三角形的证明讲义

小巨人学科教师辅导讲义

D C B A F E

121、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为 ____ 。

2、如图在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥AC ，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B 的度数。

3、如图，已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。求证：AD = BC 。

4、如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠

C = 29°，求∠A 。

5.如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，且DE ⊥AB ，DF ⊥

AC 。

求证：∠1 =∠2。 总结一下：

1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）；

2、推论（三线合一）： 第二篇章

1、 如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ，且BE = CE ，延长AE ，交BC 边于点D 。求证：AD ⊥BC 。

2、已知：如图，点D,E 在三角形ABC 的边BC 上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE

3、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C,求证：AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明）

归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角对等边”）

推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边)

2、反证法证明问题的一般步骤： 从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 __ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 __ 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 ____ 。

1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

2.如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。 321A

B C D A B C D E F D C

B A C

B A E

A B C

D

D C B

A E A

B

N C 3.如图，在ABC ∆中，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，DE ∥BC 。

求证：△EBD 是等腰三角形。

4、如图，一艘船从A 处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到

达B 处。分别从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°。求 B 处到灯塔C 的距离。 5、已知：如图，在三角形ABC 中，AB=AC,D 是AB 上的一点，E 是AC 延长线上的一点且DB=CE,DE 交BC 于M.求证：MD=ME.

6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。 回顾课本

1、三条边都_______的三角形是等边三角形 。

2、三个_____都相等的三角形是等边三角形 。

3、有一个角等于_____°的等腰三角形是等边三角形。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的________。

5、直角三角形：有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。

6、勾股定理的逆定理：∵AB 2+AC 2=BC 2，，∴∠___=90°（△ABC 是直角三角形）

7、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________。

8、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却______是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________。

9.斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。（“斜边、直角边”或“__”）

1.已知：如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =4，BC =3，DB =5

9。 （1）求DC 的长；（2）求AD 的长；（3）求AB 的长；（4）求证：△ABC 是直角三角形.

2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB ＝90°，AC ＝80

米，BC ＝60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

3、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

（1）如果ab=0,那么a=0,b=0；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角；

4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。

（1）如果y x >，则22y x > （2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等

1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的两边分别为13和 5，则另一条边为 。如果三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是 三角形。

2、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，求：AD

3.如图，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BD = CD 。

求证：EB = FC 。

线段的垂直平分线

线段的垂直平分线：垂直且______一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。

定理：到一条线段两个端点距离__________的点，在这条线段的____________线上。 推理格式：∵AB = AC ，∴____点在线段BC 的 __。

定理：线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。

推理格式:∵PC ⊥AB ，AC=____(点P 在线段AB 的垂直平分线MN 上),

∴ =PB

教材精读

5、已知：如图，在△ABC 中，设AB 、BC 的垂直平分线相交于点P ，

求证：AB ，BC ，AC 的垂直平分线相交于点P ，且AP=BP=CP 。

证明：连接AP 、BP 、CP ，

∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，