用放缩法证明数列不等式
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用放缩法证明数列不等式
用放缩法证明数列不等式
n 1 5n cn n ， n c1 c2 L cn ,试比较 Tn 与 T 例1:（09· 湖北卷）已知 的大小. 2 2n 1
n3 分析: 可先求出 Tn 3 n 2
（请用放缩法证明）
5n (n 3)(2n 2n 1) 进一步 , Tn 2n 1 2n (2n 1)
n
用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: 2 1 方法一：
a (a 1) 3 .
i 1 i i
n
2i 1 1 1 ai (ai 1) 2i i i 1 i 1 (i 2) 2 2 2i 1 2 2 2 2i 1 2 2
故只需比较 2n 与 2n 1的大小
1 2n (1 1)n Cn0 Cn L Cnn1 Cnn
利用二项式定理放缩
0 1 2(Cn Cn ) 2n 2 2n 1 (n 3)
当n 2时，可得 2n 2n 1. 5n 5n T T . 综上：当 n 2 时， n ；当 n 3 时， n 2n 1 2n 1
从结论入手放缩
用放缩法证明数列不等式
例3: 已知数列 {an } 满足 a1 1, an1 2an 1(n N ) , （1）求数列{an } 的通项公式；
an n 1 a1 a2 n （2）求证： (n N ) 2 3 a2 a3 an 1 2
解：(1) an 2n 1(n N )
an 2n 1 1 1 (2) n1 an1 2 1 2 2(2n1 1)
用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: 2 1
a (a 1) 3 .
i 1 i i
2i 1 1 1 i i 1 i (i 2) i 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1
1 1 1 1 1 ai (ai 1) 2 ( 2 1 22 1) ( 2n1 1 2n 1) 3 2n 1 3(n 2) i 1
当 1 n 5时，可得 2n n2 n.
用放缩法证明数列不等式
an n(n 1), bn (n 1)2 例2:（08· 辽宁卷）由已知条件可得 .
1 1 1 5 . 求证： a1 b1 a2 b2 an bn 12
1 1 1 1 1 1 1 ( ) 方法一： an bn (n 1)(2n 1) 2(n 1 )(n 1) 2n(n 1) 2 n n 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 故 6 2 2 3 3 4 n n 1 i 1 ai bi
5 1 12 2(n 1) 5 . ( n 2) 12
从通项入手放缩
1 5 当 n 1 时，有 也成立． 6 12
用放缩法证明数列不等式
an n(n 1), bn (n 1)2 . 例2:（08· 辽宁卷）由已知条件可得
1 1 1 5 求证： . a1 b1 a2 b2 an bn 12
1 1 6 n 13 方法二： (n )(n 1) (n )(n ) 0 2 5 5 10 50 1 1 1 an bn 2(n 1 )(n 1) 2(n 1 )(n 6 ) 5 5 2 n 1 1 1 1 1 1 1 5 5 ( ) 故 1 6 2 1 1 1 6 2 6 12 i 1 ai bi n n 5 5 5 5
n
Hale Waihona Puke Baidu
当 n 1 时，有 2 3 也成立． 放缩成裂项相消型数列
课堂小结
用放缩法证明数列不等式
一.具备求和条件的数列不等式先求和再放缩
二. 不具备求和条件的数列不等式通先放缩再求和 目标1.放缩成裂项相消型求和 目标2.放缩成等比数列求和
化归与转化思想
再 见
1 1 1 1 故 ai (ai 1) 2 2 n 3 n1 3(n 2) 2 2 2 2 i 1
当 n 1 时，有 2 3 也成立． 放缩成等比数列
n
用放缩法证明数列不等式
n 2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: ai (ai 1) 3 . 2 1 i 1 i 2 2i i 方法二：ai (ai 1) i i (2 1)(2 1) (2 1)(2i 2)
用放缩法证明数列不等式
思考：比较 2n 与 n2 n 的大小． 当 n 5 时，
1 2n (11)n Cn0 Cn Cn2 L Cnn2 Cnn1 Cnn
2(C C C ) n2 n 2
0 n 1 n 2 n
n2 n
当 n 1 时，可得 2n n2 n.
用放缩法证明数列不等式
n 1 5n cn n ， n c1 c2 L cn ,试比较 Tn 与 T 例1:（09· 湖北卷）已知 的大小. 2 2n 1
n3 分析: 可先求出 Tn 3 n 2
（请用放缩法证明）
5n (n 3)(2n 2n 1) 进一步 , Tn 2n 1 2n (2n 1)
n
用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: 2 1 方法一：
a (a 1) 3 .
i 1 i i
n
2i 1 1 1 ai (ai 1) 2i i i 1 i 1 (i 2) 2 2 2i 1 2 2 2 2i 1 2 2
故只需比较 2n 与 2n 1的大小
1 2n (1 1)n Cn0 Cn L Cnn1 Cnn
利用二项式定理放缩
0 1 2(Cn Cn ) 2n 2 2n 1 (n 3)
当n 2时，可得 2n 2n 1. 5n 5n T T . 综上：当 n 2 时， n ；当 n 3 时， n 2n 1 2n 1
从结论入手放缩
用放缩法证明数列不等式
例3: 已知数列 {an } 满足 a1 1, an1 2an 1(n N ) , （1）求数列{an } 的通项公式；
an n 1 a1 a2 n （2）求证： (n N ) 2 3 a2 a3 an 1 2
解：(1) an 2n 1(n N )
an 2n 1 1 1 (2) n1 an1 2 1 2 2(2n1 1)
用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: 2 1
a (a 1) 3 .
i 1 i i
2i 1 1 1 i i 1 i (i 2) i 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1
1 1 1 1 1 ai (ai 1) 2 ( 2 1 22 1) ( 2n1 1 2n 1) 3 2n 1 3(n 2) i 1
当 1 n 5时，可得 2n n2 n.
用放缩法证明数列不等式
an n(n 1), bn (n 1)2 例2:（08· 辽宁卷）由已知条件可得 .
1 1 1 5 . 求证： a1 b1 a2 b2 an bn 12
1 1 1 1 1 1 1 ( ) 方法一： an bn (n 1)(2n 1) 2(n 1 )(n 1) 2n(n 1) 2 n n 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 故 6 2 2 3 3 4 n n 1 i 1 ai bi
5 1 12 2(n 1) 5 . ( n 2) 12
从通项入手放缩
1 5 当 n 1 时，有 也成立． 6 12
用放缩法证明数列不等式
an n(n 1), bn (n 1)2 . 例2:（08· 辽宁卷）由已知条件可得
1 1 1 5 求证： . a1 b1 a2 b2 an bn 12
1 1 6 n 13 方法二： (n )(n 1) (n )(n ) 0 2 5 5 10 50 1 1 1 an bn 2(n 1 )(n 1) 2(n 1 )(n 6 ) 5 5 2 n 1 1 1 1 1 1 1 5 5 ( ) 故 1 6 2 1 1 1 6 2 6 12 i 1 ai bi n n 5 5 5 5
n
Hale Waihona Puke Baidu
当 n 1 时，有 2 3 也成立． 放缩成裂项相消型数列
课堂小结
用放缩法证明数列不等式
一.具备求和条件的数列不等式先求和再放缩
二. 不具备求和条件的数列不等式通先放缩再求和 目标1.放缩成裂项相消型求和 目标2.放缩成等比数列求和
化归与转化思想
再 见
1 1 1 1 故 ai (ai 1) 2 2 n 3 n1 3(n 2) 2 2 2 2 i 1
当 n 1 时，有 2 3 也成立． 放缩成等比数列
n
用放缩法证明数列不等式
n 2n 练习: 已知数列 {an } 中 an n , 求证: ai (ai 1) 3 . 2 1 i 1 i 2 2i i 方法二：ai (ai 1) i i (2 1)(2 1) (2 1)(2i 2)
用放缩法证明数列不等式
思考：比较 2n 与 n2 n 的大小． 当 n 5 时，
1 2n (11)n Cn0 Cn Cn2 L Cnn2 Cnn1 Cnn
2(C C C ) n2 n 2
0 n 1 n 2 n
n2 n
当 n 1 时，可得 2n n2 n.