苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2利用空间向量解决形形色色的平行问题

3.2 例析利用空间向量解决形形色色的平行问题

一．证明线线平行

证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或

3

12123

//a a a a b b b b ⇔

==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED .

证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1

(0,1,)2

F ，1

(1,0,)2

E ，'(0,0,1)D .

11

(0,1,)(1,1,0)(1,0,)22

BF =-=-，

11

'(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22

ED =-=-.

∵'1ED BF =⋅， ∴'//ED BF 即//'BF ED .

例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ，

k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.

∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，

(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==，

∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA .

二．证明线面平行

例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面EBC .

D

B O A

α

证明：在正方形ABCD 和ABEF 中， ∵FM AN =，FB AC =，

∴存在实数λ使FM FB λ=，AN AC λ=， ∴MN MF FA AN =++BF EB AC λλ=++

()BE BA AB AD EB λ=++++

()()(1)BE AD EB BE BC BE BE BC λλλλ=++=+-=-+，

∴MN 、BE 、BC 共面 ∵M ∉平面EBC ，∴//MN 平面EBC .

向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y 使p xa yb =+.利用共面向量定理可以证明线面平行问题.本题用的就是向量法.

注意:直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则

//a α.

例4：棱长都等于2的正三棱柱'''ABC A B C -，点D 是AC 的中点.求证：'//AB 平面

'DBC .

证明：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为

(1,0,0)A -

，2)B

，B ，(0,0,0)D ，'(1,0,2)C .

设平面'DBC 法向量为(,,)n x y z =

，DB =，'(1,0,2)DC =，

30

''20n DB n DB y n DC n DC x z ⎧⎧⊥

⋅==⎪⎪⇒⎨⎨

⊥⋅=+=⎪⎪⎩

⎩， 令1z =取平面的一个法向量为(2,0,1)n =-.

∵'2)AB =，(2,0,1)n =-.

∴'2020n AB ⋅=-++=， ∴'//AB 平面'DBC .

三．证明面面平行

平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.

A

B

D

C

E

F

M N

x

y

例5：已知正方体''''ABCD A B C D -.求证：平面''//AB D 平面

'BDC .

证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为

(1,0,0)A ，'(1,1,1)B ，'(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，(0,0,0)D ，'(0,1,1)C .

设平面''AB D 法向量为1111(,,)n x y z =，

'(0,1,1)AB =，''(1,1,0)D B =，

11111111''0

''''0

n AB n AB y z n D B n D B x y ⎧⎧⊥⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨

⊥⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令11y =取平面''AB D 的一个法向量为1(1,1,1)n =--.

平面'BDC 法向量为2222(,,)n x y z =，(1,1,0)DB =，'(0,1,1)DC =，

222222220

''0

n DB n DB x y n DC n DC y z ⎧⎧⊥⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨

⊥⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令21y =取平面'BDC 的一个法向量为2(1,1,1)n =--. ∵121n n =⋅， ∴平面''//AB D 平面'BDC .