高中数学回归课本(直线与圆的方程)

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回归教材变式专题八直线与圆.doc

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回归教材变式专题八、直线与圆1.己知点A(1,V3),B(-1,3V3),求直线AB的斜率.变式1:已知点A(l,73),5(-1,373),则直线A3的倾斜角是()7t ° 7t八 2〃n 5勿A. —B, — C. — D.—3 6 3 6变式2:已知点4(1, -1), 5(5, 2),直线/的倾斜角是直线A8的倾斜角的一半,求直线/的斜率.2.求过点P(2, 3),并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式1:直线2尤一3),一6 = 0在x轴上的截距为。

,在y轴上的截距为人,则()A. Q = 3,b = 2B. a = 3,b = —2C. a = —3,b = 2D. o = —3,b = —2变式2:过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.变式3:直线/经过点户(2, 3),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线/的方程.3.求直线2x-5y-10 = 0与坐标轴围成的三角形的面积.变式1:过点(-5, -4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是.变式2:已知直线/过点F(2,l),且与工轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,。

为坐标原点,则左OAB而积的最小值为.4.求过点A(l-4),且与直线2工+ 3),+ 5 = 0平行的直线的方程.变式1:已知过点A(-29m)和B(m,4)的直线与直线2x + y -1 = 0平行,则m的值为()A. 0B. -8C. 2D. 10变式2:与直线2x + 3y + 5 = 0平行,且距离等于而的直线方程是.变式3:已知三条直线2x + 3y + 5 = 0, 4x — 3y +1 = 0, mx - ,y = 0不能构成三角形,求实数m 的取值集合.5.若直线ox + 2> + 6 = 0和直线工+。

(。

+ 1)),+(6p —1) = 0垂直,求。

的值.变式1:若直线«:ox + 2y + 6 = 0与直线匕:尤+仔―l)y + (/—1) = 0平行但不重合,则。

高三数学回归教材:第9章 直线与圆

高三数学回归教材:第9章 直线与圆

第九章 直线与圆一、知识梳理(一)直线与方程 1、倾斜角和斜率(1)倾斜角概念、范围;(2)斜率概念、公式、范围、增减变化; 2、直线方程形式①点斜式;②斜截式;③两点式;④截距式;⑤一般式;⑥参数方程; 3、两直线位置关系(1)平行:斜率关系、截距关系; (2)垂直:斜率关系; 4、两直线交点及距离(1)两点间距离:12PP =(2)点到直线距离:d(3)两平行线距离:d =;5、直线系方程(1)定点直线系:00()y y k x x -=-或00()()0A x x B y y -+-=; (2)共点直线系:111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=;(3)平行直线系:与直线0Ax By C ++=平行的直线系0Ax By m ++=; (4)垂直直线系:与直线0Ax By C ++=垂直的直线系0Bx Ay n -+=; (二)圆与方程 1、圆的方程(1)标准方程、一般方程、参数方程; (2)点与圆位置关系;(3)圆的直径式方程:1212()()()()0x x x x y y y y --+--=;(4)一般方程的特点:二次项系数相同且不为0、无xy 项、系数满足特定关系、圆心和半径的待定; (5)圆的方程求法:几何性质法、待定系数法;几何法、代数法; 2、圆与圆位置关系(1)关系类型:相交、外切、内切、相离;(2)①相交121212||r r O O r r ⇔-<<+;②外切1212O O r r ⇔=+;③内切1212||O O r r ⇔=-;④相离1212O O r r ⇔>+;3、圆系方程(1)过点11(,)A x y 、22(,)B x y 的圆系方程:1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定系数; (2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程:22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定系数;(3)过圆:221110x y D x E y F ++++=与圆:222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程:1C 2C2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定系数;4、圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=;当00(,)x y 圆外时,0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程;②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不 要漏掉平行于y 轴的切线;③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线; (2)已知圆222x y r +=①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±5、圆的相交弦方程;6、阿波罗尼斯圆:设AB a =,PAPBλ=,APB ∠的内角分线、外角平分线与AB 交点分别为C 、D ,则点P 轨迹为圆,圆心为CD 中点,半径为CD 的一半;(三)直线与圆1、直线与圆位置关系(1)关系类型:相交、相切、相离;(2)判定方法:①几何法:比较 d 与r ;②代数法:比较△与0; (3)弦长求法:①几何法:AB =AB = (4)切线方程;(5)切点弦直线方程; 2、对称问题(1)点关于直线轴对称:利用“垂直”、“平分”列方程组求出对顶点的坐标.特别:00(,)P x y 关于x a =的对称点为00(2,)P a x y '-;00(,)P x y 关于y b =的对称点为00(,2)P x b y '-; (2)曲线关于点、直线中心对称或轴对称:转化为点的中心对称或轴对称(可选特殊点,也可选任意点);①曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线方程是(2,2)0f a x b y --=; ②曲线(,)0f x y =关于直线y kx b =+的对称曲线求法:设(,)0f x y =上任意一点00(,)P x y ,P 关于y kx b =+的对称点为(,)P x y ',则00122y y k x x y y x x k b-⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩,解出0x 、0y 代入(,)0f x y =,即可求出(,)0f x y =关于y kx b =+的对称曲线方程;(3)常见的对称结论:①点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -; ②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -; ③点(,)x y 关于(0,0)的对称点为(,)x y --; ④点(,)x y 关于点(,)a b 的对称点为(2,2)a x b y --; ⑤点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ;⑥点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --;⑦点(,)x y 关于直线(1)y kx m k =+=±的对称点为,x y 值互换,只适用于1k =±);⑨设00(,)M x y 关于直线22:0(0)l Ax ByC A B ++=+≠的对称点为11(,)N x y ,则 22001222200122()22()22B A x ABy AC x A B A B x ABy BC y A B ⎧---=⎪⎪+⎨---⎪=⎪⎩+,1010x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,记d '=,则|d '|表示00(,)M x y 到直线l 的距离,从而:101022x x d y y d ⎧=-'⎪⎪⎨⎪=-'⎪⎩,即有00(,2)2x d y d N ''.二、学习误区1.设直线方程时要分斜率是否存在;2.设直线方程为斜截式时,注意参数的具体含义,a 、b 、m 、n 灵活处理; 3.y kx b =+与x my n =+;。

高中数学第七章 直线与圆的方程课件

高中数学第七章 直线与圆的方程课件

解:设所求圆的方程为:
(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切 所以圆心C到这条直线的距离等于半径r 根据点到直线的距离公式,得
r= | 3×1— 4×3 — 7 | 32+(-4)2 因此,所求圆的方程是 = 16 O
C M
x
5
256 = 25
(x-1)2+(y-3)2
y
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
x02 + y02
=
r2
x0x +y0 y = r2
O
x
结束 返回 下一页
知识点拨:
已知圆的方程是
的切线的方程:
x 2 y 2 r 2, 经过圆上一点 M ( x0 , y0 )
x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0) 的切线方程为:
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
x
x0x +y0 y = r2
结束 返回 下一页
圆的标准方程
2 x 2 y 2 r,求经过圆上一点 例2 已知圆的方程是
M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2 y1 y2
解法三(利用平面向量知识): OM MP OM MP= 0
所以切线方程为:y = x± 2
(2)在y轴上截距是 2 的切线方程。 y = ± x+ 2
结束 返回 下一页
圆的标准方程
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

高中数学 第二章 直线和圆的方程一般式方程课件 新人教A版选择性必修第一册

高中数学 第二章 直线和圆的方程一般式方程课件 新人教A版选择性必修第一册

ab
a
b a
2,
ab
8
,即
b 2a ab 8
,解得
a b
2 4

a b
2 4
.
a 0,a 2,b 4 ,a b 6 .
14
5. 已知在 ABC 中, A(1,2) ,B(3,4) ,C(2,5) .求: (1) BC 边所在直线的一般式方程; (2) BC 边上的高 AH 所在直线的一般式方程.
0 0


x
y
2 1

∴直线 l : mx y 1 2m 0,a 恒过一定点 (2 ,1) .故选 A.
13
4. 若直线的截距式 x y 1 化为斜截式为 y 2x b ,化为一般式为 ab
bx ay 8 0 ,且 a 0 ,则 a b __________.
解析:由 x y 1 ,得 y b x b ,一般式为 bx ay ab 0 ,
方程.
解:经过点 A(6 , 4) ,斜率为 4 的直线的点斜式方程是 y 4 4 (x 6) ,
3
3
化为一般式,得 4x 3y 12 0 .
9
例 2 把直线 l 的一般式方程 x 2y 6 0 化为斜截式,求出直线 l 的斜率以及 它在 x 轴与 y 轴上的截距,并画出图形.
12
3. 无论 m 取何实数,直线 l : mx y 1 2m 0 恒过一定点,则该定点坐标为( )
A. (2 ,1)
B. (2 ,1)
C. (2 ,1)
D. (2 ,1)
解析:直线 l : mx y 1 2m 0 可化为 m(x 2) ( y 1) 0 ,
由题意,可得
x
y

2020高中数学三轮复习回归知识点15直线与圆

2020高中数学三轮复习回归知识点15直线与圆

Ax0 By0 C 。 A2 B2
式 线线距
l1 : Ax By C1 0 到 l2 : Ax By C2 0 距离 d
C1 C2 . A2 B2
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做 半径。
标准 圆心坐标 (a,b) ,半径 r , 标准方程展开可得一般方程、一般方

方程
方程 (x a)2 ( y b)2 r2 。 程配方可得标准方程。一般方程中圆
x2 y 2 Dx Ey F 0
心坐标为 ( D , E ) ,半径
一般
( 其中 D2 E2 4F 0)
22
方程
D2 E2 4F 。
2
… …
……
相交
相切
相离
1

中的一条斜率不存在,则另一条斜率为 0 时,它们垂直.
交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。
点点距 距 离 点线距 公
P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 两点之间的距离 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 。
点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0的距离 d
B
B
位 置 关
平行 垂直
当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时, l1 // l2 k1 k2 ;如果不 重合直线 l1 和 l2 的斜率都不存在,那么它们都与 x 轴垂直,则 l1 // l2 . 当两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时,l1 l2 k1 k2 1;若两条直线 l1, l2
点斜式
y y0 k(x x0 )

人教版高中数学第四章——直线与圆方程的应用(共16张PPT)教育课件

人教版高中数学第四章——直线与圆方程的应用(共16张PPT)教育课件






































Hale Waihona Puke 你真的■

:
















■电你是否有这样经历,当 你在做某一项工作 和学习的时候,脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书,大脑会 蹦出口渴想喝水, 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。,一个小 时过去 了,可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到,你的 大脑不停地超控你 的注意力,你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考, 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑,而应该是你拥 有你的大脑,并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候,会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪,无论 身处何种境地,都 要明白自己所
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么?
思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过台风圆域?
思考3:如图所示建立直角坐标系, 取10km为长度单位,那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么?
y
港 口
x
台o

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册-第二章-直线和圆的方程-精品教学课件(共270页)可修改全文

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册-第二章-直线和圆的方程-精品教学课件(共270页)可修改全文

探究二
素养形成
当堂检测
方法总结光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率
并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相
反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点
B(5,7),求点P的坐标.
作用 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线
上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可
点析倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴
相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直
线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴
平行或重合的直线的倾斜角为0°.
>0,解得
+1-2
1<m<2.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,
结果如何?
-1-2
=1,解得
+1-3
解:(1)由题意知
m=2.
1
(2)由题意知 m+1=3m,解得 m=2.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一题多解——利用斜率解决反射问题
A.2
B.1
1
C.
2
D.不存在
答案:A
)
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
直线的倾斜角
例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,

2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程2

2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程2

2.5.1 直线与圆的位置关系学习任务1.驾驭直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.(重点) 2.会用代数法和几何法来推断直线与圆的三种位置关系.(难点) 3.能用直线与圆的方程解决一些简洁的数学问题.(难点) 核心素养通过探讨直线与圆的位置关系,提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.直线Ax +By +C =0与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系及推断位置关系 相交 相切 相离 公共点个数_2__个_1__个_0__个推断方法几何法: 设圆心到直线的距离为d = |Aa +Bb +C |A 2+B 2_d <r __ _d =r __ _d >r __代数法:由⎩⎪⎨⎪⎧Ax +By +C =0,x -a 2+y -b 2=r 2,消元得到一元二次方程,可得方程的判别式Δ_Δ>0__ _Δ=0__ _Δ<0__提示:“几何法”侧重于图形的几何性质,步骤较简洁;“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”,推断直线与圆的位置关系,一般用几何法.做一做:1.直线3x +4y =5与圆x 2+y 2=16的位置关系是( A ) A .相交 B .相切 C .相离D .相切或相交[解析] 圆心到直线的距离d =532+42=1<4,所以直线与圆相交.2. 已知直线l :y =k (x +3)和圆C :x 2+(y -1)2=1,若直线l 与圆C 相切,则k = 0或 3 .[解析] 直线l 的一般式方程为kx -y +3k =0,圆C 的圆心为(0,1),半径为1,由直线l 与圆C 相切得||-1+3k k 2+1=1,解得k =0或 3.解决实际问题的一般程序细致读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验,给出实际问题的答案.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,如点、直线,将平面几何问题转化为代数问题.其次步:通过代数运算,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.。

新教材2024版高中数学第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程课件课件新人教

新教材2024版高中数学第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程课件课件新人教
因考虑不周而造成失误的可能性.
2.根据两条直线的一般式方程判定两条直线垂直的方法 (1)若一个斜率为零,另一个不存在,则垂直;若两个都存在斜率, 化成斜截式后,则k1k2=-1. (2)一般地,设l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 第二种方法可避免讨论,减少失误. 3 . 与 直 线 Ax + By + C = 0 平 行 的 直 线 方 程 可 设 为 Ax + By + m = 0 (m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
4.(变式练)已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求: (1)过点A和直线l平行的直线方程; (2)过点A和直线l垂直的直线方程. 解:(1)将与直线l平行的方程设为3x+4y+C1=0, 又因为过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14. 所求直线方程为3x+4y-14=0. (2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0, 又因为过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2. 所求直线方程为4x-3y-2=0.
即 1--121a+ -≤aa0≥,0,
解得 a>1.综上,可知 a≥1.
【例题迁移2】 (改变问法)若本例中的方程不变,当a取何值时, 直线不过第二象限?
解:把直线 l 化成斜截式,得 y=(1-a)x+a+2. 因为直线 l 不过第二象限,故该直线的斜率大于或等于零, 且直线在 y 轴上的截距小于或等于零, 即1a- +a2≥ ≤00, , 解得 a≤-2. 所以 a 的取值范围为(-∞,-2].

B.x-y+1=0与y=x+1
C.x+2y-1=0与x-y-1=0
D.x+2y=0与2x+4y-3=0

高中数学复习资料回归教材——必修2直线与圆专题

高中数学复习资料回归教材——必修2直线与圆专题

平面解析几何初步——直线与圆一.考试内容及要求本章知识结构三.基础知识梳理(一)直线的倾斜角与斜率及直线方程 1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)范围:直线l 倾斜角的范围是[0,π). 2.斜率公式(1)若直线l 的倾斜角090α≠,则斜率tan k α=;090α=时,直线斜率不存在;(2)P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线l 上,且x 1≠x 2,则l 的斜率2121y y k x x -=-.3.直线方程的五种形式4.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为a x =;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为b y = ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y kx =(二)、两条直线的位置关系1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.②已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,若1l ,与2l 相交,则21k k ≠ ; 若21l l ⊥,则121-=⋅k k ;若1l //2l ,则21k k =且21b b ≠; 若1l 与2l 重合,则,21k k =且21b b = 2.几个公式①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P 221221)()(y y x x -+-②设点),(00y x A ,直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d 2200||BA C By Ax +++③设直线,0:1=++C By Ax l ),(0:2C C C By Ax l '≠='++ 则1l 与2l 间的距离=d 22||BA C C +'-3.直线系(拓展)① 与直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为0='++C By Ax ; ②与直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为0='+-C Ay Bx ; ③过两直线0:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 的交点的直线系方程为为参数)λλ(,0)(222111=+++++c y b x a c y b x a(三)、圆的方程1. 圆的标准方程与一般方程①圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-,其中圆心为),(b a ,半径为r ;②圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=,圆心坐标(,)22D E --,半径为2422FE D -+。

新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.4.1圆的标准方程课件新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.4.1圆的标准方程课件新人教A版选择性必修第一册
以a=4,b=-6,所以圆的半径 r= 4 22 0 32= 13,从而所求圆的方程是
(x-2)2+(y+3)2=13.
2.经过A(4,0),B(2,0)两点,且圆心在直线x-y+1=0上的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y-4)2=17 B.(x-4)2+(y-5)2=25 C.(x-3)2+(y+4)2=17 D.(x+4)2+(y+5)2=25
a 2+b 2=r 2,
【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有 (1-a)2+1 b2=r2,
a=4,
( 4 a)2 2 b2 r2,
解得 b= 3,
r=5.
所以圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.
角度3 几何性质法 【典例】1.已知圆C:(x-6)2+(y-8)2=4,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的方程 为 () A.(x-3)2+(y+4)2=100 B.(x+3)2+(y-4)2=100 C.(x-3)2+(y-4)2=25 D.(x+3)2+(y-4)2=25 2.已知☉C经过点O(0,0)和A(8,-4),且圆心C在直线l:x-y-7=0上,求☉C的方程.
.x
2 0
y02
r2
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)圆的标准方程由圆心、半径确定. ( )
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )
(3)原点在圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2上,则
x
2 0
y02

直线与圆、圆锥曲线、课本回归

直线与圆、圆锥曲线、课本回归

课本回归四-----直线与圆、圆锥曲线1(必修2P129T29)已知圆C :222440x y x y +-+-=,若存在斜率为1的直线l ,使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,则直线l 的方程为 .2. (必修2P129T26)若直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围为 .3. (选修2-1P33T21)已知圆221:(1)1F x y ++=,圆222:(1)9F x y -+=,若动圆C 与圆1F 外切,且与圆2F 内切,则动圆圆心C 的轨迹方程为 .4. (必修2P129T22)设集合{}{}22222(,)4,(,)(1)(1)(0)M x y x y N x y x y r r =+≤=-+-≤>, 当M N N ⋂=时,则实数r 的取值范围为 .5. (选修2-1P37T10)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ,短轴的一个端点为P ,若12F PF ∠为钝角,则椭圆离心率的取值范围为 .6. (必修2P128T21)光线沿直线3460x y ++=射入,经过x 轴反射后反射光线与以点(2,8)为圆心的圆C 相切,则圆C 的方程为 .7. (必修2P128T9)已知点(1,3)A 关于直线l 对称的点为(5,1)B -,则直线l 的方程为 .8. (必修2P111T8)若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆,则实数m 的取值范围为 .9. (必修2P106T21)已知(1,3)M -,(6,2)N ,点P 在x 轴上,则使PM PN +最小时点P 的坐标为 .10. (必修2P88T15)已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都过点(1,2)A ,则过两点111222(,),(,)P a b P a b 的直线方程为 .11.(选修2-1P42T5)在ABC ∆ 中,(6,0),(6,0)B C -,直线AB,AC 的斜率乘积为94,则顶点A 的轨迹方程为 .12.(选修2-1P47T5)已知双曲线2214x y k-=的离心率(1,2)e ∈,则实数k 的范围为 .13.(选修2-1P48T10)离心率为2的双曲线的两条渐近线所成的锐角为 .14. (选修2-1P53T7)已知圆22:(3)1F x y ++=,直线:2l x = ,则与直线l 相切且与圆F 外切的圆的圆心M 的轨迹方程为 .15. (选修2-1P54T12)设过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线有两个交点,且两个交点的纵坐标为12,y y ,则12y y ⋅= .16. (必修2P94T 例3)某商品的市场需求量1y (万件),市场供应量2y (万件)与市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系:1270,220y x y x =-+=-.当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量.(1)求平衡价格和平衡需求量;(2)若要使平衡需求量增加4万件,政府对每件商品给予多少元的补贴?。

2021_2022年高中数学第四章圆的方程2

2021_2022年高中数学第四章圆的方程2

直线与圆的方程的应用一、教材分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.二、教学目标1.知识与技能(1)理解掌握,直线与圆的方程在实际生活中的应用.(2)会用“数形结合”的数学思想解决问题.2.过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.3.情态与价值观让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.三、教学重点与难点教学重点:求圆的应用性问题.教学难点:直线与圆的方程的应用.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度?要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.(二)推进新课、新知探究、提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗?②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法?③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题?④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗?⑤你能利用“坐标法”解决例5吗?活动:学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类;②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法;③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单;④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件;⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果:①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.(三)应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二:如图2,过P 2作P 2H ⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt △AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102. 解得r=14.5.在Rt △CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评:通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d.所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是:每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动:学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件:价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系, 设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x -y+3)=0, 配方得标准式(x +1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1,∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519,∴当λ=-52时,半径r=519最小.∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0. 解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求.由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0. ∴判别式Δ>0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519,∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k+;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4. 设圆心A(a,b),则半径r=2|b|. 由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2, 又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|,∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动:学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|kk +-=1,∴k=2±323.∴x y 的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值.∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2. (4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x-y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动:学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k .利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数).∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M 、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2).设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M 、N 、P 、A 四点共线,2121x x y y --=12--x y (x≠1).∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确). ∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP ⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.(四)知能训练课本本节练习1、2、3、4.(五)拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a >0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=vBM ||. 若t 1<t 2,则|AM|<2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+. 整理,得x 2+(y-32a)2>(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt △AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.(六)课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有:(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系;(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程;(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题;(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用;(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量;(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题;(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则;(8)充分运用韦达定理进行转化与化归;(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块:一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式;可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.(七)作业习题4.2 B组2、3、5.。

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回归课本(七)直线与圆的参数方程一.考试内容:直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式. 两条直线平行与垂直的条件.两条直线的交角.点到直线的距离. 用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规划问题. 曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念.圆的参数方程.二.考试要求:(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. (2)掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (3)了解二元一次不等式表示平面区域.(4)了解线性规划的意义,并会简单的应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程.【注意】本部分内容在高考中主要考查两个类型的问题:①基本概念和求直线方程;②直线与圆的位置关系等综合性试题. 求解有时还要用到平几的基本知......识和向量的基本方法.........三.基础知识:1.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).2..两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠;②1212120l l A A B B ⊥⇔+=; 3.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2π. 4. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2π. 5.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.6.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).7. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=,则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是:若0B ≠,当B 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的上方的区域;当B 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =,当A 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的右方的区域;当A 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 8. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A A B B ≠),则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是: 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分; 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.9. 圆的四种方程(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.(2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.(4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).10. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中 0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数.(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数.(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数.11.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.13.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.14.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .15.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=.①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线.(2)已知圆222x y r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±.四.基本方法和数学思想1.设三角形的三个顶点是A (x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C (x 3,y 3),则⊿ABC 的重心G 为(3,3321321y y y x x x ++++);2.直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2: A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0;3.两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2221BA C C d +-=;4.Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 :A=C ≠0且B=0且D 2+E 2-4AF>0;5.过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为:x 0x+y 0y=r 2;6.以A(x 1,y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写出目标函数;(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;8.圆的性质的应用.初中知识回顾:五.高考题回顾一、相切问题: 1.(04年辽宁卷.13)若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切,则此直线在y 轴上的截距是 .2. 北京卷)从原点向圆 x 2+y 2-12y +27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )(A )π (B )2π (C )4π (D )6π3. (天津卷)将直线2x -y +λ=0,沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与圆x 2+y 2+2x -4y=0相切,则实数λ的值为 A .-3或7 B .-2或8 C .0或10 D .1或11 二、公共点问题:4.(04年北京卷.理12)曲线C :{cos 1sin x y θθ==-+(为参数)的普通方程是________,如果曲线C 与直线0x y a ++=有公共点,那么实数a 的取值范围是_______. 5.(全国卷I)已知直线l 过点),(02-,当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时,其斜率k 的取值范围是( )(A )),(2222- (B )),(22- (C )),(4242-(D )),(8181- 6(04年福建卷.文理13)直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于 . 三、方程问题:6.(04年上海卷.文理8)圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --, 则圆C 的方程为 .7. (湖南卷)设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ,则弦AB 的垂直平分线方程是 .四、对称问题: 8.(04年全国卷二.文理4)已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称,则圆C 的方程为( ).A.22(1)1x y ++=B.221x y +=C.22(1)1x y ++=D.22(1)1x y +-=9.(上海)直线y=21x 关于直线x =1对称的直线方程是x+2y-2=0 .五、最值问题:10.(04年全国卷三. 文16)设P 为圆221x y +=上的动点,则点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为 .六、线性规划问题:11. (全国卷Ⅰ)在坐标平面上,不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为(C ) (A )2(B )23(C )223(D )212. (湖北卷)某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费 元.13. (江西卷)设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- .七.与向量相结合14.(湖南卷)已知直线ax +by +c =0与圆O :x 2+y 2=1相交于A 、B 两点,且|AB|=3,则OB OA ⋅ = .六.课本中习题归纳 一、 直线的方程及其位置关系 1(1)直线的倾斜角α的取值范围是 。

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