泛函分析论文

浅谈泛函分析

数学科学学院 张健 20111101710

2011级数学与应用数学汉班

摘 要 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。它在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

关键词 泛函分析、空间、度量、算子

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科,是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论、几何学、现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数、算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

.1度量空间和赋范线性空间

1.1度量空间

现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家.G 康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家..R M -弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。

度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。

定义：设X 为一个集合，一个映射d ：R X X →⨯。若对于任何z y x ,,属于X ，有

()1（正定性）(),0,≥y x d 且(),0,=y x d 当且仅当y x =

()2（对称性）()()x y d y x d ,,=

()3（三角不等式）()()()z y d y x d z x d ,,,+≤

则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对()X d ,为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。

2.1赋范线性空间

泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。

1.2.1希尔伯特空间

希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，

若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。

2.2.1巴拿赫空间

巴拿赫空间理论(Banach )space 是1920年由波兰数学家巴拿赫()Banach S .一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

巴拿赫空间是一种赋有“长度”的线性空间,泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从魏尔斯特拉斯研究以来,人们早已十分关心闭区间[]b a ,上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至到19世纪末, .G 阿斯科利就得到闭区间[]b a ,上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数的结论中。

.2线性算子

出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。

.12线性算子与线性泛函

设Y X ,是两个（实数或复数域上的）线性空间，T 是X 到Y 的映射。T 的定义域和值域分别记为()T D ,()T R 。如果对任何数βα,和1x 、()T D x ∈2满足()T D x x ∈+21βα，并且

()()()2121x T x T x x T βαβα+=+

则称T 是以()T D 为定义域的X 到Y 的线性算子。特别当()X T D =，Y 是实数域或复数域时，就称T 是X 上的线性泛函。

例1

设[]1,0C X =[]上连续可微函数全体）（

1,0,[]1,0B Y =[]上有界函数全体）（1,0， 定义

()()t x dt

d t Tx =）

（，

则称T 是X 到Y 的线性算子。

例2

设[]

b a C X ,=[]上的连续函数全体）（b a ,,()s t K ,是[][]b a b a ,,⨯上的二元连续函数，

定义

()()()ds s x s t K t Tx b

a ⎰=,）（， 则称T 是X 到Y 的线性算子。

例3

设[]b a C X ,=,则()dt t x x T b

a ⎰=1,()02t x x T =(0t 是[]

b a ,中取定的一个点)都是X 上的线性泛函。

.22线性算子的运算

设1T 、2T 是X 到Y 的线性算子,它们的定义域分别是）1(T D 、）2(T D 。对任一数α,规定1T α表示以）1(T D 为定义域，对任何）1(T D x ∈,()x T x T 11)(αα=的算子；

规定21T T +表示以()21(T D T D ）

为定义域，对任何()21(T D T D x ）∈,x T x T x T T 2121)(+=+的算子。易知1T α（称1T 的α倍）, 21T T + (称1T 与2T 的和)仍是线性算子。又设3T 是以）3(T D 为定义域的Y 到Z 的线性算子，规定13T T ⋅（也记作13T T ）表示以()(){}131,T D X T D x T x D ∈∈=为定义域而对任何()()x T T x T T D x 1313,=⋅∈的算子。易知13T T ⋅（称3T 与1T 的积）也是线性算子。 .3泛函分析与数学分析的区别

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间

数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。