二次根式除法.doc

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16.2.2二次根式的除法(教案)

五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，这是一个对学生来说相对新颖且具有一定难度的概念。我注意到，在引入新课时，通过联系日常生活的问题，学生的兴趣被成功激发，他们对接下来的学习内容充满了好奇心。
在理论介绍环节，我发现学生们对于被开方数相除的概念接受得比较快，但当我引入带分数的二次根式除法时，一些学生开始表现出困惑。我及时放慢了讲解速度，通过详细的步骤分解和例题演示，帮助学生逐步理解了这个难点。我认为，在未来的课程中，我需要准备更多的类似例题，让学生有更多的练习机会，以便更好地掌握这个知识点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式除法的基本概念。二次根式除法是指将两个含有二次根式的数相除，其基本法则是两个二次根式相除等于它们的被开方数相除。这个概念在数学运算和实际问题中都有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算√36 / √4，通过二次根式除法的法则，我们可以简化这个计算过程，得到3。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算一个数是另一个数的平方根的几倍的情况？”（例如，计算一个正方形的边长是另一个正方形边长的平方根的两倍）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式除法的奥秘。

《二次根式的除法》教案

《二次根式的除法》教案一、教学内容本节课选自人教版《数学》八年级上册第十七章《二次根式》第四节《二次根式的除法》。

具体内容包括二次根式的除法法则，以及如何运用该法则解决实际问题。

二、教学目标1. 理解并掌握二次根式的除法法则。

2. 能够运用二次根式的除法法则进行混合运算。

3. 提高学生解决实际问题的能力，培养数学思维。

三、教学难点与重点1. 教学难点：二次根式的除法法则的理解和应用。

2. 教学重点：熟练掌握二次根式的除法法则，并进行混合运算。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：练习本、计算器。

五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景，让学生了解二次根式除法的实际应用。

例：一块长方形的土地，长为5米，宽为3米，要在土地上种植面积为1.5平方米的小麦，问需要种植几行几列？2. 讲解：讲解二次根式的除法法则。

a. 二次根式的除法法则：\(\sqrt{a} \div \sqrt{b} =\sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中a、b为正实数）。

b. 通过例题讲解，让学生理解并掌握该法则。

例题：计算\(\sqrt{27} \div \sqrt{3}\)。

3. 随堂练习：让学生进行二次根式除法的练习，巩固所学知识。

练习题1：计算\(\sqrt{48} \div \sqrt{12}\)。

练习题2：计算\(\sqrt{18} \div \sqrt{2} \div\sqrt{3}\)。

4. 应用：运用二次根式的除法法则解决实际问题。

问题：一块长方形的土地，长为6米，宽为4米，要在土地上种植面积为1.2平方米的小麦，问需要种植几行几列？六、板书设计1. 二次根式的除法法则：\(\sqrt{a} \div \sqrt{b} =\sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中a、b为正实数）。

2. 例题及解答过程。

3. 随堂练习题及答案。

七、作业设计1. 作业题目：a. 计算\(\sqrt{50} \div \sqrt{5}\)。

§7.3二次根式的除法 Microsoft Word 文档

第 7 章 §7.3二次根式的除法学案教学目标1、理解二次根式的除法公式及其逆用，并能利用他们进行计算理解最简二次根式的概念并运用它进行化简。

2、培养学生归纳总结能力，应用数学知识解决实际问题的能力3、培养学生团结合作互助的精神，激发学习数学的学习兴趣。

重难点：理解二次根式除法法则，最简二次根式的运用。

教学过程：一、自主学习计算下列各题，观察计算结果：（1（2（3 （4二、合作学习两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．三、概括一般地，有=b a________（a ≥0，b ＞0）．文字语言叙述：两个二次根式相除，___________________________．四、用一用（1）315；（2）624．解（1）315；（2）624．小题（2）还有别的解法吗？624五、知识拓展上面得到的等式，也可以写成=b a______（a ≥0，b ＞0）．文字叙述：商的算术平方根，等于__________________．利用这个性质可以进行二次根式的化简．六、用一用化简21．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）解 2222222221212122===⨯⨯==．思考：1、二次根式的被开方数中含有分母，怎样把它开方出来？2、二次根式的除法，还可以采用是么方法来进行？=21．七、练一练1．化简：（1）31（2）52．2．计算：（1）208 （2） a a 3965课堂小结：１、通过今天的学习你有什么收获？２、化简二次根式的方法以及公式的准确运用。

当堂检测1．化简：（1）714（2）65． 2．计算：（1）9840 （2）5120（3）x x 823．3．现有一张边长为5cm 的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01）。

§21.2.2-二次根式的除法

正确！
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意：在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
作业本：第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习第1、2、3题选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（）（2） 3 3 （） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）

2024年“二次根式的除法”教案

2024年“二次根式的除法”教案一、教学内容本节课选自人教版《数学》八年级下册第十七章《二次根式》第三节“二次根式的除法”。

具体内容包括：理解二次根式除法的概念，掌握二次根式除法的运算规则，运用二次根式除法解决实际问题。

二、教学目标1. 知识目标：使学生理解二次根式除法的概念，掌握二次根式除法的运算规则。

2. 技能目标：培养学生运用二次根式除法解决实际问题的能力。

3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养合作交流的意识。

三、教学难点与重点教学重点：二次根式除法的运算规则。

教学难点：如何将实际问题转化为二次根式除法问题。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备学具：练习本、铅笔五、教学过程1. 实践情景引入（1）教师展示一个实际情境：一块长方形的菜地，长是宽的两倍，宽是x米，求菜地的面积。

（2）引导学生列出菜地面积的算式：2x^2。

（3）提问：如何将这个算式化简成最简二次根式？2. 例题讲解（1）教师讲解二次根式除法的概念及运算规则。

（2）举例讲解：化简√18 ÷ √2。

3. 随堂练习（2）学生互相交流讨论，教师巡回指导。

4. 小结5. 课堂小结教师对本节课的内容进行回顾，强调二次根式除法的运算规则。

六、板书设计1. 二次根式的除法2. 内容：（1）概念：二次根式除法的定义（2）运算规则：二次根式除法的运算规则（3）例题：√18 ÷ √2 的化简过程（4）练习：√50 ÷ √5 的化简过程七、作业设计1. 作业题目：化简下列二次根式：（1）√24 ÷ √6（2）√45 ÷ √9（3）√27 ÷ √32. 答案：（1）2（2）5（3）3八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式除法的运算规则掌握情况，以及在实际问题中的应用能力。

2. 拓展延伸：研究二次根式的乘法、除法混合运算，以及与分数、整数的混合运算。

重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 实践情景引入的设计3. 例题讲解的深度和广度4. 随堂练习的选取和指导5. 板书设计的内容和结构6. 作业设计的针对性和答案的准确性7. 课后反思及拓展延伸的方向一、教学难点与重点的确定重点应放在二次根式除法的运算规则上，因为这是解决二次根式除法问题的关键。

《二次根式的除法》教案

5.2.2 二次根式的除法教学目标1 在具体情境中，通过探索得到二次根式除法法那么；2 会用二次根式除法法那么熟练进行二次根式除法运算，并会对结果进行化简；3通过二次根式乘法类比得出二次根式除法渗透类比思想。

教学重点、难点重点：二次根式除法运算难点：探索二次根式除法法那么教学过程一、创设情景，导入新课1复习：二次根式乘法法那么是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？(0,0)a b ab a b=≥≥，二次根式相乘，把被开方数相乘。

二合作交流，探究新知1a 与a的关系。

〔1〕3与13是什么关系？〔互为倒数的关系〕〔2〕133与还是互为倒数的关系吗？为什么？估计学生会持肯定态度,因为11331133⋅=⨯==，所以，133与是互为倒数的关系。

〔3〕1a a与还是互为倒数的关系吗？为什么？估计有的学生会认为是互为倒数关系，理由是：111a a a a⋅=⋅==1 个别学生会想到只有当 a ≥0时，才有1a a与互为倒数关系。

〔4〕既然1a a与互为倒数，怎样表示他们的关系呢？11(0)a a a=≥ 2、推导：00)a aa b b b=≥>（，∵111a aa a ab b b b b ⋅⋅==== ∴00)a aa b b b=≥>（，这个公式说明了二次根式相除，怎样运算？〔把被开方数相除〕三应用迁移，稳固提高 1 直接运用公式进行计算例1 计算：〔1〕153, (2)34052解：〔11515533== 〔234034032052552==变式：〔1〕这两个题中分子的被开方数能被分母的被开方数整除，假设分子的被开方数不能被分母的被开方数整除，且要求结果的被开方数是整数，你有方法吗？试试看：2410222412125211515105555⨯⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭例2 设a>0,b>0,计算： 3182a ba 3243a a解：〔1〕33218189322a b a ba b a b a a===〔2〕232324248222233aa a a a a a⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 变式：上题改为：4243a a，且要求结果中的被开方数是整式。

二次根式的除法

计算或化简：
1 3 5
(2) 3 6
3 25 64 4 132 122 5 b a
ab
6 5 2 3 18 7 18 8 54 9 500
(10) 36x3
4 9 49 100 25 64
4 9 49 100 25 64
一般地,有 a __a______, (a 0,b 0) bb
二次根式化简后,分母中不含二次根号,且二次根号里是一个不含完全平方因数的整数,像这样的二次根式称为最简二次根式.
下列哪些是最简二次根式？
2 5，36，12，27，0.4，1 3
把下列各二次根式化为最简二次根式:
(1) 1.2;(2) 2 ;(3) 2 3 ;(4) 3 ;
a
2
2 1
练习:
1 72 ;2 11 1 ;(3) 40 ;
6
2 6 45
化简:15 12 2 45
15 12 2 45 15 2 3 5 3 15 23 5 5
二次根式除法法则:
两个算术平方根的商，等于被开方数的商的算术平方根；
这个公式反过来写,得到:___ba_____ba____( a 0,b 0)
例1.计算
(1) 15 (2) 24
3
3
15 3
5
24 3
8 2 2
(3) 24 6
24 6 4 2
(4) 根式乘法中,我们学习过把被开方数开出完全平方数而留下一个整数,因此二次根式化简后的结果一般保证根号里留下的是一个整数, 所以(4)的结果并不符合我们化简的要求.
例2.化简下列二次根式,使得分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母.
(1) 1 5
(2) 1 (3) 3

二次根式的除法

21.2 二次根式的乘除
二次根式除法
二次根式乘法法则:
a b a b
（a≥0,b≥0)
最简二次根式的要求: 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
探究
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
2 4 4 （1） =（）， =（ 3 9 9
2 ） 3 4 4 16 16 （2） =（）， =（） 25 5 5 猜想： 25
3( x 1) 2( x 1) 3
4、若等式是_________
x x 5
x x 5 成立，则x的取值范围
5、已知， a 5 2 则a与b的关系是（） (A) a
6
(C)
1 b ， 52 6
b
(B) a
b
ab 1
(D)
ab
小结
1、二次根式的除法：
3
4 3
4
1.5
最简二次根式的要求:
被开方数不含分母. 例题
1、计算：
24 (1) 3
2、化简：
3 1 (2) 2 18
3 (3) 15 5
3 (1) 100
25 y (2) 2 9x
3
4 3
4
1.5
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
3、计算：
3 (1) 5
3 2 (2) 27
8 (3) 2a
4、计算：
3 1 (1)9 45 1 2 2
(2) 18 2 x y 3 2 xy
3 2
(3)(4 27 5 48) 2 3

二次根式的乘除法(含例题)

第十六章二次根式16.2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：__________(00)a b a b =≥≥，．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)a b c d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用．（2）二次根式乘法法则的逆用00)ab a b a b =≥≥，．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．利用积的算术平方根的性质化简的步骤：①将被开方数进行因数分解或因式分解；②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．2．二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：0__________0)a b =≥，．语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >在实数范围内无意义；若b =0，a b则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．（2）二次根式除法法则的逆用00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要0a b≥且0b ≠即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．K知识参考答案：1．ab，不变2．>，相除3．分母K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．【例1】下列计算正确的是A．25×35=65B．32×33=36C．42×23=85D．22×63=126【答案】D⨯⨯得【例2】916144A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A⨯⨯．故选A．916144⨯⨯916144=3412=144二、二次根式的除法1000)a b c ÷=≥>>，，；2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，，．【例3】=成立的条件是 A ．a 、b 同号B ．a ≥0，b >0C ．a >0，b >0D ．a >0，b ≥0 【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．【例4】计算A ．B ．23xC ．D x 【答案】C【解析】原式=4×C ．三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】A B C D ．【答案】A==．故选A．四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】因为：A=；B=；D||b=，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．。

(完整word)二次根式的运算

二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1。

学习目标（1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；（2）了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3）理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4）会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算。

2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化简；（2)理解,及利用它们进行计算和化简；（3）最简二次根式的运用；（4)合并同类二次根式；(5）二次根式的混合运算.3。

难点（1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；（2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则:，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。

要点诠释：(1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)（2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简,如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

要点诠释：（1）在这个性质中,a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数,还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则:,即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中,因为b在分母上，故b不能为0.（2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。

二次根式基本运算(根式的乘除)-学生版

二次根式基本运算、分母有理化板块一二次根式的乘除最简二次根式： 0a≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则=0a≥，0b ≥）二次根式的除法法则=0a ≥，0b >）利用这两个法则时注意a 、ba 、b 都非负，否则不成立，≠一、最简二次根式【例1】中，最简二次根式有____________________.【例2】下列根式）A ．2个B ．3个C ．4个 D ．5个【例3】下列各式正确的是（）A 10b aB ．1=C =D ．=中考要求例题精讲【例4】化简下列各式（字母均取正数）：2)x ≥．【巩固】把下列各式化成最简二次根式（1 （2 （3)0x ≥【例5】若0abc <，且a b c >>【例6】化简：【例7】)20x y >>【例8】 )0a ≥)00x y ≥，≥【例9】已知：m n =，求m 的取值范围ab【例10】已a b=，10二、二次根式的乘除分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．【例11】把下列各式分母有理化：2【例12】化=（）A BC D．不同于A C的答案【例13】计【例14】计【例15【例16】计)000a b c >>>，，【巩固】计算：232xy【例17】计算：【例18】【例19】计)00a b>>，等于（）ABCD．【例20】计【例21】已知长方形的面积2S=，相邻两边分别是a b，，且a=，求b。

【例22】若0x≠的最大值.1.下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）．．A.1个B.2个C.3个D.4个2.化简：)0y x>>；3.)5a≥4.把下列各式分母有理化：⑴课后作业⑵⑶÷5.6.。

二次根式除法。-概念解析以及定义

二次根式除法。

-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述概述二次根式是代数中的一个重要概念，它是指具有形如√a的形式的根式，其中a是一个实数且a≥0。

在数学中，二次根式广泛应用于各个领域，例如代数、几何和物理等。

二次根式除法是指对两个二次根式进行除法运算，其中被除数和除数都可以表示为√a的形式。

本篇文章将对二次根式除法进行详细介绍。

首先，我们将从二次根式的定义开始，了解二次根式的基本概念和性质。

然后，我们将探讨如何化简二次根式，以便更好地利用二次根式进行计算和推导。

最后，我们将重点讲解二次根式的除法运算，包括除法原则、运算规则和常见的除法技巧。

通过学习本文，读者将能够全面理解二次根式除法的基本概念和操作方法。

这将为读者在解决数学问题和应用问题时提供有力的工具和方法。

此外，掌握二次根式除法还可以帮助读者更好地理解和应用更高级的数学知识，例如复数和高级代数等。

在本篇文章的结论部分，我们将对所学内容进行总结，并探讨二次根式除法在实际问题中的应用。

同时，我们还将展望二次根式除法在未来的发展前景，以及可能的研究方向和拓展应用领域。

通过深入学习和理解二次根式除法，我们相信读者将能够更加灵活和熟练地运用这一知识，从而在数学领域取得更好的成绩并应用于实际问题的解决中。

让我们开始探索二次根式除法的奇妙世界吧！文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和内容安排进行介绍。

以下是对“文章结构”部分的内容进行编写的一种方式：【1.2 文章结构】本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分中，我们将对二次根式的概念进行概述，介绍文章的结构和目的。

通过本部分的内容，读者将对文章的主题有一个初步的了解。

引言的目的是为了引起读者兴趣，使其对文章感到重要性和必要性。

正文部分是文章的主体，包含三个小节。

首先，我们将给出二次根式的定义，讲解二次根式是如何表示的以及其特点和性质。

其次，我们将介绍如何化简二次根式，包括提取公因式、合并同类项等方法。

二次根式的除法

二次根式的除法二次根式的除法二次根式的除法1二次根式的除法（下载：）二次根式的除法2这节课因为有了前面学习的基础，所以学生学习起来并不难，本节课的重点是二次根式的乘除法法则，难点是灵活运用法则进行计算和化简。

开始可以从二次根式的性质引入，将二次根式的性质反过来就是二次根式的乘除法法则：，利用这个法则，可以进行二次根式的乘法和除法运算。

本节课中的易错点是运算的最后结果不是最简结果，因为学生只顾着运用法则进行计算了，忽略了二次根式的化简，举例说明：，这个运算过程只是运用了法则，但没有进行化简，应该是。

本节课中的难点是对于分母中含有根号的式子不会化简，这应该牵涉到分母有理化，分母有理化这个概念本章课本中没有提及，但是课后练习和习题中也有涉及，如何处理呢?举例说明：随堂练习中一个题目对于这个题目，很多学生表示都不知道从何下手，只有一些程度好的学生有自己的看法，我让学生进行了讲解：，学生能将分母中不含有根号，想到用来代替，然后再利用法则进行解答，真是聪明。

学生的这种做法，我给予了充分的肯定，并表扬了这位同学。

并且我也用分母有理化的思想进行了另一种方法的讲解，因为后面我想补一节分母有理化，所以在这里只是展示了一下过程，这样同样能达到化简的目的，然后让学生对比了一下刚才那位同学的做法，没有展开讲。

剩下的时间我主要针对法则让学生进行了练习，做正确的小组加分，不正确的进行点评，到下课时，学生基本掌握了二次根式的乘除法的计算。

学生比较容易理解这两个法则，下面可以学习例2，主要是让学生通过看课本来理解法则的应用，在学生理解例题的基础上，让学生思考还有没有其他方法来解决这些题目，以此来增加学生解题的思路与方法。

在这里可以拿出1-2个题目来示范。

如，可以有两种解法：法一：这一种也是课本上的方法，是直接利用了二次根式的乘法法则。

法二：这是利用了二次根式的性质。

通过这个题目的讲解，可让学生灵活掌握二次根式的计算方法。

再一个就是二次根式的乘除法混合运算，课本上有一个例子，，通过这个例子引出一个公式：，算是对法则的一个延伸。

二次根式的除法法则

二次根式的除法法则首先，我们来回顾一下二次根式的一些基本性质和运算规律：1.二次根式的定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。

2.二次根式的化简：我们可以化简二次根式，使其不再有负指数或分母中含有二次根式。

例如，√4=2，√36=6等。

3.二次根式的运算：二次根式具有加法、减法、乘法、除法等运算。

-加法和减法：如果两个二次根式的被开方数相同，即√a±√a，则可以进行加法或减法运算。

例如，√2+√2=2√2，√3-√3=0。

-乘法：两个二次根式相乘时，可以将两者的被开方数相乘，并合并同类项。

例如，√2*√3=√6-除法：两个二次根式相除时，需要进行合理化简和简化，从而得到最简形式的商。

接下来，我们详细介绍一下二次根式的除法法则。

假设有两个二次根式a和b，我们要求a除以b的商a/b，并将其化简为最简形式。

1.合理化简分母如果被除数和除数的分母中包含二次根式，我们首先要进行合理化简分母，将其化简为最简形式。

例如：要计算(√6-√2)/(√3-√2)，我们需要先将分母进行合理化简。

可以将分母的两项都乘以(√3+√2)，得到：(√6-√2)(√3+√2)/(√3-√2)(√3+√2)=(√18+√12-√6-√4)/(√9-√6+√6-√4)=(√18+√12-√6-2)/(3-2)=(√18+√12-√6-2)2.乘法法则将合理化简后的分母中的两项都乘以与之相对应的共轭，再将被乘式进行合并。

例如：(√2+√3)/(√2-√3)=(√2+√3)(√2+√3)/((√2-√3)(√2+√3))=(√2+√3)(√2+√3)/(2-√6+√6-3)=(√2+√3)(√2+√3)/(2-3)=(√2+√3)(√2+√3)/(-1)3.合并同类项和化简将分子和分母中的同类项合并，并化简为最简形式。

例如：√18+√12-√6-2=(√9⋅2+√4⋅3)-√6-2=3√2+2√3-√6-2综上所述，二次根式的除法法则是通过合理化简分母、乘法法则和合并同类项的运算步骤，将两个二次根式之间的除法运算转化为最简形式的运算结果。

二次根式的除法

二次根式的除法在代数学中，二次根式是指包含平方根的表达式。

我们在本文中将探讨二次根式的除法操作。

二次根式的除法在解决一些代数问题中非常有用，因此理解如何进行二次根式的除法是很重要的。

二次根式的定义首先，让我们回顾一下二次根式的定义。

一个二次根式可以写成以下形式：√aa，其中a和a是整数，且a不是一个完全平方数。

例如，√2和√3a是二次根式的例子。

其中〖√3a〗^2 可以简化为3a，也是一个二次根式。

二次根式的除法规则为了进行二次根式的除法，我们需要遵循以下规则：1.只有当二次根式的根数相同时，才能进行除法操作。

也就是说，除数和被除数都有相同的根数。

2.求解结果是将除数和被除数的系数进行相除，再将根号内的数相除。

让我们通过一个例子来演示这些规则。

示例假设我们要计算√12 / √3的值。

首先，通过分解因数的方式，我们可以将两个二次根式写成下面的形式：√12 = √(2×2×3) = 2√3√3 = √(3×1) = √3现在，我们可以将等式改写为：2√3 / √3根据除法规则第1条，我们可以发现除数和被除数的根数均为√3。

根据除法规则第2条，我们可以将除数和被除数的系数进行相除，即2/1=2。

同时，我们将根号内的数相除，即√(3/3)=√1=1。

因此，我们得到的结果为2×1=2。

所以，√12 / √3 = 2。

注意事项在进行二次根式的除法时，需要注意以下几点：•分解因数是一个很有用的技巧，可以帮助我们找到二次根式的简化形式。

•除法操作只能在除数和被除数的根数相同的情况下进行。

•当根号内的数有理化为一个完全平方数时，可以简化二次根式的表达式。

结论二次根式的除法是解决代数问题中常见的操作。

通过遵循一些简单的规则，我们可以将二次根式化简为更简单的形式。

理解这些规则，并运用它们解决实际问题，将有助于提高我们的代数技能。

希望本文对你理解二次根式的除法有所帮助！。

二次根式的乘除

二次根式的乘除是二次根式的基本运算之一，其规则如下：
1. 二次根式的乘法：将两个二次根式的被开方数相乘，得到的结果再开方即可。

例如，√2 ×√3 = √(2 × 3) = √6。

2. 二次根式的除法：将第一个二次根式的被开方数乘以第二个二次根式的倒数的被开方数，得到的结果再开方即可。

例如，√8 ÷√2 = (√8 ×√2) / √2 = √(8 × 2) / √2 = √4 = 2。

需要注意的是，在进行二次根式的乘除运算时，要保证两个二次根式的被开方数都是非负实数，否则会出现无意义的情况。

此外，在进行二次根式的除法运算时，如果第二个二次根式的值为0，则无法进行计算。

16.2.2 二次根式的除法

C. y
D. y
（来自《典中点》）
1 知识小结
1.二次根式的除法：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指
数不变，即： a a (a≥0，b＞0)． bb
2.最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2 易错小结
计算： 23 3 2 3 1 . 23
(4)
2
3 .
3
（来自《教材》）
知3－练
2 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b. 已知S=16，b= 10 ，求a.
解：由题意得S=ab，所以 a S 16 16 10 16 10 8 10. b 10 10 10 10 5
（来自《教材》）
知3－练
3 【 2017·荆州】下列根式是最简二次根式的是
( C)
A. 1 3
C. 3
B. 0.3 D. 20
（来自《典中点》）
知3－练
4 【中考·锦州】下列二次根式中属于最简二次根式的是( D )
A. 24 C. a
b
B. 36 D. a 4
（来自《典中点》）
知3－练
5
已知xy＜0，化简二次根式
x
－y x2
的正确
结果为( B )
A. y
B. y
3
2 18
知1－讲
解：(1) 24 24 = 8= 4 2=2 2; 33
(2) 3 1 3 1 = 3 18= 3 9=3 3. 2 18 2 18 2
（来自《教材》）
总结
知1－讲
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．

专题16 二次根式的乘除（含答案）

专题16 二次根式的乘除知识解读1.二次根式相关法则（1）乘法法则：ab ab =a ≥0，b ≥0）.a bc abc =a ≥0，b ≥0，c ≥0）.（2）除法法则：a ab b=（a ≥0，b ≥0）. （3）积的算术平方根：ab a b =⋅（a ≥0，b ≥0）.（4）商的算术平方根：a ab b=（a ≥0，b ＞0）. 2.分母有理化（1）分母形如a x 的二次根式，可分子、分母同时乘x .（2）分母形如a x b y +的式子，可利用平方差公式，分子、分母同时乘a x b y -，就可以化去分母中的根号. 3.最简二次根式（1）被开方数不含分式，也就是被开方数是整数或者是整式；（2）被开方数的每一个因数或者因式的指数都小于根指数2，即每个因数或者因式的指数都是1.培优学案典例示范一、二次根式的乘法例1 计算：（1）0436..⨯；（2）32545223⨯. 【提示】可将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后将二次根式化简. 【解答】【技巧点评】二次根式变形的最后结果必须是最简二次根式，最简二次根式要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 跟踪训练 1.计算：（12330554a b .bc （2320((211548)3⨯.二、二次根式的除法例2 计算：（1）1327()108÷；（2）(24118854)33÷⨯-.【提示】有括号的先算括号里面的，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法再进行计算. 【解答】【技巧点评】两个二次根式相除，把根号前面的系数与系数对应相除，根号内的部分对应相除，被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行约分化简. 跟踪训练 2.计算：(23213022)232⨯÷-.三、分母有理化例3 化简下列各式：（172 （22x y +；（353-；（4232332-；（5x y +.【提示】（12；（2x y +；（3）将分子、分母同时乘53+；（4）将分母提取6；（5）由于x y +的有理化因式x y -可能为零，所以不能将分子分母同乘x y -，可考虑将x y -利用平方差公式因式分解.【解答】跟踪训练3.将下列各式分母有理化：（1）3540；（2）101280⨯；（3）233a a -+；（4）74323++.四、二次根式的化简例4 化简:1232＝________. 【技巧点评】二次根式化简的思路很多，只要应用的法则有根有据就行. 跟踪训练 4.化简312aab＝________.【拓展延伸】例5 比较大小：（1）323 （27582；（351-05.；（4）12m m ++与23m m ++；（5）213与327+；（6）148-与82-【提示】（1）可把前面的系数乘到根号内，然后比较被开方数的大小；（2）可比较两数平方的大小；（3）将两数相减，看差是正数还是负数；（4）将两数相除，比较商与1的大小；（5）可用估值法；（6）将148-与82-看作1481-与821-，然后分子、分母分别同时乘148+和82+.【解答】跟踪训练 5.比较大小：（1）43与34；（2）611+与143+；（3）332+与531-；（4102652；（531-21-；（615141413【竞赛链接】例6 （希望杯试题）322322+-的结果是 ( ) A .3 B . 12 C . 22+D . 22 【提示322322+-. 跟踪训练6.（希望杯试题）如果7352x y +=-，7253x y -=-，那么xy 的值是（）A . 3332+B . 3332-C . 7352-D . 7253-培优训练直击中考 1.★化简13232-+-的值是（） A .0 B . 23 C . 23- D . 4 2.★计算35210⨯的结果应该是（） A .300 B . 302 C . 605 D . 300 3.★y ＞0时，3x y -= （） A . x xy - B . x xy C . x xy -- D . x xy -4.★计算：3427a b ＝________；3239()x y x y +＝________. 5.★计算：（1）273；（2）(23418)58÷-.6.★计算：（13022043.；（2320((211548)3-⨯.7.★比较下列各式大小：（1）21135 （2）2736 （3148115；（4）62-与2；（5）237-与73-.8.★当a ＝-3，b ＝-2时，求322442b a a b ab a b b-+-的值.挑战竞赛1. ★★把二次根式1a a-化为最简二次根式是（） A . a B . a - C . a -- D . a - 2.★★（希望杯试题）设11n n x n n+=++11n ny n n +=+-，n 为正整数，如果22221922015x xy y ++=成立，那么n 的值为（） A . 7 B . 8 C . 9 D . 10114142.≈≈________（精确到0.01，22141422222.==≈≈⨯________（精确到0.01）. （2）在下列各题的横线上填上最简单的二次根式，使它们的积不含根号： 3×________； ②26×________； 32________；22a ________； 38x ________1x -×________；（3）根据以上问题解答过程所得到的启发求下列各式的值（精确到0.01）： ①63； ②2105； ③63214； ④15..中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。

九年级数学上册21.2二次根式的乘除法二次根式的除.doc

二次根式的除法一、学习目标1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2.熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、学习重点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：进行二次根式的化简。

三、自主预习1. 计算：（ 1）9=______，9=_____（ 2）16=______，16=______ 16 16 36 36（3）4=______，4=________ 16162.根据上题计算结果，用“ >”、“<”或“ =”填空：9____ 9 16____ 164_____ 416 16 36 36 16 16综上所述，二次根式的除法法则：。

当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的，被开方数之商为。

计算下列各式：（ 1）12 （ 2） 3 13 2 8自学课本内容，完成下列问题：1.用式子表示商的算术平方根的性质：2. 化简：（ 1）3（2）64b2 64 9a2小结：化简二次根式达到的要求：（ 1）被开方数不含分母；（ 2）分母中不含有二次根式。

四、合作探究“分母有理化”探究 1. 阅读下列运算过程：利用上述方法化简：1 33 3 ， 2 2 5 2 5 33355 5 5(1)2 =______ （ 2） 1 =______ (3)1 =(4)2 10 =6 3 2125探究 2. 阅读下列运算过程：1 12 23 3 5 15 22 22，5 555利用上述方法化简：52（ 1） 6（ 2）11 ( 3 2) 32 2探究 3 阅读下列运算过程：3 2( 32)( 32 )31利用上述方法化简：五、巩固反馈1. 计算362（ 1） 2（ 2）2x 3（ 3） 1 1 （ 4） 9x（ 5） 112112488x 41664 y 2 3356 （ 2）3 22 2. 化简：（ 1）（ 3）354 327。