第一节 分式的基本概念与性质-学而思培优

第一节分式的基本概念与性质
一、课标导航
二、核心纲要
1.分式概念
一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母(B≠O)，那么式子B
A 叫做分式， 注：在理解分式的概念时，注意以下四点
(1)分式的分母中必须含有字母；
(2)分式的分母的值不为O ；
(3)分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开；
(4)判断分式时需要看最初形式．
2．有理式
整式与分式统称为有理式．
3．分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为O ，故分式有意义的条件是分母不为O ；
当分母为0时，分式无意义．
4．分式的值
(1)分式的值为零：必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 即00=⇔=A B
A 且.0=/
B (2)分式的值为1：满足分式的分子与分母相等，且分式的分母不能为零， 即.01=/=⇔=B A B
A (3)分式的值为-1：满足分式的分子与分母互为相反数，且分式的分母不能为零. 即
.01=/-=⇔=B A B A (4)分式的值为正：满足分式的分子与分母同号， 即⎩⎨⎧>>⇔>000B A B A 或⎩⎨⎧⋅
<<00B A (5)分式的值为负：满足分式的分子与分母异号． 即
⎩⎨⎧<>⇔<000B A B A 或⎩⎨⎧⋅><00B A 5.分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，
即：).0(,=/÷÷==m m
b m a b a bm am b a 注：①在运用分式的基本性质时，前提条件是m≠0；
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的整式；
6．约分
(1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
(2)步骤：
①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去；
②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去．
(3)公因式的确定：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母中的相同字母，指数取次数低的，即为它们的公因式．
7.最简分式
一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．约分时，一般将一个分式化为最简分式．
8．通分
(1)概念：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分．
(2)步骤
①求出所有分式分母的最简公分母；
②将所有分式的分母变为最简公分母．同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子．
(3)最简公分母的确定：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积． 本节重点讲解：四个定义，一个性质，一种求值，一个条件．
三、全能突破
基 础 演 练
1．在x
x x y x y y x x --+2,4,,3,0,3π中，是整式的有 ；是分式的有
2．当x 时，分式
53+x 有意义；当x 的值为 时，分式53+x 的值为1．
3．如果分式x
x x 55||2+-的值为O ，那么x 的值是( )． 0.A 5.B 5.-C 5.±D
4． (1)分式
2)1(2⋅+-x x 的值为正数的条件是( )． 2.<x A 12.-=/<x x B 且 21.<<-x C 2.>x D
(2)使分式
5
2762+-x x 的值是负数的x 的取值范围是( )． 76.<x A 76.>x B 0.<x C D ．不能确定
5．(1)把分式y
x y x -+22中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值( )． A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍
(2)把分式xy
y x 22
2+中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值( ). A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍
(3)不改变分式y x y x +-
32252的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是( )． y x y x A +-4152. y x y x B 3254.+- y x y x C 24156.+- y
x y x D 641512.+-
6．下列各式中正确的是( )．
b a b a b a b a A --+=--+-. b a b a b a b a B +--=+--. b a b a b a b a C -+=+---. a b b a b a b a D --=++- .
7．下列分式中，最简分式有( )．
,22,11,,,32
22
2222222223b ab a b ab a m m n m n m y x y x x a --+--+-++- A.2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
8．将下列分式约分：
362
3121824)1(x a y x a 9
69)2(22+--x x x 122212)2()()2()()3(------m n m n a b b a b a a b
9．将下列式子进行通分：
c b a ab 2235221)1(和 232)2(x b xy a 和 2
2823)3(bc a ab c 和 1111)4(+-y y 和 能 力 提 升
10.下列说法正确的是( )．
x
A 13.+
不是分式 B ．无论x 取何值，分式1
32+x x 总有意义 C ．分式4
352--x x 的值可以等于零 π+21.D 是分式
11．已知当2-=x 时，分式b
x a x --无意义，当4=x 时，此分式的值为0，则b a +的值等于( )． 6.-A 2.-B 6.C 2.D
12．下列结论：①无论a 取何值，12+a a 都有意义；1-=a ②时，分式1
12-+a a 的值为O ；③若112++x x 的值为负，则x 的取值范围是;1-<x ④若x
x x x 121+÷++有意义，则x 的取值范围是,02=/--=/x H x 其中正确的是( )．
A ．①③④
B ．①②③
C ．①③
D ．①④
13.若1
3+a 表示一个整数，则整数a 的值可以取( )． A.l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
14．下列各式计算正确的是( )．
11.--=b a b a A ab b a b B 2.= )0(.=/=⋅a ma na m n C a
m a n m n D ++=.
15．化简2
293m m m --的结果是( )． 3.
+m m A 3.+-m m B 3.-m m C m
m D -3. 16．已知,563C a c b b a +=+=+则c
a b +的值为( )． 73.A 57.B 52.c 7
6.D 17．已知式子
,1||)1)(8(-+-x x x 当x 时，分式无意义，当x 时，分式的值为0．
18．当分式1
2-+x x 与分式12322-+x x x 的值相等时，x 须满足
19．若分式m
x x x ++422不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围为
20.有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点．甲：分式的值不可能为O ；乙：分式有意义时，x 的
取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出一个满足上述全部特点的分式：
21.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ,3236,2125,
1216,59中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的
大门，请你尝试用含n 的式子表示巴尔末公式
22.已知m m m m y ,2
2.2---=取哪些值时： (l)y 的值是正数．(2)y 的值是负数．(3)y 的值是零. (4)分式无意义．
中 考 链 接
23．（2012．湖州）要使分式x
1有意义，x 的取值范围满足( )． 0.=x A 0.=/x B 0.>x C 0.<x D
24.（2010．聊城）使分式1
212-+x x 无意义的x 的值是( )． 21.-=x A 21.=x B 21.-=/x C 2
1.=/x D
25.（河北）观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：
(1)写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示．
(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．
巅 峰 突 破
26.要使分式a
a a a 3511442++--+没有意义，则a 的值为
27．若分式,0)
4)(3|(|162=+--x x x 则=x 28．化简⋅++-+++n
n n n
n x x x x x 164824232。