直线与方程专题复习

直线与方程专题复习

一、基础知识回顾

1.倾斜角与斜率 知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.

注意： 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.

知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠︒的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意： 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存有的

知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21

21

y y k x x -=

-. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k ．

知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.

即12l l ⊥⇔12

1

k k =-⇔121k k =-

注意：

1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存有且不重合.

2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存有，或20k =且1l 的斜率不存有. 2.直 线 的 方 程

知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意：

⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.

注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.

知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程

为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，因为这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，

则直线l 的方程为

1=+b

y

a x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,

b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.

知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线

（2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C += 3、直线的交点坐标与距离

知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组111222

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.

知识点12：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP .

特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP 知识点13：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：

d =

.

知识点14：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为

d =

知识点15：巧妙假设直线方程：

（1）与10Ax By C ++=平行的直线能够假设成：20Ax By C ++=（C 1和C 2不相等） （2）与0Ax By C ++=垂直的直线能够假设成：Bx -Ay+m=0

（3）过1l ：A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线能够假设成A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（该方程不包括直线2:l )

知识点16：1l ：A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0垂直等价于：A 1A 2+B 1B 2=0(A 1和B 1不全为零；A 2和B 2不全为零；)

知识点17：中点坐标公式：

1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则212

1

,22

x x y y x y ++==. 例题解析

例1. 在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.

例2.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-

思考：

（1）点关于点的对称点如何求？ （2）线关于点的对称线如何求？ （3）线关于线的对称线如何求？

例3. 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

例4．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线

例5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值；

⑵若12l l ⊥，试求a 的值

例6 .已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值. ⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.

例7. 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.

例8点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为多少？

巩固练习：

1．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（ ）.

A B ． C ． D 2．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .

3．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .

4．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围。