常微分方程课件1.1

王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社
学
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
院
常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。
常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。
常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
第一章
第一章 绪论
河
北 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 师 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 范 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 大 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 学 讲述一些最基本概念.
河
s(t)个健康者变为病人 .
北
师
由于病人总人数为 Ni(t),
范 所以每天共有 Ns(t)个健康者被感染 .
大
学 于是病人增加率为
N di Nsi,
dt
数 信
又因s(t) i(t) 1,再由初始条件得
学
di i(1 i)
院
dt
i(0) i0
思考与练习
第一章
河
北
师 解: 设所求的曲线方程为 y f (x). 由导数的几何意义, 应有
范
f '(x) 2x,
大
学
即 f (x) 2xdx C x2 C.
数
信 又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
学 院
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
数
信
学
院
第一章
§1.1 常微分方程模型
河
北 微分方程:
师
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
范
大
学
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学
数 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方
信 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模
学 型的过程.
范 假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变, 大 时间以天为计量单位,假设条件为:
学
数 (1)在时该t人群中易感染者(健康)和已感染者 信 (病人)在总人数中所占比例分别为s(t)和i(t).
学
院 (2)每个病人每天有效接触 的平均人数是 ,
称日接触率 .
解: 根据题设,每个病人每天可使
第一章
理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通 师 过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本 范 方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 大 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。
学
教材及参考资料
数教 材：常微分方程，(第三版），
信参考书目：
师体的温度 u 和时间 t 的关系.
范
大 Newton 冷却定律:
学
1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;
数
信
2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
学
院
第一章
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t).根据导数的物理意义, 则
河 北
第一章
《常微分方程》
河
常微分方程课程简介 北 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 师 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 范 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 大 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运
动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人 学 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 数 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规 信 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数
信
dt
学 院
d 2I dt 2

R L
dI dt

I LC
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1 L
de(t) . dt
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病第的一数章学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 河 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 北 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 师 方法建立模型.
北 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流
师 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI , RI, Q , 其中Q 范 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 dt C
大 学
e(t) L dI RI Q 0.
dt
C
数 因为 I dQ , 于是得到
温度的变化速度为
du . dt
由Newton冷却定律, 得到
师 范
du dt

k (u

ua
),
大 其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学 学模型.
u t 数 注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是
u t 信
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式 子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍.
学
院
第一章
例3 R-L-C电路
河 北 师 范 大 学 数 信
学 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 院 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电
路中电流强度I与时间t之间的关系.
解: 电路的Kirchhoff第二定律:
第一章
河 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 学 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
院
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，第结一章合线性代
数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出 河 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌 北 握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数
河 1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形
北 的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程.
师
范 解: 过点(x, y)的切线的横截距与纵截 距分别为 :
大 学
x

y y'
和y

xy'.
数 信 学
由题目条件有:
1 2
(x

y y'
)( y

xy' )

a2
院
2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐第标一2章倍的曲 线所满足的微分方程.
院
例1 镭的衰变规律:
第一章
河
北 设镭的衰变规律与该时该现有的量成正比,
师 且已知t 0时, 镭元素的量为R0克,试确定在 范 任意t时该时镭元素的量.
大
学
数
信
学
院
解: 设t时该时镭元素的量为 R(t), 第一章
河 由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) ,
北
dt
师 依题目中给出镭元素的衰变律可得:
范
dR
大

kR, dt
学
R(0) R0
数 信
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
学 解之得: R(t) R0ekt
院
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
第一章
河 将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
北u0 150 C,10分钟后测量得温度为u1 100 C. 试决定此物