立方根(2)
2 立方根
∴53=125，93=729
∴体积为0.125米3的正方体鸟笼边长为5分米.0.729立方米正方体鸟笼的边长为9分米.
2. 15分钟课堂过关训练A级：1.(1)√(2)×(3)×(4)√
2.(1)0与±1 (2)－ 8 (3)±4 (4)2
14.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.
15.判断下列各式是否正确成立.
(1) =2
(2) =3·
(3) =4
(4) =5
判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论.
答案
1 5分钟课堂过关训练参考答案
.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=± ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=± ，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.
若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= ，读作x等于三次根号a.
（2） 与 有何关系？
意图：明晰 =a， =a。
(1) ；(2) ；(3)－ ；(4)( )3
例1求下列各数的立方根：
（1） ；（2） ； （3） ； （4） ；（5） .
解：（1）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（2）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（3）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（4）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
3.4立方根(2)课件(苏科版八年级上)
记法
正数a的平方根 记作± a 一个正数有两个平方根 ，它们互为相反数 0的平方根0 负数没有平方根
性质
应用：有一个球形容器，你能用一只有
刻度的量筒算出这个球形容器的容积及 半径吗？（壁厚忽略不计）
知识延伸：
１． ２．
3
+2,-2 的平方根是＿＿＿ . 64
64
2 的立方根是＿＿＿＿＿ .
３．平方根等于它本身的数的个数为ａ， 立方根等于它本身的数的个数为ｂ， 算术平方根等于它本身的数的个数为ｃ， 3 则ａ＋ｂ＋ｃ的立方根是＿＿． 6
做一做
（1）2的立方等于多少？是否有其他的数， 1 个, 它的立方也是8？所以8的立方根只有____ 3 它是____, 2 即＿＿＿＿＿ 82 （2）－3的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是－27？所以－27 的立方根只有 －即： 3 3 1,它是______, ____个 27 3 注意：开立方与立方互为逆运算．
例2： 求下列各式的值（计算）
(1) 27
10 (3) 2 27
3
3
(2) 27
3
8 (4) 125 27 ( ６ ) 64
3
3
5 3 4 (5) 8
5、观察并归纳：
3
-8 8 _______
3
3
3
8
3
3
-8 _____
2 2 ______
3
2.7
3
6、解方程，求x:
（1）x3=-0.125 （2）8x3=27
（3）x3+3=2 （4） ( x 8) 27 0
3
7、立方根与平方根的意义和区别：
立方根及乘方开方表
?cm1-3 立方根及乘方開方表一、重點整理你知道2的三次方等於8，但你知道什麼數的三次方等於2嗎？有沒有這樣的數？這個數怎 麼表示？它到底是多少？用心學過這個單元之後，這些疑惑就可以迎刃而解了。
(1) 正數的立方根體積是125立方公分的正方體，它的邊長是多少公分？ 這個問題就是找一個正數，使這個正數的立方（三次方） 等於125。
12555553=⨯⨯=，即12553=5的立方是125，我們就稱5是125的立方根。
例題：(1)1的立方是1，即113=，1是1的立方根。
(2)2的立方是8，即823=，2是8的立方根。
(3)3的立方是27，即2733=，3是27的立方根。
(2) 負數的立方根 125)5()5()5()5(3-=-⨯-⨯-=-，即125)5(3-=-5-的立方是125-，我們就稱5-是125-的立方根。
例題：1. (1)1)1()1()1()1(3-=-⨯-⨯-=-，所以1-是1-的立方根。
(2)8)2()2()2()2(3-=-⨯-⨯-=-，所以2-是8-的立方根。
(3)27)3()3()3()3(3-=-⨯-⨯-=-，所以3-是27-的立方根。
(4)64)4()4()4()4(3-=-⨯-⨯-=-，所以4-是64-的立方根。
例題：2. (1)問3是不是27的立方根？(2)問3-是不是27的立方根？解：(1)因為2733333=⨯⨯=，所以3是27的立方根。
(2)因為2727)3()3()3()3(3≠-=-⨯-⨯-=-，所以3-不是27的立方根。
答：(1)是；(2)不是(3) 立方根的表示法 1. 正數的立方根是正的，零的立方根是零，負數的立方根是負的。
2. 表示法： 以3a (讀作三次跟號a )表示a 的立方根說明：平方跟號就是2讀作“二次根號”。
例1： (1) 823=∴2是8的立方根，記作283=(2) 8)2(3-=-∴2-是8-的立方根，記作283-=-例2： (1)3273= (2) 3273-=-(3) 0=(4) 乘方開方表我們也可以用乘方開方表來查平方根與立方根。
11.1第2课时立方根教学设计2023-2024学年华东师大版数学八年级上册
-简单立方根的计算：对于一个整数，其立方根可以通过简单的开立方运算得到。
-复杂立方根的计算：对于非整数的立方根，可以通过分数或小数的开立方运算得到。
4.立方根的应用：
-体积的计算：立方根在几何学中常用于计算立体的体积，如立方体、球体等。
-物理量的计算：在物理学中，立方根用于计算某些物理量，如电阻、电容等。
板书设计ห้องสมุดไป่ตู้
①重点知识点：立方根的定义、性质、计算方法和应用。
②关键词：立方根、三次方根、正负数的立方根、立方根的性质、立方根的计算、立方根的应用。
③句子：立方根是数学中的一种重要概念，它有着独特的性质和广泛的应用。通过学习立方根，我们可以更好地理解数学的本质和应用。
艺术性和趣味性：
①设计：将板书设计成一幅立方体形状，突出立方根的主题。
2.立方根的性质：引导学生掌握立方根的性质，如正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零等。
3.立方根的计算：教授学生如何计算立方根，包括简单的开立方运算和复杂的立方根运算。
4.立方根的应用：通过实例让学生了解立方根在实际问题中的应用，如体积的计算等。
本节课的教学目标是让学生掌握立方根的概念、性质和计算方法，并能够应用立方根解决实际问题。
-《立方根的实际应用》：展示立方根在现实生活中的应用，如建筑、工程等领域。
2.拓展要求：
鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展。教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。
要求学生观看拓展视频资源，并完成相应的阅读材料。在阅读和观看过程中，鼓励学生做笔记、总结自己的心得体会，并与同学进行交流分享。
②颜色：使用鲜艳的颜色，如蓝色、绿色等，使板书更具吸引力。
七年级数学-立方根练习含解析 (2)
七年级数学-立方根练习含解析一．选择题（共12小题）1．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（）A．B．C．D．732．的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．D．±23．用计算器求35值时，需相继按“3”，“y x”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“y x”“3”，“＝”键，则输出结果是（）A．6 B．8 C．16 D．484．利用教材中的计算器依次按键下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.95．若a满足，则a的值为（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或1或﹣16．若＝a，则a的值不可能是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．37．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣0.58．立方根等于它本身的有（）A．0，1 B．﹣1，0，1 C．0 D．19．若a2＝16，＝﹣2，则a+b的值是（）A．12 B．12或4 C．12或±4 D．﹣12或410．若a3＝﹣216，则a的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．36 D．﹣3611．计算的结果为（）A．±B．﹣C．D．12．的立方根是（）A．2 B．4 C．±2 D．±8二．填空题（共8小题）13．﹣的立方根为．14．已知x的平方根是±8，则x的立方根是．15．用计算器计算：≈（精确到0.01）16．已知2a﹣1的平方根是±3，则7+4a的立方根是．17．已知2a﹣1的平方根是±3，3a﹣b﹣1的立方根是2，a+b的平方根．18．＝．19．﹣0.008的立方根是．20．算术平方根和立方根等于本身的数是．三．解答题（共4小题）21．求下列各式的值：（1）（2）（3）﹣（4）．22．已知2x﹣1的算术平方根是3，y+3的立方根是﹣1，求代数式2x+y的平方根．23．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+b的立方根．24．已知﹣8的平方等于a，b立方等于﹣27，c+2的算术平方根为3．（1）写出a，b，c的值；（2）求+5c的平方根．2020年春人教版七年级下册同步练习：6.2 立方根参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（）A．B．C．D．73【分析】由立方根的定义可得正方体的棱长为．【解答】解：正方体的体积为7，则正方体的棱长为，故选：B．2．的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．D．±2【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：＝2，2的平方根是±，故选：C．3．用计算器求35值时，需相继按“3”，“y x”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“y x”“3”，“＝”键，则输出结果是（）A．6 B．8 C．16 D．48【分析】计算器按键转为算式，计算即可．【解答】解：计算器按键转为算式＝23＝8，故选：B．4．利用教材中的计算器依次按键下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9【分析】利用计算器得到的近似值即可作出判断．【解答】解：∵≈2.646，∴与最接近的是2.6，故选：B．5．若a满足，则a的值为（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或1或﹣1【分析】只有0和1的算术平方根与立方根相等．【解答】解：∵，∴a为0或1．故选：C．6．若＝a，则a的值不可能是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【分析】根据立方根的概念进行解答，可以设这个数为x，根据立方根是它本身，求出这个数．【解答】解：因为＝a，所以a＝0，﹣1，1，即a的值不可能是3．故选：D．7．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣0.5【分析】根据立方根的定义即可求出答案．【解答】解：﹣8的立方根为﹣2，故选：B．8．立方根等于它本身的有（）A．0，1 B．﹣1，0，1 C．0 D．1【分析】根据开立方的意义，可得答案．【解答】解：立方根等于它本身的有﹣1，0，1．故选：B．9．若a2＝16，＝﹣2，则a+b的值是（）A．12 B．12或4 C．12或±4 D．﹣12或4【分析】根据a2＝16，＝﹣2，可得：a＝±，﹣b＝（﹣2）3，据此分别求出a、b的值各是多少，再把它们相加，求出a+b的值是多少即可．【解答】解：∵a2＝16，＝﹣2，∴a＝±＝±4，﹣b＝（﹣2）3＝﹣8，∴a＝±4，b＝8，∴a+b＝4+8＝12或a+b＝﹣4+8＝4．故选：B．10．若a3＝﹣216，则a的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．36 D．﹣36 【分析】先根据立方根的定义求出a，再根据相反数的定义即可求解．【解答】解：∵a3＝﹣216，∴a＝＝﹣6，则a的相反数是6．故选：A．11．计算的结果为（）A．±B．﹣C．D．【分析】根据立方根的定义，可得答案．【解答】解：＝，故选：C．12．的立方根是（）A．2 B．4 C．±2 D．±8 【分析】根据立方根的定义，即可解答．【解答】解：＝8，8的立方根的为2．故选：A．二．填空题（共8小题）13．﹣的立方根为﹣．【分析】根据立方根的定义即可求出﹣的立方根．【解答】解：﹣的立方根为﹣．14．已知x的平方根是±8，则x的立方根是 4 ．【分析】根据平方根的定义，易求x，再求x的立方根即可．【解答】解：∵x的平方根是±8，∴x＝（±8）2，∴x＝64，∴＝＝4，故答案是4．15．用计算器计算：≈12.63 （精确到0.01）【分析】在计算器中输入所求式子即可．【解答】解：在计算器中输入所求式子，得到≈12.63，故答案为12.63．16．已知2a﹣1的平方根是±3，则7+4a的立方根是 3 ．【分析】利用平方根、立方根定义判断即可．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∴7+4a＝7+20＝27，则27的立方根是3，故答案为：317．已知2a﹣1的平方根是±3，3a﹣b﹣1的立方根是2，a+b的平方根±．【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到2﹣b的平方根．【解答】解：由题意，有，解得．则a+b＝5+6＝11，所以a+b的平方根±．18．＝ 1 ．【分析】原式利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣（﹣1）＝1，故答案为：119．﹣0.008的立方根是﹣0.2 ．【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵（﹣0.2）3＝﹣0.008，∴﹣0.008的立方根是﹣0.2，故答案为：﹣0.220．算术平方根和立方根等于本身的数是0，1 ．【分析】判断出算术平方根、立方根等于本身的数各有哪些，即可判断出算术平方根和立方根等于本身的数是哪个．【解答】解：∵算术平方根等于本身的数是0，1，立方根等于本身的数是0，1，﹣1，∴算术平方根和立方根等于本身的数是0，1．故答案为：0，1．三．解答题（共4小题）21．求下列各式的值：（1）（2）（3）﹣（4）．【分析】各式利用立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝﹣；（2）原式＝；（3）原式＝；（4）原式＝．22．已知2x﹣1的算术平方根是3，y+3的立方根是﹣1，求代数式2x+y的平方根．【分析】利用算术平方根、立方根定义求出x与y的值，进而求出2x+y的值，即可求出平方根．【解答】解：∵2x﹣1的算术平方根为3，∴2x﹣1＝9，解得：x＝5，∵y+3的立方根是﹣1，∴y+3＝﹣1，解得：y＝﹣8，∴2x+y＝2×5﹣8＝2，∴2x+y的平方根是±．23．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+b的立方根．【分析】根据平方根的定义，即可得到2a﹣1＝32，然后即可求得a的值；同理可以得到3a+b ﹣1＝42，即可得到b的值，进而求得a+b的立方根．【解答】解：∵2a﹣1的平方根为±3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵3a+b﹣1的算术平方根为4，∴3a+b﹣1＝16．∵a＝5，∴3×5+b﹣1＝16，∴b＝2，∴a+b＝5+×2＝8，∴a+b的立方根是2．24．已知﹣8的平方等于a，b立方等于﹣27，c+2的算术平方根为3．（1）写出a，b，c的值；（2）求+5c的平方根．【分析】（1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案；（2）将a、b、c代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：a＝（﹣8）2＝64，b3＝﹣27，c+2＝32，a＝64，b＝﹣3，c＝7；（2）当a＝64，b＝﹣3，c＝7时，＝﹣2×9+5×7＝49，的平方根为±7。
(完整版)立方根习题精选及答案(二)
立方根习题精选（二）1．-35是的立方根。
2．当x3．立方根等于本身的数有。
4．若m是a的立方根，则-m是的立方根。
56．若x3=a，则下列说法正确的是（）7．-7的立方根用符号表示应为（）ABCD．84a=-成立，那么a的取值范围是（）A．a≤4B．-a≤4C．a≥4D．任意实数9．下列四种说法中，正确的是（）①1的立方根是1；②127的立方根是±13；③-81无立方根；④互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
A．①②B ．①③C ．①④D ．②④10.a ＜0，那么a 的立方根是（）AB ．CD11．下列各数有立方根的有（）①27，②5，③0，④１２，⑤-16，⑥-10-6 A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个12．求下列各数的立方根：（1）21027； （2）-0.008（3）（-4）314)x 3<的立方根是。
15。
16．下列式子中不正确的是（）A 235=B 6=±C0.4=D1 5 =17A．正数B．负数C．非正数D．非负数184=的值是（）A．-3B．3C．10D．-1019．当a＜0得（）A．-1B．1C．0D．±120．求下列各式的值：（1（2（3）21．若x 是64。
22．求下列各式中x 的值。
（1）（x-3）3-64=0（2325x 116=-23x y的值。
（一）新型题24是一个整数，那么最大的负整数a 是多少?252a 1=-，求a 的值．(二)课本习题变式题26．(课本P103第4题变式题)一个正方体，它的体积是棱长为3cm 的正方体体积的8倍，求这个正方体的表面积．(三)易错题27．(2)当x(四)难题巧解题28．若a 、b 互为相反数，c 、d 1的值．(五)一题多变题29的平方根是。
的平方根是±3，则a ＝。
的立方根是2，则a ＝。
[数学在学校、家庭、社会生活中的应用]30．要用体积是125cm 3的木块做成八个一样的小正方体，那么这八个小正方体的棱长是多少?[数学在生产、经济、科技中的应用]31．要用铁皮焊制正方体水箱，使其容积为1．728m3，问至少需要多大面积的铁皮?[自主探究]32．(1)观察下表，你能得到什么规律?≈(2) 2.22[潜能开发]33．请分别计算下列各式的值：，．从中你能发现什么规律?能用数学符号表示出来吗??[信息处理]34．在一次设计比赛中，两位参赛者每人得到1m3的可塑性原料，甲把它塑造成一个正方体，乙把它塑造成一个球体(损耗不计)．比赛规定作品高度不超过1．1m，请你利用所学知识，分析说明哪一个人的作品符合要求?[开放实践]35．如果A a+3b的算术平方根，B＝2a-1-a2的立方根，并且a、b满足关系式a-2b+3＝2，求A+B的立方根．[中考链接]36．(2004·山东济宁()A．2B．－2D37．(2004·福州)如果x 3＝8，那么x ＝。
平方根_立方根综合练习(二)
二、立方根、实数【课前练习】：．问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为 ，点E 落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．DB CAABC (D )图3图2【知识精讲】：1.立方根的概念和性质．如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）． 2.平方根与立方根的区别和联系．联系：都与相应的乘方互为逆运算；零的平方根和立方根都是它本身． 区别：（1）任意数都有立方根，但负数没有平方根；（2）一个正数有一个正的立方根，而一个正数有两个互为相反数的平方根． 3. 易错点：受平方根影响，认为立方根也有两个且互为相反数．1．数的分类及概念 4. 数系表：【例题分析】：例1：求下列各数的立方根：（1）216 （2）－343（3）-112564（4）0例2：判断下列语句是否正确？在后面的括号内，对的打“√”，错的画“×”。
0 实负数整数 分无理数 有理数正数 整数分无理数 有理数（1）8的立方根是±2。
（ ） （2）－0.001的立方根是－0.1。
（ ） （3）-a 的立方根是-a3。
（ ） （4）64的平方根的立方根是2。
（）例3：求下列各式的值：（1）1273（2）-12583（3）--643433 （4）102713-.例4：求下列各式中的x ： （1）812503x +=（2）()x +=-41253例5：（1）已知正方体的棱长是8cm ，求这个正方体的体积。
立方根(2)(1)
82=64
(3 a )3 a
13.比较下列各组数的大小.
（1） 3 9 与2;
（2） 3 3 与 3 .
2
解：因为 ( 3 9)3 = 9 因为 ( 3 3)3 = 3
23 = 8 因为8<9 所以 2< 3 9
( 3)3 27
2 因为
8 27 3< 8
所以 3 3 < 3
2
14、观察a，b所在位置，完成化简
．+
-
a2 a
解：原式＝ b b a (a b)
＝b+ b﹣a ﹣a+b ＝3b﹣2a．
3 a3 a
• 15．已知x+2是27的立方根，3x+y﹣1的算术 平方根是4，求7x+3y平方根．
解：由x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4， 得：
，
解得：
，
∴7x+3y＝7+42＝49， ∵49的平方根为±7， ∴7x+3y的平方根为±7．
第六章 实数
6.2. 立方根（第2课时）
概念复习
针对练习
算术平方根、平方根、立方根联系和区别：
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a 的取值
性 正数
0
质负数aa Nhomakorabea3a
a≥ 0
a≥ 0
a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
7．若a是（﹣8）2的平方根，则 等于（ C ）
2立方根 教案1(新人教版七年级下) (3)
立方根（1）一、教学目的1、使学生了解数的立方根的概念。
2、使学生能用根号表示一个数的立方根。
3、使学生能用立方运算求某数的立方根。
4、使学生能了解开立方的概念。
5、使学生理解开立方与立方互为逆运算。
6、通过性质推导过程培养学生的类比思想和推理能力。
二、教学分析重点：立方根的概念与性质及求法。
难点：求一个数的立方根的方法。
三、教学方法启发式，讲练结合四、教学手段多媒休课件五、教学过程7C 学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！实数教学设计教学目标：（1）了解无理数和实数的概念和实数的分类，知道实数和数轴上的点一一对应关系 .（2）让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程 .通过无理数的引入，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力 .（3）渗透数形结合及分类的思想，体验数系的扩展源于实际，又服务于实际的辩证关系 .教学重点：理解无理数、实数的意义和实数的分类 . 教学难点：正确理解无理数的意义 . （一）导入新课在小学时候，我们认识了一个非常特殊的数：圆周率π，它约等于 3.14，你还能说出它后面的数字吗？比一比，看谁记住最多 .目前π值已准确到上千亿位，π是一个怎样的数呢？是有理数吗？ 整数 如：-3，0 ，5… 有理数分数 如：41，32-…π肯定不是整数，那么它一个分数吗？请同学们将下列的小数形式：5= ，41= ，32-= ，71= .引导发现：任何有理数写成小数的形式，一定是有限小数或者无限小数，因此可以说π不是有理数，它是一个无限不循环小数，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，如2，我们把无限不循环小数又叫无理数 .我们把有理数和无理数统称为实数，这就是今天我们将要学习的内容——实数 . （二）新知探究探究1：数的扩张与分类⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数像有理数一样，无理数也有正负之分 .π是正无理数，，π-是负无理数 .由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数探究2 实数与数轴的对应关系(1)我们在学习有理数时，认识了数轴，什么叫数轴？(2)我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的有的点都表示有理数吗？无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？(3)如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？（4）在前面的学习中，我们还知道边长为1的正方形的对角线长为2，在数轴上表示2的点（画图） .事实上，数轴上数，不仅表示有理数的点，还有表示无理数的点，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数 . （三）范例讲解例1 下列说法正确吗？请说明理由 .（1）3．14是无理数； （2）无限小数都是无理数； （3）无理数都是无限小数； （4）带根号的数都是无理数；例2把下列各数分别填入相应的集合里：π31-，1322-，7，327，0.1010010001…，0.5，36.0-，39，924，16实数集{ …}， 无理数集{ …}， 有理数集{ …}， 分数集{ …}， 负无理数集{ …} . （四）知能训练1、请将数轴上的各点与下列实数对应起来：2，-1.5，5，π ，32、如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有 个，分别是 .（五）总结反思1、无理数、实数的意义及实数的分类.2、实数与数轴的对应关系 .7C 学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！。
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
【数学教案-立方根】 立方根公式
下面就介绍它的奇异求法．
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先用前三位数 140 来确定立方根的十位数．因为 53＜140＜63，所以 十位数是 5，而不是 6．再用最终一位数 8 来确定立方根的个位数．因为 23＝8，所以个位数是 2．就是说，140608 的立方根是 52．确定立方根的 个位数时要留意下面规律：我们知道：13＝1，43＝64，53＝125，63＝216， 93＝729，就是说当被开方数的末位数是 1、4、5、6、9 时，立方根的个 位数就等于它本身(1、4、5、6、9)；
五、教学过程〔 fwsir 〕
(一)复习提问 请同学们回忆一下，平方根我们是如何定义的？平方根有哪些性质？
3．开立方概念：
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求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
4．开立方运算与立方运算互为逆运算． 因此，我们可以根据立方运算来求一些数的立方根． 例 1． 求以下各数的立方根： 解：(1)∵(-2)3=-8， (2)∵23=8，
5．立方根的性质： (1)正数有一个正的立方根． (2)负数有一个负的立方根． (3)0 的立方根是 0． 这里我们不妨与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方 根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有 平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是 0 的平方根，立方根都是它本身．
(7) 的立方根为________ .
性质相对比去理解．平方根与立方根是今后我们学习中经常会用到的两个
(8)一个自然数的算术平方根是 a，那么与这个自然数相邻的下一个 特殊重要的概念，希望同学们能够娴熟地把握它，尤其是它们之间的联系
八年级数学上册第二章实数：立方根教案新版北师大版
八年级数学上册教案新版北师大版：2.3立方根教学目标1．了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根；(重点)2．了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根．(难点) 教学过程一、情境导入填空并回答问题：(1)( )3＝0.001；(2)( )3＝0；(3)若正方体的棱长为a ，体积为8，根据正方体的体积公式得a 3＝8，那么a 叫做8的什么呢？二、合作探究探究点一：立方根的概念及性质 【类型一】立方根的概念及性质立方根等于本身的数有________个．解析：在正数中，31＝1，在负数中，3－1＝－1，又30＝0，∴立方根等于本身的数有1，－1，0.故填3.方法总结：不论正数、负数还是零，都有立方根． 【类型二】立方根与平方根的综合问题已知x －2的平方根是±2，2x ＋y ＋7的立方根是3，求x 2＋y 2的算术平方根．解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x －2＝4，2x ＋y ＋7＝27，从而解出x ，y ，最后代入x 2＋y 2求其算术平方根即可．解：∵x －2的平方根是±2，∴x －2＝4.∴x ＝6.∵2x ＋y ＋7的立方根是3，∴2x ＋y ＋7＝27，把x ＝6代入解得y ＝8，∴x 2＋y 2＝62＋82＝100.∴x 2＋y 2的算术平方根为10.方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x ，y 的值，再根据算术平方根的定义求出x 2＋y 2的算术平方根． 【类型三】立方根的实际应用已知球的体积公式是V ＝43πr 3(r 为球的半径，π取3.14)，现已知一个小皮球的体积是113.04cm 3，求这个小皮球的半径r.解析：将公式变形为r 3＝3V 4π，从而求r. 解：由V ＝43πr 3，得r 3＝3V 4π，∴r ＝33V 4π.∵V ＝113.04cm 3，π取 3.14，∴r ≈33×113.044×3.14＝327＝3(cm)．故这个小皮球的半径r 约为3cm. 方法总结：解此题的关键是灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形．探究点二：开立方运算求下列各式的值．(1)－3343；(2)31027－5；(3)－3－8÷214＋（－1）100.解：(1)－3343＝－7；(2)31027－5＝3－12527＝－53；(3)－3－8÷214＋（－1）100＝2÷94＋1＝2÷32＋1＝2×23＋1＝73.方法总结：做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算．三、板书设计1．每个数a都只有一个立方根，记为“3a”，读作“三次根号a”．2．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．3．求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．教学反思本节课让学生应用类比法学习立方根的概念、性质和运算．学生在以后的数学学习中，要注意渗透类比的思维方式，让学生在学习新知识的同时巩固已学的知识，并通过新旧对比更好地掌握知识．。
立方根计算技巧
立方根计算技巧
立方根计算技巧：
1、从个位向左每3位数分一节，最左一节可能是3位、2位也可能是1位数。
分出几节说明立方根就有几位数。
2、求出最高（左边第一）节位立方根（整数），余数连接下一节3位数作为下一组的被除数。
3、用求出的立方根的2次方×300后试除被除数，能商几就用前面立方根的平方×300×商＋前面立方根×30×商的平方＋商的立方。
（注：一般实际商会比试商少1，因为在试商的情况下还要＋新商的立方）这个商就是所求立方根的第2位数。
4、同上：将第二次的余数连接下一节3位数作为新的被除数。
5、将前面已有两位数组成的立方根的平方×300后试除新的被除数，能商几就用：前两位立方根的平方×300×商＋前两位立方根×30×商的平方＋商的立方。
这个商就是所求立方根的第3位数。
6、反复采用上述计算方法，直到余数是0为止。
通过试商，如果发现商大或商小了就减小或增大数字就行了。
总之求出的立方根必须与题目相符。
北师大版-数学-八年级上册-第二章第三节立方根教案-.
《八年级上第二章第三节立方根》教案第1课时 2.3立方根【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：(一)教学知识点1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同.(二)能力训练要求1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.(三)情感与价值观要求当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.【教学重点】1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.【教学难点】：立方根的概念【教学工具】：小黑板◆教学情景导入上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±a.若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？◆教学过程设计1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±a，x3=a时，x=±a也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x=3a，读作x等于三次根号a.开立方的定义［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.(2)立方根的性质［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.(3)平方根与立方根的区别与联系.［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为±a，立方根表示为3a.2.例题讲解［例1］求下列各数的立方根：(1)－27；(2)1258；(3)0.216；(4)－5. ［师］请大家思考下列问题.3a 表示a 的立方根，则(3a )3等于什么？33a 等于什么？大家可以先举例后找规律.： (3a )3=a .又∵a 3是a 的立方,所以a 3的立方根就是a ，所以33a =a .下面就这两个式子进行练习.［例2］求下列各式的值： (1)38-；(2)3064.0；(3)－31258；(4)(39)3 Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习1.求下列各式的值：333333)16(;5;64;125.0-.2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？解：设正方体的棱长是x 厘米，得(二)补充练习1.求下列各数的立方根：0，1，－8127，6，－1000125，0.001 2.求下列各式的值：3233333333)278(;)2(;)2(;16463;1251;1;027.0------ 3.下列说法对不对？ －4没有立方根；1的立方根是±1；361的立方根是61；－5的立方根是－35；64的算术平方根是 Ⅳ.议一议1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？2.一个正方体的体积变为原来的n 倍，它的棱长变为原来的多少倍？解：设原正方体的棱长为a ，后来的正方体的棱长为b ，得na 3=b 3∴3333n a b =∴b =a n n a 333=. 即后来的棱长变为原来的3n 倍.Ⅴ.课时小结1.立方根的定义.2.立方根的性质.3.开立方的定义.4.平方根与立方根的区别与联系.5.会求一个数的立方根.Ⅵ.课后作业习题2.5.Ⅶ.活动与探究1.求下列各式中的x.(1)8x3+27=0；(2)(x－1)3－0.343=0；(3)81(x+1)4=16；◆课堂板书设计§2.3 立方根一、(1)立方根开立方的定义(2)立方根的性质(3)立方根与平方根的联系与区别二、例题讲解(求立方根)三、练习四、议一议五、小结六、作业。
人教版七年级下册 第六章 实数 第二讲 立方根 讲义(解析版)
【答案】B；
提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的立方是64B．0.1的立方根是0.001
C．4的算术平方根是16D．9的平方根是±3
【答案】D.
例2．（1）下列运算中错误的有（）
① ＝ ；② ；③ ；④ ；⑤
（2）
（3）
课堂巩固
1.估算31的立方根在两个整数之间.
【答案】4和5
2.比较 的大小
【答案】
3.比较3
【答案】<
【答案】
例4求下列各式中x的值
（1） （2）8(x－1)3＝－ （3） ．
【答案】（1） ； （2）x＝－ ；（2）x=3.
【详解】
（1） ； ； ；
（2） ； ； ；
（3）x3﹣24＝3；x3＝27；∴x＝3
实数
第二讲立方根
知识讲解
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
补充：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
五、平方根与立方根的联系
典例讲解
例1、下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B． 是 的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【答案】D；
【解析】64的立方根是4； 是 的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.
课堂巩固
1.下列说法正确的是（ ）
6.2_立方根(2)
从不同角度归纳出平方根和立方根的异同点
平方根
定 义 正 数 性 0
立方根 如果一个数的立方等于a，那么 这个数就叫a 的立方根 正数的立方数是正数
如果一个数的平方等于a，那么 这个数就叫a 的平方根 一个正数有两个平方根，它 们互为相反数 0的平方根是0
0的立方根是0
质
负 数
负数没有平方根
负数的立方根是负数
这节课你学到了哪些知识?
1.用计算器求一个数的立方根. 2.比较数的大小. 3.求解一元三次方程.
x+1=2. ∴x=1.
求下列式子中x的值。
(1) （4 x 3） 0 (2) （x 1） 64
3 3
1.估计68的立方根在（ C ）
A. 2与3之间 B.3与4之间 C. 4与5之间 D.5与6之间 2.一个正方体的水晶砖，体积为100 cm³， 它的棱长大约在 （ A ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3
( 3 ) =3,
3 3 27 ( ) 3, 2 8
3
9 2.5.
3
3 3 . 2
3
例3
你能求出下列各式中的未知数x吗？
(1)x3＝-27； (2)125x3-64=0； (3)2(x+1)3-16=0. (2) 125x3-64=0.
64 x . 125
3
解: (1)
3.
3
3
立方根
，2的立方根是 -3 . 2 .
3
2
.
512 的立方根是 125
4.一个数的立方根是 2 ，则这个数是 3 1 5. 3 的倒数是 5 ；相反数是
6.已知 3
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专题2-2 立方根-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.2 立方根-重难点题型【北师大版】【题型1 立方根的概念及性质】【例1】（2021春•仓山区期中）如果﹣a 是b 的立方根，那么下列结论正确的是（ ）A ．a 是﹣b 的立方根B ．a 是b 的立方根C ．﹣a 是﹣b 的立方根D ．±a 都是b 的立方根【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论．【解答过程】解：根据题意得：（﹣a ）3＝b ，∴﹣a 3＝b ，∴a 3＝﹣b ，∴a 是﹣b 的立方根， 故选：A ． 【变式1-1】（2021春•海淀区校级月考）下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4 B ．−19没有立方根 C ．若√a =√a 3，则a ＝1 D ．√−273=−√273【解题思路】根据立方根的定义解答即可．【解答过程】解：A ．正数的立方根只有一个，64的立方根是4，该选项错误，不符合题意；B ．负数也有立方根，该选项错误，不符合题意；C ．a 也可以等于0，该选项错误，不符合题意；D ．√−273=−3，−√273=−3，所以该选项正确，符合题意．故选：D ．【变式1-2】（2021春•白云区期末）下列说法正确的是（ ）A ．64的立方根是±√643=±√4B ．−12是−16的立方根C ．√−273=−√273D ．立方根等于它本身的数是0和1【解题思路】根据立方根的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答过程】解：A 、64的立方根是4，故本选项错误；B 、−12不是−16的立方根，故本选项错误；C 、√−273=−3，−√273=−3，则√−273=−√273正确；D 、立方根等于它本身的数是0和±1，故本选项错误；故选：C ．【变式1-3】（2020春•闽侯县期中）若有√x 3+√y 3=0，则x 和y 的关系是（ ）A ．x ＝y ＝0B ．x ﹣y ＝0C ．xy ＝1D ．x +y ＝0 【解题思路】根据已知和立方根的性质得出x ＝﹣y ，即可得出x 与y 的关系．【解答过程】解：∵√x 3+√y 3=0，∴√x 3=−√y 3，∴x ＝﹣y ，∴x 与y 的关系是x +y ＝0．故选：D ．求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【题型2 开立方的运算】【例2】（2020秋•滦州市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x 为﹣512时，输出的数y 的值是（ ）A ．−√23B ．√23C ．﹣2D ．2【解题思路】把﹣512按给出的程序逐步计算即可．【解答过程】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，﹣2是有理数，所以再取立方根为√−23=−√23，因为−√23是无理数，所以输出−√23，故选：A ．【变式2-1】（2021春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a ＝ ，b ＝ ．【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m ，a 的立方根是﹣m ，∴m 3＝2020，（﹣m ）3＝a ，∴a ＝﹣2020；又∵n 的平方根是2020和b ，∴b ＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．【变式2-2】（2021春•汉阳区期末）已知√1−a 23=1−a 2，则a ＝ ．【解题思路】根据立方根等于它本身的数有0，1，﹣1，列式分别进行计算即可求出a 的值．【解答过程】解：根据题意，一个数的立方根等于它本身，∴①1﹣a 2＝0，解得a ＝±1，②1﹣a 2＝1，解得a ＝0，③1﹣a 2＝﹣1，解得a ＝±√2，综上所述，a ＝±1，0，±√2．故答案为：±1，0，±√2．【变式2-3】（2021春•浦东新区校级月考）已知√a 3=−0.056，a ＝106b ，那么√b 3= ． 【解题思路】根据立方根的定义解答可得．【解答过程】解：因为a ＝106b ，所以106b ＝a ，所以b ＝a ÷106，因为√a 3=−0.056，所以a ＝（﹣0.056）3＝﹣0.000175616，所以√b 3=5.6×10﹣4． 故答案为：5.6×10﹣4． 【题型3 开立方运算中的小数点移动规律】【例3】（2021春•望城区期末）已知√83=2，√80003=20，√0.0083=0.2，则√80000003= ．【解题思路】根据题意得出，当被开三次方数的小数点向左或向右移动3位，立方根的小数点则向左或向右移动1位，求解即可．【解答过程】解：∵√83=2，√80003=20，√0.0083=0.2，∴√80000003=200，故答案为：200．【变式3-1】（2021春•重庆月考）若√3≈1.732，√30≈5.477，√17283=12，√17.283≈2.585，则√300≈ ，√1.7283= ．【解题思路】当被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．当被开方数扩大（或缩小）为原来的1000倍，其立方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．【解答过程】解：∵√3≈1.732，∴√300≈17.32，∵√17283=12，∴√1.7283=1.2．故答案为：17.32，1.2．【变式3-2】（2021春•天津期中）已知√1.123≈1.038，√11.23≈2.237，√1123≈4.820，则√−112003≈ ．【解题思路】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果移一位进行计算．【解答过程】解：∵√11.23≈2.237，∴√−112003≈−22.37．故答案为：﹣22.37．【变式3-3】（2019春•海淀区校级月考）已知√2.14≈1.463，√21.4≈4.626，√0.2143≈0.5981，√2.143≈.289，若√x ≈46.26，则x ＝ ；若√y 3≈−5.981，则y ＝ ．【解题思路】根据算术平方根的特点：算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，立方根的特点：立方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数向右（或向左）移动3位，然后进行解答即可．【解答过程】解：∵√21.4≈4.626，√x ≈46.26，∴x ＝2140，∵√0.2143≈0.5981，√y 3≈−5.981，∴y ＝﹣214，故答案为：2140，﹣214．【题型4 利用开立方解方程】【例4】（2021春•连山区月考）（1）已知9（x +1）2＝4，求x 的值；（2）已知8（x ﹣1）3=−1258，求x 的值．【解题思路】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．【解答过程】解：（1）方程整理得：（x +1）2=49，开方得：x +1＝±23， 解得：x 1=−13，x 2=−53；（2）方程整理得：（x ﹣1）3=−12564， 开立方得：x ﹣1=−54，解得：x =−14． 【变式4-1】（2021春•郧西县月考）求x 的值：（1）（x ﹣1）2＝4；（2）9x 3+√64=x 3−√(−19)2．【解题思路】（1）根据平方根的定义解答；（2）根据立方根的定义解答．【解答过程】解：（1）（x ﹣1）2＝4，∴x ﹣1＝±2，∴x ＝3或﹣1；（2）9x 3+√64=x 3−√(−19)2，∴9x 3+8＝x 3﹣19，∴9x 3﹣x 3＝﹣19﹣8，∴8x 3＝﹣27，∴x 3=−278， ∴x =−32．【变式4-2】（2021春•江汉区期中）求下列各式中x 的值：（1）（x ﹣1）2＝4；（1）14（2x +3）3+2＝0． 【解题思路】（1）根据平方根的意义计算；（2）根据立方根的意义计算．【解答过程】解：（1）x ﹣1＝2或﹣2，∴x ＝3或一1；（2）14（2x +3y ）3＝﹣2， ∴（2x +3）3＝﹣8，∴2x +3＝﹣2，∴x =−52．【变式4-3】（2021•天宁区校级模拟）√2x −13+√5x +83=0，则x 的值是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．12D ．无选项 【解题思路】根据题意，对原方程变形为√2x −13=−√5x +83，即可得到有2x ﹣1＝﹣5x ﹣8，解方程即可得出x 的值．【解答过程】解：√2x −13+√5x +83=0，即√2x −13=−√5x +83，故有2x ﹣1＝﹣5x ﹣8解之得x ＝﹣1，故选：B ．【题型5 平方根与立方根综合】【例5】（2020春•合川区期末）已知M =√5a +2b 是9的算术平方根，7a +3b ﹣1的平方根为±4，N =√−2a −b 3，则M +2N 的立方根为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2 【解题思路】根据平方根、算术平方根、立方根的意义a 、b 的值，再求出M 、N 的值，进而求出M +2N 的立方根即可．【解答过程】解：∵9的算术平方根是3，∴M =√5a +2b =3，∴5a +2b ＝9，又∵7a +3b ﹣1的平方根为±4，∴7a +3b ﹣1＝16，∴{5a +2b =97a +3b −1=16， 解得a ＝﹣7，b ＝22，∴N =√−2a −b 3=√14−223=√−83=−2，∴M +2N ＝3+2×（﹣2）＝3﹣4＝﹣1，而﹣1的立方根为﹣1，∴M +2N 的立方根为﹣1，故选：A ．【变式5-1】（2020春•西华县期中）已知实数a +9的一个平方根是﹣5，2b ﹣a 的立方根是﹣2，求√a +2√b 的算术平方根．【解题思路】利用平方根、立方根性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可求出所求．【解答过程】解：由题可知a +9＝（﹣5）2，2b ﹣a ＝（﹣2）3，解得：a ＝16，b ＝4，∴√a +2√b =√16+2√4=4+4＝8，8的算术平方根是2√2，则√a +2√b 的算术平方根是2√2．【变式5-2】（2021春•甘肃期末）如果A =√a +3b a−2b+3为a +3b 的算术平方根，B =√1−a 22a−b−1为1﹣a 2的立方根，求A +B 的平方根．【解题思路】根据算术平方根以及立方根的定义，A 和B 的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a ，b 的方程组求得a ，b 的值，进而得到A 、B 的值，从而求解．【解答过程】解：根据题意得：{a −2b +3=22a −b −1=3， 解得：{a =3b =2， 则A =√3+6=√9=3，B =√1−93=−2，则A +B ＝1，A +B 的平方根是：±1．【变式5-3】（2021春•渝中区校级期中）已知：a 与2b 互为相反数，a ﹣b 的算术平方根是3；（1）求a 、b 的值；（2）若|2a +c |+√b −d =0，求c 3+d ﹣1的立方根． 【解题思路】（1）根据题意列出方程组可得答案；（2）【解答过程】解：（1）由题意得：{a +2b =0a −b =9， 解得：a ＝6，b ＝﹣3．（2）由非负数的性质可得：{2a +c =0b −d =0， 即{12+c =0−3−d =0，∴c＝12，d＝﹣3．∴c3+d﹣1＝4﹣3﹣1＝0，∴c3+d﹣1的立方根是0．【题型6 立方根的应用】【例6】（2021春•瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（）A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm【解题思路】首先确定截去的小正方体的体积，然后再设每个小正方体的棱长为xcm，根据正方体的体积公式可得方程，从而确定边长．【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729﹣665＝64（cm3），则每个小正方体的体积为64÷8＝8（cm3）．设每个小正方体的棱长为x cm，则x3＝8，解得x＝2．【变式6-1】（2020秋•石阡县期末）一个正方体木块的体积是343cm3，现将他锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的木块的表面积是．【解题思路】要先根据正方体的体积求出正方体的棱长，然后进行分割即可解决问题．【解答过程】解：一个正方体木块的体积是343cm3，则边长为√3433=7cm，现将他锯成8快同样大小的正方体小木块，则每个小正方体木块的边长3.5cm，每个正方体边长为：3.5cm，其中一个小正方体表面积为6×（3.5）2＝73.5cm2；故答案为：73.5cm2．【变式6-2】（2021春•静海区月考）在一个长、宽、高分别为8cm，4cm，2cm的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【解题思路】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．【解答过程】解：设正方体容器的棱长为xcm，得x3＝8×4×2x3＝64∴x＝4答：正方体容器的棱长为4cm．【变式6-3】（2021春•福州期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为25cm2的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是180cm3，求原正方形铁皮的边长．【解题思路】设原来正方形的边长为xcm，然后根据长方体容积公式列方程计算．【解答过程】解：∵从四个顶点处分别剪掉一个面积为25 cm2的正方形，∴剪掉的正方形边长为5 cm，设原来正方形的边长为xcm，由题意可得：5（x﹣10）2＝180，∴（x﹣10）2＝36，x﹣10＝±6，解得：x＝16或x＝4（不合题意，舍去），∴原来正方形的边长为16 cm．。
湘教版数学八年级上册3.2《立方根》教学设计2
湘教版数学八年级上册3.2《立方根》教学设计2一. 教材分析《立方根》是湘教版数学八年级上册3.2的内容，本节课主要让学生理解立方根的概念，掌握求立方根的方法，并能运用立方根解决实际问题。
教材通过引入立方根的概念，让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，体验探索解决问题的过程，培养学生的数学思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了平方根的概念，对根的概念有一定的认识。
但立方根与平方根有所不同，需要学生能够从新的角度去理解。
另外，学生对于实数的认知还不够深入，需要在教学过程中引导学生理解实数与立方根的关系。
三. 教学目标1.理解立方根的概念，掌握求立方根的方法。
2.能够运用立方根解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.立方根的概念。
2.求立方根的方法。
3.实数与立方根的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，探索立方根的概念和求法，培养学生的数学思维能力和空间想象能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和实际问题。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出立方根的概念，如：“一个正方体的体积是27立方米，求这个正方体的边长。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出立方根的概念。
2.呈现（10分钟）用PPT展示立方根的定义，解释立方根的概念，让学生理解立方根的内涵。
同时，呈现一些立方根的例子，让学生观察、操作、思考，进一步理解立方根的求法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用立方根的知识解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生在课堂上完成一些立方根的练习题，巩固所学知识。
教师及时批改，给予反馈。
5.拓展（10分钟）引导学生思考实数与立方根的关系，如：一个实数的立方根是什么？实数的立方根有界吗？让学生进行小组讨论，分享自己的观点。
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(3)负数有立方根吗？
（4）平方根与立方根的联系与区别.
联系：
即时训练
1求下列各数的立方根：
(1)－27；(2) ；(3)0.216；(4)－5.
２． 表示a的立方根，则( )3等于什么？ 等于什么？
大家能够先举例后找规律.：( )3=a.
(1) ；(2) ；(3)－ ；(4)( )3
先独自做后，教师分配展示交流
知识回顾，目标回顾，学生表现评价
一．温故
1、思考与探索：
（1）你能求出下列各数的立方吗?
0,-1,5,2.3,- ,-3,3,1,
（2）.填表：
x3
1
27
8
-64
0
x
2.想好了，就填
x
8
－
x3
-1000
0.125
二新课探究：
1.阅读课本P４4问题利用计算器实行探索下面的问题。
八年级数学（下）导学案审核人：
课题
设计人
使用人
序号
授课时间
学习目标Biblioteka 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质.
4.区分立方根与平方根的不同.
学习重难点
重点：1.立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.能用立方运算求某些数的立方根
四.课堂练习
１．课本P４６随堂练习和习题
2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
３．求下列各数的立方根：
0，1，－ ，6，－ ，0.001
４．求下列各式的值：
５．下列说法对不对？
－4没有立方根；1的立方根是±1； 的立方根是 ；－5的立方根是－ ；64的算术平方根是
通过以上练习可知，已知一个数的立方是多少，可求这个数，所以给这个数可下定义为：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的也就是说，如果x3=a，那么，x叫做a的.
2、因为103＝1000，（-10）3＝-1000，所以1000的立方根是，-1000的立方根是
2.议一议
(1)一个正数有几个立方根,有什么特点?
难点：1.准确理解立方根的概念.
2.会求一个数的立方根.
3.区分立方根与平方根的不同之处.
导案
学案
.
回顾复习旧知识，并为后面的探究打下坚实的基础。
认真阅读课本P４４，了解立方根的定义。
认真领会立方根的定义和运算，先写出自己的见解然后合作交流
仿照仿照课本例题的做法完成做一做，会求一个数的立方根，注意书写格式。
五．反思提升
1.收获：
2.困惑：
课后跟踪练习
1、当 时， 有意义；当 时， 有意义
2、 的立方根是， 的平方根是 的立方根是.
3、－8的立方根与 的一个平方根的和等于.
4、一个自然数的算术平方根是 ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，立方根是.
5、解下列方程
(1)X3=512(2)64x3-125=0(3)(x-1)3=216
6、已知 ，且 ，求 的值