报童的策略

n
+∞
∑ ∑ G(n) = [r(a − b) − (n − r)(b − c)] f (r) + n(a − b) f (r)
r=0
r =n+1
报童的决策问题是：在已知 a、b、c 和函数 f (r) 的条件下，求 n 的值，使 G(n) 最大。
对于离散型的，可以根据 G(n) − G(n −1) ≥ 0 且 G(n) − G(n + 1) ≥ 0 推导出最佳购进量 n ，
参考文献： 谢云荪等.数学实验[M].科学出版社.1999.8. 周义仓等.数学建模实验[M].西安交通大学出版社.1999.10.
3
报童的策略(随机存储问题)
报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。每份报纸的购进价为 b 元，零售价为 a 元，退回价为 c 元， a > b > c 。报童每售出一份报纸赚 a − b 元，每退回一 份报纸赔 b − c 元。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖时会少赚钱，如果购得太多卖不 完时要赔钱。试为报童筹划每天购进报纸的数量以使得收益最大。
问题 1（选择最优存储量）：一煤炭部门煤的进价为 65 元/吨，零售价为 70 元/吨，若当 年卖不出去，则第二年削价 20%处理掉，如供应短缺，有关部门每吨罚款 10 元。已知顾客 对煤炭年需求量 X 服从均匀分布，分布函数为
⎧0
F
(
x)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
x
− 20000
60000 1
x < 20000 20000 ≤ x < 80000 x ≥ 80000
n
+∞
∫ ∫ n(a − b) f (n) − (b − c) f (r)dr − n(a − b) f (n) + (a − b) f (r)dr = 0
0
n
n
∫ 即有
f (r)dr
0
+∞
f (r)dr
=
a b
− −
b c
∫n
n
∫ +∞
+∞
由 于 概 率 密 度 函 数 f (r) 满 足 f (r)dr = f (r)dr = 1 , 则
问题 2（选择最佳进货量）：设某种商品每周的需求量 X 是服从区间[10,30]上均匀分布
的随机变量，而经销的商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可 获利 500 元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从
外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利 300 元。为使商店所获利润期望值不少于 9280 元，
f (r)dr
0
= a−b ,所以有
∫ ∫ −∞
0
n
1− f (r)dr
b−c
∫0
∫n f
(r)dr
=
a
−
b
。当需求量的密度函数
f
(r)
为已知时，就可以由
0
a−c
n
f
∫0
(r)dr
=
a
−
b
或
∫ +∞
f (r)dr
b−c
∫ ∫ n
n
f
(r)dr
=
a
−
b
=
a−b
或
0
a − c (a − b) + (b − c)
试确定最少进货量。
分析 设进货量为 a(10 ≤ y ≤ 30) ，利润为Y ，则利润函数
Y
=
g( X )
=
⎧ 500a + 300( X − a) ⎩⎨500X −100(a − X )
a ≤ X ≤ 30 10 ≤ X < a
2
=
⎧200a + 300X ⎩⎨600X −100a
a ≤ X ≤ 30 10 ≤ X < a
=
⎪wenku.baidu.com ⎨
1 60000
20000 ≤ x ≤ 80000
⎪⎩ 0
其他
那么期望利润
+∞
∫ π ( y) = E[g(X）] = f (x)g(x)dx −∞
∫ ∫ = 1
y (14x − 9 y)dx + 1
80000
(15y − 10x)dx
60000 20000
60000 y
=
1 [(7x 2 60000
求一年煤炭的最优存储策略。
解：设存储量为 y ，则 20000 ≤ y ≤ 80000 ，存储量为 y 的利润为：
g
(
X
)
=
⎧5y − 10( X − y) ⎩⎨5X − 9( y − X )
y ≤ X ≤ 80000 20000 ≤ X < y
根据分布函数知需求量 X 服从均匀分布，密度函数是
f
(x)
令
− 7.5a2 + 350a + 5250 ≥ 9280
即 (3 y − 62)( y − 26) ≤ 0
解得： 62 ≤ y ≤ 26 。 3
在此范围内 y 取最小的整数 21。
另一种提法：当进货量是多少时，可使商店的期望利润最大？可使得问题更简便些！
如果按照期望利润最大，令 dE(Y ) = −15a + 350 = 0 ,所以有：a = 70 ，由于 a 应该取整
X 的概率密度函数为
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨
1 20
10 ≤ x ≤ 30
⎪⎩ 0
其他
根据随机变量函数的数学期望
∫ E(Y ) = E[g(X )] =
+∞
g(x) f (x)dx
−∞
∫ ∫ = a (600x −100a) dx + 30 (300x + 200a) dx
10
20
a
20
= −7.5a2 + 350a + 5250
策应是：报童购进报纸的份数 n 应该使卖不完与卖完的概率之比恰好等于卖出一份赚的钱 a − b 与退回一份赔的钱 b − c 之比。或者说报童购进报纸的份数 n 应该使卖出一份赚的钱 a − b 除以卖不完的概率恰好等于卖出一份赚的钱 a − b 和退回一份赔的钱 b − c 之和。显然， 当报童与报社签的合同使报童每份赚钱与赔钱的比值越大时，报童订购的份数就应该越多。 下面是两个随机存储的优化问题。
报童应该根据需求量确定购进量，而需求是随机的，所以这是一个风险型决策问题。假 定报童已经通过每天卖报的经验或其他渠道掌握了需求的分布规律，即在他的销售范围内每 天报纸的需求量为 r 份的概率为 f (r)(r = 0,1,2,3,") 。有了已知的 a、b、c 和函数 f (r) 后，就
可以建立购进量的优化模型了。 假设每天报纸的购进量为 n 份，因为需求量 r 是随机的，r 可以小于 n 、等于 n 或大于 n ，
da
3
数，所以应有 a = 23 。
评注： 1、理论依据： 根据利润是随机变量的函数，使得期望利润达到最大的储存量就是所要求的。 2、应用与推广 这个问题属于随机存储模型，由于需求量是随机变量，在知道其概率分布的前提下，构 造利润函数（它是随机变量的函数）也是随机变量，根据期望利润最大，确定最佳定货量或 最佳存储量。这类问题又成为报童的诀窍或者随机存储策略。
请读者自己推导出结果。通常需求量 r 和购进量 n 的取值都相当大，将 r 看作连续型随机变 量更容易分析和计算。这时
n
+∞
∫ ∫ G(n) = [r(a − b) − (n − r)(b − c)] f (r)dr + n(a − b) f (r)dr
0
n
为了求 G(n) 的最大值，令 dG(n) = 0 ，即 dn
a − b = (a − b) + (b − c)
n
f (r)dr
0
来确定报纸的最佳购进量。
1
n
∫ f (r)dr 表示需求量 r 不超过购进量 n 的概率（也就是购进 n 份报纸卖不完的概率）， 0
+∞
∫ f (r)dr 是需求量超过 n 的概率（也就是购进 n 份报纸卖完的概率）。因此报童的最佳决 n
这就导致报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入函数，而应该是他长期卖报的日期望收入（日平均收入）。
记报童每天购进 n 份报纸的期望收入为 G(n) ，如果该天的需求量 r ≤ n ，则他的收入等
于 r(a − b) − (n − r)(b − c) ，如果该天的需求量 r > n ，则他的收入为 n(a − b) 。因此
−
9
xy)
|
y 20000
+(15xy
−
5x 2 ) |8y0000
= 1 (−12 y2 + 1380000 − 3.48 ×1010 ) 60000
令 dπ ( y) = dE[g( X )] = 0 ，可得 y = 57500 ，即当存储量为 57500 吨时，期望利润最
dy
dy
大，最大值 π (57500) = 81250 （元）。