弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载

第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
位移求解的过程：
（a）将应力分量代入物理方程
1 xy 1 x ( x y) y ( y x) xy E E G
（b）再将应变分量代入Βιβλιοθήκη Baidu何方程
u x x
v y y
xy
u v y x
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
(1)假定应力分量的函数形式
x——主要由弯矩引起； xy——主要由剪力引起。
又∵ q =常数，不随x变化，∴ ql
q ql x l
y——由竖向荷载q 引起（挤压应力）；
y
l
y 不随 x 变化。
因此假设 y 只是y的函数： y f y “(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状 、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力 学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式”
df1 ( y ) df 2 ( x) M x w dy dx EI
分别积分，可得
f1 ( y ) wy u0 ,
M 2 f 2 ( x) x wx 0 2 EI
第二章 平面问题的基本理论 M 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
l
M y
x
1
h
代入位移分量公式，并整理可得
2 ( x, y) 2 ( x, y) 2 ( x, y) x f x x, y f y y, xy 2 2 y x xy
(3)将应力函数 代入相容方程进行校核，进而求 得应力函数 的具体表达形式 4 4 4
x
4
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(2)由应力推出应力函数的一般形式 将假设的 y 向应力分量代入式(2-24)，在无体力情 况下，有 2 ( x, y ) y f ( y) 2
x
对 x 积分可得
x2 ( x, y ) f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) 2
(4)由应力函数求应力分量
校核应力分量： 代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量 是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的9个待定常 数由边界条件来确定。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(4)由应力函数求应力分量
对于任何问题，凡是具有对称性（或反对称性）的，宜先考
虑对称性条件，可以简化问题的求解，减少计算量。 在这个问题中，y z面是梁的几何尺寸和 荷载的对称面，应力分量也应关于y z面 ql 对称，x 和 y 应为 x 的偶函数， xy 是 x 的奇函数，（应力函数 应为 x 的偶函数），由应力函数 的表达式（ e）可得： E=F=G=0 q ql x l y l
2
x y
2
2

y
4
0
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
量
(4)将应力函数 代入式(2-24)，由应力函数求得应力分
(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察 应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则 所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复 上述过程并进行求解。
材料力学中相同
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
平面应变问题
以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分 量和位移分量解。对于平面应变情况下的梁(梁宽度远 大于深度和长度），须在以上的应变分量和位移分量 的公式中，将 E 和 作如下替换，即可求解。
E E 1 2


1
M
h 2
带入位移式可得： Ml 2 Ml u0 0, wl v0 0, w 0 2 EI EI
Ml Ml 2 w , u0 0, 0 EI 2 EI M u (l x) y EI M M 2 2 v (l x) y 2 EI 2 EI M v y 0 (l x)2 2 EI
M l u ( x ) y, EI 2
M M M 2 v (l x) x v (l x) x y y 0 2 EI 2 EI 2 EI
材料力学中相同
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 M
2、位移边界条件的利用
（2）悬臂梁
u EI
xy wy u0
解题的关键在于凑出或者假设出正确的应力函数。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
问题：矩形截面简支梁，长度为
2l ，深度为 h，宽度远 小于深度和长度（典型的平面应力问题），受均布荷载 q ，由两端的反力ql 维持平衡。（设梁宽为单位宽度1）
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
M u xy wy u0 EI M 2 M 2 v y x wx 0 2 EI 2 EI
其中表示刚体位移量的常数u0 ，0 和 w ，须由约束条件确 定。
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
讨论：
由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得垂直线 段的转角为u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角 。 M u M
上述是关于 x 的一元二次方程，相容方程要求全梁每一点 处的 x 值都必须满足上述方程，上述方程有无数多根。对 所有 x 均应满足，故其系数和自由项都必须为0
4 f ( y) 0, 4 y 4 f1 ( y ) 0, 4 y 4 f 2 ( y) 2 f ( y) 2 0 4 2 y y
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
2
u x l 0 h y 边界条件 v x l 0 2
由上式可知，此边界条件无法 满足，边界条件改写为： v 0 u x l 0, v x l 0 x x l y 0 y 0
（中点不动） （轴线在端部不转动）
y 0
M 2 v y x wx 0 2 EI 2 EI
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.3 位移分量的求出
内容要点： 以上一节矩形梁纯弯曲为例，体会学习如何由应力分 量求出位移分量。
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应力分量，
如何求对应的位移分量？ 以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
将应力函数 代入式(2-24)，可得应力分量P42式(f) 、(g)、(h)： 2 x x (6 Ay 2 B ) x(6 Ey 2 F )
2 3 2 Ay 2 By 2 6 Hy 2 K y Ay 3 By 2 Cy D xy x(3 Ay 2 2 By C ) (3Ey 2 2 Fy G )
2、位移边界条件的利用
（1）简支梁
M u xy wy u0 EI M 2 M 2 v y x wx 0 2 EI 2 EI
(u ) x 0 0,
y 0
( ) x 0 0 ,
y 0
( ) x l 0
y 0
将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得 Ml Ml 2 w u0 0 v0 0 wl v0 0 2 EI 2 EI
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
f1 ( y ) Ey 3 Fy 2 Gy f 2 ( y) A 5 B 4 y y Hy 3 Ky 2 10 6
忽略常数项 忽略常数项及一次项
根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，上 述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。
x2 ( x, y ) ( Ay 3 By 2 Cy D ) 2 2 A 5 B 4 3 x( Ey Fy Gy) y y Hy 3 Ky 2 10 6
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量 将应变分量代入平面问题的几何方程(2-8)：
u M x y, x EI
v M y y, y EI
v u xy 0 x y
前两式分别积分，可得
M u xy f1 ( y ) , EI
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
u
EI
xy wy u0

y

EI
x w
对于同一个截面， x 为常量x 0，因此上式(转角)也是常量。于 是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保 持为平面——材料力学里的平截面假定。 由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得梁的各 纵向纤维的曲率是 2
M 2 v y x wx 0 2 EI 2 EI
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 ( x, y)
(3)由相容方程求应力函数
x2 f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) 2
4 f ( y) 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) 0, 0, 2 0 4 4 4 2 y y y y 由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式： f ( y ) Ay 3 By 2 Cy D
2
M
M 2 x EI 1
就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
2、位移边界条件的利用
下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数u0 ， 0 和 w 。 分两种约束情况讨论：简支梁和悬臂梁。
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
假定相关 式（2-24） 应力函数 应力分量 积分 基本形式
2 ( x, y) 2 ( x, y) 2 ( x, y) x f x x, y f y y, xy 2 2 y x xy
得到正 导出应力 式（2-15） 满足边 满足 式（2-24） 4 Ñ 0 表达式 界条件 是 确解答 是 否 否