高中数学 3.2二倍角的三角函数课件苏教版必修4

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苏教数学必修四课件：第3章 3.2 二倍角的三角函数

[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为 sin 2α＝153，所以 cos 2α＝－ 1－sin22α ＝－ 1－1532＝－1123. 于是 sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×153×－1123＝－112609；
cos 4α＝1－2sin22α
＝1－2×1532＝111699； tan 4α＝csoins 44αα＝－111192609＝－111290.
第3章三角恒等变换
3.2 二倍角的三角函数
学习目标
核心素养(教师独具)
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公
式导出二倍角的正弦、余弦、正切公
式．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数
2.能熟练运用二倍角的公式进行简学运算、逻辑推理核心素养.
单的恒等变换，并能灵活地将公式变
形运用．(难点)
自主预习探新知
169
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α 是 4α 的二倍角；6α 是 3α 的二倍角；4α 是 2α 的二倍角；3α 是23α 的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是 α6的二倍角；…，又如 α＝2·α2，α2＝2·α4，….
1．求下列各式的值． (1)sinπ8sin38π；(2)cos215°－cos275°； (3)2cos2152π－1；(4)1－tatnan3203°0°.
1．若 sin α＝15，则 cos 2α＝ ________.
23 25
[∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α
＝15，
∴cos 2α＝1－2×215＝2235.]
2．若 tan α＝3，则 tan 2α＝ ________.

苏教版高中数学必修四课件3[1].2.2二倍角的三角函数

高中数学课件
灿若寒星整理制作
第3章三角恒等变换
3.2.2二倍角的三角函数
二倍角的三角函数公式
sin 2 2sin cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos 2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2 sin2
tan 2

1
2
tan tan2
化简下列各式
(1) sin( ) cos( )
课本108页练习1,2,3
总结反思提高认识
1.能灵活运用二倍角的三角函数公式及各种变形形式完成化简,求值和证明;
2.在运用公式及其变形过程中,勿忘确定角的范围, 尤其是升幂开方时不要忘记检查符号.
课后巩固拓展思维
课本第页习题
第题,第题,第题,第题
(3) 1 cos 20 2 cos10
(4) 1 cos 20 2 sin10
变式：如何化简 2 sin2 2 cos 4呢？
例1 化简sin2 ( ) sin2 ( ) sin2
6
6
例2 求证:sin 50 (1 3 tan10 ) 1
4
4
(2) sin( ) cos( )
4
4
(3)8sin cos cos cos
48 48 24 12
(4) cos cos 2 cos 4 cos 8
17 17 17 17
二倍角的三角函数公式的各种变形形式
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos 2 2cos2
1 cos 2 2 sin2
升幂降角公式
cos2 1 cos 2 2
sin2 1 cos 2

(教师参考)高中数学 3.2 二倍角的三角函数课件1 苏教版必修4

精选ppt
2
引入课题
精选ppt
3
想一想
我们已经学习了两角和的正弦、余弦公式，若α ＝β时，你能得出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式吗？
精选ppt
4
想一想
1．二倍角的正弦、余弦、
正切公式
记法
公式
2sinαcosα
S2α sin2α＝cos_2α_－__si_n_2α_1_－_2_s_in_2α cos22coαs＝2α－_1___________
D.±0.96 .
∵sinα=0.6.∴cosα=0.8.由cos（α+β）=－0.8＜0得sin
（α+β）=±0.6.
∴sinβ=sin［（α+β）－α］=sin（α+β）·cosα－cos
（α+β）·sinα
＝±0.6·0.8－（－0.8）·0.6精=选p0pt或0.96.
13
课堂小结
1.二倍角公式．(重点) 2.二倍角公式与两角的和与差的正弦、余弦、正切公式的记忆．(易混点) 3.二倍角公式及变形公式的应用．(难点)
cos A cos（ - 2B） -cos2B=-(cos 2 B sin 2 B) 7 25
sin A 24 25
C tan A sin A 24 cos A 7
精选ppt
11
典型例题
已x为知第三 co象 s-3x，限ta则角 2xn_， _.___ 5
解析： x为第三象限角， cosx - 3 5
精选ppt
14
co2s2co 2s1
co2s12si2n
精选ppt
7
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。

苏教版高中数学必修四课件3.2《二倍角的三角函数》ppt1

课堂练习
精讲精练例2
3cos2 22.5
小结
作业
精讲精练
引入
问题
例 2.求证： 1 sin 2 cos 2 tan
公式
1 sin 2 cos 2
例1
课堂练习
练习 P106 4
精讲精练例2
小结
作业
小结
C C

S S
C2
已知 tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角，求 2 的值
7
3
练习二
例5 练习三小结作业
作业
小结
释疑
1 cos 2 cos2 ;
练习一
2
例3
1 sin 2sin2 ;
例4
2
练习二
1 sin (cos sin )2;
22
高中数学课件
灿若寒星整理制作
3.2二倍角的三角函数
§3.2二倍角的三角函数(1) §3.2二倍角的三角函数(2)
3.2 二倍角的三角函数
引入问题
公式
例1
§3.2 二倍角的三角函数课堂练习
精讲精练例2
小结
作业 1
知识探究：
引入
问题
计算： (1) sin cos ;
公式
88
(2) cos2 sin2 ;
例5
1 sin (cos sin )2;
22
练习三
小结
作业
作业
作业释疑
练习一
P108 习题3.2
例3
例4
1(3)(4); 3, 5(1)(4) 6(2)(3) 练习二

苏教版高中数学(必修4)3.2《二倍角的三角函数》ppt课件3

2
α 1 cos α tan 2 1 cos α
2
π α kπ ，k Z 2 2
α 1 cos α tan 2 sin α
α sin α tan 2 1 cos α
课堂讲练互动中小学课件
例1.化简
(2)当M (a) 2时, 解得a
10 3
或a 6
课堂讲练互动中小学课件
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还要会逆用、还要会变形用，还要会与其它的公式一起灵活的运用。
a 2 2
a 4
2

1 2
a 4
0 x 2 0 x 1

课堂讲练互动中小学课件
当0 1即0 a 2时
a 2
f ( x) 大
a 2
a2 4

1 2
a 4
当 1即a 2时当sin x 1时 f ( x) 大 a
1 2
(2)增区间为 :
[2k 34 , 2k 54 )k z
课堂讲练互动中小学课件
（3）f(x)定义域不关于原点对称。即不是奇函数，也不是偶函数。
(4) f ( x 2 ) log1 [sin(x 2 ) cos(x 2 )]
课堂讲练互动中小学课件
解法4：
1 原式 (sin α sin β cos α cos β ) 2sin α sin β cos α cos β cos 2α cos 2 β 2
2
1 1 cos ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2
1 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 2

高中数学苏教版必修四《3.2二倍角的三角函数》课件

解由 tan α＋tan1 α＝52得，
sin cos
αα＋csoins
αα＝52，则sin22α＝52
∴sin 2α＝45，又 α∈π4，π2
∴2α∈2π，π
∴cos 2α＝－35
∴sin2α＋π4＝sin
2α·cosπ4＋cos
π 2α·sin4
＝45×
22＋－35×
22＝
2 10
.
题型二化简求值
解 (1)∵f(x)＝sin24π＋x＋cos2 x＋12 ＝1－cos22π＋2x＋1＋c2os 2x＋12 ＝12sin 2x＋12cos 2x＋32 ＝ 22sin2x＋4π＋32. ∴f(x)的最大值为 22＋32，最小值为－ 22＋32；最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由(1)知要使 f(x)≥32，只需 22sin2x＋4π≥0，即 sin2x＋4π≥0，由 2kπ≤2x＋4π≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π(k∈Z)，又 x∈[0，π]， ∴0≤x≤38π或78π≤x≤π.
＝
1－sin 2α＝
17 3.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)
＝13×－
317＝－
17 9.
tan 2α＝csoins 22αα＝81717.
法二 ∵sin α＋cos α＝13，平方得 sin αcos α＝－49， ∴sin α、cos α 可看成方程 x2－13x－49＝0 的两根，解方程 x2－13x－49＝0，得 x1＝1＋6 17，x2＝1－6 17， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＞0，
[思路探索] 属于倍角公式的直接应用．

苏教版高中数学必修43.2二倍角的三角函数之一

作业释疑
练习一
P108 练习 3题
例3
例4
已知 tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角，求 2 的值
7
3
练习二
例5 练习三小结作业
小结
1 cos 2 cos2 ;
2
1 sin 2sin2 ;
2
1 sin (cos sin )2;
22
1 sin (cos sin )2;
总结运算性质
例2
小结
课堂练习
作业
小结
1
2
3
4
5
6
复习引入
动手
概括数乘概念
探究性质
总结运算性质
例2
小结
课堂练习
作业
课堂练习
1
2
3
4
5
6
复习引入
动手
概括数乘概念
探究性质
总结运算性质
例2
小结
课堂练习
作业
作业
1
2
3
4
5
6
复习引入
动手
概括数乘概念
探究性质
总结运算性质
S S
C2
S2
T T
T2
二角和与差的三角函数
二倍角公式
1
2
3
4
5
6
引入
降幂公式
问题
2 cos2 1 cos 2; 公式
2sin2 1 cos 2;
例1
2 cos2 1 cos;
2
课堂
练习
2 sin2 1 cos;
2
精讲精练
例2

苏教版数学高一-必修4课件 3.2 二倍角的三角函数

＝2sinπ4c＋osx4πc＋osxπ4＋x＝2sinπ4＋x.
∵sinπ4－x＝cosπ4＋x＝153，且 0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123.
∴原式＝2×1123＝2143.
规律方法在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注意挖掘题目中的隐含条件：π4＋x 与π4－x 存在互余关系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号.
跟踪演练 2 已知 cosα＋π4＝35，π2≤α<32π，求 cos2α＋4π的
值.
解 ∵π2≤α<32π，∴34π≤α＋π4<74π，
于是可由 cosα＋π4＝53得到 sinα＋4π＝－54.
即
2 2 cos
α－
2 2 sin
α＝53，
2 2 sin
α＋
2 2 cos
α＝－54.
两式相加得 cos α＝－102，
解 ∵tan α＝71<1，且 α 为锐角，∴0<α<4π，
又∵sin
β＝
10 10 <
22，且
β
为锐角，
∴0<β<4π，
∴0<α＋2β<34π. 由 sin β＝ 1100，β 为锐角，得 cos β＝31010， ∴tan β＝13，∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝12， ∴tan(α＋2β)＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannββ＝1－12＋12×13 13＝1，故 α＋2β＝π4.
跟踪演练 1 求下列各式的值.
(1)sin π8sin38π；解 ∵sin38π＝sin(2π－8π)＝cos8π， ∴sinπ8sin38π＝sinπ8cos8π＝21·2sinπ8cosπ8

2018高中数学必修4课件：第3章3.2二倍角的三角函数精品

3xsin x)＋12cos 2x·(sin 3xcos x－cos 3xsin x)＝12sin 4x＋12
cos 2xsin 2x＝34sin 4x，
所以
f1π6＝34sinπ4＝3
8
2 .
13
规律方法 1．给值求值问题求解的要点是利用公式建立已知式子和所求式子之间的联系．注意从角、函数名称、幂、形式等几个方面着手寻求解题思路．
2．当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通． cos 2x ＝ sin π2－2x ＝ 2sin π4－x · cos π4－x · cos2x ＝ sin π2＋2x ＝ 2sin π4＋x cosπ4＋x.
sin 2x x2－2sin2x22sin
x2cos
x2＋2sin2x2＝
4sin2x2csoins22x2x－sin2x2＝4sisni2nx2c2oxs
＝ x
xx
4sin 2cos 2cos 4sin2x2cos x
x ＝
1
tan
x. 2
规律方法 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低． 2．证明三角恒等式的方法：(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；
[变式训练] 已知 f(x)＝sin 3xcos3x＋cos 3xsin3x，求
f1π6的值．解： f(x) ＝ sin 3xcos3x ＋ cos 3xsin3x ＝ sin 3x · cos
1＋cos 2x x· 2 ＋cos
3x·sin
1－cos x· 2
2x＝12(sin
3xcos

苏教版高中数学必修四课件3.2二倍角的三角函数(1)

2
12
3．那么如何由一些已知的条件来求呢sin？2
复习巩固建构数学
sin( ) sin cos coss sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
2
的二倍，3是00的二15倍0 ，的二倍1是50等等．理解30二0 倍角是相对的．
②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程．
③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）．
数学运用
例1. 设 ( π , π) sin 5 , 求sin 2, cos 2, tan 2的值.
2
24
在三角里面还有一个非常重要的等式s，in用2 这个co等s2 1
式进行代换的话，二倍角的余弦公式又可以得到这样两个形式：
cos 2 2 cos2 1 cos 2 1 2 sin2
注意点：

①对“二倍角”的认识，如 2 是的二倍，4 是的2二倍，是
cos2 π sin2 π
8
8
2 tan15 1 tan 2 15
（2）已知
sin

0.8,

0,
π 2

,
求 sin
2 ,
cos
2的值．
小结
1.本节课主要学习了二倍角的几组公式：
(1) sin 2 2sin cos
(2)＝co1s-2＝ cos2 sin2 2sin 2 2cos2 1
2
13
例2．求证：
1 sin 2 cos 2 tan 1 sin 2 cos 2
例3．已知sin( π )sin( π ) 1 , ( π , π),求sin 2的值．

苏教版高中数学必修四3.2二倍角的三角函数课件

3.若
2sin2 x 1
f x 2tan x sin x c2os，x则
f 12 ___8____
22
1 2 sin2 x
f ( x ) 2 tan x 2
2
2 tan x 2 cos x
xx 2 sin cos
sin x
22
sin2 x cos2 x
2
4
sin x cos x sin 2 x
7
cos2 sin2
1 2sin2
注意：1、符号法则；2、灵活运用2公co式s2 。 1
例2 求下列各式的值：
(1) sin150 cos150;
(2) cos2 sin2 ;
8
8
2 tan 22.50 (3) 1 tan 2 22.50 ;
(4)1 2 sin2 750.
解：(1)原式 1 (2sin150 cos150 ) 1 sin300 1
sin2 2sincos
解： sin 3 ,是第三象限角
cos
5
1 sin2
1 ( 3 )2 4
5
5
sin 2 2sin cos 2 ( 3) ( 4) 24
cos 2
1
2sin2
1
5 2 (
3 )2
5
7
25
5 25
tan 2
2 tan 1 tan2
2c4os2
tan tan tan
1 tan tan
二倍角公式：
sin2 2sin cos
S2
cos 2 cos2 sin2 C2
tan 2
1
2
tan tan2
T2

高中数学3.2 二倍角的三角函数(一) 教案(苏教版必修4)

第 6 课时： 3.2 二倍角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。

2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。

二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.【教学重点与难点】：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用；难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。

【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教法：本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；（通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的）对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

苏教版高中数学必修4§3.2 二倍角的三角函数.docx

§3.2 二倍角的三角函数课时目标1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝________________，sin α2cos α2＝____________； (2)C 2α：cos 2α＝________________＝______________＝________________；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝________________，sin 2α2cos α＝________________； (2)1＋sin α＝________________________________________，1－sin α＝_________________________________________；(3)sin 2α＝________，cos 2α＝____________.(4)1－cos α＝________，1＋cos α＝________.一、填空题1.3－sin 70°2－cos 210°的值是________． 2．求值：cos 20°cos 40°cos 80°＝________.3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是________． 4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为________． 6．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 7．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.8．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________. 9.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．10．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)＝________. 二、解答题11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin 2x －2sin 2x 1＋tan x的值．能力提升13．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．14．已知函数y ＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的周期为π2. (1)求ω的值；(2)当0≤x ≤π4时，求函数的最大值、最小值及相应x 的值．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1 (n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2. §3.2 二倍角的三角函数知识梳理1．(1)2sin αcos α 12sin α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2．(1)cos α sin α (2)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22 ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22 (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α2(4)2sin 2α2 2cos 2α2作业设计1．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝2(3－cos 20°)3－cos 20°＝2. 2.18解析原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 3．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 4.459解析设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 5．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α) ＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 6．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 7．3 解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3.8.π6解析 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)． ∴α＝π6. 9.725解析由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 10.145解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 11．证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 12．解 sin 2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x＝sin 2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin 2x 1－tan x 1＋tan x＝sin 2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ，∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－34. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫2×1625－1×⎝⎛⎭⎫－34＝－21100. 13．解原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 20°－12cos 20°cos 20° ＝2cos 10°·sin (－10°)sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1. 14．解 (1)y ＝32sin 2ωx ＋12(1＋cos 2ωx ) ＝sin (2ωx ＋π6)＋12. ∵T ＝π2，∴ω＝2. (2)由(1)得y ＝sin(4x ＋π6)＋12. ∵0≤x ≤π4， ∴π6≤4x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin(4x ＋π6)≤1，∴0≤y ≤32. 当sin(4x ＋π6)＝1时，y max ＝32，此时4x ＋π6＝π2，∴x ＝π12. 当sin(4x ＋π6)＝－12时，y min ＝0，此时4x ＋π6＝7π6，∴x ＝π4.。

最新苏教版数学必修四公开课课件：3.2《二倍角的三角函数》ppt课件

π 3π 3π ∴ <θ< ，2θ∈π， . 2 4 2
将 sin θ＋cos θ＝
2 1 ，两边平方得 sin 2θ＝－， 2 2 3 . 2
∴cos 2θ＝－ 1－sin22θ＝－
π 3π 方法指导：本题还可以通过判断 <θ< ，利用已知条件及 sin2 2 4
θ＋cos2θ＝1，分别解出 sin θ，cos θ，然后求出 sin 2θ，cos 2 θ.
3．2 二倍角的三角函数
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1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用条件． 2．熟练运用倍角公式进行化简，求值和证明．
典例剖析
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求值
4 已知 sin α ＝，求 sin 2α ，cos 2α ，tan 2α 的值． 5 4 分析：由 sin α＝，而 α 所在象限没有给出，因此要分类讨论． 5 4 解析：∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角． 5 3 4 (1)当 α 为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝，tan α＝， 5 3 4 3 24 sin 2α＝2sin αcos α＝2× × ＝， 5 5 25
x x 4sin cos cos x 2 2 1 ＝＝ . x x 4sin2 cos x tan 2 2 2tan α 证明：(1)sin 2α ＝； 1＋tan2α 1－tan2α (2)cos 2α ＝ . 1＋tan2α
分析：弦切转化是利用同角三角函数的商数关系．整式与分式的转化是运用 1 作分母．证明： (1) 左边＝ sin 2 α ＝ 2sin α cos α ＝ 2sin αcos α 2tan α ＝＝右边． cos2α＋sin2α 1＋tan2α cos2α－sin2α (2) 左边＝ cos 2 α ＝ cos α － sin α ＝＝ 1