苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2利用空间向量解决形形色色的平行问题

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2019-2020年苏教版高中数学(选修2-1)3.2《空间向量的应用》word教案2篇

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-1）3.2《空间向量的应用》word 教案2篇对于空间两个非零向量a ，b 来说，如果它们的夹角，那么我们定义它们的数量积为．特别地，当两向量垂直时，．利用该结论，可以很好地解决立体几何中线线垂直或线面垂直的问题．1．证明直线与直线垂直，可以转化为证明这两条直线上的非零向量的数量积为零．反之亦成立．例1 如图1，已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，且AD ⊥BC ，求证：AC ⊥BD ．证明：设以空间一点O 为起点，A 、B 、C 、D 为终点的向量分别记为a 、b 、c 、d ，由已知，AB ⊥CD ，且AD ⊥BC ，所以()()0()()0--=+=+⎧⎧⇒⎨⎨--=+=+⎩⎩，，．b a d c a c b d a d b c d a c b a c b d a b c d ． ∴，即．因此，AC ⊥BD评述：本题的结论是说，三棱锥中若两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直．它的传统证法是过A 点作平面BCD 的垂线，通过三垂线定理及其逆定理来证明．以上用空间向量数量积作为工具，将几何问题代数化、程序化地解决2．证明直线与平面垂直，可以转化为证明这条直线上的非零向量与平面内两相交直线上的非零向量的数量积都为零．例2 直线l 与平面相交于点O ，求证：若直线l 与平面内的过O 点的三条射线所成的角相等，则直线l ⊥平面证明：如图2，在直线l 上任取一点P （Ｐ点不与Ｏ点重合），在平面内过O 点的三条射线上分别取点A 、B 、C ，使OA =OB =OC ≠０，设∠POA =∠POB =∠POC =，则易得，所以，所以，由于BA 、BC 是平面内的两条相交直线，因此，直线l ⊥平面．3．证明两个平面垂直，可以转化为证明这两个平面的法向量的数量积为零．例3 如图3，在正方体中，E 、F 分别是、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面．证明：设，且则．设是平面AED 的一个法向量，则，即．1111111()022AE x y z x z ⎛⎫=+++=+= ⎪⎝⎭m a b c a c ，即．因此，可以取．于是，．同理，设是平面的一个法向量，则，即．，所以，不防取，从而，所以平面AED ⊥平面．应用求线段长度由空间向量的数量积公式容易得到公式：，应用这个公式可以解决空间问题中两点之间的距离，即空间的距离问题可以转化为求向量的数量积加以解决．事实上公式在计算空间线段长度方面的应用非常广泛，下面举例加以说明．例1 如图1，三棱锥中，PA =PB ，CB ⊥面PAB ，M 、N 分别在PC 、AB 上，且PM =MC ，AN =3NB ，（1）求证：MN ⊥AB ；（2）当∠APB =90°，BC =2，AB =4时，求MN 的长．简解：（1）设，则，且，，，，，113()444PN PB BN =+=+-=+b a b a b ， ∴，∴∴AB ⊥MN ；（2）∵∠APB =90°，BC =2，AB =4，则且，，∴21111(2)4424MN =+-=+-a b c a b c即MN 的长为．例2 如图2，有一长方形的纸片ABCD ，长AB ＝4cm ，宽AD ＝3cm ，现沿它的一条对角线AC 把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD 的长．简解：作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，点E 、F 为垂足，则5cm ， cm ，cm ， cm ．折叠后，DE 、EF 、FB 的长度保持不变，且222222BF FE ED BF FE BF ED FE ED =+++++22221271212148125555225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴cm ．运用向量法求解立体几何探索性问题立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型．向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性．运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了．下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用．一、条件探索型所谓“条件探索型”是指给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件．例1 如图1，棱长为１的正方体，E 是BC 的中点，F 是棱CD 上的动点（非C 、D 两点），设二面角的大小为．试确定F 点的位置，使得．解析：以A 为坐标原点，建立如图1所示的直角坐标系，则．设，易知．设是平面的一个法向量，则令，则．又是平面的一个法向量，∴．结合条件知可取，故，解得或（舍）．故当是CD 的中点时，．二、存在型所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由．解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．例2 已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线上是否存在一点Ｎ，使得？若存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由．解：假设在直线上存在一点Ｎ，使得．如图2，建立空间直角坐标系，有1313331(000)00(01)2224422A B M N z B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，， ∴．∵，∴1313131220224488AB MN z z ⎛⎫⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，解得，，即时，．用法向量求距离一、求异面直线间的距离如图1，若是异面直线的公垂线段，分别为上的任决两点．令向量，则．分析：，．，．．两异面直线间的距离为（其中与垂直，分别为两异面直线上的任意两点）例1 如图2，在正方体中，为的中点且正方体棱长为2．求异面直线和间的距离．解析：以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则．设和公垂线段上的向量为，则即．又，，所以异面直线和间的距离为．二、求点到平面的距离如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量．求证：点到平面的距离．分析：， cos AB AB AC AB AB AB AB ∴===，nnn n n ．例2 如图4，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．求点到平面的距离．解析：为正方形，．易得平面平面，面，是平面的一个法向量．设点到平面的距离为，则111()0cos602422AC A BAC A A AB a a d a A B a a ++⨯⨯====．三、求直线到平面的距离例3 如图5，已知边长为的正三角形中，分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行．求与平面间的距离．解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底．易知，，，，1231()2622PF PA AE EC =++=-++e e e ．设是平面的一个法向量，则，．即解得．直线与平面间的距离113221322223322AP d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+e e en n e e ．四、求两平行平面间的距离例4 如图6，在棱长为1的正方体中．求平面与平面间的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面与平面平行．设平面的一个法向量，则即．平面与平面间的距离．。

苏教版高中数学选修2-1 空间向量的运算及应用教案

空间向量的运算及应用基础知识整合1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使□01a ＝λb . (2)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使□02p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得□03p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个□04基底．推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP →＝□05xOA →＋yOB →＋zOC →.2．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积 ①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②a ⊥b ⇔□06a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)． ③|a |2＝□07a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ①|a |＝a 21＋a 22＋a 23；②a ＋b ＝□08(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； ③a －b ＝□09(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； ④λa ＝□10(λa 1，λa 2，λa 3)； ⑤a ·b ＝□11a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3； ⑥设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 AB →＝□12(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)； ⑦cos 〈a ，b 〉＝□13a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A ，B ，C 三个点共线，即证明AB →与AC →共线(或A B →与B C →共线；或A C →与B C →共线)．(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明PA →＝xPB →＋yPC →，或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →，或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．1．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与 μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋，2μ－1＝0，2λ＝2k .解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.故选A.2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.145D ．2答案 D解析由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，又a 2＝14，a ·b ＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BA →＋BC →＋DD 1→＝( )A.D 1B 1→B.D 1B →C.DB 1→D.BD 1→答案 D解析 BA →＋BC →＋DD 1→＝CD →＋BC →＋DD 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→，故选D.4．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交答案 B解析 ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，∴n ＝－2a ，即a ∥n ，∴l ⊥α.故选B. 5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案－2515解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2515.6．(2018·江苏启东中学期中)已知向量a ＝(2，－1,2)，b ＝(－1,3，－3)，c ＝(13,6，λ)，若向量a ，b ，c 共面，则λ＝________.答案 3解析因为a ＝(2，－1,2)，b ＝(－1,3，－3)，c ＝(13,6，λ)，且a ，b ，c 共面，所以存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ，所以(13,6，λ)＝(2x －y ，－x ＋3y,2x －3y )，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝13，－x ＋3y ＝6，2x －3y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝5，λ＝3.核心考向突破考向一空间向量的线性运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 触类旁通用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．即时训练 1.在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示OG →，MG →.解 OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AN →＝OA →＋23(ON →－OA →)＝OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB →＋OC →－OA →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.MG →＝OG →－OM →＝OG →－12OA →＝13OA →＋13OB →＋13OC →－12OA →＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.考向二共线向量与共面向量定理的应用例2 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为△A 1BD 的重心，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示AC 1→，AG →，并证明A ，G ，C 1三点共线．解 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c . AG →＝AA 1→＋A 1G →＝AA 1→＋13(A 1D →＋A 1B →)＝AA 1→＋13(AD →－AA 1→)＋13(AB →－AA 1→)＝13AA 1→＋13AD →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c . 因为AC 1→＝3AG →，所以A ，G ，C 1三点共线．触类旁通证明三点共线和空间四点共面的方法比较即时训练 2.如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内．当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，所以MN ∥平面ABB 1A 1. 考向三空间向量的数量积角度1 坐标法例3 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求c ； (2)求a 和b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解 (1)∵c ∥BC →，∴c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )． ∴|c |＝－2m2＋－m2＋m2＝3|m |＝3.∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝－2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010.∴a 和b 夹角的余弦值为－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0.∴k ＝2或k ＝－52.即当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，k ＝2或k ＝－52.角度2 基向量法例4 已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)证明：AA 1⊥BD .解 (1) 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2.a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c ＝2×1×cos120°＝－1.∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝1＋1＋22－2－2＝2. ∴|AC 1→|＝ 2.即AC 1长为 2. (2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c ) ＝a ·b －a ·c ＋b 2－b ·c ＋b ·c －c 2＝1＋12－22＝－2.又|A 1D →|2＝(b －c )2＝b 2＋c 2－2b ·c ＝1＋4＋2＝7， ∴|A 1D →|＝7. ∴cos 〈AC 1→，A 1D →〉＝AC 1→·A 1D→|AC 1→||A 1D →|＝－22×7＝－147. ∴异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ， ∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1－(－1)＝0. ∴AA 1→⊥BD →，即AA 1⊥BD . 触类旁通空间向量数量积计算的两种方法①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.②坐标法：设a ＝x 1，y 1，z 1，b ＝x 2，y 2，z 2，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ②|a |＝a 2.③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.即时训练 3.已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C解析由于a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，即a ·c ＝－7.又|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，所以〈a ，c 〉＝120°.4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 为PC 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求AC 与PD 所成角的余弦值．解 (1)证明：结合图形知，PB →＝AB →－AP →，DM →＝12(DP →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AP →－AD →＋AB →－12AD →＝12AP →＋12AB →－34AD →，则PB →·DM →＝(AB →－AP →)·( 12AP →＋12AB →－34AD → )＝12|AB →|2－12|AP →|2＝0，故PB ⊥DM . (2)设PA ＝AD ＝AB ＝2BC ＝2，由于PD →＝AD →－AP →，AC →＝AB →＋12AD →，则|PD →|2＝|AD →－AP →|2＝AD→2－2AD →·AP →＋AP →2＝8，故|PD →|＝22，|AC →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →＋12AD →2＝|AB →|2＋2AB →·12AD →＋14|AD →|2＝5，故|AC →|＝5，PD →·AC →＝(AD →－AP →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＝2，故cos 〈PD →，AC →〉＝222×5＝1010.。

高中数学(苏教版选修2-1)课件第3章空间向量与立体几何3.2.2精选ppt课件

【解析】 ∵n＝－2a，∴n∥a，又 n 是平面 α 的法向量，所以 l⊥α.
【答案】垂直
4 ．已知不重合的平面 α ， β 的法向量分别为 n1 ＝ 12，3，－1 ， n2 ＝
－16，－1，13，则平面 α 与 β 的位置关系是________. 【导学号：09390083】
∵P→D＝0，2 3 3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．
【解析】 ∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故 α∥β.
【答案】平行
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________

数学选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2

§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：的法向量分别为μ，v，则设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×) 3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量．解由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)．反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．类型二证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)．证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________．答案平行解析设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设存在满足题意的点E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)．答案 ③解析显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)．答案 ④解析由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________．答案 x －3y －z ＋4＝0解析由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)．又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简，得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________．答案－8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________．答案 12解析因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________．答案 ±2解析易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________．答案 4解析因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线，所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________．答案－1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________．答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7，即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________.答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.答案－3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z. ∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________．答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行，∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________.答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5.二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)，所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ，所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面；(2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )，当z ＝12时，AP →＝BQ →，即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

苏教版数学选修2-1：3.2 空间向量的应用3.2.2

1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则l 与α的位置关系为________．解析：∵u ＝(－2，0，－4)＝－2×(1，0，2)＝－2a ， ∴u ∥a ，∴l ⊥α. 答案：l ⊥α2.平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是__________．解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1，2，0)·(2，－1，0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直．答案：垂直3.设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于__________．解析：由题意知，向量(1，－2，2)与向量(2，λ，4)共线， ∴21＝λ－2＝42，∴λ＝－4. 答案：－4[A 级基础达标]1.已知直线l 的方向向量为u ＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2，1，－4)，则l 与α的位置关系为__________．解析：∵u ·v ＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋4＝0， ∴u ⊥v ，∴l ∥α或l ⊂α. 答案：l ∥α或l ⊂α2.已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n ＝(2，4，1)，且l ⊄α，则l 与α的位置关系是__________．解析：因为v ·n ＝2－4＋2＝0，所以v ⊥n ，又l ⊄α，所以l ∥α. 答案：l ∥α3.已知直线l 的方向向量v ＝(2，－1，3)，且过点A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z ＝__________．解析：由已知得BA →＝(1，y －2，3－z )，依题意BA →∥v ，所以12＝y －2－1＝3－z 3.所以y ＝32，z ＝32，得y －z ＝0. 答案：04.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，2)，DE →＝(x ，－3，6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝__________．解析：若DE ∥平面ABC ，则存在实数对λ、μ，使得DE →＝λAB →＋μBC →. 即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝x 5λ＋μ＝－3－2λ＋2μ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2x ＝5. 答案：55.若直线l 的方向向量为v ＝(2，2，2)，向量m ＝(1，－1，0)及n ＝(0，1，－1)都与平面α平行，则l 与α的位置关系为__________．解析：因为v ·m ＝2－2＋0＝0，v ·n ＝0＋2－2＝0，所以v ⊥m ，且v ⊥n ，又m 、n 不平行，所以v ⊥α，即l ⊥α.答案：l ⊥α6.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在DB ，D 1C 上，且DE ＝D 1F ＝23a ，其中a 为正方体棱长，求证：EF ∥平面BB 1C 1C .证明：建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，则E (a 3，a 3，0)，F (0，a 3，2a 3)，故EF →＝(－a 3，0，2a 3)，又AB →＝(0，a ，0)显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量，而AB →·EF →＝(0，a ，0)·(－a 3，0，2a 3)＝0，∴AB →⊥EF →.又EF ⊄平面BB 1C 1C ，因此EF ∥平面BB 1C 1C . 7.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥平面A 1FG .证明：连结D 1F ，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为1.∴D (0，0，0)，E (1，1，12)，A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，G (1，12，0)，F (0，12，0)．∴AE →＝(0，1，12)，A 1G →＝(0，12，－1)，GF →＝(－1，0，0)．∴AE →·A 1G →＝0＋12－12＝0，AE →·GF →＝0＋0＋0＝0. ∴AE →⊥A 1G →，AE →⊥GF →， ∵A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . 又AE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面A 1GF .[B 级能力提升]8.若直线a 与b 是两条异面直线，它们的方向向量分别为v 1＝(1，1，－1)和v 2＝(2，－3，2)，又a 与b 的公垂线的方向向量为v ＝(x ，y ，5)，则x ＋y ＝__________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧v ·v 1＝x ＋y －5＝0v ·v 2＝2x －3y ＋10＝0，所以x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5. 答案：59.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 1与平面AD 1C 的位置关系是__________；A 1B 与平面DD 1C 1C 的位置关系是__________．解析：A 1B 1与平面AD 1C 相交．由A 1B ∥CD 1，又A 1B ⊄平面DD 1C 1C ，CD 1⊂平面DD 1C 1C ，∴A 1B ∥平面DD 1C 1C .答案：相交平行 10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F .证明：(1)直线P A ∥平面EDB ； (2)直线PB ⊥平面EFD .证明：以D 为原点，以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)∵E 是PC 的中点， ∴E (0，1，1)， ∵AP →＝(－2，0，2)，DE →＝(0，1，1)， BE →＝(－2，－1，1)，∴AP →＝DE →＋BE →. 又PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .(2)∵BP →＝(－2，－2，2)，又BP →·DE →＝(－2，－2，2)·(0，1，1)＝0， ∴BP →⊥DE →，∴BP ⊥DE .又BP ⊥EF ，且EF ∩DE ＝E ，∴直线PB ⊥平面EFD .11.(创新题)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点， (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定点E 的位置．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，(1)证明：A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，m )，则A 1E →＝(－a ，a ，m －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，所以A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋0＝0，所以A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)法一：设BD 的中点为O ，连结OE ，OA 1，则O (a 2，a2，0)，所以OE →＝(－a 2，a 2，m )，BD →＝(－a ，－a ，0)，因为△BCE ≌△DCE ，所以ED ＝EB ，所以OE ⊥BD ，又OA 1→＝(a 2，－a 2，a )，所以OA 1→·BD →＝0，所以OA 1⊥BD ，所以∠A 1OE 是二面角A 1－BD －E 的平面角，因为平面A 1BD ⊥平面EBD ，所以∠A 1OE ＝π2，所以OA 1→·OE →＝0，即－a 24－a 24＋am ＝0，∴m ＝a 2.故当E 为CC 1的中点时，能使平面A 1BD ⊥平面EBD . 法二：E 为CC 1的中点．证明如下：由E 为CC 1的中点得E (0，a ，a2)，设BD 的中点为O ，连结OE ，OA 1，则O (a 2，a2，0)，所以OE →＝(－a 2，a 2，a 2)，BD →＝(－a ，－a ，0)，则OE →·BD →＝0，OE →⊥BD →，即OE ⊥BD .又OA 1→＝(a 2，－a 2，a )，所以 OA 1→·BD →＝0，所以OA 1⊥BD ，所以∠A 1OE 是二面角A 1－BD －E 的平面角．所以OA 1→·OE →＝－a 24－a 24＋a 22＝0，所以OA 1→⊥OE →，故OA 1⊥OE ，即∠A 1OE ＝π2，所以平面A 1BD ⊥平面EBD .所以当E 为CC 1的中点时，能使平面A 1BD ⊥平面EBD .。

苏教版高中数学选修(2-1)-3.2典型例题：空间向量在空间平行垂直中的应用 (1)

空间向量在空间平行垂直中的应用题型一利用空间向量证明平行问题例1 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N分别是C 1C 、B 1C 1的中点。

求证：MN ∥平面A 1BD 。

思维启迪：证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行；也可以寻找平面的法向量。

证明方法一如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )。

则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)。

又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0， ∴MN →⊥n ，又MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD 。

方法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→， ∴MN →∥DA 1→，又∵MN 与DA 1不共线，∴MN ∥DA 1，又∵MN ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD 。

探究提高用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示。

本题易错点：只证明MN ∥A 1D ，而忽视MN ⊄平面A 1BD 。

练习：如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1学案第三章空间向量与立体几何总结

第11课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】如图,在▱ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角,求B,D间的距离.(见学生用书P71)(例1)[规范板书]解因为∠ACD=90°,所以·=0.同理·=0.因为AB和CD成60°角,所以<·>=60°或120°.因为=++,所以2=+2++2·+2·+2·=+++2·=3+2×1×cos<,>,所以||=2或,即B,D间的距离为2或.[题后反思]用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求两条异面直线所成的角,求两点间的距离或线段的长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.(1)求向量m和n所成的角:首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos<m,n>=.(2)由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是常见的思维障碍.向量性质中的|a|2=a·a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可将线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.变式如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(变式)(1)求证:C1C⊥BD;(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?(见学生用书P71)[处理建议]用基向量法解此类问题的关键是找出合适的基底,本题可以用{,,}作为一个基底.[规范板书]解(1)设=a,=b,=c,|a|=|b|=r,|c|=t,则a·b=r2,a·c=rt,b·c=rt.而·=·(-)=-c·(b-a)=a·c-b·c=rt-rt=0,∴C1C⊥BD.(2)=++=---=-(a+b+c),=-=a-c,=-=b-c.∵A1C⊥平面C1BD,∴即∴即得r2-rt-t2=0,解得r=t.因此,当=1时,A1C⊥平面C1BD.[题后反思]当空间图形不适合建立空间直角坐标系时,一般选用基向量法.【例2】如图(1),在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.(例2(1))(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.(见学生用书P71)[规范板书]解(1)连结AC,交BD于点G,连结EG.以D为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz.设DC=a,则A(a,0,0,),P(0,0,a),E,G,(例2(2))所以=(a,0,-a),=,所以=2,则PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0),所以=(a,a,-a).又=,故·=0+-=0,所以PB⊥DE.又EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.(3)设点F的坐标为(x0,y0,z0),=λ,则(x0,y0,z0-a)=λ(a,a,-a),从而x0=λa,y0=λa,z0=(1-λ)a,所以==.由EF⊥PB知,·=0,即-λa2+a2-a2=0,解得λ=,所以点F的坐标为,且=,=-,-,-,所以·=--+=0,即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.因为·=-+=,且||==a,||==a,所以cos∠EFD===,所以∠EFD=60°,即二面角C-PB-D的大小为60°.[题后反思](1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内某条直线的方向向量与已知直线的方向向量共线;③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法:①转化为线线平行、线面平行处理;②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量的数量积为0.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法:①转化为线线垂直、线面垂直处理;②证明两个平面的法向量互相垂直.变式如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(变式(1))(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.(见学生用书P72)[规范板书]解(1)以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图(2)).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=.(变式(2))∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z).由n⊥,n⊥,得令x=1,则n=.要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,故有-az0=0,解得z0=.又DP⊄平面B1AE,∴在棱AA1上存在一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=.(3)连结A1D,B1C.由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,∴AD1⊥平面DCB1A1,∴是平面A1B1E的一个法向量.设与n所成的角为θ,则cosθ==.又∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,∴|cosθ|=cos30°,即=,解得a=2,即AB的长为2.【例3】如图(1),已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角A-BE-C的余弦值.(见学生用书P72)(例3(1))[规范板书]解(1)以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,(例3(2))则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),所以=(2,-1,0),=(0,2,-1),所以cos<,>==-.由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是.(2)=(2,0,-1),=(0,1,-1).设平面ABE的一个法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥,n1⊥,得令x=1,则n=(1,2,2).易知平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>===.由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,所以其余弦值是-.[题后反思](1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得,即cosθ=|cos φ|;(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sinθ=|cosφ|;(3)二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.变式如图(1),在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=λAA',M,N分别为A'B和B'C'的中点.(变式(1))(1)求证:MN∥平面A'ACC';(2)若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值.(见学生用书P72)[规范板书](1)证法一连结AB',AC'.由∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'的中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN⊄平面A'ACC',AC'⊂平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.证法二取A'B'的中点P,连结MP,NP.而M,N分别为AB'与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A'ACC'.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A'ACC'.(2)解以A为坐标原点,AB,AC,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图(2)).(变式(2))设AA'=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),所以M,N.所以=,=,=.设m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的一个法向量,由得令x1=1,则m=(1,-1,λ).设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的一个法向量,由得令x=-3,则n=(-3,-1,λ).因为A'-MN-C为直二面角,所以m·n=0.即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=(负值舍去).二、补充练习1.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.(第2题)2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.3.如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(第3题)(1)求证:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.提示以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线,AC,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)可得=(0,-3,3),=(-,1,1),故ME⊥BF;(2)可求出平面BEF的法向量为(,1,2),平面ABC的法向量为=(0,0,3),从而得到两个平面所成的锐二面角的余弦值为.三、课堂小结1.本节课我们复习了空间向量及其运算,并运用向量的方法解决了有关空间直线及平面的平行、垂直和夹角等问题.2.用空间向量解立体几何问题,其基本思路:先选择向量的基底或建立空间直角坐标系,再分析已知向量和需要求解向量之间的差异,最后运用向量的代数运算或坐标运算.从已知向求解转化,体现了数形结合的重要思想.。

苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.2 直线的方向向量与平面的法向量 Word版含解析

_3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[对应学生用书P63]直线的方向向量a1，a2，a3…a n是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…a n的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合．问题2：如何表示a1，a2…a n与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…a n与该向量共线．直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.平面的法向量直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线． 2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．3．给定一点A 和一个向量a ，那么过点A ，以向量a 为法向量的平面是惟一的．[对应学生用书P63]利用直线方向向量和平面的法向量判定线面位置关系[例1] 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系： (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝(2,2，－1)． [思路点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [精解详析] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥v ，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [一点通]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析：∵b ＝－2a ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2或e 1与e 2重合．答案：平行或重合2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)．解：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)， ∴v ＝－3u ， ∴v ∥u ，即α∥β.(3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)， ∴a ·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )，∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a ·u ＝－3＋4－1＝0， ∴a ⊥u ，即l ⊂α或l ∥α.平面的法向量的求解及应用[例2] 已知点A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，求平面ABC 的一个单位法向量． [思路点拨] 可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量． [精解详析] 由于A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，所以AB u u u r＝(－3,4,0)，AC u u u r ＝(－3,0,5)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·AB u u u r＝0，且n ·AC u u u r ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋5z ＝0.取z ＝1，得x ＝53，y ＝54，于是n ＝⎝⎛⎭⎫53，54，1.又|n |＝76912，所以平面α的单位法向量是n 0＝±⎝⎛⎭⎫20769，15769，12769. [一点通]求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量AC u u u r 、AB u u u r.(2)设平面法向量的坐标为n ＝(x ，y ，z )．(3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC u u u r ＝0，n ·AB u u u r＝0.并解答． (4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标．(常数不能为0)3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解：∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB u u u r＝(1，－2，－4)，AC u u u r ＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )．依题意应有n ·AB u u u r＝0且n ·AC u u u r ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0，且x ＝2y . 令x ＝2，则y ＝1∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．4.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC u u u r ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS u u u r＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 由题意易知向量AD u u u r ＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC u u u r ＝12x ＋y ＝0，n ·DS u u u r ＝－12x ＋z ＝0.即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有：AB u u u r 、BA u u ur 、CD u u u r 、DC u u u r 四个．(2)∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA ，又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC ，所以平面VAC 的法向量有BD u u u r 、DB u u u r两个．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．[对应课时跟踪训练(二十三)]1．若直线l ⊥平面α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫12，1，2，则m 为________．解析：∵l 的方向向量与平面α的法向量平行．∴m 12＝21＝42.∴m ＝1.答案：12．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM u u u u r·n ＝0的点M 的轨迹是________．解析：AM u u u u r ·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点A 且与向量n 垂直的平面3．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0.∴m ＝－12.答案：－124．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.解析：平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB u u u r＝(－3,4,0)，AC u u u r ＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1，故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22. 又∵a >0，∴a ＝125.答案：1255．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3y ，解得x ＝12，y ＝9.答案：12 96．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)， (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC u u u r是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任一点，试写出x 、y 、z 满足的关系式．解：(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，∴BC u u u r＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量．(2)由题意AM u u u u r＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC u u u r ⊥平面α，AM ⊂α，∴BC u u u r ⊥AM u u u u r .∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0. ∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面A 1BC 1的一个法向量；(3)若M 为CD 的中点，求平面AMD 1的一个法向量．解：以A 为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u ur ，1AA u u u u r 所在直线为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a .(1)∵平面ABCD 即为坐标平面xOy ，∴n 1＝(0,0,1)为其一个法向量． (2)∵B 1D ⊥平面A 1BC 1，又∵1B D u u u u r＝(0，a,0)－(a,0，a )＝(－a ，a ，－a )， ∴n 2＝1a1B D uu u u r ＝(－1,1，－1)为平面A 1BC 1的一个法向量．(3)设n ＝(x 0，y 0，z 0)为平面AMD 1的一个法向量，∵AM u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，1AD u u u u r＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM u u u u r ＝(x 0，y 0，z 0)·⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0＝a 2x 0＋ay 0＝0，n ·1AD u u u u r ＝(x 0，y 0，z 0)·(0，a ，a )＝ay 0＋az 0＝0.令x 0＝2，则y 0＝－1，z 0＝1，∴n ＝(2，－1,1)为平面AMD 1的一个法向量．8.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝2.(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A －xyz 中，各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，由此得1B C u u u u r ＝(0,4，－2)，1CD u u u r＝(－3,0,2)；设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥1B C u u u u r ，a ⊥1CD u u u r ，从而a ·1B C u u u u r ＝0，a ·1CD u u u r ＝0，所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，3x －2z ＝0，得到⎩⎨⎧y ＝z2，x ＝2z 3.不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1C 1D 的一个法向量．(2)由题意可得1B M u u u u r＝(x －3，y ，z －2)，因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量，所以a ⊥1B M u u u u r ，从而a ·1B M u u u u r＝0，即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24，所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.。

苏教版数学高二- 选修2-1教案 3.1.3-4 空间向量基本定理和坐标表示

3.1.3-4空间向量基本定理和坐标表示●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量．(2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线．2．过程与方法(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量．(2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算．(3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用．3．情感、态度与价值观能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯．●重点难点重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示．难点：用基底表示空间向量．教学时，应采用类比思维的方法，先回顾平面向量基本定理及坐标表示，得出空间向量基本定理及坐标表示，降低问题的难度，在具体的常见几何体(正方体、三棱锥、棱柱)中，展示用基底表示空间向量的方法与过程，突出本节的重点，化解教学的难点．●教学建议空间向量基本定理是向量法研究立体几何问题的基石，是本章的重中之重，空间向量的坐标表示及坐标运算，是坐标法研究立体几何的工具．因此本节课是全章内容的工具性内容，为学生学习立体几何提供新角度、新手段、新方法．由于学生已学习了平面向量基本定理及坐标运算，因而本节宜采用类比教学法，多发挥学生自主探究能力，通过回顾→类比→完善→应用的环节获取新知识，应用新知识．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机辅助教学，增加教学的直观性和趣味性．●教学流程回顾平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，强调基向量的不共面性，线性表示的惟一性，常见几何体中基底的一般选法，定义单位正交基，推导空间向量基本定理的推论.⇒回顾平面向量的坐标表示，得出空间向量的坐标表示，理清向量坐标的实际意义，向量坐标与点坐标的关系．⇒回顾平面向量线性运算的坐标表示，得出空间向量的线性运算的坐标表示，向量坐标与起始点坐标的关系，共线向量的坐标条件．⇒通过例1及变式训练，让学生掌握基底的选取条件，即不共面向量，加深对基底概念的理解．⇒通过例2及变式训练，让学生掌握如何选取基向量，如何用基底表示某一向量，在具体操作中运用向量的线性运算法则．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握向量坐标运算法则，掌握如何运用起点、终点坐标表示向量坐标．⇒通过例4及变式训练，让学生掌握向量共线的坐标条件的应用，由此判定向量共线或求值．⇒通过易错易误辨析，让学生分清向量共线与向量同向的区别，以免概念混淆，解题出错．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2．理解空间向量坐标的定义，掌握其坐标表示，掌握向量加法、减法及数乘的坐标运算法则．(重点)3．基向量的选取及应用．(易错点)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝x e1＋y e2＋z e3.基底基向量123是空间不共面的三个向量，则把1e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．正交基底单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．空间向量基本定理推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z)，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.空间向量的坐标【问题导思】空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？【提示】在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．在空间直角坐标系中，设A(a 1，b 1，c 1)，B(a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标．空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？【提示】坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)向量的加法a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)向量的减法a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘向量λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，λ∈R基底的判断已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD →＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．【思路探究】判断{OA →，OB →，OC →}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假设其共面，利用共面向量定理分析；求OD →的表示式，设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，利用待定系数法求系数．【自主解答】假设OA →、OB →、OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y(e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y)e 1＋(x ＋y)e 2＋(2x －y)e 3， ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →， ∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p(e 1＋2e 2－e 3)＋q(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z(e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z)e 1＋(2p ＋q ＋z)e 2＋(－p ＋2q －z)e 3∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30，∴OD →＝17OA →－5OB →－30OC →.1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．【解】假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }是空间的一个基底， ∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝1λ＝1λ＋μ＝0，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．用基向量表示空间向量图3－1－10如图3－1－10，四棱锥P －OABC 的底面为矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.【思路探究】选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量【自主解答】连结OB ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(－OA →－OC →＋OP →)＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a ＋12(－b ＋c )＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12PC →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b＋12c . EF →＝12CB →＝12OA →＝－12a .1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的．2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．图3－1－11如图3－1－11，在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，AB →＝a ，AD →＝b ，＝c ，M是CD′的中点，N 是C′D′的中点，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →.【解】 (1)AM →＝12(AC →＋)＝12(AB →＋AD →＋AD →＋)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (2)AN →＝12(＋)＝12[(AB →＋AD →＋)＋(AD →＋)]＝12(AB →＋2AD →＋2)＝12a ＋b ＋c .空间向量的坐标运算已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．【思路探究】利用向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标求出AB →，AC →，然后进行坐标运算得到OP →，AP →，从而可确定点P 的坐标．【自主解答】 AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z)，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．由(1)知，AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3y ＋1＝32z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝12z ＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．1．牢记运算法则是正确进行向量线性运算的关键．2．涉及已知点的坐标进行向量运算时，注意利用终点的坐标减去起点的坐标得到向量的坐标，这是向量运算的前提．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，求AB →，AC →及2AB →＋3AC →. 【解】 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)，2AB →＋3AC →＝2(1,1,0)＋3(－1,0,2)＝(2,2,0)＋(－3，0,6)＝(－1,2,6)．空间向量平行的坐标表示已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D的坐标．【思路探究】由已知条件DB ∥AC ，DC ∥AB ，转化为向量平行，用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示，可求得D 点的坐标．【自主解答】设D(x ，y ，z)，则DB →＝(－x,1－y ，－z)，AC →＝(－1,0,2)，由DB ∥AC ，设DB →＝λAC →，即(－x,1－y ，－z)＝(－λ，0,2λ)，则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－λ，1－y ＝0，－z ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝1，z ＝－2λ，得D(λ，1，－2λ)．∴DC →＝(－λ，－1,2＋2λ)，AB →＝(－1,1,0)．又DC →∥AB →，设DC →＝μAB →，即(－λ，－1,2＋2λ)＝(－μ，μ，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝－μ，－1＝μ，2＋2λ＝0.解得λ＝μ＝－1.∴点D 的坐标为(－1,1,2)．1．本例中，求点D 的坐标，主要是利用两向量平行的坐标条件，列出关于点D 的坐标的方程组，通过解方程组求得．2．两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，②⎩⎪⎨⎪⎧x1＝λx2y1＝λy2z1＝λz2，依此，既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行．【解】∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1.∴λ＝0，μ∈R，即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行.误解“两向量平行”和“两向量同向”已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，求x，y 的值．【错解】由题意知a∥b，则x1＝x2＋y－22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x①x2＋y－2＝2x ②，把①代入②得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.【错因分析】“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解忽略了“同向”这一条件的限制，扩大了范围．【防范措施】由于向量具有平移不变性，因此有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的，并且两向量同向与向量平行也是不等价的，向量平行则两向量可能同向也可能反向，因此，解决这类问题时要特别注意限制条件．【正解】由题意知a∥b，则x1＝x2＋y－22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y＝3x①x2＋y－2＝2x ②，把①代入②得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x＝－2y＝－6时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，向量a与b反向，不符合题意，故舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝3时，b＝(1,2,3)＝a，向量a与b同向，故⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝3.1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式．2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x，y，z)，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则．3．对于两向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a∥b⇔a＝λb⇔⎩⎪⎨⎪⎧x1＝λx2y1＝λy2z1＝λz2(b≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.1．下列说法正确的是________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底；②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底；③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．【解析】根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．【答案】 ③图3－1－122．如图3－1－12，已知平行六面体OABC －O′A′B′C′中，OA →＝a ，OC →＝c ，＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则OD →＝________.【解析】结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a 、b 、c 表示OD →.仔细观察会发现OD →与OA →、OC →是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．【答案】 12a ＋12c3．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝______. 【解析】设b ＝(x ，y ，z)，则a ＋b ＝(x ＋1，y －2，z ＋1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－1，y －2＝2，z ＋1＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，z ＝－2.∴b ＝(－2,4，－2)．【答案】 (－2,4，－2)4．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k. 【解】法一 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．∴k a ＋b ＝k(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)． a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16. ∴k ＝－13.法二 ∵(k a ＋b )∥(a －3b )．∴k a＋b＝λ(a－3b)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝λ，1＝－3λ，∴k＝－13.一、填空题1．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】命题q中，{a，b，c}为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a，b，c为非零向量，且为不共面向量．故q⇒p，pD⇒/q，所以命题p是命题q的必要不充分条件．【答案】必要不充分2．设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________．①{a＋b，b－a，a}；②{a＋b，b－a，b}；③{a＋b，b－a，c}; ④{a＋b＋c，a＋b，c}．【解析】因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底．【答案】③3．已知{i，j，k}为空间的一个基底，若a＝i－j＋k，b＝i＋j＋k，c＝i＋j－k，d＝3i ＋2j－4k，又d＝α a＋β b＋γc，则α＝________，β＝________，γ＝________.【解析】由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2α＋β－γ＝－4，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧α＝12β＝－1γ＝72.【答案】12－172图3－1－134．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A′B′C′D′中，E 是底面A′B′C′D′的中心，a ＝12AA′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝________，z ＝________.【解析】由题意知AA′→，AB →，AD →为不共面向量，而AE →＝AA′→＋A′E →＝AA′→＋12(A′B′→＋A′D′→)＝AA′→＋12AB →＋12AD →＝2a ＋b ＋32c ，∴x ＝2，y ＝1，z ＝32.【答案】 2 1 325．已知A(3,2,1)，B(－4,5,3)，C(－1,2,1)，则2AB →＋5AC →的坐标为________．【解析】 2AB →＋5AC →＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)．【答案】 (－34,6,4) 6．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________．【解析】根据已知a ∥b ，则有λ＋16＝2λ2且2μ－1＝0，解得：λ＝15，μ＝12.【答案】 15，12图3－1－147．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图3－1－14所示的空间直角坐标系中，DO →的坐标是________．【解析】由题意得A 1(4,0,4)，B 1(0，2,4)，由D 为A 1B 1的中点可得D(2,1,4)，故OD →＝(2,1,4)，所以DO →＝－OD →＝(－2，－1，－4)．【答案】 (－2，－1，－4) 8．有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线； ③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ①AB →∥CD →时，四点A ，B ，C ，D 可能共线也可能AB ∥CD ，故①为假命题；②AB →∥AC →时，又AB →，AC →共起点，所以A ，B ，C 三点共线，②为真命题； ③a ＝4e 1－25e 2＝－4(－e 1＋110e 2)＝－4b ，∴a ∥b ，故③为真命题；④中，k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，又e 1，e 2，e 3不共面，根据空间向量基本定理可知，只能k 1＝0，k 2＝0，k 3＝0，所以④为真命题．【答案】 ②③④二、解答题图3－1－159．如图3－1－15所示，M 、N 分别是四面体OABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.【解】 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23(ON →－12OA →)＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13(ON →－12OA →) ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →) ＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【解】分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，32，0)，A 1(0，32，2)，B 1(－12，0,2)，C 1(12，0,2)，所以AA 1→＝(0,0,2)，AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→＝(12，－32，2)．11．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标．(2)是否存在实数x ，y ，使AC →＝xAB →＋yBC →成立．若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设D(x ，y ，z)，则有 DB →＝(－x,1－y ，－z)，AC →＝(－1,0,2)， DC →＝(－x ，－y,2－z)，AB →＝(－1,1,0)．∵DB→∥AC→，DC→∥AB→，∴DB→＝λ1AC→且DC→＝λ2AB→，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x＝－λ11－y＝0－z＝2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧－x＝－λ2，－y＝λ2，2－z＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝λ1y＝1z＝－2λ1且⎩⎪⎨⎪⎧x＝λ2，y＝－λ2，z＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝－1，y＝1，z＝2，∴D点坐标为(－1,1,2)．(2)∵AC→＝(－1,0,2)，AB→＝(－1,1,0)，BC→＝(0，－1,2)，假设满足条件的x，y存在，即AC→＝xAB→＋yBC→，也即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y，2y)＝(－x，x－y,2y)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－x，x－y＝0，2＝2y，解得x＝1，y＝1.∴存在实数x＝1，y＝1，使AC→＝xAB→＋yBC→成立．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M分AC→成的比为1∶2，N分A1D→成的比为2∶1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量MN →.【思路探究】由于AB →、AD →、AA 1→三个向量不共面，故AB →，AD →，AA 1→可作为一个基底来表示空间中的向量MN →.【自主解答】如图，连结AN ，则MN →＝MA →＋AN →. 由已知四边形ABCD 是平行四边形，可知AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，又M 分AC →成的比为1∶2，故MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )．∵N 分A 1D →成的比为2∶1，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND → ＝AD →－13A 1D →＝13(c ＋2b )，∴MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )．1．由基底表示空间任一向量，首先明确基底是哪三个向量，然后将所求向量进行分解，分解时主要看三种运算，即相加、相减与数乘(倍数关系)．2．用基底表示一个空间向量，要注意数形结合，结合图形逐步转化．如图，已知矩形ABCD 中，P 为面ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM →＝2MC →，PN →＝ND →，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．【解】取PC 的中点E ，连结NE ，则MN →＝EN →－EM →.∵EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →，EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC → ＝16PC →，连结AC ，则PC →＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →. ∴MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.。

苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2如何利用向量确定点、线、面在空间的位置？

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高中数学 3.2 如何利用向量确定点、线、面在空间的位置？
答：立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，用向量表示点、直线、平面在空间中的位置，是利用空间向量解决立体几何问题的基础和关键．
（1）利用向量确定点的位置
在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用OP 来表示．我们把向量OP 称为点P 的位置向量．
（2）利用向量确定直线的位置
设点A 是直线l 上一点，向量a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取=AB a ，那么对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =．这样，点A 和向量a 就可以确定直线l 的位置，同时还可以具体表示出l 上的任意一点．
（3）平面α的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量；给定一点A 和一个向量a ，那么，过点A ，以向量a 为法向量的平面是完全确定的．
如何求一个平面的法向量？
答：求法向量的步骤：（1）设出平面的法向量),,(z y x =；（2）找出平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(321321b b b a a a ==；（3）根据法向量的定义建立关于z y x ,,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0；（4）解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量。

苏教版高中数学选修(2-1)-3.1知识归纳：空间向量及其运算

空间向量及其运算一．空间向量及其加减运算二．空间向量的数乘运算1．空间向量的概念：(1) 在空间，我们把具有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。

(2) 向量的表示：几何表示法:用有向线段表示；字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

2．空间向量的加减运算：加法运算：平行四边形法则和三角形法则；减法运算：三角形法则。

3. 共面向量的定义：一般地，平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

4．共面向量的判定；平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是λ=，类比到空间向量，即有共面向量定理如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得y x +=α.这就是说，向量可以由不共线的两个向量b a ,线性表示。

5．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。

6．若b a ,为不共线且同在平面α内，则p 与b a ,共面的意义是p 在α内或//p 。

三．空间向量的数量积运算1．夹角的定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则A O B ∠叫做向量与向量的夹角，记作><,.规定：π>≤≤<,0。

2．数量积：已知两个非零向量,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos ||||叫作向量,的数量积，记作⋅，即⋅＝><,cos ||||。

特别的，,<=⋅。

3．空间向量的数量积的运算律：)()(⋅=⋅λλ；⋅=⋅（交换律）； ⋅+⋅=+⋅)(（分配律）。

4．如果0,>=<，那么与同向；如果π>=<,，那么与反向；如果090,>=<，那么与垂直，记作⊥。

5．空间向量数量积的性质：（1）0a b a b ⊥⇔=（用于判定垂直问题）；（2）2a a =（用于求模运算问题）；（3）cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅（用于求角运算问题）。

2013优化方案数学苏教版选修2-1课件3.2空间向量的应用3.2.2

做一做
2.(1)已知m＝(8,3,a),n＝(2b,6,5),若m∥n,则a＋ b的值为________. (2)已知m＝(1,5,－2),n＝(a,2,a＋2),若m⊥n,则a 的值为________.
解析:(1)∵m∥n,∴(8,3,a)＝k(2b,6,5),即 8＝ 2bk,3＝6k,a＝5k,∴k＝12,故 a＝52,b＝8, 所以 a＋b＝52＋8＝221.
2.用向量法证明两直线平行
若
→ AB
＝
λ
→ CD
,
λ
∈ R(A,B,C
不共线 ), 则
AB∥CD.
3.用向量法证明线面平行
(1)转化为线线平行;
(2)若存在惟一 x,y∈R 使A→B＝xC→D＋yE→F,
且 AB 不在平面 CDEF 内,则 AB∥平面
CDEF;
(3)PA＝PB＝PC＝3 是为了各点的坐标尽量不出现分数，也可设为 1，设为 a，都可以.
∴E→G·P→G＝1－1＝0,E→G·B→C＝3－3＝0, ∴EG⊥PG,EG⊥BC, ∴EG 是 PG 与 BC 的公垂线段.(14 分)
【名师点评】证明面面垂直通常有两种方法:一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互相垂直.
(2)∵m⊥n,∴1×a＋5×2－2×(a＋2)＝0,∴ a＝6. 答案:(1)221 (2)6
典题例证•技法归纳
题型探究
题型一证明直线与平面平行例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是B1D1的
中点,求证:B1C∥平面ODC1.
【证明】建立如图所示的空间直角坐标
系,
设正方体的棱长为 1, 则

高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分_第3章_3.1_3.1.3_空间向量基本定理

.3.1.3 空间向量基本定理[对应学生用书P53]空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m ，再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m ”、“东600 m ”、“5楼”这三个量确定，设e 1是向南的单位向量，e 2是向东的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来．提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r.基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e 1，e 2，e 3不共面时，空间任何一向量才可以用e 1，e 2，e 3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54]基底的概念[例1] 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底． [思路点拨] 判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．[一点通] 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a ，b ，c }下，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB u u u r ，b ＝1AA u u u u r ，c ＝AD u u u r ，则x ＝1AB u u u u r ，y ＝1AD u u u u r ，z ＝AC u u u r，a ＋b ＋c ＝1AC u u u u r.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA u u u r ＝e 1＋2e 2－e 3，OB u u u r ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC u u u r＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r }能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD u u u r＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA u u u r ＝x OB u u u r ＋y OC u u u r成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA u u u r ＝x OB u u u r ＋y OC u u u r ， ∴OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r不共面．故{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r}能作为空间的一个基底，设OD u u u r ＝p OA u u u r ＋q OB u u u r ＋z OC u u u r，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3) ＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30.∴OD u u u r ＝17OA u u u r －5OB u u u r －30OC u u u r .用基底表示向量[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r ＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH u u u r .[思路点拨] GH u u u r ＝OH u u u r －OG u u u r →用OD u u u r 表示OH u u u r →用OB u u u r、OC u u u r表示OD u u u r ，用OA u u u r 、AG u u u r 表示OG u u u r →用AD u u u r表示AG u u u r →用OD u u u r 、OA u u u r 表示AD u u u r用OB u u u r 、OC u u u r 表示OD u u u r[精解详析] GH u u u r ＝OH u u u r －OG u u u r ，∵OH u u u r ＝23OD u u u r，∴OH u u u r ＝23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13(b ＋c )，OG u u u r ＝OA u u u r ＋AG u u u r ＝OA u u u r ＋23AD u u u r＝OA u u u r ＋23(OD u u u r －OA u u u r )＝13OA u u u r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13a ＋13(b ＋c )， ∴GH u u u r ＝13(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ，即GH u u u r ＝－13a .[一点通]用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD 'u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r ； (2)AE u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r .解：(1)∵BD 'u u u r ＝BD u u u r ＋DD 'u u u u r＝BA u u u r ＋BC u u u r ＋DD 'u u u u r＝－AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 'u u u r ，又BD 'u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE u u u r ＝AA 'u u u r ＋A E 'u u u u r ＝AA 'u u u r ＋12A C ''u u u ur＝AA 'u u u r ＋12(A B ''u u u u r ＋A D ''u u u u r )＝AA 'u u u r ＋12A B ''u u u u r ＋12A D ''u u u u r＝12AD u u ur ＋12AB u u u r ＋AA 'u u u r 又AE u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.4．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA u u u r ＝a ，OC u u u r ＝b ，OP u u u r＝c ，E ，F分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF u u u r ，BE u u u r ，AE u u u r ，EF u u u r.解：连接BO ，则BF u u u r ＝12BP u u u r ＝12(BO u u u r ＋OP u u u r )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE u u u r ＝BC u u u r ＋CE u u u r ＝－a ＋12CP u u u r ＝－a ＋12(CO u u u r ＋OP u u u r )＝－a －12b ＋12c .AE u u u r ＝AP u u u r ＋PE u u u r ＝AO u u u r ＋OP u u u r ＋12(PO u u u r ＋OC u u u r )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c . EF u u u r ＝12CB u u ur ＝12OA u u u r ＝12a.空间向量基本定理的应用[例3] 证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨] 利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O是AC 1的中点，则AO u u u r ＝121AC u u u u r＝12(AB u u ur ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ) ＝12(AB u u ur ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )，设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点，则AP u u u r ＝AB u u u r ＋BP u u u r ＝AB u u u r ＋121BD u u uu r＝AB u u u r ＋12(BA u u u r ＋AD u u u r ＋1DD u u u ur )＝AB u u u r ＋12(－AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA u u u r1)，同理可证：AM u u u u r ＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )，AN u u u r ＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r)．由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分． [一点通]用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤： (1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底； (3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r ＝21AC u u u u r.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r， 1AB u u u u r ＝AB u u u r ＋1AA u u u u r ，1AD u u u u r ＝AD u u u r ＋1AA u u u u r ， ∴AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r＝(AB u u u r ＋AD u u u r )＋(AB u u u r ＋1AA u u uu r )＋(1AD u u u u r ＋1AA u u u u r )＝2(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r )，又1AA u u u u r ＝1CC u u u u r ，AD u u u r ＝BC u u ur ，∴AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ＝1AC u u u u r， ∴AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r ＝21AC u u u u r .6．如图，M 、N 分别是四面体O -ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA u u u r 、OB u u u r、OC u u u r 表示OP u u u r 和OQ u u u r .解：OP u u u r ＝OM u u u u r ＋MP u u u r ＝12OA u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u uu r ＋23(ON u u u r －OM u u u u r )＝12OA u u u r ＋23(ON u u u r －12OA u u u r ) ＝16OA u uu r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝16OA u u u r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r . OQ u u u r ＝OM u u u u r ＋MQ u u u u r ＝12OA u u u r ＋13MN u u u u r＝12OA u uu r ＋13(ON u u u r －OM u u u u r )＝12OA u u u r ＋13(ON u u u r －12OA u u u r ) ＝13OA u uu r ＋13×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13OA u u u r ＋16OB u u u r ＋16OC u u u r .1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：4若AE u u u r ＝122.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，OD u u u r ＋x OB u u u r ＋y OA u u u r，则x ＝________，y ＝________.解析：∵AE u u u r ＝OE u u ur －OA u u u r＝12OC u u ur －OA u u u r ＝12(OD u u ur ＋DC u u u r )－OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12AB u u u r －OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12(OB u u u r －OA u u u r )－OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12OB u u u r －32OA u u u r ， ∴x ＝12，y ＝－32.答案：12 －323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 是MN 的中点，取{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r }为基底，则OG u u u r＝________.解析：如图，OG u u u r ＝12(OM u u u u r ＋ON u u u r)＝12OM u u uu r ＋12×12(OB u u u r ＋OC u u u r ) ＝14OA u uu r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝14(OA u uu r ＋OB u u u r ＋OC u u u r )．答案：14(OA u uu r ＋OB u u u r ＋OC u u u r )4．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC 'u u u u r ＝x AB u u u r＋2y BC u u u r －3z CC 'u u u r ，则x ＋y ＋z ＝________.解析：∵AC 'u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CC 'u u u r ＝x AB u u u r＋2y BC u u u r －3z CC 'u u u r ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1，即x ＝1，y ＝12，z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面， ∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3. 又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 和A 1D 的一个三等分点，且AM MC ＝12，A 1NND＝2，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u u r .解：如图所示，连接AN ，则MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r由ABCD 是平行四边形，可知AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r＝a ＋b ，MA u u u r ＝－13AC u u u r ＝－13(a ＋b )．ND u u u r ＝131A D u u uu r ＝13(b －c )，AN u u u r ＝AD u u u r ＋DN u u u r ＝AD u u u r －ND u u u r ＝b －13(b －c )＝13(c ＋2b )，所以MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )． 8．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA u u u r ＝a ，OC u u u r ＝b ，OO 'u u u r＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB 'u u u r 、O B 'u u u u r 、AC 'u u u u r ； (2)GH u u u r(G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB u u u r ′＝OB u u u r ＋BB 'u u u r ＝OA u u ur ＋OC u u u r ＋OO 'u u u r ＝a ＋b ＋c ， O B 'u u u u r ＝O O 'u u u u r ＋OB u u u r ＝O O 'u u u u r ＋OA u u u r ＋OC u u u r ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC 'u u u u r ＝AC u u u r ＋CC u u u r ′＝AB u u u r ＋AO u u u r ＋AA 'u u u r＝OC u u u r ＋AA 'u u u r －OA u u ur ＝b ＋c －a . (2)GH u u u r ＝GO u u u r ＋OH u u u r ＝－OG u u u r ＋OH u u u r＝－12(OB u u ur ′＋OC u u u r )＋12(OB 'u u u r ＋OO 'u u u r )＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．。

苏教版数学选修2-1：3.2 空间向量的应用3.2.3

1.(2011·高考辽宁卷改编)如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是__________．①AC ⊥SB ；②AB ∥平面SCD ；③SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角；④AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角．解析：易证AC ⊥平面SBD ，因而AC ⊥SB ，①正确；AB ∥DC ，DC ⊂平面SCD ，故AB ∥平面SCD ，②正确；由于SA ，SC 与平面SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同．答案：④2.已知直线l 1的一个方向向量为a ＝(1，－2，1)，直线l 2的一个方向向量为b ＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为__________．解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1×2＋（－2）×（－2）6×8＝32，所以两直线所成角的余弦值为32. 答案：323.若直线l 的方向向量为a ＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量为n ＝(4，0，1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于__________．解析：sin θ＝|a ·n ||a ||n |＝|（－2）×4＋1×1|14×17＝23834.答案：238344.若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m ＝(0，0，3)，n ＝(8，9，2)，则这个锐二面角的余弦值为__________．解析：cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝3×29×149＝2149149.答案：21491495.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 所成的角为__________．解析：分别以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．设D 1A 1＝a ，D 1C 1＝b ，D 1D ＝c ，则M (a ，b ，c 2)，N (a2，b ，0)，C (0，b ，c )，A (a ，0，c )，∴NM →＝(a 2，0，c 2)，MC →＝(－a ，0，c 2)．又∵∠CMN ＝90°，∴NM →·MC →＝0.∴a 2＝c 22.又∵D (0，0，c )，∴DM →＝(a ，b ，－c 2)，AD 1→＝(－a ，0，－c )，∴DM →·AD 1→＝－a 2＋c 22＝0.∴DM →⊥AD 1→. 答案：90°[A 级基础达标]1.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是________．解析：不妨设棱长为2，选择基向量{BA →，BB 1→，BC →}，则AB 1→＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，所以cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·（BC →＋12BB 1→）|AB 1→||BM →|＝0－2＋2－0|AB 1→||BM →|＝0，故异面直线AB 1和BM 所成角的大小是90°. 答案：90°2.在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n 1＝(0，－1，3)和n 2＝(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为__________．解析：由cos 〈n 1，n 2〉＝0－2＋1210×24＝156，知这个二面角的余弦值为156或－156.答案：156或－1563.在平面直角坐标系中，已知A (2，3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A －Ox －B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ等于__________．解析：过A 、B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′、B ′(图略)，则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26，由AB →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′B →，得|AB →|2＝|AA ′→|2＋|A ′B ′→|2＋|B ′B →|2＋2|AA ′→|·|B ′B →|cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)，∴cos θ＝49.答案：494.在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC＝12a ，这时二面角B －AD －C 的大小为__________．解析：依题意∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，在△BCD 中，BD ＝CD ＝a2，BC＝12a ，所以二面角B —AD —C 的大小为60°. 答案：60°5.在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成角的正切值为__________．解析：连结BD ，则G ∈BD ，由PD ⊥面ABCD 知∠PGD 为所求角．因为PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 重心，所以DG ＝23BD ＝223.因此tan ∠PGD ＝PD DG ＝324.答案：3246.如图所示，有一长方形的纸片ABCD ，长AB ＝4 cm ，宽AD ＝3 cm ，现沿它的一条对角线AC 把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD 的长．解：作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，点E ，F 为垂足，则AC ＝AD 2＋DC 2＝5 cm ，DE ＝BF ＝4×35＝125cm ，AE ＝CF ＝325＝95 cm ，EF ＝75cm.折叠后，DE 、EF 、FB 的长度保持不变，且|BD →|2＝(BF →＋FE →＋ED →)2 ＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2BF →·ED →＋2FE →·ED → ＝|BF →|2＋|FE →|2＋|DE →|2＋2|BF →||ED →|cos60° ＝(125)2＋(75)2＋(125)2＋2×(125)2×12＝48125，∴BD ＝4815 cm ，即折叠后BD 的长为4815cm.7.如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a . (1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A ，B ，A 1，C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．解：(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由已知得A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，2a )，C 1(－32a ，a2，2a )．(2)取A 1B 1的中点M ，则M (0，a 2，2a )，连结AM ，MC 1，有MC 1→＝(－32a ，0，0)，且AB →＝(0，a ，0)，AA 1→＝(0，0，2a )，∴MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→＝0，∴MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1，∵AB ∩AA 1＝A ，∴MC 1⊥面ABB 1A 1.∴AM →与AC 1→所成角即为所求的角．∵AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝94a 2，|AC 1→|＝ 3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ，|AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ，∴cos 〈AC 1→，AM →〉＝AC 1→·AM →|AC 1→||AM →|＝32，∴〈AC 1→，AM →〉＝30°，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.[B 级能力提升]8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (1，0，0)，M (1，12，1)，C (0，1，0)，N (1，1，12，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1，0，12)．∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝0×1＋12×0＋1×120＋14＋1×1＋0＋14＝25.答案：259.如图，将等腰直角三角形ABC 沿中位线DE 将其折成60°的二面角A －DE －B ，则直线AB 与平面BCDE 所成角的正切值是__________．解析：如图，∵DE ⊥平面ADC ，∴∠ADC 为二面角A －DE －B 的平面角，即∠ADC ＝60°，又AD ＝DC ，∴△ADC 为正三角形．由面ADC ⊥面BCDE ，过A 作AF ⊥DC 于F ，则AF ⊥面BCDE ， ∴∠ABF 为AB 与面BCDE 所成角．设AD ＝1，则在Rt △AFB 中，AF ＝32，BF ＝（12）2＋22＝172，∴tan ∠ABF ＝AF BF ＝32172＝5117.答案：511710.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC .已知PD ＝2，CD ＝2，AE ＝12.(1)求证：DE ⊥EC ；(2)求二面角E －PC －D 的大小．解：以D 为原点，DA →、DC →、DP →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向．建立空间直角坐标系．由已知可得D (0，0，0)，P (0，0，2)，C (0，2，0)．设A (x ，0，0)(x >0)，则有E (x ，12，0)，PE →＝(x ，12，－2)，CE →＝(x ，－32，0)．由PE ⊥CE 得PE →·CE →＝0，即x 2－34＝0，故x ＝32.(1)证明：∵DE →·CE →＝(32，12，0)·(32，－32，0)＝0，∴DE ⊥CE .(2)作DG ⊥PC 于G ，可设G (0，y ，z )．由DG →·PC →＝0得(0，y ，z )·(0，2，－2)＝0，即z ＝2y ，故可取DG →＝(0，1，2)，作EF ⊥PC 于F ，设F (0，m ，n )，则EF →＝(－32，m －12，n )．由EF →·PC →＝0得(－32，m －12，n )·(0，2，－2)＝0，即2m －1－2n ＝0.又由F 在PC 上，得n ＝－22m ＋2，故m ＝1，n ＝22，EF →＝(－32，12，22)．因为EF →⊥PC →，DG →⊥PC →，故E －PC －D 的平面角为向量EF →与DG →的夹角．故cos θ＝DG →·EF →|DG →||EF →|＝22，所以θ＝π4，即二面角E －PC －D 的大小为π4.11.(创新题)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2a ，AD ＝2a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤2)．设二面角C －AE －D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为φ，若tan θ·tan φ＝1，求λ的值．解：以D 为原点，DA →，DC →，DS →的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2a ，0，0)，B (2a ，2a ，0)，C (0，2a ，0)，E (0，0，λa )，∴EA →＝(2a ，0，－λa )，EC →＝(0，2a ，－λa )，BE →＝(－2a ，－2a ，λa )．设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥EA →，n ⊥EC →得⎩⎪⎨⎪⎧n ·EA →＝0n ·EC →＝0，即⎩⎨⎧2x －λz ＝02y －λz ＝0.取z ＝2，得n ＝(λ，λ，2)．易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为DS →＝(0，0，2a )与DC →＝(0，2a ，0)．∴sin φ＝|DS →·BE →||DS →||BE →|＝|λ|λ2＋4，cos θ＝|DC →·n ||DC →|·|n |＝|λ|2λ2＋2.∵0<θ，φ<π2，λ>0，∴tan θ·tan φ＝1⇔θ＋φ＝π2⇔sin φ＝cos θ⇔λλ2＋4＝λ2λ2＋2⇔λ2＝2，由λ∈(0，2]，解得λ＝2，即为所求．。

高中数学：3.2《立体几何中的向量方法(一)》江苏课件(苏教版选修2-1)

见，取z=1较合理。其实平面的法向量不
（ x，y，z）g(2, 2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）g(4,5,3) 0,
即24xx

r n

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
1
2y z 0 , 取z 5y 3z 0
, 1,1),
|
r n
|
3

1，得

x y

1 2 1
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？
又 x因为y uD12u1uFzur0(0所, 12以, nr1)=(0，1，所- 2以) uDu1uFur//nr
所以 D1F 平面ADE
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行
l
以向量给定nr 为一法点向A和量一的个平向面量是nr完,那全么确过定点的A. ,
r n

几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
23..一向个量平nr是面平的面所的有法法向向量量，都向互量相mu平r 行是;
与r 平ur面平行或在平面内，则有
nm 0
例
1:在正方体 uuuur
ABCD

A1 B1C1 D1

苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何疑难规律方法含答案

苏教版高中数学选修2-1 同步教案讲义1空间向量加减法运用的三个层次空间向量是办理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，一定娴熟运用加减法运算．第 1 层用已知向量表示未知向量例 1 如下图，在平行六面体―→→→ABCD － A1B1C1D 1中，设 AA1＝ a，AB＝ b，AD＝c，M，N，P分别是 AA1， BC， C1D 1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：→―→→―→(1) AP； (2) A1N ； (3)MP＋ NC1 .解(1) ∵P 是 C1D 1的中点，→ ―→――→―→→1――→∴AP ＝ AA1＋ A1D 1＋ D1P＝a＋ AD ＋2D 1C11→1b.＝a＋ c＋AB＝ a＋c＋22(2)∵ N 是 BC 的中点，―→ ―→→ → 1 →∴ A1N＝ A1A＋ AB＋ BN＝－a＋b＋ BC21 →1＝－ a＋ b＋AD＝－a＋b＋c.22(3)∵ M 是 AA 1的中点，→→ →1―→ →∴MP＝ MA＋ AP＝2 A1A ＋ AP＝－1111a＋ a＋ c＋ b ＝ a＋ b＋ c，2222―→→ ―→＝1→―→又 NC＝ NC＋ CCBC＋ AA 1121苏教版高中数学选修2-1 同步教案讲义1→―→1＝AD ＋ AA1＝ c＋ a，22→―→111∴MP ＋ NC1＝a＋b＋ c ＋ a＋ c222313＝2a＋2b＋2c.评论用已知向量来表示未知向量，必定要联合图形，以图形为指导是解题的重点．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由开端向量的始点指向末端向量的终点的向量，我们能够把这个法例称为向量加法的多边形法例．在立体几何中要灵巧应用三角形法例，向量加法的平行四边形法例在空间中仍旧成立．第 2 层化简向量例 2 如图，已知空间四边形 ABCD ，连接 AC，BD .设 M，G 分别是 BC，CD 的中点，化简以下各表达式，并标出化简结果的向量．→ →→(1) AB＋ BC＋ CD；→ 1→→→ 1 →→(2) AB＋(BD ＋ BC)； (3)AG－ ( AB＋AC )．22解→→→→→→(1)AB＋BC ＋CD ＝ AC＋ CD ＝ AD .→ 1 → →→ 1→ 1→(2)AB＋2(BD ＋ BC)＝ AB＋2BC＋2BD→→→→＝AB ＋BM ＋ MG ＝ AG.→ 1 → →(3)AG－2(AB＋ AC)→→→＝AG－ AM ＝ MG .→→→AD ，AG， MG 如下图．评论要求空间若干向量之和，能够经过平移，将它们转变为首尾相接的向量，假如首尾相接的若干向量组成一个关闭图形，则它们的和为 0.两个向量相加的平行四边形法例在空间中仍成立，求始点同样的两个向量之和时，能够考虑运用平行四边形法例．第 3 层证明立体几何问题例 3 如图，已知 M，N 分别为四周体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且 GM ∶ GA＝ 1∶3.求证： B， G， N 三点共线．→→→证明设 AB＝a，AC＝ b，AD＝ c，→→ →→ 3 →则BG＝ BA＋ AG＝ BA＋ AM41311c，＝－ a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋4444→→→→ 1 →→BN＝ BA＋AN ＝BA ＋( AC＋ AD )311 4 →＝－ a＋b＋ c＝BG.333→→→→∴BN ∥BG，又∵ BN 与BG有公共点B，∴B， G， N 三点共线．2空间向量易错点扫描易错点 1对向量夹角与数目积的关系理解不清例 1 “a·b<0 ”是“〈a，b〉为钝角”的 ________条件． (填“充足不用要”“必需不充分”“充要”“既不充足也不用要”)错解a·b<0? cos〈 a，b〉＝a·b<0 ?〈 a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈 a，b〉为钝角” |a||b|的充要条件．错因解析错解中忽视了两个向量共线且反向的状况．解析当〈 a， b〉＝π时， a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“ a·b<0”是“〈a， b〉为钝角”的必需不充足条件．正解必需不充足易错点 2忽视两向量的夹角的定义例2 如下图，在 120°的二面角α—AB —β中， AC? α， BD? β，且 AC⊥ AB， BD⊥AB ，垂足分别为 A， B.已知 AC＝ AB＝BD ＝ 6，试求线段 CD 的长．错解∵ AC⊥ AB，BD ⊥AB，→ →→ →∴CA ·AB＝ 0， BD·AB＝ 0，→→∵二面角α— AB—β的平面角为 120°，∴〈 CA， BD〉＝120°.2→ 2＝→→→2∴CD＝ CD(CA＋AB＋BD )→ 2→ 2→2→ →→ →→ →622×cos 120°＝ 72，∴ CD ＝＝ CA＋ AB ＋ BD＋ 2CA·AB＋ 2CA·BD ＋ 2BD·AB＝ 3×＋ 2× 6 6 2.错因解析错解中混杂了二面角的平面角与向量夹角的看法．向量→→CA， BD 的夹角与二面角α— AB—β的平面角互补，而不是相等．正解∵ AC⊥ AB，BD ⊥AB，→ →→ →∴CA ·AB＝ 0， BD·AB＝ 0，∵二面角α— AB—β的平面角为 120°，→→∴〈 CA， BD 〉＝ 180°－120°＝ 60°.2→ 2＝→→→2∴CD＝ CD(CA＋AB＋BD )→ 2→ 2→2→ →→ →→ →22＝CA ＋AB ＋ BD＋ 2CA·AB＋ 2CA·BD＋ 2BD ·AB＝ 3× 6＋ 2×6 ×cos 60 °＝ 144，∴ CD＝12.易错点3判断能否共面犯错例 3已知 O，A，B，C 为空间不共面的四点，→→→→ → →a＝OA＋OB＋OC，b＝OA＋OB－OC，则与a， b 不可以组成空间的一个基底的是________． (将正确答案的序号填上)→→→→→①OA；② OB；③ OC；④ OA或 OB.错解→→→→→ →a＝OA＋OB＋OC， b＝OA＋OB－OC，→→1(a＋b)，相加得 OA＋ OB＝2→→④ .所以 OA， OB都与a，b共面，不可以组成空间的一个基底，故填解析→→1→→→→OA＋ OB＝(a＋b)，说明 OA＋ OB与a，b共面，但不可以以为OA，OB都与a、b共面．2→→→→→→因为 a＝OA＋OB＋OC， b＝OA＋OB－OC，→→→代入整理得 (x＋y－ 1)OA＋ (x＋ y)OB＋ (x－ y)OC＝ 0，因为 O， A， B， C 四点不共面，→→→所以 OA， OB， OC不共面，所以 x＋ y－ 1＝ 0， x＋ y＝0， x－ y＝ 0，→此时， x， y 不存在，所以a， b 与OA不共面，→故 a， b 与OA可组成空间的一个基底．→同理 a， b 与OB也可组成空间的一个基底．→ →→→ →→→ 1→因为 a＝OA＋OB＋OC，b＝ OA＋ OB－ OC，相减有 OC＝ ( a－b)，所以 OC与a，b共面，故2不可以组成空间的一个基底．正解③易错点 4混杂向量运算和实数运算例 4阅读以下各式，此中正确的选项是________． (将正确答案的序号填上)①a·b＝ b·c(b≠0)? a＝ c②a·b＝0? a＝0或 b＝0③( a·b) ·c＝a·(b·c)→ →→ →④OA·BO＝ |OA||BO|cos(180 －°∠ AOB )错解①(或②或③ )解析想自然地将向量的数目积运算和实数运算等价，致使犯错．向量的数目积运算不知足消去律、联合律，故①③ 错误；若→ →a·b＝0? a＝0或 b＝0或 a⊥ b，故②错误；OA·BO的夹角是 180°－∠ AOB.正解④易错点 5忽视建系的前提例5 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ ABC＝ 60°， AE⊥平面 ABCD ， AE＝ 2，F 为 CE的中点，试合理成立坐标系，求→→AF ，BC所成角的余弦值．错解→→→x， y，z 轴的正方向，成立空间直角以 A 为坐标原点，以 AB， AD，AE 的方向分别为坐标系 A－ xyz.→→→ →3此时 AF＝ (1,1,1) ， BC＝ (0,2,0) ，所以 cos〈 AF ， BC〉＝3.解析空间直角坐标系的成立的前提是三条直线两两垂直，而此题中直线AB 与 AD 不垂直．正解设 AC ，BD 交于点 O，则 AC⊥ BD .因为 F 为 CE 中点，所以 OF ∥ AE，因为 AE⊥平面 ABCD ，所以 OF⊥平面 ABCD ， OF ⊥ AC， OF⊥ BD ，→→→以 O 为坐标原点，以OC， OD， OF的方向分别为x， y， z 轴的正方向，成立空间直角坐标系O－ xyz.→→3， 0)，此时 AF＝ (1,0,1) ， BC＝ (1，→ →2所以 cos〈 AF， BC〉＝4.易错点 6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误例 6 在正方体 ABCD － A1B1C1D 1中，求二面角A－BD 1－C 的大小．错解以 D 为坐标原点， DA ，DC ， DD 1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立如下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0) ，A1(1,0,1) ， C1(0,1,1) ．―→―→＝ (1,0,1)―→―→由题意知 DA1是平面 ABD1的一个法向量， DA1，DC 1是平面 BCD1的一个法向量， DC 1＝(0,1,1) ，―→―→―→ ―→1 DC 1·DA1.所以 cos〈 DA1， DC1〉＝―→ ―→＝2|DC 1||DA1 |―→ ―→所以〈 DA 1， DC1〉＝ 60°.所以二面角 A－ BD 1－ C 的大小为 60°.解析利用向量法求所成角问题，需注意所求的角确实切地点．正解以 D 为坐标原点， DA ，DC ， DD 1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立如下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0) ，A1(1,0,1) ， C1(0,1,1) ．―→＝ (1,0,1)是平面 ABD 1―→是平面 BCD 1的一个法向量．由题意知 DA1的一个法向量， DC 1＝ (0,1,1)―→ ―→―→―→DC 1·DA11所以cos〈DA，DC〉＝＝，11―→ ―→2|DC 1||DA1 |―→―→联合图形知二面角A－ BD1－ C 的大小为120°.3空间直角坐标系建立三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，重点是依靠图形成立空间直角坐标系，将其余向量用坐标表示，经过向量运算，判断或证明空间元素的地点关系，以及空间角、空间距离问题的探究．所以怎样成立空间直角坐标系显得特别重要，下边简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．1．利用共极点的相互垂直的三条棱例 1 已知直四棱柱中， AA1＝ 2，底面 ABCD 是直角梯形，∠ DAB 为直角， AB∥ CD，AB＝4，AD ＝ 2， DC＝ 1，试求异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值．解如图，以 D 为坐标原点，分别以DA ， DC ， DD1所在的直线为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系，则D (0,0,0) ，C1(0,1,2) ， B(2,4,0) ，C(0,1,0) ，―→→所以 BC1＝ (－ 2，－ 3,2)，CD ＝ (0，－ 1,0)．→→―→ ―→BC1·CD ＝ 3 17.所以 cos〈 BC1， CD〉＝―→ ―→17|BC1 ||CD |故异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值为3 17.17评论本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解重点是从直四棱柱图形中的共点的三条棱相互垂直关系处着眼，成立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和有关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．2．利用线面垂直关系例 2 如图，在三棱柱ABC－ A1B1C1中， AB⊥平面 BB1C1C， E 为棱 C1C 的中点，已知 ABπ＝2， BB1＝ 2， BC＝ 1，∠ BCC1＝3.试成立适合的空间直角坐标系，求出图中全部点的坐标．解过 B 点作 BP ⊥ BB 1 交 C 1C 于点 P ，因为 AB ⊥ 平面 BB 1C 1C ，所以 BP ⊥ 平面 ABB 1A 1 ，以 B 为原点，分别以 BP ， BB 1，BA 所在的直线为 x ， y ， z 轴，成立空间直角坐标系．π因为 AB ＝2， BB 1＝ 2， BC ＝ 1，∠ BCC 1＝，31 3 3所以 CP ＝ 2 ， C 1 P ＝ 2， BP ＝ 2 ，则各点坐标分别为B(0， 0,0)， A(0,0， 2) ， B 1(0,2,0) ，C 3，－ 1， 0 ， C3，3， 0 ， E3， 1， 0 ，A 1(0,2， 2)．2212 22 2评论空间直角坐标系的成立，要尽量地使尽可能多的点落在座标轴上，这样建成的坐标系，既能快速写出各点的坐标，又因为坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．此题已知条件中的垂直关系“ AB ⊥ 平面 BB 1C 1C ” ，可作为建系的打破口．3．利用面面垂直关系例 3 如图 1，等腰梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB ＝ AD ＝ 2，∠ ABC ＝ 60°，E 是 BC 的中点．将 △ABE 沿 AE 折起，使平面 BAE ⊥平面 AEC(如图 2)，连接 BC ，BD.求平面 ABE 与平面 BCD 所成的锐角的大小．解取 AE 中点 M ，连接 BM ， DM .因为在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ＝ AD ， ∠ABC ＝ 60°， E 是 BC 的中点，所以 △ ABE 与△ ADE 都是等边三角形，所以 BM ⊥ AE ，DM ⊥ AE.又平面 BAE ⊥平面 AEC ，所以 BM ⊥ MD .以 M 为原点，分别以 ME ， MD ， MB 所在的直线为 x ， y ， z 轴，成立空间直角坐标系M －xyz ，如图，则M(0,0,0) ， B(0,0， 3)， C(2， 3， 0)， D(0 ， 3，0) ，→→3，－3)，所以 DC＝ (2,0,0) ， BD＝ (0 ，设平面 BCD 的法向量为m＝ (x， y， z)，→m·DC＝2x＝0，取 y＝ 1，得m＝(0,1,1) ，由→3z＝ 0.m·BD＝3y－又因为平面 ABE 的一个法向量→3， 0)，MD ＝ (0，→→2 m·MD＝，所以 cos〈m， MD 〉＝→2|m||MD |所以平面 ABE 与平面 BCD 所成的锐角为 45°.评论此题求解重点是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再建立空间直角坐标系，而后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不一样求出来的角度就不一样，所以最后还应当依据这个二面角的本质形态确立其大小．4用向量法研究“动向”立体几何问题“动向”立体几何问题是在静态几何问题中浸透了一些“动向”的点、线、面等元素，同时因为“动向”的存在，使得问题的办理趋于灵巧．本文介绍巧解“动向”立体几何问题的法宝——向量法，教你怎样以静制动．1．求解、证明问题例 1在棱长为 a 的正方体OABC— O1A1B1C1中， E，F 分别是 AB， BC 上的动点，且AE＝BF ，求证： A1F⊥ C1E.证明以 O 为坐标原点， OA ，OC， OO1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立如下图的空间直角坐标系，则A1(a,0， a)， C1(0，a，a)．设 AE＝BF ＝x，∴E(a， x,0)， F(a－ x， a,0)．―→∴ A 1F ＝ (－ x ， a ，－ a)，―→C 1E ＝ (a ， x －a ，－ a)．―→ ―→∵ A 1F ·C 1E ＝ (－ x ， a ，－ a) ·(a ， x － a ，－ a) ＝－ ax ＋ ax －a 2＋a 2＝ 0，―→ ―→∴ A 1F ⊥ C 1E ，即 A 1F ⊥ C 1E. 2．定位问题例 2 如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为 1，在 DG 上能否存在点 M ，使得直线 MB 与平面 BEF 的夹角为 45°？若存在，求出点 M 的地点；若不存在，请说明原因．解题提示假定存在点 M ，设平面 BEF 的法向量为 n ，设 BM 与平面 BEF 所成的角为 θ，→ 利用 sin θ＝|BM ·n |求出点 M 的坐标，若知足条件则存在．→|BM ||n |解因为四边形 CDGF ， ADGE 均为正方形，所以 GD ⊥ DA ，GD ⊥ DC .又 DA ∩ DC ＝ D ， DA ， DC? 平面 ABCD ，所以 GD ⊥ 平面 ABCD .又 DA ⊥ DC ，所以 DA ， DG ， DC 两两相互垂直，如图，以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DG所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系，则 B(1,1,0) ， E(1,0,1) ， F(0,1,1) ．因为点 M 在 DG 上，假定存在点M(0,0， t)(0≤ t ≤ 1)使得直线 BM 与平面 BEF 的夹角为45°.设平面 BEF 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)．→ →，因为 BE ＝ (0，－ 1,1) ，BF ＝(－1,0,1)→ ＝ 0，－ y ＋ z ＝ 0，n ·BE即则→－ x ＋ z ＝ 0，n ·BF ＝ 0，令 z ＝ 1，得 x ＝y ＝ 1，所以 n ＝ (1,1,1) 为平面 BEF 的一个法向量．→→|BM ·n |又 BM ＝ (－ 1，－ 1， t)，直线 BM 与平面 BEF 所成的角为45°，所以 sin 45°＝→ ＝|BM ||n ||－ 2＋ t| ＝2，22t ＋ 2× 3解得 t ＝－ 4±3 2.又 0≤ t ≤ 1，所以 t ＝ 3 2－ 4.故在 DG 上存在点M(0,0,3 2－ 4)，且 DM ＝3 2－ 4 时，直线 MB 与平面 BEF 所成的角为45°.评论因为立体几何题中 “ 动向 ” 性的存在，使有些问题的结果变得不确立，这时我们要以不变应万变，抓住问题的本质，引入参量，利用空间垂直关系及数目积将几何问题代数化，达到以静制动的成效．5 向量与立体几何中的数学思想1．数形联合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示能够把向量问题转变为代数运算，进而交流了几何与代数的联系，表现了数形联合的重要思想．向量拥有数形兼顾的特色，所以，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地联合在一同．例 1 如图，在四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中， A 1A ⊥底面ABCD ，∠ BAD ＝90°， AD ∥ BC ，且 A 1A ＝AB ＝ AD ＝2BC ＝ 2，点 E 在棱 AB 上，平面 A 1EC 与棱 C 1D 1 订交于点 F.(1) 证明： A 1F ∥平面 B 1CE ；(2) 若 E 是棱 AB 的中点，求二面角A 1 －EC － D 的余弦值；(3) 求三棱锥 B 1－ A 1EF 的体积的最大值．(1) 证明因为 ABCD － A 1B 1C 1D 1 是棱柱，所以平面 ABCD ∥平面 A1B1C1D 1.又因为平面ABCD ∩平面 A1ECF ＝ EC，平面 A1B1C1D1∩平面 A1ECF ＝ A1 F，所以 A1F∥ EC.又因为 A1F?平面 B1CE，EC? 平面 B1CE，所以 A1F ∥平面 B1CE.(2)解因为 AA1⊥底面 ABCD ，∠BAD ＝ 90°，所以 AA1，AB，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，以AB，AD，AA1分别为 x 轴， y 轴和 z 轴，成立如下图的空间直角坐标系．则A1(0,0,2) ， E(1,0,0) ，C(2,1,0) ，―→―→＝ (2,1，－ 2)．所以 A1E＝ (1,0，－ 2)， A1C设平面 A1ECF 的法向量为m＝(x，y，z)，―→x－ 2z＝ 0，A1E ·m＝ 0，由得―→·m＝0，2x＋ y－2z＝ 0.A1C令z＝ 1，得m＝ (2，－ 2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n＝(0,0,1)，所以 cos〈m，n〉＝m·n＝1，|m||n|3由图可知，二面角A1－ EC－ D 的平面角为锐角，1所以二面角A1－ EC－ D 的余弦值为.(3)解过点 F 作 FM ⊥ A1 B1于点 M，因为平面 A1ABB1⊥平面 A1B1C1D 1，平面 A1ABB1∩平面 A1B1C1D1＝ A1B1，FM ? 平面 A1B1C1D 1，FM ⊥ A1B1，所以 FM ⊥平面 A1ABB1，1所以VB1－A1EF＝VF－B1A1E＝3×S A1B1E×FM＝1×2×2× FM ＝2F M . 323因为当 F 与点 D1重合时， FM 取到最大值 2(此时点 E 与点 B 重合 )，所以当 F 与点 D1重合时，三棱锥B1－ A1EF 的体积的最大值为4.32．转变与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题供给了工具，因此我们要擅长把这些问题转变为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，而后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转变为几何问题．这类“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤其重要．例 2 如图，在长方体 ABCD － A1B1C1D1中， AA1＝ AB＝ 2AD＝ 2，E 为 AB 的中点， F 为 D1E 上的一点， D 1F ＝2FE.(1)证明：平面 DFC ⊥平面 D 1EC；(2)求二面角 A－DF － C 的平面角的余弦值．解析求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，而后经过两个平面的法向量的夹角获得二面角的大小，但要注意联合本质图形判断所求角是锐角仍是钝角．(1) 证明以D为原点，分别以DA ，DC，DD 1所在的直线为x 轴， y 轴， z 轴成立如下图的空间直角坐标系，则D (0,0,0) ，A(1,0,0) ， B(1,2,0)， C(0,2,0) ，D1(0,0,2) ．∵E 为 AB 的中点，∴ E(1,1,0) ，∵D 1F＝2FE，―→―→2224，－ 2)＝，，－，∴ D1 F＝ D1E＝(1,133333→―→―→＋224∴DF ＝ DD 1＋ D1F＝ (0,0,2)3，，－33222＝，，.设 n ＝ (x 1， y 1， z 1 )是平面 DFC 的法向量，→ 22 2n ·DF ＝ 0，x 1＋ y 1＋ z 1＝ 0，则∴33 3→2y 1＝ 0.n ·DC ＝ 0，取 x 1 ＝1，得平面 DFC 的一个法向量 n ＝ (1,0，－ 1)．设p ＝ (x 2， y 2， z 2 )是平面 D 1EC 的法向量，―→p ·D 1F ＝ 0，则―→p ·D 1C ＝ 0，取 y 2 ＝1，得平面2 24z 2＝ 0， x 2＋ y 2－ ∴ 3 3 3 2y 2－ 2z 2＝ 0，D 1EC 的一个法向量 p ＝ (1,1,1) ，∵ n ·p ＝ (1,0，－ 1) ·(1,1,1) ＝ 0， ∴n ⊥p ，∴平面 DFC ⊥ 平面 D 1EC.(2) 解设 q ＝ (x 3， y 3， z 3)是平面 ADF 的法向量，→＝ 0，2 x 3＋ 2 y3 2q ·DF ∴ 3 3 ＋ z 3＝ 0，则3→＝ 0，x 3＝0，q ·DA 取 y 3 ＝1，得平面 ADF 的一个法向量 q ＝ (0,1，－ 1)，设二面角 A － DF － C 的平面角为 θ，由题中条件可知 π |n ·q |＝－ θ∈， π，则 cos θ＝－2|n ||q ||0＋ 0＋ 1|＝－ 1，2× 22∴二面角 A － DF － C 的平面角的余弦值为－1 2.3．函数思想例 3已知对于 x 的方程 x 2－ (t －2)x ＋t 2＋ 3t ＋ 5＝0 有两个实根，且 c ＝ a ＋ t b ，a ＝ (－ 1,1,3) ，b ＝ (1,0，－ 2)．问 |c |可否获得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不可以，请说明原因．解析写出 |c |对于 t 的函数关系式，再利用函数看法求解．4解由题意知 Δ≥ 0，得－ 4≤ t ≤ －，又 c ＝ (－ 1,1,3) ＋ t(1,0，－ 2)＝ ( －1＋ t,1,3－ 2t)，∴|c |＝－ 1＋ t 2 ＋ 3－ 2t 2＋ 15 7 2 6＝t －5 ＋ 5.当 t ∈ － 4，－ 4 时， f(t)＝ 5 t － 7 26 ∴f(t)max ＝ f(－ 4)，即 |c |的最大值存35＋是单一递减函数，5在，此时 c＝(－5,1,11)． b·c＝－27，|c|＝7 3.而|b|＝5，∴cos〈b，c〉＝b·c＝－2715＝－9|b||c|5× 7 335.评论凡波及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类议论思想例 4 如图，矩形ABCD 中， AB＝ 1， BC＝ a(a＞ 0)， PA⊥平面 ABCD (点 P 位于平面 ABCD上方 )，问 BC 边上能否存在点→ →Q，使 PQ⊥ QD？解析→ →由 PQ⊥ QD，得 PQ⊥ QD，所以在平面 ABCD 内，点 Q 在以边 AD 为直径的圆上，若此圆与边 BC 相切或订交，则BC 边上存在点 Q，不然不存在．解假定存在点 Q(Q 点在边→ →BC 上 )，使 PQ⊥QD ，即PQ⊥ QD ，连接 AQ.∵ PA⊥平面 ABCD ，∴ PA⊥ QD .→→→ → →→ →又PQ＝ PA＋ AQ且 PQ⊥ QD ，∴ PQ·QD＝0，→ →→ →即PA·QD ＋AQ·QD＝ 0.→ →→ →→ →又由 PA·QD＝ 0，∴AQ·QD＝ 0，∴ AQ⊥QD .即点Q 在以边 AD 为直径的圆上，圆的半径为a2.又∵ AB＝ 1，由题图知，当a＝ 1，即 a＝ 2 时，该圆与边 BC 相切，存在 1 个点 Q 知足题意；2当a>1，即 a>2 时，该圆与边BC 订交，存在 2 个点 Q 知足题意；2当a<1，即 0＜ a<2 时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 知足题意．2综上所述，当 a≥ 2 时，存在点→→Q，使 PQ⊥ QD ；→→当 0<a<2 时，不存在点 Q，使 PQ⊥ QD.15。

苏教版数学高二-选修2-1教案 -2 空间向量及其线性运算共面向量定理

3．1.1-2空间向量及其线性运算共面向量定理●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别．(2)理解空间向量的线性运算及其性质．(3)理解共面向量定理．2．过程与方法(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法．3．情感、态度与价值观逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力．●重点难点重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质．难点：共面向量定理的理解及应用．先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点．对于共面向量定理，完全可由平面向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点．●教学建议本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容．章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用．本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具．采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点．●教学流程回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量与平面向量的区别与联系．⇒回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律．理解单位向量、共线向量、平行向量等概念，理解共线向量定理成立的条件及作用．⇒理解共面向量的定义，区分向量共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的．⇒通过例2及变式训练，使学生体会共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关系及向量运算时，应注意零向量的特殊性．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2．体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理，证明线面平行问题．(难点)3．向量共线与共面和直线共线与共面的区别．(易混点)空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．空间向量的线性运算已知空间四边形ABCD，则AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0还成立吗？【提示】成立．根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝AA→＝0.向量加法可以推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾．空间向量的线性运算定义(或法则)空间向量的数乘空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：大小：|λa|＝|λ||a|.方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.共线向量定理【问题导思】共线向量一定是同一直线上的向量吗？【提示】共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量．对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.共面向量如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.空间向量的线性运算图3－1－1如图3－1－1，在长方体ABCD －A′B′C′D′中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：【思路探究】观察各式涉及的向量在图形中的位置特点，将减法运算转化为加法运算，利用向量加法的三角形法则即可化简．【自主解答】(3)设M 是线段AC′的中点，则12AD →＋12AB →－12＝12AD →＋12AB →＋12＝12(AD →＋AB →＋)＝12＝AM →.向量，AM →如图所示．1．进行向量的线性运算，实质是进行向量求和，解题时应抓住两条主线：一是基本“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和；二是基于“数”，熟练掌握AB →＋BC →＝AC →及向量中点公式．2．用已知向量表示空间向量，实质是向量的线性运算的反复应用．图3－1－2如图3－1－2，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别为AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示：(1)AC 1→；(2)AP →； (3)A 1N →；(4)MP →＋NC 1→.【解】 (1)AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝b ＋c ＋a . (2)∵P 为D 1C 1→的中点， ∴D 1P →＝12D 1C 1→＝12AB →＝12b ，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(3)A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN → ＝－AA 1→＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(4)∵MP →＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝12AA 1→＋AD →＋12AB → ＝12a ＋c ＋12b . NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a .∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋c ＋12b )＋(12c ＋a )＝32a ＋12b ＋32c .共线向量定理的应用图3－1－3如图3－1－3，已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD.试判断四边形EFGH 的形状．【思路探究】证明向量EH →∥FG →且模不相等．【自主解答】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF →＝2FB →，CG →＝2GD →， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →，∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴BD →＝32FG →，∴EH →＝34FG →，∴EH →∥FG →，|EH →|＝34|FG →|.又点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG ，且EH≠FG ， ∴四边形EFGH 是梯形．1．证明EFGH 为梯形，必须证明两点：①EH →∥FG →； ②|EH →|≠|FG →|.2．利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值．【解】 ∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2. ∴BD →＝BC →＋CD →＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →.∴e 1＋k e 2＝λ(6e 1＋6e 2)．∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ ，k ＝6λ ，∴k ＝1.共面向量定理的应用如图3－1－4，直三棱柱ABC －A′B′C′，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．证明：MN ∥平面A′ACC′.图3－1－4【思路探究】利用向量的线性运算得到向量MN →可以由平面A′ACC′内两个不共线的向量表示即可．【自主解答】因为MN →＝MA′→＋A′N →，且点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点，所以MN →＝12BA′→＋12(A′B′→＋A′C′→)＝12(B′A′→＋AA′→)＋12(A′B′→＋A′C′→)＝12AA′→＋12A′C′→. 因为MN ⊄平面A′ACC′，所以MN ∥平面A′ACC′.1．判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示．2．利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．【证明】令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋ν(3e 1－3e 2)＝0，则(λ＋2μ＋3ν)e 1＋(λ＋8μ－3ν)e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3ν＝0，λ＋8μ－3ν＝0，解得λ＝－5，μ＝1，ν＝1是其中一组解，则AB →＝15AC →＋15AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面.忽略零向量导致错误下列命题：①空间任意两个向量a ，b 不一定是共面的； ②a ，b 为空间两个向量，则|a |＝|b |⇔a ＝b ； ③若a ∥b ，则a 与b 所在直线一定平行； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是________．【错解】 ②【错因分析】 ①空间任意两个向量都是共面的．②向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向．③当a ∥b 时，它们所在直线平行或重合．④当b ＝0时，a 与c 不一定平行．【防范措施】向量的平行(共线)不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，不一定有a ∥c ，但当b 为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，即若b ≠0，则当a ∥b ，b ∥c 时，有a ∥c .【正解】 ①②③④1．空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛．2．共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值．3．共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题．1．在空间四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝______. 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0. 【答案】 02．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简式子：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝________.【解析】 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 【答案】 BD 1→3．有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确．【答案】 ①②③图3－1－54．如图3－1－5，在空间四边形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，试证EF →，BC →，AD →共面．【证明】空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，利用多边形加法法则可得⎭⎪⎬⎪⎫EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①中，两式相加得 2EF →＝AD →＋BC →. 所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．一、填空题1．下列命题中真命题的个数是________． ①空间中任两个单位向量必相等；②将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆； ③若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b ，则a ，b 同向； ④向量共面即它们所在的直线共面．【解析】 ①是假命题，单位向量模相等，但方向不一定相同，因此空间中任两个单位向量不一定相等；②是假命题，将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面； ③是假命题，当k>0时，a ，b 同向，当k<0时，a ，b 反向；④是假命题，表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平面，但不一定共面．【答案】 02．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝________.【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ＝－12a ＋12b ＋c .【答案】－12a ＋12b ＋c3．非零向量e 1、e 2不共线，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k ＝________. 【解析】若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则 k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1. 【答案】 ±14．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】如图， MN →＝ON →－OM → ＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】－23a ＋12b ＋12c5．如图3－1－6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为BD 1→的是________．图3－1－6①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.【解析】 (A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→，(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.【答案】 ①② 6．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】由共面向量定理知，①真；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y)使p ＝x a ＋y b 成立，故②假．同理③真，④假．【答案】 ①③7．在下列各式中，使P ，A ，B ，C 四点共面的式子的序号为________． ①OP →＝OA →－OB →－OC →； ②OP →＝17OA →＋14OB →＋12OC →；③PA →＋PB →＋PC →＝0； ④OP →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； ⑤OP →＝12OA →－OB →＋32OC →.【解析】根据四点共面的充要条件，易知①②④不适合，③⑤适合．【答案】 ③⑤8．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.【解析】如图，取AB 的中点D ， OG →＝OC →＋CG → ＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 3二、解答题图3－1－79．如图3－1－7，已知平行六面体ABCD －A′B′C′D′，M 是线段CC′的中点，G 是线段AC′的三等分点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA′→； (3)AB →＋AD →＋12CC′→；(4)13(AB →＋AD →＋AA′→)．【解】 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA′→＝AC →＋AA′→＝AC →＋CC′→＝AC′→. (3)AB →＋AD →＋12CC′→＝AB →＋BC →＋CM →＝AC →＋CM →＝AM →.(4)13(AB →＋AD →＋AA′→)＝13AC′→＝AG →. 向量AC →，AC′→，AM →，AG →如图所示．10．如图3－1－8所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．图3－1－8【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．图3－1－911．如图3－1－9，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB.【证明】因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB→＋12ED →. 因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面．因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB.已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面．(1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →； (2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.【思路探究】判断点P 是否在平面MAB 内，可先看MP →能否用向量MA →、MB →表示．当MP →能用MA →、MB →表示时，点P 位于平面MAB 内，否则点P 不在平面MAB 内．【自主解答】 (1)原式可变形为 OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋PA →＋PB →，∴OP →－OM →＝PA →＋PB →， ∴PM →＝－PA →－PB →，∴P 与M 、A 、B 共面． (2)原式可变形为OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →， ∴AP →＝－AO →－AB →－AM →，表达式中还含有AO →， ∴P 与A 、B 、M 不共面．1．解答本题中注意构造以P 、A 、B 、M 中某一点为起点，另三点为终点的三个向量来判断此三向量是否共面，若共面又共起点，此四点必共面，否则不共面．2．要证四点共面，可先作从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴13(OA →－OM →)＋13(OB →－OM →)＋13(OC →－OM →)＝0， ∴MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →三个向量是共面向量． (2)由(1)知MA →、MB →、MC →三个向量共面，又有共同起点M ，所以M 、A 、B 、C 四点共面，即点M 在平面ABC 内．。

苏教版高二数学选修2-1讲义(含答案)：第1部分第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理

3．1.2 共面向量定理[对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：AB u u u r 、AD u u u r 、11A C u u u ur 可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为AC u u u r ＝11A C u u u u r，三个向量可移到平面ABCD 内．问题2：1AA u u u u r ，AC u u u r ，1AC u u u u r三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内．问题3：1BB u u u u r 、1CC u u u u r 、1DD u u u u r三个向量是什么关系？提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．[对应学生用书P51]向量共面的判定[例1] 给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x ，y )使得OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r，则O 、P 、A 、B 四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面．其中正确命题的序号是________．[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确：因为OP u u u r 、OA u u u r 、OB u u u r共面，∴O 、P 、A 、B 四点共面；④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是AB u u u r 、1AA u u u u r 、AD u u u r，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB u u u r ＋1AA u u u u r ＋AD u u u r ；③若OP u u u r ＝12(PA u u u r ＋PB u u u r)成立，则P 点一定是线段AB 的中点；④在空间中，若向量AB u u u r 与CD u u ur 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面．⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？解：设r ＝x p ＋y q ，则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－5，∴r ＝3p －5q . ∴p 、q 、r 共面.向量共面的证明[例2] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：1AC u u u u r 与AE u u u r 、AF u u u r 共面．[思路点拨] 由共面向量定理，只要用AE u u u r 、AF u u u r线性表示出1AC u u u u r 即可．[精解详析] ∵1AC u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋131AA u u u u r ＋231AA u u u u r＝(AB u u u r ＋131AA u u u u r )＋(AD u u u r ＋231AA u u uu r )＝AB u u u r ＋BE u u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r＝AE u u u r ＋AF u u u r ， ∴1AC u u u u r 与AE u u u r 、AF u u u r共面．[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量1AC u u u u r ＝x AE u u u r ＋y AF u u u r成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE u u u r 、AF u u u r 表示1AC u u u u r.3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量1A B u u u u r ，1B C u u u u r ，EF u u u r是共面向量．证明：法一：EF u u u r ＝EB u u u r ＋1BA u u ur ＋1A F u u u u r＝121B B uu u u r －1A B u u u u r ＋1211A D u u u u r ＝12(1B B uu u u r ＋BC u u u r －1A B u u u u r ＝121B C uu u u r －1A B u u u u r . 由向量共面的充要条件知，1A B u u u u r ，1B C u u u u r ，EF u u u r是共面向量．法二：连接A 1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .BG ⊆平面A 1BD ，EF 平面A 1BD∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ，∴1A B u u u u r ，1B C u u u u r ，EF u u u r都与平面A 1BD 平行．∴1A B u u u u r ，1B C u u u u r ，EF u u u r是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM u u u u r＝k 1AC u u u u r ，BN u u u r ＝k BC u u u r (0≤k ≤1)．求证：MN u u u u r 与向量AB u u u r ，1AA u u uu r 共面．证明：如图，在封闭四边形MABN 中，MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AB u u u r ＋BN u u u r.①在封闭四边形MC 1CN 中，MN u u u u r ＝1MC u u u ur ＋1C C u u u u r ＋CN u u u r ②∵AM u u u u r ＝k 1AC u u u u r ，∴AM u u u u r ＝k (AM u u u u r ＋1MC u u u ur )∴(1－k )AM u u u u r ＝k 1MC u u u u r ，即(1－k )MA u u u r＋k 1MC u u u u r ＝0，同理(1－k )BN u u u r＋k CN u u u r ＝0.①×(1－k )＋②×k 得MN u u u u r ＝(1－k )AB u u u r＋k 1C C u u u u r ，∵1C C u u u u r ＝－1AA u u u u r ，∴MN u u u u r ＝(1－k )AB u u u r－k 1AA u u u u r ，故向量MN u u u u r 与向量AB u u u r ，1AA u u uu r 共面.共面向量定理的应用[例3] 如图所示，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .[思路点拨] (1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使EG u u u r ＝x EF u u u r ＋y EH u u u r即可．(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量BD u u u r 与向量FH u u u r 、EG u u ur 共面即可．[精解详析] (1)如图所示，连接BG ，EG ，则：EG u u u r ＝EB u u u r ＋BG u u u r ＝EB u u u r ＋12(BC u u u r ＋BD u u u r )＝EB u u u r ＋BF u u u r ＋EH u u u r ＝EF u u u r ＋EH u u u r .由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)设AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，AD u u u r＝c ，则BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r＝c －a . EG u u u r ＝EA u u u r ＋AG u u u r ＝－a 2＋12(c ＋b )＝－12a ＋12b ＋12c ， HF u u u r ＝HA u u u r ＋AF u u u r ＝－12c ＋12(a ＋b )＝12a ＋12b －12c .假设存在x ，y ，使BD u u u r ＝x EG u u u r ＋y HF u u u r.即c －a ＝x ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝⎛⎭⎫12a ＋12b －12c ＝⎝⎛⎭⎫y 2－x 2a ＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2b ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2c . ∵a ，b ，c 不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x2＝－1，x 2＋y2＝0，x 2－y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴BD u u u r ＝EG u u u r －HF u u u r.∴BD u u u r 、EG u u u r 、HF u u u r是共面向量，∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH . [一点通]1．空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y ，使MP u u u r ＝x MA u u u r＋y MB u u u r.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．2．用共面向量定理证明线面平行的关键是： (1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明：设11C B u u u u r ＝a ，11C D u u u u r ＝b ，1C C u u u u r ＝c ，则1B C u u u u r＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，所以1OD u u u u r ＝1211B D u u u u r ＝12(b －a )．因为D 1D 綊C 1C ，所以1D D u u u u r ＝c ，OD u u u r ＝1OD u u u u r ＋1D D u u u u r ＝12(b －a )＋c .1OC u u u u r ＝－12(a ＋b )，假设存在实数x ，y ，使1B C u u u u r ＝x OD u u u r ＋y 1OC u u u u r，所以c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c －y ·12(a ＋b ) ＝－12(x ＋y )a ＋x c ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2b ，且a ，b ，c 不共线，所以x ＝1，12(x ＋y )＝1，且x －y 2＝0，即x ＝1，y ＝1.所以1B C u u u u r ＝OD u u u r ＋1OC u u u u r ，所以1B C u u u u r ，OD u u u r ，1OC u u u u r是共面向量，又因为1B C u u u u r 不在OD u u u r ，1OC u u u u r所确定的平面ODC 1内，所以B 1C ∥平面ODC 1.6．如图，已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结P A 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R . ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形，且有PE u u u r ＝23PM u u u r ，PF u u u r ＝23PN u u u r ，PG u u u r ＝23PQ u u u r ，PH u u u r ＝23PR u u u r .∵MNQR 为平行四边形，∴EG u u u r ＝PG u u u r －PE u u u r ＝23PQ u u ur －23PM u u u r ＝23MQ u u u u r＝23(MN u u u ur ＋MR u u u r ) ＝23(PN u u ur －PM u u u r )＋23(PR u u u r －PM u u u r ) ＝23·⎝⎛⎭⎫32 PF u u u r －32 PF u u u r ＋23⎝⎛⎭⎫32 PH u u u r －32 PF u u u r ＝EF u u u r ＋EH u u u r .∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面．向量e 1，e 2，e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ，μ，γ，使得λe 1＋μe 2＋γe 3＝0. 若e 1，e 2，e 3是不共面的三个向量，且λe 1＋μe 2＋γe 3＝0(其中λ，μ，γ∈R )，则λ＝μ＝γ＝0.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x ，y ，使MP u u u r ＝x MA u u u r＋y MB u u u r .[对应课时跟踪训练(十九)]1．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a 、b 、c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a 、b 、c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数x 、y ，使a ＝x b ＋y c .解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量，否则即使三个向量a 、b 、c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．答案：②③2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP u u u r ＝15OA u u u r ＋23OB u u u r＋λOC u u u r确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.解析：∵P 与A ，B ，C 共面，∴AP u u u r ＝αAB u u u r＋βAC u u u r ，∴AP u u u r＝α(OB u u u r －OA u u u r )＋β(OC u u u r －OA u u u r )，即OP u u u r ＝OA u u u r ＋αOB u u u r －αOA u u u r ＋βOC u u u r －βOA u u u r＝(1－α－β)OA u u u r ＋αOB u u u r ＋βOC u u u r，∴1－α－β＋α＋β＝1. 因此15＋23＋λ＝1.解得λ＝215.答案：2153．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若EF u u u r ＝x AB u u u r ＋y AD u u u r ＋zAA 1，则x ＋y ＋z ＝________.解析：EF u u u r ＝AF u u u r －AE u u u r＝AD u u u r ＋DF u u u r －(AB u u u r ＋BE u u u r )＝AD u u u r ＋231DD u u u u r －AB u u u r －131BB u u uu r＝AD u u u r －AB u u u r ＋131AA u u uu r∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.答案：134．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB u u u r＝i －2j ＋2k ，BC u u u r ＝2i ＋j －3k ，CD u u u r ＝λi ＋3j －5k ，且A 、B 、C 、D 四点共面，则λ的值为________．解析：若A 、B 、C 、D 四点共面，则向量AB u u u r 、BC u u ur 、CD u u u r 共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得a AB u u u r＋b BC u u u r ＋c CD u u u r ＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0. ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.答案：15．命题：若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM u u u u r ＝13OA u u u r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”)．解析：AM u u u u r ＝OM u u u u r －OA u u u r ＝－23OA u uu r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r＝13(OB u u ur －OA u u u r )＋13(OC u u u r －OA u u u r )＝13(AB u u u r ＋AC u u u r )．令BC 中点为D ，则AM u u u u r ＝23AD u u u r，∴点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部，故命题为真命题．答案：真6．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点O 满足OM u u u u r ＝13OA u u u r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r.判断MA u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 三个向量是否共面．解：(1)由已知得OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝3OM u u u u r， ∴OA u u u r －OM u u u u r ＝(OM u u u u r －OB u u u r )＋(OM u u u u r －OC u u u r )，即MA u u u r ＝BM u u u u r ＋CM u u u r ＝－MB u u u r －MC u u uu r ，∴MA u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 共面．7．若e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面，并说明理由．解：法一：令x (3e 1＋2e 2＋e 3)＋y (－e 1＋e 2＋3e 3)＋z (2e 1－e 2－4e 3)＝0，亦即(3x －y ＋2z )e 1＋(2x ＋y －z )e 2＋(x ＋3y －4z )e 3＝0，因为e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝0，2x ＋y －z ＝0，x ＋3y －4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝7，z ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，a ，b ，c 三个向量共面．法二：令存在λ，μ，使a ＝λb ＋μ c 成立，即3e 1＋2e 2＋e 3＝λ(－e 1＋e 2＋3e 3)＋μ(2e 1－e 2－4e 3)，因为e 1，e 2，e 3是三个不共面向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋2μ，2＝λ－μ，1＝3λ－4μ.解这个方程组得λ＝7，μ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，即a ，b ，c 三向量共面．8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .证明：因为H 为BC 的中点，所以FH u u u r ＝12(FB u u u r ＋FC u u u r )＝12(FE u u u r ＋EB u u u r ＋FE u u u r ＋ED u u u r ＋DC u u u r )＝12(2FE u u u r ＋EB u u u r ＋ED u u u r ＋DC u u ur )．因为EF ∥AB ，CD 綊AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE u u u r ＋DC u u ur ＝0，所以FH u u u r ＝12(EB u u u r ＋ED u u u r )＝12EB u u u r ＋12ED u u u r .又EB u u u r 与ED u u u r 不共线，根据向量共面的充要条件可知FH u u u r ，EB u u u r ，ED u u u r共面．由于FH不在平面EDB内，所以FH∥平面EDB。

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3.2 例析利用空间向量解决形形色色的平行问题
一．证明线线平行
证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或
3
12123
//a a a a b b b b ⇔
==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED .
证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1
(0,1,)2
F ，1
(1,0,)2
E ，'(0,0,1)D .
11
(0,1,)(1,1,0)(1,0,)22
BF =-=-，
11
'(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22
ED =-=-.
∵'1ED BF =⋅， ∴'//ED BF 即//'BF ED .
例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ，
k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.
∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，
(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==，
∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA .
二．证明线面平行
例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面EBC .
D
B O A
α
证明：在正方形ABCD 和ABEF 中， ∵FM AN =，FB AC =，
∴存在实数λ使FM FB λ=，AN AC λ=， ∴MN MF FA AN =++BF EB AC λλ=++
()BE BA AB AD EB λ=++++
()()(1)BE AD EB BE BC BE BE BC λλλλ=++=+-=-+，
∴MN 、BE 、BC 共面 ∵M ∉平面EBC ，∴//MN 平面EBC .
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y 使p xa yb =+.利用共面向量定理可以证明线面平行问题.本题用的就是向量法.
注意:直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则
//a α.
例4：棱长都等于2的正三棱柱'''ABC A B C -，点D 是AC 的中点.求证：'//AB 平面
'DBC .
证明：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为
(1,0,0)A -
，2)B
，B ，(0,0,0)D ，'(1,0,2)C .
设平面'DBC 法向量为(,,)n x y z =
，DB =，'(1,0,2)DC =，
30
''20n DB n DB y n DC n DC x z ⎧⎧⊥
⋅==⎪⎪⇒⎨⎨
⊥⋅=+=⎪⎪⎩
⎩，令1z =取平面的一个法向量为(2,0,1)n =-.
∵'2)AB =，(2,0,1)n =-.
∴'2020n AB ⋅=-++=， ∴'//AB 平面'DBC .
三．证明面面平行
平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.
A
B
D
C
E
F
M N
x
y
例5：已知正方体''''ABCD A B C D -.求证：平面''//AB D 平面
'BDC .
证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为
(1,0,0)A ，'(1,1,1)B ，'(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，(0,0,0)D ，'(0,1,1)C .
设平面''AB D 法向量为1111(,,)n x y z =，
'(0,1,1)AB =，''(1,1,0)D B =，
11111111''0
''''0
n AB n AB y z n D B n D B x y ⎧⎧⊥⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨
⊥⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令11y =取平面''AB D 的一个法向量为1(1,1,1)n =--.
平面'BDC 法向量为2222(,,)n x y z =，(1,1,0)DB =，'(0,1,1)DC =，
222222220
''0
n DB n DB x y n DC n DC y z ⎧⎧⊥⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨
⊥⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令21y =取平面'BDC 的一个法向量为2(1,1,1)n =--. ∵121n n =⋅， ∴平面''//AB D 平面'BDC .。