旋量BEC方程的解析求解

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斯托克斯公式旋度形式

斯托克斯公式旋度形式斯托克斯公式是向量分析中的一个重要定理，用于计算一个曲面上的矢量场沿闭合曲线的环路积分。

其旋度形式的表达方式更为简洁，能够更直观地揭示矢量场的旋转特性。

本文将围绕斯托克斯公式旋度形式展开讨论，介绍其基本原理以及应用场景。

我们来了解一下斯托克斯公式的旋度形式。

斯托克斯公式描述了一个曲面上的矢量场F沿着曲线C的环路积分与曲面S的旋度之间的关系。

其旋度形式如下：∮C F·dr = ∬S (rotF)·dS其中，∮C表示沿曲线C的环路积分，F为矢量场，dr表示沿曲线C 的微元矢量，∬S表示对曲面S的面积分，rotF表示矢量场F的旋度，dS表示曲面S的微元面积。

斯托克斯公式旋度形式的推导过程较为复杂，这里不做详细阐述。

我们直接来看一下它的应用。

斯托克斯公式旋度形式在物理学和工程学中有着广泛的应用。

首先，它可以用来计算一个闭合回路上的环流，即沿着闭合曲线的矢量场的绕圈流动情况。

例如，在电磁学中，斯托克斯公式可以用来计算磁场沿闭合回路的环路积分，从而得到磁场的旋度。

这对于理解电磁感应现象以及设计电磁设备具有重要意义。

斯托克斯公式旋度形式还可以用于计算流体力学中的涡量。

涡量描述了流体流动中的旋转情况，通过斯托克斯公式可以将涡量与曲面上的环流联系起来，从而更好地理解和分析流体力学问题。

斯托克斯公式旋度形式还可以应用于电路分析中。

在电路理论中，电流可以看作是电荷的流动，而电流线可以看作是电荷流动的路径。

通过斯托克斯公式旋度形式，可以将电流沿闭合回路的环路积分与电流线圈围的面积分联系起来，从而可以更方便地计算电路中的电流分布情况。

斯托克斯公式旋度形式是向量分析中的重要工具，它能够帮助我们更好地理解和分析矢量场的旋转特性。

在物理学、工程学以及电路分析等领域中都有着广泛的应用。

通过斯托克斯公式旋度形式，我们可以计算闭合曲线上的环路积分，并将其与曲面上的面积分联系起来，从而更全面地了解矢量场的性质和行为。

螺旋方程的原理及应用

螺旋方程的原理及应用1. 螺旋方程的定义螺旋方程是一种描述螺线形状的数学方程。

它是通过参数方程的形式表示的，具体可以用以下形式表示：x(t) = a * cos(t)y(t) = a * sin(t)z(t) = b * t其中，x(t)、y(t)和z(t)分别表示螺旋线上一点的x、y和z坐标，a和b是常数，t是参数。

2. 螺旋方程的原理螺旋方程的原理可以通过动画模拟来进行理解。

我们可以想象一根螺旋形的弹簧，当我们沿着它的轴线移动时，螺旋线在空间中形成了一条曲线。

这个移动过程可以用参数方程来描述，就是螺旋方程。

具体而言，x(t)和y(t)分别表示螺旋线在xy平面上的投影，而z(t)表示螺旋线在z轴上的高度。

这样，我们就可以通过参数t的取值来确定螺旋线上每个点的位置。

螺旋方程中的参数a控制了螺旋线的半径，而参数b则控制了螺旋线的高度。

当我们改变这两个参数的值时，就可以得到不同形状和大小的螺旋线。

3. 螺旋方程的应用螺旋方程在科学和工程中有着广泛的应用。

以下是一些螺旋方程应用的示例：3.1. 自然界中的螺旋形状螺旋方程在自然界中的许多形态中都有应用，比如蜗牛的壳、植物的茎和一些动物的身体等。

这些螺旋形状的生成可以通过调整螺旋方程的参数来实现。

3.2. 工程中的螺旋形式设计螺旋方程在工程设计中也有重要的应用。

例如，在机械设计中，螺旋形状常用于螺杆、螺纹和旋转机构等的设计。

通过合理选择螺旋方程的参数，可以使得这些装置具有理想的功能和性能。

3.3. 生物医学中的螺旋形态研究螺旋方程在生物医学中也有一定的应用。

例如，在DNA的结构研究中，可以使用螺旋方程来描述DNA的双螺旋结构。

此外，螺旋方程还可以应用于研究蛋白质和其他生物分子的结构和形态。

3.4. 3D打印中的螺旋形状生成螺旋方程在3D打印中也有很大的应用空间。

通过定制螺旋方程的参数，可以生成各种复杂的螺旋形状用于打印。

这种技术可以应用于制造各种具有特定形状和性能的零件和产品。

第七节斯托克斯公式与旋度

第七节斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式二、物理意义 -- 环流量与旋度三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线：设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定的正向如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿行走时，邻近处的始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线称作定向曲面的正向边界曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的三角形的整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线按所取方向的环流量 .
环流量

F dr Pdx Qdy Rdz

F dr

i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.

初中化学方程式计算解题思路乐乐

初中化学方程式计算解题思路乐乐
1. 确定化学反应类型（酸碱中和、氧化还原、置换反应等），根据化学式的变化判断反应类型。

2. 检查化学式平衡性，调整反应物和产物的系数，使反应前后原子数相等。

3. 根据已知条件（摩尔数、质量、浓度等）计算未知量，使用“摩尔关系式”、“质量守恒定律”、“溶液配比法则”等方法。

4. 注意化学式中的“状态符号”，如（s）、（l）、（g）、（aq）等，代表的是物质的状态，进而影响反应的进行。

5. 针对氧化还原反应，需要了解“氧化数”的概念和计算方法，以此确定被氧化物和还原物。

6. 在进行计算时，需注意单位的换算和消除，如将质量单位转化为摩尔数，在使用摩尔关系式进行计算。

7. 最后检查答案的合理性和计算过程的准确性，如典型的计算错误包括未考虑化学反应类型、错误的化学式平衡、单位转换错误等。

旋量玻色-爱因斯坦凝聚体中的新奇量子态及其动力学

旋量玻色-爱因斯坦凝聚体中的新奇量子态及其动力学旋量玻色-爱因斯坦凝聚体（Spinor Bose-Einstein condensate，简称旋量BEC）是一种具有特殊量子态和动力学行为的玻色子体系。

它在独立粒子理论和凝聚态物理领域中具有广泛的应用和研究意义。

本文将介绍旋量BEC的基本概念、量子态和动力学特性，及其在实验室中的产生和探测方法。

旋量BEC是由一种具有自旋的玻色粒子组成的凝聚体。

与普通的玻色-爱因斯坦凝聚体不同，旋量BEC中的粒子不仅具有自旋自由度，还具有空间自由度。

自旋可以用自旋矩阵来描述，而空间自由度可以用粒子的动量和位置来描述。

因此，旋量BEC的量子态可以由一个四分量的波函数表示。

旋量BEC的量子态可以分为两个部分：自旋部分和空间部分。

自旋部分描述了粒子的自旋态，可以是自旋向上或自旋向下。

空间部分描述了粒子的位置和动量分布。

在低温极限下，粒子将凝聚到波函数相干的基态，并形成一个整体的量子态。

在这个基态中，所有的粒子将具有相同的自旋部分和空间部分，从而形成一个旋量BEC。

旋量BEC的动力学行为与其他凝聚体不同。

由于旋量BEC的粒子具有自旋自由度，在外加磁场的作用下，自旋矩阵将与空间部分的波函数耦合。

这种自旋-空间耦合将导致旋量BEC的动力学行为发生变化。

例如，旋量BEC在磁场中会发生磁旋或自旋涡结构的形成，并展示出自旋翻转、自旋光格子和自旋震荡等特性。

实验上，旋量BEC可以通过多种方法产生。

一种常用的方法是使用光激发技术，通过激光和磁场对玻色原子进行激发，使其凝聚成旋量BEC。

另一种方法是利用磁致冷却技术，通过控制外加磁场的强度和方向，使玻色原子凝聚成旋量BEC。

此外，还可以利用自旋依赖的相干数学和量子非破坏性检测技术来探测旋量BEC的形成和演化。

旋量BEC在量子信息处理和量子计算方面具有很大的潜力。

它可以被用作量子比特来进行量子计算和量子通信。

旋量BEC还可以模拟相对论和强关联系统中的物理规律，并对多体系统的性质进行研究。

实验三旋光法测定蔗糖水解速率常数

实验三旋光法测定蔗糖水解速率常数一、实验目的1.了解旋光仪器的简单结构原理和测定旋光物质的旋光度的原理，正确掌握旋光仪的使用方法。

2. 利用旋光仪测定水解作用的速率常数。

二、实验原理根据实验确定反应A + B → C 的速率公式为：（3.1）式中：a 、b 为表示A 、B 的起始浓度；x 为时间t 时，生成物的浓度；k ’为反应速率常数。

这是一个二级反应。

但若起始时两物质的浓度相差很远，b ＞＞ a ，反应过程中B 的浓度减少很小，可视为常数，上式可写成：（3.2）此式为一级反应，把上式移项积分得：（3.3）当x= a 时，时间t 用t 1/2表示，即为半衰期：（3.4）或得：（3.5）蔗糖水解反应就是属于此反应。

C 12H 22O 11 + H 2O C 6H 12O 6 + C 6H 12O 6蔗糖葡萄糖果糖其反应速率和蔗糖、水以及作为催化剂的氢离子浓度有关。

水在这里作为溶剂，其量远大于蔗糖，可看作常数（对100g20%的蔗糖溶液而言，含蔗糖为200/342=0.58mol/L ，含H 2O 为800/18=44.44mol/L ，由上式反应知道，当0.58mol/L 的蔗糖全部水解后，水的含量仍有43.86mol/L ，所以相对而言水的量可看作不变）。

所以此反应可看作一级反应。

当温度及氢离子浓度为定值时，反应速率常数为定值。

蔗糖及其水解物都具有旋光性，且它们的旋光能力不同，所以可用体系反应过程中旋光度的变化来度量反应的进程。

在实验中，把一定浓度的蔗糖溶液与一定的盐酸溶液等体积混合，用旋光仪测定旋光度随时间的变化关系，然后推算蔗糖的水解程度。

因为蔗糖具有右旋光性，比旋光度为 ))(('/x b x a k dt dx --=)(/xa k dt dx -=⎰⎰=-t x kdt xa dx 0kk t 693.02ln 2/1==⎰⎰=-2121t t x x kdt x a dx2112ln 1x a x a t t k ---=−→−+H x a at k -=ln 12120][Dα=66.6o ，而水解产生的葡萄糖为右旋性物质，其比旋光度为 =52.5o；果糖为左旋光性物质，其比旋光度为 = -91.9o，由于果糖的左旋性比较大，故反应进行时，右旋数值逐渐减小，最后变成左旋，因此蔗糖水解作用又称为转化作用。

旋转流体方程及其解法

旋转流体方程及其解法旋转流体方程是一种非常重要的流体力学方程，它描述了旋转流体的运动规律。

对于大多数实际问题，特别是地球物理学和天文学中的问题，都涉及到旋转流体的运动。

因此，研究旋转流体方程及其解法具有重要意义。

本文将介绍旋转流体方程的基本原理和解法。

一、旋转流体方程的基本原理旋转流体方程是 Navier-Stokes 方程的一种变形，它描述了旋转流体的运动。

旋转流体通常指具有一定自转速度的流体，如地球的大气和海洋。

在这些流体中，由于地球的旋转，流体的运动规律与非旋转流体不同。

因此，需要建立一种新的流动方程，称为旋转流体方程。

旋转流体方程的基本原理可以用矢量形式表示为：ρ(Dv/Dt) = -∇p - ρf + ρg + 2ρω×v + ρω×(ω×r)其中，ρ是流体的密度，D/Dt代表物质导数，v是流体速度矢量，p是流体压力，f是外力矢量，g是重力矢量，ω是地球自转角速度矢量，r是位置矢量。

上式中的第四个和第五个项分别表示科氏力和离心力。

科氏力是由于地球自转导致流体受到的力，离心力是由于流体具有自转速度而产生的力。

这两个力对流体的运动发挥了重要作用。

二、旋转流体方程的解法解旋转流体方程是非常困难的，因为方程中包含很多复杂的项，如科氏力和离心力等。

许多流体力学家为了研究旋转流体的运动规律，提出了一些简化的假设和解法。

下面介绍几种常见的旋转流体方程的解法。

1. 二维旋转流体方程的解法如果考虑地球自转的影响比较小，可以将旋转流体方程简化为二维方程。

这时，解方程的方法与非旋转流体类似，可以采用分离变量法或变换法等方法得到解析解。

例如，可以假设流体速度具有分离变量形式，如v = u(x)w(y)。

将其代入旋转流体方程中，再进行一系列变换和求解，就可以得到一些解析解。

2. 扰动法解法扰动法是一种近似解法，可以应用于复杂的流体问题中。

对于旋转流体方程，也可以采用扰动法进行求解。

旋量BEC

山西大学2006 届硕士学位论文F=1偶极旋量BEC在外场中的宏观量子隧穿作者姓名杨利民指导教师张云波学科专业理论物理研究方向玻色-爱因斯坦凝聚培养单位山西大学理论所学习年限 2003年9月—2006年6月二○○六年六月Master Thesis of Shanxi University 2006 Macroscopic quantum tunneling of the dipolar spin-1 condensates under external fieldStudent Name Yang LiminSupervisor Professor Zhang YunboMajor Theoretical PhysicsField of Research Bose-Einstein CondensationInstitute Institute of Theoretical PhysicsResearch Duration 2003.9—2006.7June 2006目录引言 (1)第一章 F=1偶极旋量BEC在外场中的基态相结构 (3)1.1有偶极相互作用的F=1旋量凝聚体模型 (3)1.2在外场中的基态结构 (4)第二章纵场下基态能的宏观量子振荡 (7)2.1自旋相干态路径积分求解基态能 (6)2.2振荡周期的估算 (11)第三章横场下最小简并能级间的宏观量子隧穿 (13)3.1有效势方法 (13)3.2基态能级劈裂的数值计算 (16)结论 (18)参考文献 (19)附录 (22)致谢 (23)ContentsIntroduction (1)ⅠThe ground state structure of spin-1 dipolar condensate under external field (3)1.1F=1 dipolar condensate model (3)1.2 The ground state structure under external field (4)Ⅱ Macroscopic quantum oscillation of ground state energy under longitudinal field (7)2.1Ground state energy with spin coherent path integral (7)2.2 Calculation of oscillation periodic (11)Ⅲ Macroscopic quantum tunneling of degenerate minima under transversef i e l d (13)3.1The effect potential method (13)3.2 The numerical evaluation of tunneling splitting (17)Conclusion (18)References (19)Appendix (22)Acknowledgements (23)摘要本文基于F=1 的偶极旋量凝聚体的模型，通过分析无外场和有外场情形下由偶极相互作用参数和自旋交换相互作用参数组成的基态相图，重点考虑加外磁场时的基态结构，并将此偶极凝聚体模型与熟知的单轴各项异性铁磁模型对应起来。

流形上的旋度公式证明和数值模型 [附件1 分析和说明]

附件1流形上的旋度公式证明和数值模型[分析和说明]杨科中国成都 610017E-mail: more2010e@摘要：旋度公式(又称Stokes 公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的旋度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐;不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell 方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上. 一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明, 通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green 公式, Остроградский-Gauss 公式,Stokes 公式,乃至关于n 维空间积分的广义Stokes 公式[20],即d ∂∑∑ω=ω⎰⎰ 但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系等),用积分以及和式极限的方法, 证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系[包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)]的存在, 使旋度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型."证明流形上的旋度公式"本身不是唯一目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.本稿件相关的数值模型表明, 使用基于参数化空间点积法的曲面积分, 能够获得关于复杂几何形体 [流形,尤其是不对称、不规则(非闭合)曲面] 的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分,实现向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)在任意自由空间区域(闭合路径、非闭合曲面)的精确积分计算, 确立两种类型积分的逻辑关联关系, 实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学拓扑学物理学 Poincare猜想向量场自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系复连通可定向闭合参数曲面坐标系基于参数化空间点积法的曲面积分流形上的旋度公式证明数值模型和式极限基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联工程意义上流形积分解析积分值任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言证明的前提条件——-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见流形上的散度公式证明引言2)1.1流形上的旋度公式证明 (3)1.2 环面(复连通可定向闭合曲面)坐标系旋度公式证明 (9)2.流形上的旋度公式数值模型 (13)数值模型2.1 (13)数值模型2.2 (21)3. 环面坐标系旋度公式数值模型 (28)4. 流形上的旋度公式的反例: 关于Mobius 带的空间环路积分与和曲面积分4.1 流形上的旋度公式与Mobius 带..................... . (32)4.2 Mobius 带的空间环路积分与和曲面积分数值模型1 (39)4.3 Mobius 带的空间环路积分与和曲面积分数值模型2 (43)总结 (47)参考书籍 (48)1.1流形上的旋度公式证明:旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面S 的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)[构成向量场A]在有向曲面S 上有一阶连续偏导数,则L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1) 其中rotA 为向量场A 的旋度,n 为有向曲面S 的单位外法向量证明:定义任意单连通、可定向闭合曲面S 的参数表达式://不是‖任意曲面S ‖的参数表达式,而是‖任意单连通、可定向闭合曲面S ‖的参数表达式 //详见‖流形上的散度公式证明引言2 证明的前提条件‖说明[a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u)] (2)//在严格意义上, 参数表达式[a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)]是任意单连通、可定向闭合曲面S 在‖直角坐标系‖和‖任意单连通、可定向闭合曲面S 坐标系‖之间的转换式其中a,b,c 为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S 决定a,b,c 的取值; 设定参数u,v 的变化范围[0,π/n -θ],[0,2π],其中n 为任意常数,并且n ≥ 1;θ为任意常数或连续函数表达式,并且π/n-θ<π,使曲面S 非闭合. (参见 Poincare 猜想:"任何与n 维球面同伦的n 维闭合流形必定同胚于n 维球面")[18] //Poincare 猜想在旋度公式涉及的三维欧氏空间,其对应的判断为"任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面"//待定系数a,b,c 均不是由"任意的正弦与余弦函数"构成, a,b,c 的取值必须服从于参数曲面S 的‖单连通、可定向闭合‖的拓扑学属性; 详见‖流形上的散度公式证明引言2 证明的前提条件‖说明//开曲面的拓扑学分类还没有实现,也只能通过闭合曲面参数变化范围缺损的方式（即u[0,Pi/n - theta],v[0,2*Pi]）描述非闭合曲面定义边界曲线L 的参数表达式:[α cos(v),β sin(v),γ] (3)]//由于在参数表达式[a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)]中,待定系数a,b,c 不可再次被解析 (即不可再识别其内含变量u 和v), 不能象在‖球面/环面坐标系旋度公式证明‖或‖流形上的旋度公式数值模型‖中那样--将变量u 的边界值带入曲面S 的参数表达式,直接获得边界曲线L 参数表达式---而只能设定对曲面[a sin(u)cos(v), b sin(u)sin(v),c cos(u)]具有依存关系的边界曲线[α cos(v),β sin(v),γ] 其中α,β,γ为依存于a,b,c 的常数(α≠0,β≠0)或一阶可导连续函数表达式; 因为参数v 的变化范围为[0,2π],边界曲线L 闭合.(即 [α cos(v),β sin(v)], v ∈[0,2π] 构成依存于曲面S 的一维单连通闭合流形或若干一维单连通闭合流形的组合)[18]//将[α cos(v),β sin(v),γ]转化为[α cos(v),β sin(v)]实际上就是获得空间闭合曲线L 在平面的投影; 参见‖流形上的Green 公式证明和数值模型引言证明的前提条件—-(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立‖说明向量场A 在边界曲线L 的环路积分:d ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π + + ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()α()cos v ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()β()sin v ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v γv = = d ⎛⎠⎜02π- + ()P ,,x y z α()sin v ()Q ,,x y z β()cos v v 0 (4)// 相对于由具体的、千变万化的三元函数构成的具体空间向量场,抽象空间向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]是一种均衡、对称的抽象数据结构;在流形上的旋度公式证明中,客观上需要一种均衡、对称的抽象可定向非闭合曲面(包括其边界曲线)表达式与抽象空间向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]及其旋度匹配;Poincare 猜想为抽象单连通可定向非闭合曲面表达式( 即[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)], u[0,Pi/n –theta],v[0,2*Pi])的实现提供了理论依据// 在传统的直角坐标系Stokes 公式证明中,则是‖抽象可定向非闭合曲面∑:z= f(x,y) 的正向边界曲线г‖和‖抽象空间向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]‖积分(参见《高等数学(第六版)》(下册) 同济大学数学系高等教育版 2007 P175-177)//因为抽象向量场[P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)]具有普遍性和同质性, 以抽象函数P(x,y,z) [或Q(x,y,z), 或R(x,y,z)]的变量x(或y 或z)的内含子变量v 为自变量积分,其积分结果仍然可以表述为P(x,y,z)[或Q(x,y,z),或R(x,y,z)]. 也就是说,以变量x,y,z 的内含子变量v 为自变量积分,不会改变抽象函数P(x,y,z)[或Q(x,y,z),或R(x,y,z)]本身的结构.因为如此,抽象函数结构P(x,y,z)[或Q(x,y,z),或R(x,y,z)]能够在积分以后保持原形.(参见附件3,‖流形上的旋度公式和式极限证明‖部分)// ―积分值为零‖有明确的数学、物理意义:在数学意义上,积分值为零是逻辑推导的必然结果,反映了积分诸元素之间的逻辑均衡状态;在物理意义上,积分值为零意味着‖抽象向量场‖ 在 ‖抽象空间闭合曲线(路径)‖上的环流量恒为静止、待定的零;如果积分值为某一正数、负数或者某一表达式,则意味着‖抽象向量场‖ 在 ‖抽象空间闭合曲线(路径)‖ 上始终存在正向、反向的流量或者某个未知的值,这将是不可解释的现象根据曲面参数表达式(2),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面S 的切平面法向量: sin()cos()sin()sin()cos()sin()cos()sin()sin()cos()i j k a u v b u v c u u u u a u v b u v c u vv v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦ = i c ()sin u 2b ()cos v a ()cos u ()cos v 2k b ()sin u a ()sin u 2()sin v j c+ + a ()sin u ()sin v 2k b ()cos u + (5)从(5)式分别提取i,j,k 项系数,获得曲面S 的切平面法向量: [2sin()cos()c u b v ,2sin()sin()u a v c ,sin()cos()u ab u ] (6)计算向量场 A 的旋度,并将其从直角坐标形式(7)转变为参数曲面 S 坐标形式(8):- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥ (7) ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v ⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u - , ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()a ()sin u ()cos v - , ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v - ⎤⎦⎥⎥= ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v ,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v , ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v - ⎤⎦⎥⎥ (8)//在空间直角坐标系,抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]的旋度为 - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥ 在本证明的逻辑推导中,需要将其引入抽象单连通可定向闭合曲面坐标系.抽象向量场旋度的六个组成单元(,,)R x y z y∂∂,(,,)Q x y z z ∂∂,(,,)P x y z z ∂∂, (,,)R x y z x ∂∂,(,,)Q x y z x ∂∂,(,,)P x y z y∂∂为抽象微分函数结构,而其微分变量x,y,z 皆含有子变量u,v.空间直角坐标系与抽象单连通可定向闭合曲面坐标系之间的曲面参数转换式为 x = a sin(u)cos(v), y = b sin(u) sin(v), z = c cos(u)---与微分函数 ((,,)Q x y z x ∂∂,(,,)R x y z x ∂∂),((,,)P x y z y ∂∂,(,,)R x y z y∂∂), ((,,)Q x y z z ∂∂,(,,)P x y z z ∂∂) 的三个微分变量x ∂∂,y ∂∂,z∂∂ 对应的坐标转换微分函数分别为sin()cos()sin()cos()a u v a u v u v ∂∂∂∂, sin()sin()sin()sin()b u v b u v u v∂∂∂∂ 和 cos()cos()c u c u u v ∂∂∂∂. ―微分函数(,,)R x y z y∂∂,(,,)Q x y z z ∂∂,(,,)P x y z z ∂∂,(,,)R x y z x ∂∂,(,,)Q x y z x ∂∂, (,,)P x y z y∂∂ 与坐标转换微分函数的乘积‖ (即两种微分函数的乘积) 构成了抽象单连通可定向闭合曲面坐标系的旋度.// 是‖链式求导‖还是‖坐标转换‖?// 如果是‖链式求导‖,根据‖同链相乘,分链相加‖的原则应为:⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v ⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u - ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()c ()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()a ()sin u ()cos v - ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂()a ()sin u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()b ()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()b ()sin u ()sin v - ⎤⎦⎥⎥// 不论是‖链式求导‖还是求‖散度‖或者‖旋度‖, 解决的是抽象向量场[P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)]‖如何求导‖ 、‖求导方式‖的问题;而这里是要将抽象向量场[P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)]旋度求导的结果从一个坐标系转化到另一个坐标系的问题;两个‖问题‖的性质和层次都是不同的,这里是‖相乘‖而不是‖相加‖,这是由坐标的空间属性决定的旋度(8)与曲面S 的切平面法向量(6)的空间点积对变量u,v 的积分: (9)⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π⎛⎠⎜⎜⎜⎜0 - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 3()cos u ()sin v ()sin u 3()cos v 2c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 3()cos u ()cos v ()sin u 3()sin v 2c ⎛⎝+ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v - ⎫⎭⎪⎪()sin u a b ()cos u u d v d=⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π18()sin v ()cos v 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n 4()cos v c n ⎛⎝ 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n 4()sin v c n + 2a 3b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθn n 3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z - 2a b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθn n 3n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z - a 3b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z + a b 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + πθn n n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z a 3b π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z + - a b 3π⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z a 3b θn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a b 3θn ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z - + + ⎫⎭⎪⎪n /v d 0= //因为抽象向量场的旋度⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v ,⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v - ⎤⎦⎥⎥ ,包含的四个微分函数单元(,,)R x y z y ∂∂,(,,)R x y z x ∂∂,(,,)Q x y z x ∂∂,(,,)P x y z y∂∂具有普遍性和同质性,在上述公式推导中,以变量x(或y 或z)的内含子变量u(或v)为自变量积分, 其积分性质可以被理解为对 ‖四个旋度的微分函数单元 [即(,,)R x y z y∂∂, (,,)R x y z x ∂∂,(,,)Q x y z x ∂∂,(,,)P x y z y∂∂]、坐标转换微分函数二者的乘积‖ 与 ‖切平面法向量‖ 的 ‖空间点积‖ 的积分.以变量x,y,z 的内含子变量u(或v)为自变量积分,不会改变抽象向量场旋度的四个微分函数单元本身的结构. 抽象向量场旋度及其微分函数单元(,,)R x y z y∂∂,或(,,)R x y z x ∂∂,或(,,)Q x y z x ∂∂, 或(,,)P x y z y∂∂能够在积分以后保持原形;而与其三个微分变量x ∂∂,y ∂∂,z ∂∂对应的三个坐标转换微分函数,即: sin()cos()sin()cos()a u v a u v u v ∂∂∂∂, sin()sin()sin()sin()b u v b u v u v∂∂∂∂ 和 cos()cos()c u c u u v∂∂∂∂ 则可以在积分以后被改变.(参见附件3,‖流形上的旋度公式和式极限证明‖部分)即(4)式=(9)式:d ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π + + ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()α()cos v ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()β()sin v ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v γv = ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π⎛⎠⎜⎜⎜⎜0 - πn θ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z b 3()cos u ()sin v ()sin u 3()cos v 2c ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z a 3()cos u ()cos v ()sin u 3()sin v 2c ⎛⎝+ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z a 2()cos u ()cos v ()sin u ()sin v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z b 2()cos u ()sin v ()sin u ()cos v - ⎫⎭⎪⎪()sin u a b ()cos u u d v d亦可表述为L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1), 证毕 1.2环面(复连通可定向闭合曲面)坐标系旋度公式证明:旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面S 的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) [构成向量场A] 在有向曲面S 上有一阶连续偏导数,则L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1) 其中rotA 为向量场A 的旋度,n 为有向曲面S 的单位外法向量证明:定义环面S 的参数表达式:[(2+cos(u))cos(v),(2+cos(u))sin(v),sin(u)] (2)设定参数u,v 的变化范围[0,2π/n - θ],[0,2π],其中n 为任意常数,并且n ≥1;θ为任意常数或连续函数(以v 为自变量的三角函数)表达式,并且2π/n-θ< 2π,使环面S 非闭合.将变量u 的两边界值带入环面S 的参数表达式,获得边界曲线L1,L2参数表达式: L1: [3cos(),3sin(),0]v v (3)L2: 222[(2cos())cos(),(2cos())sin(),sin()]v v n n nπππθθθ+-++-+--+ (4) 因为参数v 的变化范围为[0,2π],边界曲线L1,L2闭合.向量场A 在边界曲线L1,L2的环路积分:d ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π + + ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d v ()3()cos v ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d v ()3()sin v ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d v 0v⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πn θ()cos v -()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πn θ()sin v + ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + 2πn θ + v d 0 = (5)根据环面参数表达式(2),定义并计算偏导数矩阵,获取环面S 的切平面法向量(6):(2cos())cos()(2cos())sin()sin()(2cos())cos()(2cos())sin()sin()i jku v u v u u u uu v u v u vvv ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥++⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥++∂∂∂⎣⎦=2i ()cos u ()cos v i ()cos u 2()cos v 2()sin u ()cos v 2k ()sin u ()cos v 2k ()cos u - - - - 2()sin v j ()cos u 2k ()sin u ()sin v 2()sin v j ()cos u 2()cos u k ()sin u ()sin v 2- - - - 从(6)式分别提取i,j,k 项系数,获得环面S 的切平面法向量: (7)22[2cos()cos()cos()cos(),2sin()cos()sin()cos(),2sin()cos()sin()]u v u v v u v u u u u ------计算向量场A 的旋度,并将其从直角坐标形式(8)转变为环面坐标形式(9):- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ,,⎡⎣⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎤⎦⎥⎥ (8)⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()() + 2()cos u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()() + 2()cos u ()sin v ⎡⎣⎢⎢⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d u ()sin u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()sin u - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d u ()sin u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()sin u ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()() + 2()cos u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()() + 2()cos u ()cos v - ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()() + 2()cos u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()() + 2()cos u ()cos v⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂u ()() + 2()cos u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ()() + 2()cos u ()sin v - ⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢ = -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ()sin u ()sin v () + 2()cos u ()cos v , -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ()sin u ()cos v () + 2()cos u ()sin v ,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ()sin u ()cos v () + 2()cos u ()sin v⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ()sin u ()sin v () + 2()cos u ()cos v + ⎤⎦⎥⎥ (9)旋度(9)与环面S 的切平面法向量(7)的空间点积对变量u,v 的积分:(10)⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π⎛⎠⎜⎜⎜⎜0- 2πnθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ()sin u ()sin v () + 2()cos u ()cos v -()- - 2()cos u ()cos v ()cos u 2()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ()sin u ()cos v () + 2()cos u - ()sin v ()- - 2()sin v ()cos u ()sin v ()cos u 2⎛⎝+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ()sin u ()cos v () + 2()cos u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ()sin u ()sin v () + 2()cos u ()cos v + ⎫⎭⎪⎪()- - 2()sin u ()cos u ()sin u d u vd=⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π124()cos v ()sin v 86()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z n 86()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z n + ⎛⎝ 6⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n 4n - 32⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n 3n - 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n 2n - 6⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n 4n - 32⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n 3n - 48⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n 2n -45⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + 2πθn n n 102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z π - - 51⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z θn 45⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + 2πθn n n + - 102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z π51⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z θn - + 32⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + 2πθn n 3n 32⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + 2πθn n 3n + +6⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + 2πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n 3n - 6⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + 2πθn n ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πθn n 3n - ⎫⎭⎪⎪n /v d 0 =即(5)式=(10)式:d ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π+ + ()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d v ()3()cos v ()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d v ()3()sin v ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d v 0v ⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π()P ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πn θ()cos v -()Q ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - + 2πn θ()sin v + ()R ,,x y z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - + 2πn θ + v d=⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π⎛⎠⎜⎜⎜⎜0- 2πnθ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()R ,,x y z ()sin u ()sin v () + 2()cos u ()cos v -()- - 2()cos u ()cos v ()cos u 2()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()R ,,x y z ()sin u ()cos v () + 2()cos u - ()sin v ()- - 2()sin v ()cos u ()sin v ()cos u 2⎛⎝+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ()Q ,,x y z ()sin u ()cos v () + 2()cos u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ()P ,,x y z ()sin u ()sin v () + 2()cos u ()cos v + ⎫⎭⎪⎪()- - 2()sin u ()cos u ()sin u d u v d亦可表述为 L SA dL rotA n dS +⋅=⋅ ⎰⎰⎰ (1), 证毕2.流形上的旋度公式数值模型:数值模型2.1:已知: 单连通、可定向非闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式+ - 2()sin u ()cos v 27()sin u ()cos - v 2()cos 7v ()sin u ,⎡⎣⎢⎢ + - 2()sin u ()sin v 27()sin u ()sin - v 2()cos 8v ()cos u ,- 2()cos u 17⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()cos - 12u v ⎤⎦⎥⎥ (1)其中,u ∈[0,2π],v ∈[0,2π]; 以及积分向量场 ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥,,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + - x 3y 4z 522 + y 23x z3 + x 23y z 3 (2)计算并验证流形上的旋度公式图1 单连通、可定向非闭合曲面（1）[不规则、不对称]解: 第一部分,自由空间环路积分实现:将变量u 的右边界值带(即2π)入目标曲面参数表达式(1),获得目标曲面的边界曲线参数表达式(3):// 与‖公式证明‖ 设定对抽象单连通、可定向非闭合参数曲面[a*sin(u)cos(v), b*sin(u)sin(v),c*cos(u)]具有依存关系的边界曲线[α cos(v),β sin(v),γ]不同,在‖数值模型‖中可以直接将变量u 的边界值带入具体单连通、可定向非闭合参数曲面(1)的参数表达式,直接获得边界曲线参数表达式+ - 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2()cos v 27⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2()cos - v 2()cos 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2,⎡⎣⎢⎢ + - 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2()sin v 27⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin π2()sin - v 2()cos 8v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π2,- 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π217⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos π4()cos - 6πv ⎤⎦⎥⎥ + - 2()cos v 27()cos - v 2()cos 7v 1,⎡⎣⎢⎢ = + 2()sin v 27()sin - v 2()cos 8v -1142()cos v ,⎤⎦⎥⎥图2 单连通、可定向非闭合曲面(1)的边界曲线(3)将边界曲线表达式(3)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(3)的环路积分(4):⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π1223()cos v 221()cos - v 2()cos 7v 1312()sin v 114()sin - v 2()cos 8v + - + + ⎛⎝ 1702()cos v + ⎫⎭⎪⎪2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + - 2()cos v 2()cos - v 2()cos 7v 1⎛⎝+ 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 2()sin v 2()sin - v 2()cos 8v 21⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + - 2()cos v 2()cos - v 2()cos 7v 12()cos v - ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 2()sin v 2()sin - v 2()cos 8v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + - 2()cos v 2()cos - v 2()cos 7v 12⎛⎝ + 142⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + 2()sin v 27()sin - v 2()cos 8v 2()cos v - ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪d d v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪-1142()cos v v d = + + + + 97π29441205802()cos 4π19372π198()sin 4π184()cos 4π第二部分,自由(非闭合)曲面积分实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面的切平面法向量:221(2sin()cos()sin()cos(2)cos(7)sin())(2sin()sin()sin()sin(2)cos(8)cos())(2cos()cos()cos(12))77722(2sin()cos()sin()cos(2)cos(7)sin())(2sin()sin()7i jkuu v u v v u u v u v v u u u v u u u u v u v v u u v vv ∂∂∂+--+----∂∂∂∂∂+--+∂∂21sin()sin(2)cos(8)cos())(2cos()cos()cos(12))772uu v v u u u v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥----⎢⎥∂⎣⎦=192i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v 849i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v + 2449i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()sin u ()cos - v 2()cos 8v - 3249()cos u ()cos - v 2()cos 7v k ()sin u ()sin - v 2()sin 8v - 4()sin u ()cos - v 2()sin 7v k ()cos u ()sin - v 2()cos 8v + 32()cos u ()cos v k ()sin u ()sin - v 2()sin 8v -149()sin u ()sin - v 2()cos 7v j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v - 4()sin u ()cos - v 2()sin 7v k ()cos u ()sin v + 17()sin u ()cos - v 2()sin 7v j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v - 449()sin u ()sin - v 22()cos 7v k ()cos u ()cos 8v + 47()sin u ()sin - v 2()cos 7v k ()cos u ()sin v + 2449()sin u ()sin - v 2()cos 7v j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v - 247()sin u ()cos - v 2()sin 7v j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v - 4()cos u ()cos v k ()sin u ()cos - v 2()cos 8v + 4()sin u ()sin v k ()cos u ()sin - v 2()cos 8v + 149i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v ()sin u ()cos - v 2()cos 8v - 249i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()cos u ()sin - v 2()cos 8v - 27i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()cos u ()sin v 17i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v ()sin u ()cos v - - 24i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v ()sin u ()cos v 2()cos u ()cos v j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v - + 27()cos u k ()sin u ()cos - v 2()cos 8v 167()cos u k ()sin u ()sin - v 2()sin 8v - + 17()sin u ()sin v j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v 247()sin u ()sin v j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v - - 249()cos u ()cos - v 2()cos 7v j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v + 47()cos u ()cos - v 2()cos 7v k ()sin u ()cos v + 4()cos u ()cos - v 22()cos 7v k ()sin u ()cos 8v 4i ()sin u 2()cos v + + 4()sin u 2()sin v j 2()sin u 2()sin v k 1i ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v ()sin u + + - 4i ()sin u 2()cos - v 2()cos 8v 32i ()sin u 2()sin - v 2()sin 8v + - 4()cos u ()cos v 2k ()sin u 1()cos u j ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v + - 2()cos u k ()sin u ()cos v 4()sin u ()sin v 2k ()cos u - +47()sin u 2()sin - v 2()cos 7v j 27()sin u 2()sin - v 2()cos 7v k + + 4()sin u 2()cos - v 2()sin 7v j 2()sin u 2()cos - v 2()sin 7v k + + (5)从(5)式分别提取i,j,k 项系数,获得曲面(1)的切平面法向量(6):19249⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v ⎡⎣⎢⎢849⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v + 24⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v ()sin u ()cos - v 2()cos 8v - 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u ()cos - 12u v ()sin u ()cos - v 2()cos 8v - 249⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()cos u ()sin - v 2()cos 8v - 27⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()cos u ()sin v 17⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v ()sin u ()cos v - - 247⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()sin u ()cos v 4()cos v 4()cos v ()cos u 2 - + - 47()cos - v 2()cos 8v ()cos u 2327()sin - v 2()sin 8v ()cos u 2- + 4()cos - v 2()cos 8v 32()sin - v 2()sin 8v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v ()sin u + - - ,1()sin u ()sin - v 2()cos 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u ()cos - 12u v -17()sin u ()cos - v 2()sin 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v - 2449()sin u ()sin - v 2()cos 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v - 24()sin u ()cos - v 2()sin 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v - 2()cos u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v 1()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u ()cos - 12u v + - 247()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v - 249()cos u ()cos - v 2()cos 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v 4()sin v ()cos u 24()sin v + - + 47()sin - v 2()cos 7v 4()cos - v 2()sin 7v 47()sin - v 2()cos 7v ()cos u 2+ + - 4()cos - v 2()sin 7v ()cos u 217()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v - - ,3249()cos u ()cos - v 2()cos 7v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v -47()sin u ()cos - v 2()sin 7v ()cos u ()sin - v 2()cos 8v + 32()cos u ()cos v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v - 4()sin u ()cos - v 2()sin 7v ()cos u ()sin v + 4()sin u ()sin - v 2()cos 7v ()cos u ()sin v + 47()cos u ()cos v ()sin u ()cos - v 2()cos 8v + 47()sin u ()sin v ()cos u ()sin - v 2()cos 8v 27()cos u ()sin u ()cos - v 2()cos 8v + - 16()cos u ()sin u ()sin - v 2()sin 8v 4()cos u ()cos - v 2()cos 7v ()sin u ()cos v + + 2()sin v 2()sin v ()cos u 24()sin u ()cos 7v ()cos u ()cos 8v + - + 2()cos - v 2()sin 7v 27()sin - v 2()cos 7v 27()sin - v 2()cos 7v ()cos u 2+ + - 2()cos - v 2()sin 7v ()cos u 24()cos u ()sin u 2()cos u ()sin u ()cos v - + - ⎤⎦⎥⎥// 不同几何拓扑形状的曲面,有不同的切平面法向量计算向量场(2)的旋度(7):- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂y ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + x 23y z 3⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + y 23x z 3 - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪∂∂z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + - x 3y 4z 522⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂∂x ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + x 23y z 3,,⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪∂⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + y 2x z ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪∂∂⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ + - x 3y 4z 52⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ = ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,, - z 3x 3- - + 11x 15y 20z 25 - - 23z 60x 12y 16 (7)将目标曲面参数表达式(1)带入旋度(7);并且实现旋度(7)与曲面切平面法向量(6)的空间点积对曲面参数u,v 的积分(8):// 与‖公式证明‖中涉及的抽象旋度函数不同,在‖数值模型‖中可以直接将目标曲面参数表达式(1) 带入具体旋度(7), 继之以‖具体旋度(7)与切平面法向量(6)的空间点积‖,进行曲面积分⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π⎛⎠⎜⎜⎜⎜0π23()cos u 121⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()cos - 12u v 23()sin u ()cos v - - ⎛⎝221()sin u ()cos - v 2()cos 7v 13()sin u -+ ⎫⎭⎪⎪⎛⎝19249⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v 849⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v + 2449⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()sin u ()cos - v 2()cos 8v - 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u ()cos - 12u v ()sin u ()cos - v 2()cos 8v - 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v ()cos u ()sin - v 2()cos 8v - 27⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()cos u ()sin v 17⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v ()sin u ()cos v - - 247⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v ()sin u ()cos v 4()cos v 4()cos v ()cos u 2 - + - 47()cos - v 2()cos 8v ()cos u 2327()sin - v 2()sin 8v ()cos u 2- + 4()cos - v 2()cos 8v 32()sin - v 2()sin 8v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v ()sin u + - - ⎫⎭⎪⎪ + 2215()sin u ()cos v 22105()sin u ()cos - v 2()cos 7v 1115()sin u 110()sin u ()sin v - - + - ⎛⎝170()sin u ()sin - v 2()cos 8v 13100()cos u 1175⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()cos - 12u v - + - ⎫⎭⎪⎪⎛⎝149()sin u ()sin - v 2()cos 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v -17()sin u ()cos - v 2()sin 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v - 24()sin u ()sin - v 2()cos 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v - 24()sin u ()cos - v 2()sin 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u ()sin - 12u v - 27()cos u ()cos v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v 17()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin u 2()cos - 12u v + - 247()sin u ()sin v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v - 249()cos u ()cos - v 2()cos 7v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v 4()sin v ()cos u 24()sin v + - + 4()sin - v 2()cos 7v 4()cos - v 2()sin 7v 4()sin - v 2()cos 7v ()cos u 2+ + - 4()cos - v 2()sin 7v ()cos u 217()cos u ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()sin - 12u v - - ⎫⎭⎪⎪199240()cos u ⎛⎝ + 23420⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos u 2()cos - 12u v 16()sin u ()cos v 142()sin u ()cos - v 2()cos 7v - - -112()sin u 18()sin u ()sin v 156()sin u ()sin - v 2()cos 8v +- - ⎫⎭⎪⎪⎛⎝3249()cos u ()cos - v 2()cos 7v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v -4()sin u ()cos - v 2()sin 7v ()cos u ()sin - v 2()cos 8v + 327()cos u ()cos v ()sin u ()sin - v 2()sin 8v - 4()sin u ()cos - v 2()sin 7v ()cos u ()sin v + 47()sin u ()sin - v 2()cos 7v ()cos u ()sin v + 47()cos u ()cos v ()sin u ()cos - v 2()cos 8v + 4()sin u ()sin v ()cos u ()sin - v 2()cos 8v 2()cos u ()sin u ()cos - v 2()cos 8v + - 16()cos u ()sin u ()sin - v 2()sin 8v 4()cos u ()cos - v 2()cos 7v ()sin u ()cos v + + 2()sin v 2()sin v ()cos u 2449()sin u ()cos 7v ()cos u ()cos 8v + - + 2()cos - v 2()sin 7v 27()sin - v 2()cos 7v 27()sin - v 2()cos 7v ()cos u 2+ + - 2()cos - v 2()sin 7v ()cos u 24()cos u ()sin u 2()cos u ()sin u ()cos v - + - ⎫⎭⎪⎪u d v d + + + + 97π41205802()cos 4π19372π1()sin 4π1()cos 4π =积分向量场在目标曲面的边界环路积分精确值(4),等于该向量场的旋度在目标曲面的曲面积分精确值(8),流形上的旋度公式运算并验证完毕数值模型2.2: 已知: 单连通、可定向非闭合曲面(不规则、不对称)的参数表达式(1):- + ()sin u ()cos v 27()sin u ()cos - 3u v ()cos u - ()sin u ()sin v 16()sin u ()cos 6v ,,⎡⎣⎢⎢ - ()sin u 2()cos u ⎤⎦⎥⎥ 其中,u ∈[0,1-sin(7v)-cos(71)23v π-],v ∈[0,2π]; 以及积分向量场 ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥,,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - + x y z 23 - z 26x y 5 - x 25y z 6 (2)计算并验证流形上的旋度公式图3 单连通、可定向非闭合曲面（1）[不规则、不对称]解: 第一部分,自由空间环路积分实现:将变量u 的右边界值(即1-sin(7v)-cos(71)23v π-)带入目标曲面参数表达式(1),获得目标曲面的边界曲线参数表达式(3):⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - - π()sin 7v 1()cos - 7v 1()cos v ⎡⎣⎢⎢2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - - π()sin 7v 1()cos - 7v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - - - 3π3()sin 7v ()cos - 7v 1v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - - π2()sin 7v 13()cos - 7v 1 + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - - π2()sin 7v 13()cos - 7v 1()sin v ,16⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - - π2()sin 7v 13()cos - 7v 1()cos 6v - , - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin - - π2()sin 7v 13()cos - 7v 12⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos - - π2()sin 7v 13()cos - 7v 1⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢ = ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()cos v 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 1()sin + + 3()sin 7v ()cos - 7v 1v + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 1()cos - 7v 1 + , - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()sin v 16⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()cos 6v , - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 12⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 1⎤⎦⎥⎥图4 单连通、可定向非闭合曲面(1)的边界曲线(3)将边界曲线表达式(3)带入积分向量场(2); 并且实现向量场(2)在边界曲线(3)的环路积分(4):⎛⎠⎜⎜⎜⎜02π1314⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()cos v ⎛⎝ 114⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()sin + + 3()sin 7v ()cos - 7v 1v +320⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 116⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()sin v - -1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 1()cos 6v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 1 + + ⎫⎭⎪⎪2⎛⎝⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 7()cos 7v 73()sin - 7v 1()cos v -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()sin v 27⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 1 - - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 7()cos 7v 73()sin - 7v 1()sin + + 3()sin 7v ()cos - 7v 1v 27 + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 1()cos + + 3()sin 7v ()cos - 7v 1v ()- + 21()cos 7v 7()sin - 7v 11⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 7()cos 7v 7()sin - 7v 1 + ⎫⎭⎪⎪⎛⎝+ 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 12⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 1()cos - 7v 121⎛⎝- ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()cos v 27⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()sin + + 3()sin 7v ()cos - 7v 1v + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 1 + ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()sin v 16⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()cos 6v ⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 7()cos 7v 73()sin - 7v 1()sin v -⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()cos v + 16⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 7()cos 7v 73()sin - 7v 1()cos 6v + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 1()sin 6v + ⎫⎭⎪⎪1⎛⎝⎛⎝ + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 1()cos v 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 1()cos - 7v 1()sin + + 3()sin 7v ()cos - 7v 1v + ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 1()cos - 7v 1 + ⎫⎭⎪⎪21 -⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()sin v 16⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1()cos 6v ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 12⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 1⎫⎭⎪⎪⎛⎝ ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin + ()sin 7v 13()cos - 7v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 7()cos 7v 73()sin - 7v 1-2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos + ()sin 7v 13()cos - 7v 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 7()cos 7v 73()sin - 7v 1 - ⎫⎭⎪⎪v d = 0.1213635571//由于被积分表达式出现cos(cos(...)),sin(sin(...))之类结构,积分结果没有以初等函数式表达的解析值,而只有任意精度浮点数值第二部分,自由(非闭合)曲面积分实现:根据曲面参数表达式(1),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面的切平面法向量(5):21(sin()cos()sin()cos(3)cos())(sin()sin()sin()cos(6))(sin()2cos())7621(sin()cos()sin()cos(3)cos())(sin()sin()sin()cos(6))(sin()2cos())76i j k u v u u v u u v u v u u u u u u v u u v u u v u v u u v v v ⎡⎢⎢∂∂∂⎢--+--⎢∂∂∂⎢∂∂∂⎢--+--⎢∂∂∂⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =i ()cos u ()sin u ()cos v i ()cos u ()sin u ()sin 6v 2i ()sin u 2()cos v - - - 2i ()sin u 2()sin 6v k ()cos u ()cos v 2()sin u k ()cos u ()cos v ()sin u ()sin 6v - + + 27k ()cos u ()cos - 3u v ()sin u ()cos v 27k ()cos u ()cos - 3u v ()sin u ()sin 6v - - 67k ()sin u 2()sin - 3u v ()cos v 67k ()sin u 2()sin - 3u v ()sin 6v + + k ()sin u 2()cos v k ()sin u 2()sin 6v ()sin u ()sin v j ()cos u 2()sin u 2()sin v j- - - - ()sin u ()sin v 2k ()cos u 16()sin u ()sin v k ()cos u ()cos 6v + - 27()sin u ()sin - 3u v j ()cos u 47()sin u 2()sin - 3u v j - - 27()sin u ()sin - 3u v k ()cos u ()sin v 121()sin u ()sin - 3u v k ()cos u ()cos 6v + - 从(5)式分别提取i,j,k 项系数,获得曲面(1)的切平面法向量(6):。

螺旋方程的原理和应用

螺旋方程的原理和应用1. 螺旋方程的定义和表达形式•螺旋方程是一种描述物体运动轨迹的数学方程。

•螺旋方程可以用参数方程表示，通常采用极坐标系下的参数方程。

2. 螺旋方程的原理•螺旋方程的原理基于空间中的旋转运动。

•螺旋方程可以看作是两个运动的合成：一个是物体沿直线前进，另一个是物体绕着某个中心点旋转。

3. 螺旋方程的数学表达式•螺旋方程的数学表达式可以分为两种形式：参数方程和极坐标方程。

•参数方程的形式为：x = a * cos(t), y = a * sin(t), z = b * t。

•极坐标方程的形式为：r = a + b * t。

4. 螺旋方程的应用螺旋方程在许多领域中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：4.1 物体运动轨迹的描述•螺旋方程可以用于描述物体的运动轨迹，例如飞机、导弹等在空中飞行时的轨迹。

•通过螺旋方程，可以计算物体的运动速度、加速度等相关参数。

4.2 生物学和遗传学•螺旋方程在生物学和遗传学中有广泛的应用，例如描述DNA的结构。

•DNA的双螺旋结构可以用螺旋方程表示，通过分析螺旋方程可以研究DNA的结构和功能。

4.3 工程和建筑•螺旋方程在工程和建筑领域中也有一定的应用。

•例如在建筑设计中，可以使用螺旋方程来描述螺旋楼梯的形状和结构。

4.4 数学和物理•螺旋方程是数学和物理中的重要概念，广泛应用于微积分、向量和曲线等领域。

•在物理学中，螺旋方程常常用来描述电磁场、磁场等的分布规律。

4.5 艺术和设计•螺旋方程的美学特点使其在艺术和设计领域有一定的应用。

•许多艺术家和设计师使用螺旋方程来创作独特的艺术品和设计作品。

5. 总结螺旋方程作为一种描述物体运动轨迹的数学方程，在许多领域中有广泛的应用。

通过螺旋方程，我们可以更好地理解和描述物体的运动规律，以及探索自然界的奥秘。

同时，螺旋方程也为艺术家和设计师提供了创作的灵感和工具。

通过深入研究和应用螺旋方程，我们可以不断拓展对世界的认识和理解。

相对论BCS-BEC渡越热力学

相对论BCS-BEC渡越热力学傅永平;杨海涛;郗勤【摘要】By using the Nambu-Gorkov transformation, the relativistic BCS-BEC crossover thermodynamics in the Fermi-Bose system is discussed, and the exited energy spectrum nearing the critical point is also found. The energy gap equation, in the case of T ≤ Tc and T ≈ Tc, is also derived. The results show that the zero mass quasipar-ticles may condense in the critical temperature.%利用Nambu-Gorkov表示,讨论了在相对论Fermi-Bose 系统中的BCS-BEC渡越条件及其热力学性质,得到了临界点附近费米子的激发能谱.给出了临界温度附近和低于临界温度区域的能隙表达式.理论计算结果表明,渡越区在临界温度附近存在着零质量准粒子的激发.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2012(012)034【总页数】4页(P9137-9139,9143)【关键词】BCS-BEC渡越;相对论Fermi-Bose系统;热力学【作者】傅永平;杨海涛;郗勤【作者单位】临沧师范高等专科学校数理系,临沧677000;云南大学物理系,昆明650091;云南大学物理系,昆明650091;临沧师范高等专科学校数理系,临沧677000【正文语种】中文【中图分类】O412.1目前，在冷原子研究领域，借助Feshbach共振技术，通过磁控调节费米子系统的散射长度，使得BCS(Bardeen-Cooper-Shriffer superfluidity)-BEC(Bose-Einstein condensation)渡越(crossover)现象得以实现。

标准曲线法旋光度计算公式

标准曲线法旋光度计算公式引言。

旋光度是一种用于测量物质旋光性质的物理量，通常用来描述化学物质中存在的手性分子的性质。

旋光度计是一种用来测量物质旋光度的仪器，通过测量物质对偏振光的旋转角度来确定其旋光度。

在实际应用中，我们常常需要通过旋光度计算公式来计算出物质的旋光度，以便进行进一步的分析和应用。

标准曲线法是一种常用的测量旋光度的方法，通过构建标准曲线来确定未知样品的旋光度。

在本文中，我们将介绍标准曲线法旋光度计算公式的原理和应用，以及如何通过实验数据来进行计算。

一、标准曲线法的原理。

标准曲线法是一种基于标准溶液的测量方法，通过测量一系列已知浓度的标准溶液的旋光度，构建出一条标准曲线，然后通过测量未知样品的旋光度，利用标准曲线来确定其浓度或旋光度。

这种方法的优点是简单易行，且具有较高的准确性和精度。

在标准曲线法中，我们首先需要准备一系列已知浓度的标准溶液，然后通过旋光度计测量它们的旋光度。

接着，我们将这些测量结果绘制成曲线，通常是浓度与旋光度的关系曲线。

最后，通过测量未知样品的旋光度，利用标准曲线来确定其浓度或旋光度。

二、标准曲线法旋光度计算公式。

在标准曲线法中，我们通常使用线性回归分析来构建标准曲线，然后利用这条曲线来计算未知样品的旋光度。

假设我们已经得到了标准曲线的方程为y=ax+b，其中y表示旋光度，x表示浓度，a和b分别为曲线的斜率和截距。

那么，通过测量未知样品的旋光度y0，我们可以利用标准曲线的方程来计算出其浓度x0。

标准曲线法旋光度计算公式如下：x0=(y0-b)/a。

通过这个公式，我们可以利用已知的标准曲线方程，以及测量得到的未知样品的旋光度，来计算出其浓度。

这种方法简单易行，且具有较高的准确性和精度，因此在实际应用中得到了广泛的应用。

三、标准曲线法的实验步骤。

在进行标准曲线法测量旋光度时，我们需要按照以下步骤进行实验：1. 准备一系列已知浓度的标准溶液，通常需要包括至少5个不同浓度的标准溶液。

旋度与斯托克斯公式

斯托克斯公式的推导与应用
斯托克斯公式建立了矢量场的旋度与线积分之间的关系，为求解复杂矢量场的线积分提供了有效方法。
旋度与斯托克斯公式的联系
通过斯托克斯公式，可以将矢量场的线积分转化为面积分，从而简化计算过程。同时，旋度的引入也为斯托克斯公式的应用提供了更丰富的物理背景。
学生对知识掌握情况评价
案例分析
以一个具体的二维矢量场为例，详细展示旋度的计算过程，并给出计算结果。
案例二：三维空间中斯托克斯公式应用
问题描述
在三维空间中，给定一个矢量场和一个闭合曲线，利用斯托克斯公式计算该闭合曲线所围成的曲
面上的旋度积分。
解决方法
首先确定曲面和边界曲线的方向，然后根据斯托克斯公式将曲面上的旋度积分转化为边界曲线上的线积分进行计算。
02 斯托克斯公式介绍
斯托克斯公式背景
矢量场
斯托克斯公式是在矢量场背景下提出的，矢量场是空间中每一点都对应一个矢量的场。
旋度
旋度是描述矢量场旋转性质的物理量，斯托克斯公式与旋度密切相关。
斯托克斯公式内容
公式表述
斯托克斯公式表述为∮S curl F · dS = ∮C F · dr，其中curl F表示矢量场F的旋度，S为曲面，C为曲面的边界曲线。
在实际应用中，如流体力学、电磁学等领域，矢量场往往具有复杂的性质和结构，如何准确地计算其旋度和应用斯托克斯公式是一个具有挑战性的问题。
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旋度与斯托克斯公式
目录
• 矢量场与旋度概念 • 斯托克斯公式介绍 • 旋度与斯托克斯公式关系 • 典型案例分析 • 数值计算方法探讨 • 总结与展望
01 矢量场与旋度概念

比旋度的计算公式单位

比旋度的计算公式单位比旋度是一个在化学和药学领域中常用的概念，它主要用于描述具有光学活性的物质的旋光性质。

那比旋度的计算公式单位到底是啥呢？咱们先来说说比旋度的计算公式。

比旋度的计算公式是：[α] = α / (l × c) 。

这里面的“α”表示旋光度，“l”表示测定管的长度（单位是分米），“c”表示溶液的浓度（单位是克/100 毫升）。

为了让您更清楚地理解这个公式和单位，我给您讲个我之前遇到的事儿。

有一次，我在实验室里带着几个学生做实验，就是要测定一种新合成的化合物的比旋度。

当时，有个学生就一脸懵地问我：“老师，这公式里的单位咋这么复杂呀？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一个一个来弄明白。

”先说这个“α”，也就是旋光度，它的单位通常是度。

比如说，咱们通过旋光仪测出来这个物质的旋光度是 30 度。

再看“l”，测定管的长度。

这可得量准了，一般是分米为单位。

假设我们用的测定管长度是 2 分米。

然后是“c”，溶液的浓度。

得注意是克/100 毫升。

假如我们配制的溶液浓度是 5 克/100 毫升。

把这些数带进公式里，就能算出比旋度啦。

在实际操作中，可不能马虎，单位转换一定要准确。

就像上次实验，有个小组因为把测定管长度的单位搞错了，从厘米当成了分米，结果算出来的比旋度差了好多，最后又得重新做一遍实验。

总之，弄清楚比旋度的计算公式单位对于准确测定物质的光学活性非常重要。

只有每个环节都认真对待，我们才能得到可靠的结果，为后续的研究和应用提供有力的支持。

希望大家以后在遇到比旋度相关的问题时，都能胸有成竹，轻松应对！。

poe旋量法

poe旋量法旋量法是由法国数学家皮埃尔·居特·德·贝尔纳（Pierre Gaston Maurice Duhem）于19世纪末提出的，它是解决刚体运动问题的一种数学工具。

旋量法通过引入旋量的概念，简化了刚体运动分析的过程，提供了一种更便捷和高效的计算方法。

本文将详细介绍旋量法的基本原理和应用，并通过实例展示其在实际问题中的应用。

1. 旋量的基本概念旋量是与物体运动相关的矢量量，它具有大小和方向。

与普通矢量不同的是，旋量不遵循平行四边形法则，而是满足旋转的叠加法则。

旋量可以表示为有向线段或箭头，箭头指向运动方向，而线段的长度表示旋量的大小。

2. 旋量法的基本原理旋量法的基本原理是将刚体的运动分解为平动和转动两个独立的分量，并分别应用平动和转动的相关概念来求解。

在旋量法中，平动部分用位移矢量和速度矢量来描述，而转动部分则用旋量来描述。

旋量法将刚体的旋转运动转化为旋量的运算，通过旋量的代数运算，可以得到刚体的角速度和角加速度等重要参数。

3. 旋量法的应用实例以刚体的平面运动为例，假设有一个质点在平面上做圆周运动。

我们可以用旋量法来求解这个问题。

首先，我们定义一个位矢旋量来表示质点相对于参考点的位置，然后通过对位矢旋量求导，得到质点的速度旋量。

接下来，我们引入角矢旋量来描述质点相对于参考点的旋转情况，通过对角矢旋量求导，可以得到质点的角速度旋量。

通过对速度旋量和角速度旋量进行矢量求和，我们可以得到刚体的运动状态。

4. 旋量法的优势和局限性旋量法在解决刚体运动问题中具有一定的优势。

首先，它将复杂的旋转运动转化为旋量的运算，简化了计算过程。

其次，旋量法能够更直观地描述刚体运动的角度和方向，有助于物理现象的理解和解释。

然而，旋量法也存在一些局限性，例如在处理非刚体运动和外力作用问题上可能比较困难，需要引入其他方法来辅助计算。

结语旋量法作为一种解决刚体运动问题的数学工具，具有一定的特点和优势。

化学反应方程式的解析与计算

化学反应方程式的解析与计算化学反应方程式是描述化学反应过程的重要工具，通过它我们可以了解反应物和生成物之间的关系，以及反应过程中发生的化学变化。

解析和计算化学反应方程式是化学研究和实验中常见的任务，下面我们来探讨一下如何进行这方面的工作。

首先，解析化学反应方程式需要我们了解反应物和生成物的化学式。

化学式是用元素符号和下标表示化学物质的组成，例如H2O表示水分子，其中H代表氢元素，O代表氧元素。

在解析方程式时，我们需要根据反应物和生成物的化学式来确定它们的摩尔比例关系。

例如，当我们知道2H2 + O2 → 2H2O时，我们可以得出氢气和氧气的摩尔比例是2:1，水的生成量是氢气的两倍。

其次，解析化学反应方程式还需要我们了解反应物和生成物之间的化学反应类型。

化学反应可以分为合成反应、分解反应、置换反应、还原反应等多种类型。

通过了解反应类型，我们可以更好地理解反应过程中发生的化学变化。

例如，当我们知道2H2 + O2 → 2H2O是一个合成反应时，我们可以知道氢气和氧气结合生成水分子。

解析化学反应方程式还需要考虑反应的平衡性。

化学反应在达到平衡状态时，反应物和生成物的摩尔比例保持不变。

通过平衡反应方程式，我们可以了解反应物和生成物之间的摩尔比例关系。

平衡反应方程式的编写需要考虑反应物和生成物的摩尔系数，这些系数表示反应物和生成物的摩尔比例。

例如，当我们知道2H2 + O2 → 2H2O是一个平衡反应时，我们可以知道氢气和氧气的摩尔比例是2:1，水的生成量也是氢气的两倍。

在解析化学反应方程式的基础上，我们可以进行一些计算工作。

化学反应方程式可以用来计算反应物和生成物的摩尔量、质量量和体积量等。

通过计算，我们可以了解反应物和生成物之间的量变关系。

例如，当我们知道2H2 + O2 → 2H2O中氢气的摩尔量为3mol时，我们可以计算出氧气的摩尔量为1.5mol，水的生成量为6mol。

除了解析和计算化学反应方程式，我们还可以通过实验来验证反应方程式的正确性。

旋量BEC方程的解析求解

旋量BEC方程的解析求解旋量玻色爱因斯坦凝聚(BEC)是近年来物理学领域中最重要的研究问题之一。

在光阱实验中,相对于原来的磁阱束缚的标量BEC,由于粒子自旋自由度被释放,塞曼效应会导致处于不同自旋自由度的旋量粒子分开,旋量BEC呈现出了非常丰富的新性质，从而对旋量BEC的动力学产生深刻影响。

本文在平均场理论下,分别考虑无塞曼效应和有塞曼效应条件下的自旋+1和自旋-1及自旋0的旋量BEC用3分量的Gross-Pitaevskii方程组的解析解。

这些结果对于深入理解二次塞曼效应对自旋动力学的影响是有重要意义的。

1 背景介绍1.1 物理背景1.1.1 玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)Bose-Einstein condensation玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)是爱因斯坦在80年前预言的一种新物态，它表示当温度足够低、原子的运动速度足够慢时，它们将集聚到能量最低的同一量子态。

此时，所有的原子就象一个原子一样，具有完全相同的物理性质。

在1995年6月，两名美国科学家康奈尔、维曼以及德国科学家克特勒分别在稀薄的金属原子气体铷原子蒸气中第一次直接观测到了玻爱凝聚态，并于2014年6月在中国一陨石中就发现了这一凝聚态特相，属于天然的玻色-爱因斯坦凝聚态。

由于激光冷却技术的发展，人们可以制造出与绝对零度仅仅相差十亿分之一度的低温。

并且利用电磁操纵的磁阱技术可以对任意金属物体实行无触移动。

这样的实验系统中，原子被束缚在磁阱里面，因此原子的自旋度被凝固了。

在1998年，将自旋为1的气体钠原子限制在磁阱中首次实现了带有内部的自旋度的BEC，这为我们研究超冷状态下的原子系统打开了新的大门。

由于粒子间的相互作用，限制在光阱中的原子的自旋方向可以改变。

因此，一个f自旋的BEC的序参量有2f+1个部分，这些部分可以随空间和时间改变，这导致了自旋结构非常丰富的变化。

与旋量BEC对比，原子在单一自旋态的一个BEC归结成标量BEC。

这篇文章，我们只考虑有1个自旋度的BEC。

旋量理论 ppt课件

• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
旋量理论（Screw Theory）分析装配约束
(2) 对于平移装配特征（translational joint）
设刚体在连体坐标系中的速度为 k
则在全局坐标系中： v (Rk)T
T 0 v
力旋量（Wrench）:描述刚体可能受到的约束力和力矩
W [fx fy fz m x m y m z] 每个装配特征其对应的Twist矩阵和Wrench矩阵的秩为6 R ank(T w ist)R ank(W ernch)6
互易算法（reciprocal）
T•WT1W 4T2W 5T3W 6T4W 1T5W 2T6W 10 or
T•Wxmxymyzmzvxfxvyfyvzfz0
旋量理论（Screw Theory）分析装配约束
运动分析（Motion Analysis） ——To determine the underconstrained degrees of freedom
旋量理论
1
旋量理论（Screw Theory）分析装配约束
Mcal
Wrench
Constraint Analysis
运动旋量（Twist）：描述刚体可能的瞬时运动
T[x y z vx vy vz]
vr
(1) 对于旋转装配特征（revolution joint）
运动分析
约束分析
Rank(TR)即为装配体自由度
Rank(WR)即为装配体过约束数目
约束分析（Constraint Analysis） ——To determine the overconstrained degrees of freedom
R d
A01

旋量值函数的bochner-martinelli型公式

旋量值函数的bochner-martinelli
型公式
Bochner-Martinelli型公式是一种用于计算旋量值的公式，它是由德国数学家Hermann Bochner和意大利数学家Carlo Martinelli于1933年提出的。

它是一种用于计算复杂几何形状的旋量值的有效方法，可以用来计算几何形状的旋量值，以及几何形状的旋量值的变化。

Bochner-Martinelli型公式的基本原理是，在一个复杂的几何形状中，旋量值可以用一个称为“旋量积分”的积分来表示。

旋量积分是一种特殊的积分，它可以用来计算几何形状的旋量值。

Bochner-Martinelli型公式的具体表达式为：
V = ∫∫∫F(x,y,z)dV
其中，F(x,y,z)是一个函数，它可以用来表示几何形状的旋量值，dV是一个体积元，它可以用来表示几何形状的体积。

Bochner-Martinelli型公式可以用来计算复杂几何形状的旋量值，它可以用来计算几何形状的旋量值，以及几何形状的旋量值的变化。

它的优点是可以用来计算复杂几何形状的旋量值，而且计算结果比较准确。

它的缺点是计算量较大，耗时较长。

总之，Bochner-Martinelli型公式是一种用于计算复杂几何形状的旋量值的有效方法，它可以用来计算几何形状的旋量值，以及几何形状的旋量值的变化。

它的优点是可以用来计算复杂几何形状的旋量值，而且计算结果比较准确，但是计算量较大，耗时较长。

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