产10×100÷(100+100)=12件。

线性规划经典例题

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线性规划经典例题及详细解析

六种经典线性规划例题

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