第04讲 三角函数的图像和性质

三角函数的图象和性质

主讲教师：苏怀堂

【知识概述】

1.正弦函数和余弦函数的图象

2.“五点”作图法

在要求不太高的情况下，可用“五点法”作出sin ([0,2])y x x π=∈的图象，图象上有五点起

决定作用，它们是3(0,0),,1,(,0),,1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，描出这五点后，其图象的形状基本就确定了

3(0,1),,0,(,1),,0,(2,1)22ππππ⎛⎫⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

这五点描出后，余弦函数cos ([0,2])y x x π=∈的图

象的形状也就基本确定了

因此，在精确度要求不高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法

3.正弦函数和余弦函数的性质 (1)周期性

sin ()22sin()(0,0)cos ()22cos()(0,0)y x x y A x A y x x y A x A ωϕωωωϕωω

=∈π

π

=+>>=∈π

π

=+>>R R 的最小正周期是的最小正周期是的最小正周期是的最小正周期是

(2)奇偶性

sin cos y x y x ==是奇函数，图像关于原点对称是偶函数，图像关于y 轴对称

(3)对称性

sin (,0)(),()

2

cos (,0)(),()

2

y x k k Z x k k Z y x k k Z x k k Z π

πππ

ππ=∈=+∈=+

∈=∈的对称中心对称轴方程的对称中心对称轴方程

正弦函数当且仅当2()2

x k k Z π

π=+∈时取得最大值1；

当且仅当2()2

x k k Z π

π=-+∈时

取得最小值-1

余弦函数当且仅当2()x k k Z π=∈时取得最大值1；当且仅当2()x k k Z ππ=+∈时取得最小值-1

4.正切函数的性质 (1)周期性

tan tan()(0,0)y x y A x A π

πωϕωω

==+>>的最小正周期为最小正周期为

(2)奇偶性

tan y x =是奇函数

(3)单调性

tan ,

()22y x k k k Z ππππ⎛⎫

=-++∈ ⎪⎝⎭

在区间内都是增函数

(4)值域

正切函数的值域是实数集R 5.正切函数的图象

利用正切线及正切函数的周期性，可得到正切函数tan y x =(,,)2

x R x k k Z π

π∈≠+∈的

图象，即正切曲线

【学前诊断】

1. [难度] 中

下列不等式中正确的是( )

54A.sin πsin π

77> 15πB.cos πcos 87⎛⎫>- ⎪⎝⎭ ππC.sin sin 56⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

34D.sin πsin π59⎛⎫⎛⎫

-<- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

2. [难度] 易

函数1

π2sin ()2

6y x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 的周期是_____.

3. [难度] 中

求函数π

πtan 2

3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间.

【经典例题】

例1. 用“五点法”画函数[]1sin (0,2π)y x x =-+∈的简图.

例2． 求下列函数的周期

（1）()cos 2f x x = （2）π()2sin 36x f x ⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

例3． 求下列函数的单调递减区间 （1）π3cos 23y x ⎛

⎫=+

⎪⎝

⎭ （2）π2sin 33y x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

例4． 已知函数cos y a b x =-的最大值是

32， 最小值是1

2

-，求函数4sin y b ax =- 的最大值、最小值及周期

例5. π()tan 23x f x ⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

设函数 （1）求函数()f x 的定义域、周期和单调区间；

（2）求不等式1()f x -≤≤

（3）作出函数()y f x =在一个周期内的简图.

【本课总结】

1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的图像的程序是： ① 确定五个关键点，即波峰、波谷、三个平衡点；

② 列表，将上述五个关键点列成表格的形式，求出对应函数的函数值； ③ 描点，在平面直角坐标系中，描出上述五个关键点；

④ 连线，用光滑曲线连接上述五点，注意连线时，必须具有正弦曲线(或余弦曲线)的特征；

⑤ 平移，将所作的[0,2]π的图像平行移动便得到所求作的函数图象.

2.一般的，函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+(其中,,A ωϕ为常数，0,0A ω≠>)

的最小正周期2T π

ω

=

，tan()(0,0)y A x A π

ωϕωω

=+>>最小正周期为

. 3.求函数sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的单调区间时，要注意A ω与均为正数，不是时则应用诱导公式把它转为正数， 再应用正、余弦函数的单调性求解.

4.对形如()tan (,)y x ωϕωϕ=+为非零常数的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质和图像为基础，运用整体思想和换元法求解.如果0ω<,一般先利用诱导公式将它的系数化为正数，再进行求解.

【活学活用】

1. [难度] 易

当ππ22x -

≤≤时，函数π()2sin 3f x x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭有( )

A.最大值为1，最小值为-1

B.最大值为1，最小值为-2

C.最大值为2，最小值为-2

D.最大值为2，最小值为-1

2. [难度] 中

函数2

2sin 2cos 3y x x =+-的最大值是_________

3. [难度] 中

求函数1

πsin ([2π,2π])2

3y x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间.