(完整版)曲边梯形的面积与定积分习题
数学选修2-2训练：1 曲边梯形面积与定积分 含解析.
预习导航1．函数的极值(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．2．求函数y＝f(x)极值的步骤第1步：求导数f′(x)；第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3．函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．点拨函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值．4．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考3如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．点拨函数f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．此外，还要注意研究函数值的变化趋势，必要时应画出函数的大致图象，结合图象分析函数的最值．。
曲边梯形面积及定积分
b
y
yf (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
S f (x)dx a f (x)dx a c
b
f (x
S f (x)dx a f (x)dx a c
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim S n 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线 y=f(x)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
曲边梯形的面积完整版
a,b叫做积分区间,函数f x叫做被积函数, x叫
做积分变量, f x dx叫做被积式.
知识归纳
1.定积分的概念: 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
b
a f ( x)dx
b
n1
f (x)dx
a
f (i )
i0
xi
n
lim n i1
(b a) n
f (i )
2.定积分的几何意义:
• 在 [a, b]中任意插入 n -1个分点．
• 得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
• 区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y
f(2) f(1)
• 把曲边梯形分成 n 个窄 曲边梯形．
y = f(x) f(i)
f(i)xi
O a 1 x1 2 x2
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
(2) 以直代曲
Si
f(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
(3) 作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
• 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功 为：
• [点拨] 按用定义求定积分的步骤即分割、 近似代替、求和、取极限求解．
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
3.定积分的作用 f (b)
f (a)
求曲边梯形的面积
0a
y f (x)
b
(完整版)曲边梯形的面积与定积分习题
1高中数学专题训练——曲边梯形的面积与定积分[例1]（1）已知和式1123(0)p p p pP n p n +++++>当n →+∞时,无限趋近于一个常数A,则A 可用定积分表示为（ ）A ．dx x ⎰101B ．dx x p ⎰1C ．dx x p ⎰10)1(D ．dx n x p⎰10)(（2）下列定积分为1是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰11D ．dx ⎰1021（3）求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时,若选择ｘ为积分变量，则积分区间为 （ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2]D ．［0，1］（4）由y=cosx 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． （5）计算⎰= 。
[例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？ （1）3π40sin d x x ⎰； (2）01e d xx -⎰； （3）1213ln d x x ⎰．②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．10d x x ⎰， 120d x x ⎰， 130d x x ⎰。
［例3]计算下列定积分:121(1)(1)d 3x x -+⎰； 41(2)(3)d x x -+⎰； 20(3)cos d x x π⎰; 232(4)d x x -⎰。
1． 下列定积分值为1的是 （ ）A ．1tdt ⎰B 。
1(1)x dx +⎰C 。
1dx ⎰D 。
1012dx ⎰2． 1321(tan sin )x x x x dx -++⎰=（）A ．0B 1322(tan sin )x x x x dx ++⎰C ．03212(tan sin )x x x x dx -++⎰D 。
13202|tan sin |x x x x dx ++⎰3． 设连续函数f （x ）＞0，则当a ＜b 时，定积分()d baf x x ⎰的符号（ )A ．一定是正的B ．当0〈a 〈b 时为正，当a 〈b 〈0时为负C ．一定是负的D ．当0〈a <b 时为负,当a <b <0时为正 4． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 ( ）A ．()[]dy y y ⎰--101 B 。
人教B版选修(2-2)1.4.1《曲边梯形面积与定积分》word练习题4
X曲边梯形面积与定积分得分 ________一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分) 21.函数y=x cosx 的导数,,,,,,,,,,,,,,, 【A. y =2xcosx — x 1 2s inx2 .B. y =2xcosx+x snx2C. y' =x cosx — 2xsi nx 2 .D. y =xcosx — x sinx 2.下列结论中正确的是 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,, 【 A.导数为零的点一定是极值点B. 如果在X o 附近的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) ::: 0，那么f (X o )是极大值C. 如果在X 。
附近的左侧f '(x)，右侧f'(x) :: 0，那么f(Xo )是极小值D. 如果在x 0附近的左侧f'(x) ：：：0,右侧f'(x)・0，那么f(x 0)是极大值3兀3. 曲线y=cosx(0—X "，与坐标轴围成的面积是，，，，，”，,”2【 】5A.4B.C.3D.2234. 函数 f(x) =3x-4x , [0,1]的最大值是，”,，，，，，，，，，，，，【1A.1B.C.0D.-1[25.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处，则克服弹力所做的功为 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，【A . 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18J6.给出以下命题: b⑴若 f (x)dx 0，则 f(x)>0 ；asin xdx 二4 ；⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以aT 为周期的函数，则.f (x)dx-a TT f(x)dx ；其中正确命题的个数为,A. 1B. 2C. 3D. 0 7.若函数f (X) x 2 mx 1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是A. 】1 (-+oc ) (3，)1 B.(一：弓 8.设 0< a <b ，且 1亠 1亠x f (X) = 1——」，则下列大小关系式成立的是9.函数f(x) =ax3 4-b 在区间(v ,0)内是减函数，贝U a,b 应满足”,”，”,【 】A. a ::: 0且 b = 0且b R10. f (x)与g(x)是R 定义在上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满 足八))))))))))))))))))))))))))))))))))【】A. f(X)二 g(x)B. f(x)-g(x)为常数函数c. f (x)二g(x) =0D. f(x) g(x)为常数函数211. (2007江苏)已知二次函数f (x) = ax bx c 的导数为f (x)， f (0) 0 ,对于任意实数x，有f(x > ),则f (1 昇 的丿 最小值0 )为丿 7 )))))))))))))))))))))))))【】53A. 3B.c. 2D.2212. (2007江西理)设函数f (x)是R 上以 5为周期的可导偶函数，则曲线 y = f(x)在 x =5处的切线的斜率为( )11A.--B. 0c.—D .555二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 10.曲线y=2x 3— 3x 2共有 _____ 个极值.16.已知函数f (x) = x3ax 2 bx c 在x = -2处取得极值，并且它的图象与直线2y= _3x ' 3在点(1, 0)处相切，则函数 f (x)的表达式为 _____________ ____ __ m.314.已知 f (x)为一次函数，且 _______________ f (x) =x +2J ° f(t)dt ，贝U f (x) =a +bI —A.f(a )< f ()<f( ab )2— a ■ bC. f ( ..ab )< f ()<f (a )a + brB. f ()<f (b)< f (. ab )2a + b[~~c. a ■ 0 且 b = 0 D . a ■ 0f (x)与g (x)满足 f (x) = g (x)，则 15.若 f (x) = ef (1 -2t) -f(1)三、解答题(共74分)17.(本小题满分10分)一物体沿直线以速度v(t) = 2t-3 (t的单位为秒,v的单位为：米/秒)的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？18.(本小题满分12分)已知曲线y = x3+ x—2在点P o处的切线11平行直线4x—y—仁0 ,且点P o在第三象限，⑴求P o的坐标；⑵若直线I _ h ,且I也过切点P o ,求直线l的方程.3 219.(本小题满分12分)已知函数f(x)二ax (a -1)x 48(^ 2)x b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间1-4,4上的单调性，并证明你的结论•120.(本小题满分14 分)已知函数f(x)=l nx (x 式0),函数g(x)=—；—+ af"(x)(x^0) f(x)⑴当x = 0时，求函数y = g(x)的表达式；⑵若a 0,函数y=g(x)在(0,=)上的最小值是2 ,求a的值;27y x 与函数y = g(x)的图象所围成图形的面积⑶在⑵的条件下，求直线3 621. (本小题满分 12 分)设 a > 0 , f(x)=x_1_ln 2x 2alnx(x .O).(I)令F(x)二xf (x)，讨论F(x)在(0,^)内的单调性并求极值； (H)求证：当 x 1 时，恒有 x .In 2x_2alnx J .22. (本小题满分14分)已知函数 f(x)=e x-kx, x R(I)若k 二e ,试确定函数f (x)的单调区间；(n)若k 0，且对于任意R , f(x) 0恒成立，试确定实数 k 的取值范围；n(川)设函数 F(x) = f(x) f(-x)，求证：F(1)F(2)|||F(n) (e n12円n N ).3、将半径为R 的球加热，若球的半径增加 R ，则球体积的平均变化率为(2 ^4 3^4A 4 兀 R 2"A R +4兀 R +_ 兀(A R )B 、 4 兀 R 2+4兀 R 边R +_ 兀33数学科学段测试(导数部分)一、选择题(12小题，共36分)1、 设曲线y = x 2A (0,- 2)2、 抛物线y=x?在点M (— 2 B 、45°A 30° •x -2在点M 处切线斜率为3,则点M 的坐标为B 、( 1,1、4C 0) C 、(0, 0)D 的切线的倾斜角是 ()、(1,1) (、60° D 、90° 3“R )2C4. R 2R D 、4. R 24、 函数y=x 3— 3x 在［—1, 2］上的最小值为 （）A 2B 、一 2C 、0D — 45、 设函数f x 的导函数为f x ，且f x = x 22x f 1 ,则f 0等于（）A 0B 、_4C 、_2D 、26已知曲线y 」x 3在点P （2,8），则过P 点的切线方程为（）3 3 A 、3x -12y _16 二 0 B 、12x-3y -16=0 C 、 3x-12y 16 = 0 D 12x_3y16=07、 已知f （x ） = x 3+ ax 2+ （a + 6）x + 1有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A 、— 1<a<2B 、— 3<a<6C 、a<— 1 或 a>2D 、a<— 3 或 a>68、 设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如下图所示，贝U 导函数 y=f0） 可能为 （）值范围是1 1A 、kB 0 ：：： k _ —3 310、 函数y=xlnx 的单调递减区间是A 、（ e 4，+x ）B 、（ — X ，e 4） 11、 方程x 3— 6x 2+9x — 10=0的实根个数是A . 3B . 2C . 112、对于R 上可导的任意函数f （x ），且f '（1） = 0若满足（x — 1） f（ x ）>0,则 必有（）A f (0) + f (2) ：(1)B 、f (0) + f ⑵ -2f (1)C 、f (0) + f (2) >2f (1) D、f (0) + f (2) -2f (1)二、填空题（4小题，共16分）13、【文】已知函数y=x 3-3x ，则它的单调递增区间是 _________________13、【理】 计算定积分： 2（x sinx ）dx = _________________14、 已知函数y =lnsinx 和y 二a 2x 的导函数分别是 ___________ 、 ____________ < 15、 【文】一质点在直线上从时刻t=0秒以速度v （t ）二t 2-4t • 3 （米/秒）运动,则该质点在时刻t=3秒时运动的路程为 ___________________ 。
曲边梯形面积与定积分
（4-1） 步骤：分割，近似，求和，取极限
仿照上面方法：
t
O
T1
T2
=t0
t1
ti1
tn1
tn=
第i段路程值
第i段某时刻的速度
步骤：分割，近似，求和，取极限
二、定积分的定义
牛顿等数学家
被积函数
被积表达式
积分变量
其中
积分上限
积分下限
三、定积分的几何意义
202X
四、定积分的性质
汇报人姓名
汇报人日期
练习 教材Ｐ３９习 题
202X
课后小结
汇报人日期
矩形的面积和：
x y o 1 解:
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.
W=Fx
F(x)=kx
将区间［0,b］ n等分:
解：
分点依次为：
则从0到b所做的功W近似等于:
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功. 引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区 域的面积.
202X
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1.4定积分与微积分基本定理
汇报日期
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区 域的面积.
x
y
o
1
解:将区间［0,1］等分为n个小区间:
每个小区间的长度为：
矩形的高： 底：
x y o 1 解:将区间［0,1］等分为n个小区间: 矩形的高： 底： 矩形的面积：
01
引例 曲边梯形的面积
曲边梯形面积与定积分练习
a =x 0 x 1 x 2 x i -1 x i x n -1 x n =b ξiO ξn ξ1 ξ2 y =f (x )x y曲边梯形面积与定积分1.求下列图中阴影部分的面积：___________________S = ___________________S =2.曲边梯形的概念：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形通常称为曲边梯形。
3.对于0x =,1x =,0y =,2y x =围成的图形（曲边三角形）的面积S 如何来求呢？ 概念形成1.函数定积分的概念：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上，用分点： 0121n n a x x x x x b -=<<<<<= 把区间[,]a b 分成n个小区间，其长度依次为i x ∆=_______,0,1,,1i n =- .记λ为这些小区间长度的最大者，当0λ→时，所有的小区间长度都_______.在每个小区间内任取一点i ξ，作和式：n I =10()n i i i f x ξ-=∆∑，当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：，即()b a f x dx ⎰=100lim ()n i i i f x λξ-→=∆∑.其中()f x 叫做_________,a 做________, b 叫_________.()f x dx 叫做_______.此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积。
2.函数定积分的几何意义：曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[,]a b 上的定积分的绝对值， 即|()|ba S f x dx =⎰ 则上面曲边三角形的面积可以写为：S =___________=_______. 练习1.将下列曲边梯形的面积写成定积分的形式：(1)由()(0)f x c c =>和直线,,0x a x b y ===（a b <）围成图形：S =__________________(2)由曲线sin y x =(02x π≤≤)和直线,02x y π==围成图形:S =__________________(3)由抛物线2()f x x =与直线4y =围成图形：S =__________________(4)由曲线3()f x x =与直线0,1y x ==围成图形：S =__________________2.利用定积分的几何意义求下列定积分并画图：(1)212dx ⎰，（2）b a cdx ⎰(0)c >，(3)42xdx ⎰ （4）422xdx ⎰ 3. 求定积分120(1(1))x x dx ---⎰的值．。
高中数学选修2-2讲义：第一章 4 1 曲边梯形面积与定积分 含答案
1.4定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分如图，阴影部分是由直线x＝1，x ＝2，y ＝0和曲线f (x )＝x 2所围成的曲边梯形，问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． 问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？ 提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．曲边梯形曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，称为曲边梯形． 2．求曲边梯形面积的方法求由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形如图①的面积的步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．[对应学生用书P25]问题1：求曲边梯形的面积与变力所做功的步骤是什么？ 提示：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：你能将区间[a ，b ]等分吗？ 提示：可以．定积分的概念设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .把区间[a ，b ]分成n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i =0n －1f (ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m λ→0 ∑i =0n －1f (ξi )Δx i .其中f (x )叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，f (x )d x 叫做被积式，此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”．例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等分数越多，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a bx 2d x ＝⎠⎛a bt 2d t .[对应学生用书P26][例1] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[思路点拨] 按分割、近似代替、求和、取极限求值四步骤进行． [精解详析] 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎡⎦⎤2i －2n，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i =1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝i =1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i =1n i 2＋2. ＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143. [一点通] 求曲边梯形面积的过程：1．下列关于函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 内各点处的函数值的说法正确的是( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 内的值相差很小，所以函数值相差很小，故选D.2．用以直代曲的思想，求由y ＝3x ，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积． 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替：用小矩形面积ΔS i (i ＝1,2，…，n )近似代替小曲边梯形面积，ΔS i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2()i －1，(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i =1nΔS i ＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n. (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i =1nΔS i ＝li m n →∞32·n －1n ＝32.[例2] 利用定积分表示由曲线y ＝x －2，x ＝y 2围成的平面区域的面积S .[思路点拨] 用定积分表示平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限，当公式S ＝⎠⎛a b|f (x )－g (x )|d x 中的f (x )或g (x )是分段函数时，面积要分块表示．[精解详析] 曲线所围成的平面区域如图所示， S ＝A1＋A 2，其中，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成， A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成． ∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ＝⎠⎛012x d x .A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝⎠⎛012 x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .(1)定积分的几何意义：当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是以曲线f (x )为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图像以及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题．定积分的值可正可负可为零，而面积是正值．3．利用定积分表示下图中阴影部分的面积，答案：(1)⎠⎛121⎠⎛2121xd x (2)⎠⎛-11(－x 2＋1)d x 4．利用定积分表示由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．解：由题意，作图形，并解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0，得x ＝2，y ＝4.所以y 2＝8x 与直线x ＋y －6＝0的交点为(2,4)． 所以所求面积为S ＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x .[例3] (12分)说明下列定积分的几何意义，并根据其几何意义求出定积分．(1)⎠⎛023d x ； (2)⎠⎛232x d x ；(3)⎠⎛-a a a 2－x 2d x .[精解详析] (1)⎠⎛023d x 表示的是图(1)中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积是6，所以⎠⎛023d x ＝6.(4分)(2)⎠⎛232x d x 表示的是图(2)中阴影所示的梯形面积，其面积为5. ∴⎠⎛232x d x ＝5.(8分)(3)⎠⎛-a aa 2－x 2d x 表示的是图(3)中阴影部分的面积，该图形是一个以原点为圆心，半径为a 的上半圆的面积，其面积为π2a 2.∴⎠⎛-a aa 2－x 2d x ＝π2a 2.(12分)[一点通] 利用定积分的几何意义求定积分⎠⎛a bf (x )d x ，关键是确定由曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的图形的形状，若图形是三角形、梯形、矩形、圆(或一部分)，则可用相应面积公式计算．5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式．(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ；(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .答案：(1)＞ (2)< (3)＜6．利用定积分的几何意义，说明下列等式． (1)⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，而S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛-111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方部分的面积．由S 半圆＝π2，得⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.几类曲边梯形的面积与定积分的关系1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为( )A.1n B.2n C.2n －1D.2n ＋1解析：每个小区间长度为：1－(－1)n ＝2n .答案：B2．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎡⎦⎤t (i －1)n ，ti nD.⎣⎡⎦⎤t (i －2)n ，t (i －1)n 解析：每个小区间长度为t n ，故第i －1个区间的左端点为：0＋(i －2)×t n ＝t (i －2)n ，右端点为t (i －2)n ＋t n ＝t (i －1)n.答案：D3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)解析：当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．答案：C4．如图，阴影部分的面积为( )[对应课时跟踪训练(十)]A.⎠⎛a bf (x )d x B.⎠⎛a bg (x )d x C.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛a b[g (x )－f (x )]d x解析：由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )， ∴阴影部分的面积为⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x . 答案：C5．把y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵当0<x <π2时，sin x >0，∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎛02πsin x d x .答案：⎠⎛2πsin x d x .6．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S 1＝________(如图1)； (2)S 2＝________(如图2)； (3)S 3＝________(如图3)．答案：(1)⎠⎛3π0⎠⎛ππ3sin x d x (2)⎠⎛-42x 22d x (3)⎠⎛49x 12d x 7．利用定积分表示曲线y ＝x 2与x ＋y ＝2所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2得交点的横坐标为x ＝1及x ＝－2，如图，∴S ＝⎠⎛-21[(2－x )－x 2]d x ＝⎠⎛-21(2－x －x 2)d x .8．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可化为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛-114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB ·BC ＝2 3.∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。
高中数学曲边梯形的面积与定积分
作和式In=
f ( )x
i 0 i
n 1
i
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，来自记作ab
f ( x )dx
其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量， [a，b]称为积分区间，a, b分别称为积分 的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时 称f(x)在区间[a，b]上可积。
2
1 1 1 1 lim Sn lim (1 )(2 ) 由此得到S= x 0 x 0 6 n n 3
从图形上看，当n越来越大时，划分的 越来越细，阴影部分飞面积与曲边梯形 的面积相差越来越小，当n→+∞时，阴影 部分趋近于曲边三角形，因此可以将极 1 限值 视为此曲边三角形的面积。
3
例2．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成 正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长 量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力 的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
b 将[0，b] n等分，记△x= n ， 2b b 分点依次为x0=0，x1= ，x2= n ,……， n (n 1)b
1 1 2 [0, ], [ , ], n n n i 1 i n 1 n ,[ , ], ,[ , ] n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n n
y
1
x O
1
解：将区间[0，1]等分成n个小区间，
1 1 2 [0, ], [ , ], n n n i 1 i n 1 n ,[ , ], ,[ , ] n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n n
数学苏教版选修2-2优化训练：1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分含解析
1.5 定积分1。
5。
1 曲边梯形的面积 1.5.2 定积分5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.在求由x=a ，x=b （a 〈b ）,y=f(x ）［f(x ）≥0］及y=0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间［a ，b ］上等间隔地插入n —1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边形，下列说法中正确的个数是…（ ）①n 个小曲边形的面积和等于S②n 个小曲边形的面积和小于S③n 个小曲边形的面积和大于S④n 个小曲边形的面积和与S 之间的大小关系无法确定A 。
1 B.2 C 。
3D 。
4答案：A解析:根据“化整为零”“积零为整”的思想,知①是正确的。
2。
函数f(x ）=x 2在区间［n i 1 ，n i ］上，则（ ） A 。
f(x ）的值变化很小 B 。
f(x)的值变化很大C.f(x ）的值不变化D.当n 很大时，f(x ）的值变化很小答案:D解析：因为分割得越细,越接近原函数值，所以当n 很大时,f （x)的值变化很小。
3.定积分的性质(1)⎰ba kf(x ）dx=____________⎰b a x f )(dx 。
(2）⎰±ba x f x f )]()([21dx=⎰b af 1(x ）dx____________。
(3）⎰ba x f )(dx=⎰c ax f )(dx+____________（a 〈c 〈b ）. 答案：(1）k·(2）±⎰b a f 2（x ）dx (3)⎰ba x f )(dx10分钟训练 （强化类训练,可用于课中)1。
设函数f(x)在区间[a ，b ］上连续，用分点a=x 0〈x 1〈…〈x i-1〈x i <…<x n =b ，把区间［a ，b ］等分成n 个小区间，在每个小区间[x i —1,x i ]上任取一点ξi （i=1,2,…,n)，作和式I n =∑=ni if 1)(ξΔx(其中Δx 为小区间的长度）那么I n 的大小（ ）A 。
曲边梯形面积与定积分
曲边梯形面积与定积分一．基础知识1. 曲边梯形：2. 求曲边梯形面积的方法3. 定积分定义：4. 根据定积分的定义可知，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数y=f （x ）在区间[a,b]上的定积分，即 5. 定积分的性质：二．例题例1． 求曲线2x y =与直线x=1,y=0所围成的区域的面积。
例2.用定积分求由直线y=x ，x=1，x=2，y=0所围成梯形的面积三．巩固练习：2.由定积分的几何意义，dx x -1210⎰=3求抛物线f （x ）=1+x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面图形的面积.4.求由曲线3x y =与直线y=0，x=1所围成的曲边的面积。
微积分基本定理一．基础知识： 1.微积分基本定理2.求定积分的方法：二．例题例1.求sinx y =在[]π，0上阴影部分的面积S例2.求曲线y=sinx 与x 轴在区间[]π，0上所围成阴影部分的面积S变式： 曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积例3.求曲线3x y = 和y=2x 所围成的图形面积变式：.求抛物线x y 2=与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积S 。
例4.计算 （1）dx x141,⎰（2）dx 1x 22）（+⎰ （3）cosxdx 30⎰ （4）dx x121⎰1． 5(24)x dx -⎰= （ ）A ．5B 。
4C 。
3D 。
2 2． dx e ex x⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-3． 若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6B 。
4C 。
3D 。
24.计算1⎰=5.计算1-1log dx ⎰）自测：1. dx x|4|12⎰-=（ ）A ．321B ．322C ．323D ．325 2.211ln xdx x⎰=（）A ．21ln 22B 。
C 。
2ln 2D 。
ln2 3.230(2cos 1)2xdx π-⎰=（）A ．B 。
人教B版选修22高中数学141《曲边梯形面积与定积分》同步练习4
曲边梯形面积与定积分得分一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分）1、函数y=x2co sx的导数为…………………………………………………………………【】A、y′=2x co sx－x2s i nxB、y′=2x co sx+x2s i nxC、y′=x2co sx－2xs i nxD、y′=x co sx－x2s i nx2、下列结论中正确的是……………………………………………………………………【】A、导数为零的点一定是极值点…………………………………………………………【】B、如果在错误！超链接引用无效.附近的左侧错误！超链接引用无效。
，右侧错误！超链接引用无效。
，那么错误！超链接引用无效。
是极大值C、如果在错误！超链接引用无效.附近的左侧错误！超链接引用无效.,右侧错误!超链接引用无效。
,那么错误！超链接引用无效.是极小值D、如果在错误!超链接引用无效。
附近的左侧错误！超链接引用无效。
，右侧错误!超链接引用无效。
，那么错误！超链接引用无效。
是极大值3、曲线错误！超链接引用无效。
与坐标轴围成的面积是…………………………………【】A、4B、错误！超链接引用无效。
C、3D、24、函数错误!超链接引用无效.,错误!超链接引用无效.的最大值是…………………………………………【】A、1B、错误！超链接引用无效。
C、0 错误！超链接引用无效。
D、-15、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处,则克服弹力所做的功为…………………………………………………………【】A 、0、28J B、0、12J C、0、26J D、0、18J6、给出以下命题:⑴若错误！超链接引用无效。
，则f(x)>0; ⑵错误!超链接引用无效。
;⑶f （x)的原函数为F(x）,且F（x）是以T为周期的函数，则错误！超链接引用无效。
；其中正确命题的个数为…【】A、1B、2C、3D、07、若函数错误！超链接引用无效.是R上的单调函数，则实数m的取值范围是………【】A、错误!超链接引用无效。
课时作业14：1.4.1 曲边梯形面积与定积分
1.4.1 曲边梯形面积与定积分一、选择题1．关于定积分m ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎫－13d x ，下列说法正确的是( ) A ．被积函数为y ＝－13xB ．被积函数为y ＝－13C ．被积函数为y ＝－13x ＋CD ．被积函数为y ＝－13x 32．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-66f (x )d x ＝( )A ．0B ．16C ．12D ．83．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)4．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )5．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )，积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 二、填空题6．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝__________.7．定积分⎠⎛-12|x |d x ＝__________.8．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．三、解答题9．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-111－x 2d x 的值．参考答案一、选择题1．【答案】B【解析】被积函数为y ＝－13.2．【答案】B【解析】偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16，故选B.3．【答案】C【解析】当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替． 4．【答案】D【解析】定积分S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方，对照各选项，知D 中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方． 5．【答案】A【解析】定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi 的取法无关． 二、填空题 6．【答案】－6【解析】由定积分的几何意义知，定积分 ⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3与y ＝－3，y ＝0 所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛13(－3)d x ＝－(2×3)＝－6.7．【答案】52【解析】如图，⎠⎛-12|x |d x ＝12＋2＝52.8．【答案】⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x 【解析】如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x .三、解答题9．解：(1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝⎛⎭⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.10．解：y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-111－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积， 所以⎠⎛-111－x 2d x ＝S 半圆＝12π.。
《曲边梯形面积与定积分》同步练习2(新人教B版选修2-2)
曲边梯形面积与定积分
一、选择题
1．给出如下命题：
①（为常数且）；
②；
③曲线，，与直线围成的两个封闭区域的面积之和为．
其中真命题的个数为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｂ
2．等于（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｃ
3．若某产品一天内的产量是时间的函数，若已知产量的变化率为，那么从第3小时到第6小时期间内的产量为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｄ
4．，则的最大值是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ｂ
二、填空题
5．若是一次函数，且，，那么的值是．
答案：
6．物体按照规律做直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于时，阻力为，则物体从到阻力所做的功等于．
答案：
三、解答题
7．在曲线上某一点处作一切线使之与曲线以及轴所围成图形的面积为，试求：
（1）切点的坐标；
（2）过切点的切线方程．
解：（1）设切点，切线斜率为，
切线方程为，
令，得．
，
解得，切点的坐标为；
（2）将代入切线方程，得，
整理，得．
即所求切线方程为．
8．已知质量为的物体，将该物体发射升空脱离地球，求证：物体脱离地球时所做的功为（其中，分别为地球的质量和半径，为引力常数）．
证明：引力，
使物体自运动到时所做的功为
，
故物体脱离地球时所做的功为．。
22.1 曲边梯形的面积与定积分
22、定积分22．1 曲边梯形地面积与定积分【知识网络】1．了解定积分地实际背景.2．初步了解定积分地概念，并能根据定积分地意义计算简单地定积分.【典型例题】[例1]<1）已知和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为<）A．B．C．D．<2）下列定积分为1是<）A．B．C．D．<3）求由围成地曲边梯形地面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为<）A．［0，］B．［0，2］C．［1，2］D．［0，1］<4）由y=cosx 及x 轴围成地介于0与2π之间地平面图形地面积，利用定积分应表达为． <5）计算=.[例2]①利用定积分地几何意义，判断下列定积分地值是正是负？ <1）； <2）； <3）．②利用定积分地几何意义，比较下列定积分地大小．，，.[例3]计算下列定积分：；；；. [例4] 利用定积分表示图中四个图形地面积：A ．B.C.D. 2． =<） A ．0B.(1> (2>(3>(4>C． D.3．设连续函数f(x>＞0，则当a＜b时，定积分地符号<）A．一定是正地B．当0<a<b时为正，当a<b<0时为负C．一定是负地D．当0<a<b时为负，当a<b<0时为正4．由直线，及ｘ轴所围成平面图形地面积为<）A． B.C． D.5．和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为.6．曲线，所围成地图形地面积可用定积分表示为．7．计算曲边三角形地面积地过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近.试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成地曲边三角形地面积.<下列公式可供使用：12+22+…+n2=）8．求由曲线与所围地图形地面积.9．计算，其中,10．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x>=kx<k是正地常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做地功.22、定积分22．1 曲边梯形地面积与定积分A组若是上地连续偶函数，则1．）<A．B．0C．D．2．变速直线运动地物体地速度为v(t>，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在地位置为< ）A．B．C．D．3．由直线，及ｘ轴所围成平面图形地面积为<）A．B．C．D．4．设且，，给出下列结论：①A＞0；②B＞0；③；④.其中所有正确地结论有.5．设函数f (x>地图象与直线x =a, x =b及x轴所围成图形地面积称为函数f(x>在[a，b]上地面积.已知函数y＝sinnx在[0，]<n∈N*）上地面积为.①y＝sin3x在[0,]上地面积为；②y＝sin<3x－π）＋1在[，]上地面积为.6．求由曲线与所围地图形地面积.7．试根据定积分地定义说明下列两个事实：①；②.8．物体按规律<m）作直线运动，设介质地阻力与速度成正比，且速度等于10<m/s）时阻力为2<N），求物体从x=0到x=2阻力所做地功地积分表达式．22、定积分22．1 曲边梯形地面积与定积分B组1．如果1kg力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，则力所作地功为）<A．0.18kg·m D．0.28kg·mC．0.12kg·mB．0.26kg·m2．<已知b＞a，下列值：，，||地大小关系为）A．||≥≥B.≥||≥C．= ||=D．= ||≥3．若与是上地两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b所围图形地面积<）A．B．C．D．4．给出下列命题：①若＞0，b＞a，则f(x>＞0；②若f(x>＞0，b＞a，则＞0；③若=0，b＞a，则f(x>=0；④若f(x>=0，b＞a，则=0；⑤若=0，b＞a，则f(x>=0.其中所有正确命题地序号为.5．给出下列定积分：①②③④其中为负值地有.6．求由曲线所围图形地面积. 7．计算：.8．试问下面地结论是否成立？若函数f(x>在区间[a，b]上是单调增函数，则.若成立，请证明之；若不成立，请说明理由.参考答案22．1 曲边梯形地面积与定积分【典型例题】[例1]<1）B．<2）C．B.3．<4）或.<5）.提示：这是求单位圆落在第一象限内部分地面积. [例2]①<1）正 (2>正 (3>负.②≥≥.[例3](1>； (2>；(3>0 ；(4>0.[例4](1>；(2>；(3>；(4>．【课内练习】C.1．2．A.提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利用定积分地几何意义知，面积地代数和为0.3． A.4． C.5．.6．.7．.提示：请参看教材P42~44.8． 6.9． 6.10．可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：.22．1 曲边梯形地面积与定积分A组C.1．B.2．3．C.①③④.4．①；②.5．6．.7．定积分地定义实质反映了计算地过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近.可尝试用这四步进行说明或证明.8．变力作功公式中，F(x>是用x表示地，而此题中只有x对t地关系式，故首先将F表示出来．依题意得：F＝kv，但这不是x地函数，应将v用x表示．∵v=x＇=8t，而，∴．另外，此题F是与物体运动方向相反地，∴．B组A.1．B.2．A.3．②④⑤.4．②③.5．.6．2π.提示：问题即求上半圆地面积.7．结论成立.说明可按照定积分地定义进行.8．个人收集整理-仅供参考申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.11 / 11。
课时作业11：1.4.1 曲边梯形面积与定积分
§1.4 定积分和微积分的基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分一、选择题1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为( )A.1nB.2nC.2n －1D.2n ＋12．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t >0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．[i －1n ，i n] B ．[i n ，i ＋1n ] C ．[t (i －1)n ，ti n ] D ．[t (i －2)n ，t (i －1)n] 3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n]上的值可以用下列哪个值近似代替( ) A ．f (1n ) B ．f (2n ) C ．f (i n) D ．f (0) 4．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( ) A.∑i ＝1n (i －1n )2·1n B ．lim n →∞ ∑i ＝1n(i －1n )2·1n C.∑i ＝1n (2i n )2·2n D ．lim n →∞ ∑i ＝1n(2i n )2·2n 5．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求ʃπ2－π2f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2B ．πC ．1D ．0 6．下列定积分的值等于1的是( )A ．ʃ10x d xB ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d xD ．ʃ101d x7．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为( )A ．ʃ1－1(x 3＋sin x )d xB ．2ʃ10(x 3＋sin x )d xC.||ʃ1－1(x 3＋sin x )d x D ．ʃ10(x 3＋sin x )d x8．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( )A ．ʃ10[(1－y )－y ]d yB ．[]120(1)d x x x -+-⎰ C ．112102d (1)d x x x x +⎰⎰－＋D ．[]10(1)d x x x -+⎰ 二、填空题9．设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 10．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 11．ʃ30[9－(x －3)2－x ]d x ＝________. 12．已知t >0，若ʃt 0(2x －2)d x ＝8，则t ＝________.三、解答题13．利用定积分表示曲线y ＝x 2与x ＋y ＝2所围成图形的面积．四、探究与拓展14．若ʃa －a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( )A ．6B ．56C ．36D ．2 01615．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．答案精析1．B 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B8．C9．a >b >c 10.83 11.9π－18412.4 13．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得交点的横坐标为x ＝1及x ＝－2，如图，∴S ＝ʃ1－2[(2－x )－x 2]d x ＝ʃ1－2(2－x －x 2)d x .14．A [由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa －a |x |d x ≤2 016，得ʃa －a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6. 故正数a 的最大值为6.]15．解 ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53(52－x 2)d x . ʃ20x d x ＝12×(2－0)×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53(52－x 2)d x ＝12×2×1＝1， 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53(52－x 2)d x ＝2＋32＋1＝92.。
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高中数学专题训练——曲边梯形的面积与定积分[例1]（1）已知和式1123(0)p p p pP np n +++++>L 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为（ ）A ．dx x ⎰101B ．dx x p ⎰1C ．dx x p ⎰10)1(D ．dx n x p⎰10)(（2）下列定积分为1是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+1)1(C ．dx ⎰11D ．dx ⎰1021（3）求由1,2,===y x e y x围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］（4）由y=cosx 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．（5）计算⎰= 。
[例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）3π40sin d x x ⎰； （2）01e d xx -⎰； （3）1213ln d x x ⎰．②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．10d x x ⎰，120d x x ⎰，130d x x ⎰。
[例3]计算下列定积分：121(1)(1)d 3x x -+⎰； 41(2)(3)d x x -+⎰； 20(3)cos d x x π⎰； 232(4)d x x -⎰。
1． 下列定积分值为1的是 （ ）A ．1tdt ⎰B 。
1(1)x dx +⎰C 。
1dx ⎰D 。
1012dx ⎰2． 1321(tan sin )x x x x dx -++⎰=（ ）A ．0B 13202(tan sin )x x x x dx ++⎰ C ．03212(tan sin )x x x x dx -++⎰ D 。
13202|tan sin |x x x x dx ++⎰3． 设连续函数f (x )＞0，则当a ＜b 时，定积分()d b af x x ⎰的符号（ ）A ．一定是正的B ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负C ．一定是负的D ．当0<a <b 时为负，当a <b <0时为正 4． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（ ）A ．()[]dy y y ⎰--101 B 。
()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--2101D 。
()[]dx x x ⎰+--115． 和式111122n n n+++++L 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 用定积分可表示为 。
6． 曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．7． 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。
试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x 2所围成的曲边三角形的面积。
（下列公式可供使用：12+22+…+n 2=1(1)(21)6n n n ++） 8． 求由曲线1y x =+与1,3,0x x y ===所围的图形的面积. 9． 计算2()f x dx ⎰，其中,2,01,()5,1 2.x x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩曲边梯形的面积与定积分A 组1． 若()f x 是[,]a a -上的连续偶函数，则()d aaf x x -=⎰（ ）A ．()d af x x -⎰B ．0C ．02()d af x x -⎰D ．()d af x x ⎰2． 变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置为（）A ．⎰1)(t dt t vB ．dt t v s t ⎰+1)(C ．001)(s dt t v t -⎰D ．dt t v s t ⎰-10)(3． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（ ）A ．()[]dy y y ⎰--11 B ．()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--2101D ．()[]dx x x ⎰+--101 4． 设()0,()()0,.h x a x b f x g x b x c ><<⎧=⎨<≤<⎩且()b a h x dx A =⎰，()c bg x dx B =⎰，给出下列结论：①A ＞0；②B ＞0；③()caf x dx A B =+⎰；④|()|caf x dx A B =-⎰。
其中所有正确的结论有 。
5． 设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a ，b]上的面积。
已知函数y ＝sinnx 在[0，nπ]（n ∈N *）上的面积为n2。
①y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ②y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 。
6． 求由曲线1y x =-与0,3,0x x y ===所围的图形的面积。
7． 试根据定积分的定义说明下列两个事实：①()()bbaacf x dx c f x dx =⎰⎰；②(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰。
B 组1． 如果1kg 力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，则力所作的功为 （）A ．0.18kg ·mB ．0.26kg ·mC ．0.12kg ·mD ．0.28kg ·m2． 已知b ＞a ，下列值：()baf x dx ⎰，|()|ba f x dx ⎰，|()b af x dx ⎰|的大小关系为（ ）A ．|()baf x dx ⎰|≥|()|ba f x dx ⎰≥()baf x dx ⎰B 。
|()|baf x dx ⎰≥|()baf x dx ⎰|≥()baf x dx ⎰C ．|()|baf x dx ⎰= |()baf x dx ⎰|=()baf x dx ⎰D ．|()|baf x dx ⎰= |()baf x dx ⎰|≥()baf x dx ⎰3． 若()f x 与()g x 是[,]a b 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x =a , x =b 所围图形的面积（）A ．()()d baf xg x x -⎰B ．(()())d baf xg x x -⎰ C ．(()())d bag x f x x -⎰D ．(()())d baf xg x x -⎰4． 给出下列命题： ①若()ba f x dx ⎰＞0，b ＞a ，则f(x)＞0；②若f(x)＞0，b ＞a ，则()baf x dx ⎰＞0；③若()ba f x dx ⎰=0，b ＞a ，则f(x)=0；④若f(x)=0，b ＞a ，则()baf x dx ⎰=0；⑤若|()|baf x dx ⎰=0，b ＞a ，则f(x)=0。
其中所有正确命题的序号为 。
5． 给出下列定积分：①2sin xdx π⎰②2sin xdx π-⎰③23xdx -⎰④231x dx -⎰其中为负值的有 。
6． 求由曲线23,1,2,0y x y y x =+===所围图形的面积。
7． 计算：2-⎰。
参考答案曲边梯形的面积与定积分【典型例题】 [例1]（1）B ． （2）C ． 3． B 。
（4）2π|cos |x dx ⎰或204cos xdx π⎰。
（5）π4。
提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。
[例2]①（1）正 (2)正 (3)负。
②10d x x ⎰≥120d x x ⎰≥130d x x ⎰。
[例3] (1)52； (2)452；(3)0 ；(4)0。
[例4] (1)⎰=adx x S 02； (2) ⎰-=212dx x S ； (3) ⎰⎰------=01222]1)1[(]1)1[(dx x dx x S ；(4) ⎰=badx S ．【课内练习】 1． C 。
2． A 。
提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利用定积分的几何意义知，面积的代数和为0。
3． A 。
4．C5．dx x⎰+10116．dx x ⎰-102)1(7． 13。
提示：请参看教材P42~44。
8． 6 9．6。
10．可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：202b kb W kxdx ==⎰。
曲边梯形的面积与定积分A 组1． C2．B3．C4．①③④5．①43；②2π3+6．32-7． 定积分的定义实质反映了计算的过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近。
可尝试用这四步进行说明或证明。
8． 变力作功公式中，F(x)是用x 表示的，而此题中只有x 对t 的关系式，故首先将F 表示出来．依题意得：F ＝kv ，但这不是x 的函数，应将v 用x 表示．∵v=x ＇=8t ，而4xt =， ∴x x x F 54458)(==．另外，此题F 是与物体运动方向相反的，∴⎰-=254dx x W． B 组1． A2．B3．A4．②④⑤。
5．②③6．347． 2π。
提示：问题即求上半圆的面积。
8．结论成立。
说明可按照定积分的定义进行。