(完整版)曲边梯形的面积与定积分习题

高中数学专题训练——曲边梯形的面积与定积分

[例1]（1）已知和式1

123(0)p p p p

P n

p n +++++>L 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为

（ ）

A ．

dx x ⎰1

01

B ．dx x p ⎰

1

C ．dx x p ⎰1

0)1(

D ．dx n x p

⎰1

0)(

（2）下列定积分为1是

（ ）

A ．

dx x ⎰

1

B ．

dx x ⎰

+1

)1(

C ．

dx ⎰1

1

D ．

dx ⎰1

021

（3）求由1,2,===y x e y x

围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为

（ ）

A ．［0，2e ］

B ．［0，2］

C ．［1，2］

D ．［0，1］

（4）由y=cosx 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．

（5）计算

⎰

= 。

[例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？

（1）

3π40

sin d x x ⎰

； （2）0

1

e d x

x -⎰； （3）1213

ln d x x ⎰．

②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．

10

d x x ⎰

，

120

d x x ⎰

，

130

d x x ⎰

。

[例3]计算下列定积分：

121

(1)(1)d 3

x x -+⎰； 4

1

(2)

(3)d x x -+⎰

； 20

(3)cos d x x π⎰； 2

32

(4)d x x -⎰。

1． 下列定积分值为1的是 （ ）

A ．

1

tdt ⎰

B 。

1

(1)x dx +⎰

C 。1

dx ⎰

D 。1

012dx ⎰

2． 1

321

(tan sin )x x x x dx -++⎰

=

（ ）

A ．0

B 1

320

2(tan sin )x x x x dx ++⎰ C ．0

32

12(tan sin )x x x x dx -++⎰ D 。1

320

2|tan sin |x x x x dx ++⎰

3． 设连续函数f (x )＞0，则当a ＜b 时，定积分

()d b a

f x x ⎰

的符号

（ ）

A ．一定是正的

B ．当0

C ．一定是负的

D ．当0

（ ）

A ．

()[]dy y y ⎰--1

01 B 。()[]dx x x ⎰-+-210

1 C ．()[]dy y y ⎰--210

1

D 。

()[]dx x x ⎰+--1

1

5． 和式

111

122n n n

+++

++L 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 用定积分可表示为 。 6． 曲线1,0,2

===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．

7． 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x 2所围成的曲边三

角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+…+n 2=

1

(1)(21)6

n n n ++） 8． 求由曲线1y x =+与1,3,0x x y ===所围的图形的面积. 9． 计算

2

()f x dx ⎰

，其中,2,01,

()5,

1 2.x x f x x ≤<⎧=⎨

≤≤⎩

曲边梯形的面积与定积分

A 组

1． 若()f x 是[,]a a -上的连续偶函数，则

()d a

a

f x x -=⎰

（ ）

A ．

()d a

f x x -⎰

B ．0

C ．0

2

()d a

f x x -⎰

D ．

()d a

f x x ⎰

2． 变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置为

（

）

A ．

⎰

1

)(t dt t v

B ．dt t v s t ⎰+1

)(

C ．

00

1

)(s dt t v t -⎰

D ．dt t v s t ⎰-1

0)(

3． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为

（ ）

A ．()[]dy y y ⎰--1

1 B ．

()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--210

1D ．()[]dx x x ⎰+--1

01 4． 设

()0,

()()0,.

h x a x b f x g x b x c ><<⎧=⎨<≤<⎩且()b a h x dx A =⎰，()c b

g x dx B =⎰，给出下列结论：

①A ＞0；②B ＞0；③

()c

a

f x dx A B =+⎰

；④|()|c

a

f x dx A B =-⎰。

其中所有正确的结论有 。

5． 设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a ，b]上的面积。已知函数y ＝sinnx 在[0，

n

π

]（n ∈N *）上的面积为n

2。

①y ＝sin3x 在[0,

3

2π]上的面积为 ②y ＝sin （3x －π）＋1在[

3

π，

34π]上的面积为 。

6． 求由曲线1y x =-与0,3,0x x y ===所围的图形的面积。 7． 试根据定积分的定义说明下列两个事实：

①

()()b

b

a

a

cf x dx c f x dx =⎰

⎰；

②

(()())()()b

b b

a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx +=+⎰

⎰⎰。

B 组

1． 如果1kg 力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，则力所作的功为 （

）

A ．0.18kg ·m

B ．0.26kg ·m

C ．0.12kg ·m

D ．0.28kg ·m

2． 已知b ＞a ，下列值：()b

a

f x dx ⎰

，|()|b

a f x dx ⎰，|()

b a

f x dx ⎰|的大小关系为

（ ）

A ．|()b

a

f x dx ⎰

|≥|()|b

a f x dx ⎰≥()b

a

f x dx ⎰B 。|()|b

a

f x dx ⎰≥|()b

a

f x dx ⎰|≥()b

a

f x dx ⎰

C ．

|()|b

a

f x dx ⎰

= |()b

a

f x dx ⎰|=()b

a

f x dx ⎰D ．|()|b

a

f x dx ⎰= |()b

a

f x dx ⎰|≥()b

a

f x dx ⎰

3． 若()f x 与()g x 是[,]a b 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x =a , x =b 所围图形的面积

（

）

A ．

()()d b

a

f x

g x x -⎰

B ．(()())d b

a

f x

g x x -⎰ C ．(()())d b

a

g x f x x -⎰

D ．

(()())d b

a

f x

g x x -⎰

4． 给出下列命题： ①若()b

a f x dx ⎰＞0，

b ＞a ，则f(x)＞0；②若f(x)＞0，b ＞a ，则()b

a

f x dx ⎰＞0；

③若()b

a f x dx ⎰

=0，b ＞a ，则f(x)=0；④若f(x)=0，b ＞a ，则()b

a

f x dx ⎰=0；

⑤若

|()|b

a

f x dx ⎰

=0，b ＞a ，则f(x)=0。其中所有正确命题的序号为 。

5． 给出下列定积分：

①

2

sin xdx π

⎰

②

2

sin xdx π-

⎰

③

2

3

xdx -⎰

④

2

31

x dx -⎰

其中为负值的有 。

6． 求由曲线23,1,2,0y x y y x =+===所围图形的面积。

7． 计算：

2

-⎰

。