第一节 分式的基本概念与性质-学而思培优

第一节分式的基本概念与性质

一、课标导航

二、核心纲要

1.分式概念

一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母(B≠O)，那么式子B

A 叫做分式， 注：在理解分式的概念时，注意以下四点

(1)分式的分母中必须含有字母；

(2)分式的分母的值不为O ；

(3)分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开；

(4)判断分式时需要看最初形式．

2．有理式

整式与分式统称为有理式．

3．分式有意义的条件

两个整式相除，除数不能为O ，故分式有意义的条件是分母不为O ；

当分母为0时，分式无意义．

4．分式的值

(1)分式的值为零：必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 即00=⇔=A B

A 且.0=/

B (2)分式的值为1：满足分式的分子与分母相等，且分式的分母不能为零， 即.01=/=⇔=B A B

A (3)分式的值为-1：满足分式的分子与分母互为相反数，且分式的分母不能为零. 即

.01=/-=⇔=B A B A (4)分式的值为正：满足分式的分子与分母同号， 即⎩⎨⎧>>⇔>000B A B A 或⎩⎨⎧⋅

<<00B A (5)分式的值为负：满足分式的分子与分母异号． 即

⎩⎨⎧<>⇔<000B A B A 或⎩⎨⎧⋅><00B A 5.分式的基本性质

分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，

即：).0(,=/÷÷==m m

b m a b a bm am b a 注：①在运用分式的基本性质时，前提条件是m≠0；

②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的整式；

6．约分

(1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

(2)步骤：

①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去；

②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去．

(3)公因式的确定：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母中的相同字母，指数取次数低的，即为它们的公因式．

7.最简分式

一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．约分时，一般将一个分式化为最简分式．

8．通分

(1)概念：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分．

(2)步骤

①求出所有分式分母的最简公分母；

②将所有分式的分母变为最简公分母．同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子．

(3)最简公分母的确定：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积． 本节重点讲解：四个定义，一个性质，一种求值，一个条件．

三、全能突破

基 础 演 练

1．在x

x x y x y y x x --+2,4,,3,0,3π中，是整式的有 ；是分式的有

2．当x 时，分式

53+x 有意义；当x 的值为 时，分式53+x 的值为1．

3．如果分式x

x x 55||2+-的值为O ，那么x 的值是( )． 0.A 5.B 5.-C 5.±D

4． (1)分式

2)1(2⋅+-x x 的值为正数的条件是( )． 2.x D

(2)使分式

5

2762+-x x 的值是负数的x 的取值范围是( )． 76.x B 0.

5．(1)把分式y

x y x -+22中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值( )． A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍

(2)把分式xy

y x 22

2+中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值( ). A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍

(3)不改变分式y x y x +-

32252的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是( )． y x y x A +-4152. y x y x B 3254.+- y x y x C 24156.+- y

x y x D 641512.+-

6．下列各式中正确的是( )．

b a b a b a b a A --+=--+-. b a b a b a b a B +--=+--. b a b a b a b a C -+=+---. a b b a b a b a D --=++- .

7．下列分式中，最简分式有( )．

,22,11,,,32

22

2222222223b ab a b ab a m m n m n m y x y x x a --+--+-++- A.2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

8．将下列分式约分：

362

3121824)1(x a y x a 9

69)2(22+--x x x 122212)2()()2()()3(------m n m n a b b a b a a b

9．将下列式子进行通分：

c b a ab 2235221)1(和 232)2(x b xy a 和 2

2823)3(bc a ab c 和 1111)4(+-y y 和 能 力 提 升

10.下列说法正确的是( )．

x

A 13.+

不是分式 B ．无论x 取何值，分式1

32+x x 总有意义 C ．分式4

352--x x 的值可以等于零 π+21.D 是分式