量子信息导论第二章作业
量子信息导论作业1
量子信息导论第一章作业（*标记者为选做题）1：计算二元对称信道的信道容量。
2：{}{}变换。
，试构造出该＝，使得，则存在幺正变换、态中存在两组正交归一化空间U ~U U ~ii i i ψψψψH 3：{}{变换。
，并构造出该＝，使得请证明，则存在＝，有，它们满足：、中存在两组归一化态空间U ~U U ~~j i, ~ii j i j i i i ψψψψψψψψ∀H 4：对两比特态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B A B B A 121023121123021021φ i)求约化密度矩阵B A ρρ,；ii)求φ的Schmidt 分解形式。
5：对三粒子系统纯态ABC φ，在空间C B A H H H ⊗⊗中是否存在C B A H H H ,,中的正交基{}{}{}C B A i i i ,,，使得C B A ii ABC i i i p ⊗⊗=∑φ一定成立?给出理由。
6：设ψ为量子比特态，在Bloch 球面上均匀随机分布。
i) 随机地猜想一个态φ，求猜测态相对于ψ的平均保真度>=<2ψφF 。
ii) 对此量子态做正交测量{}I P P P P =+↓↑↓↑,,。
测量后系统被制备到：ψψψψρ↓↓↑↑+=P P P P ，求ρ与原来的态ψ的平均保真度。
（>=<ψρψF ）7：123021,123021,0321--=+-==ψψψ。
现令i i i F ψψ32=，则{}3,2,1=a a F 构成二维空间中的POVM 。
现引入一个辅助的qubit ，试在扩展空间中实施一个正交测量，从而实现此POVM 。
8*：证明超算符仅在幺正条件下才是可逆的。
9：证明()011021-=-ψ在()()n U n U ,,ϑϑ⊗下是不变的。
10*：证明 ()()()()BC AC B A S S S S ρρρρ+≤+。
11：考虑2－qubit 系统--+⊗=ψψρ2181I I AB ，分别沿m n ,方向测A,B 粒子的自旋。
量子力学导论作业答案-第02章
[
] ]
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) − (∇ψ 2 ) ⋅ (∇ψ 1* ) + (∇ψ 1* ) ⋅ (∇ψ 2 ) ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 )
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
]
=−
即
2m ∫
2
(ψ
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) ⋅ dS = 0 ， （无穷远边界面上，ψ 1 ,ψ 2 → 0 ）
（1）
（2）
取（1）之复共轭：
−i
（3）
4
似水骄阳
ψ 2 × （3） − ψ 1* × （2）,得
对全空间积分：
−i
2 ∂ * ( ψ 1ψ 2 ) = − ( ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 ) ∂t 2m
−i
2 d 3 * ( ) ( ) d r ψ r t ψ r t = − d 3 r ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 , , 1 2 ∫ ∫ dt 2m
T=
2m ∫
2
d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ
2
（3）
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
ω=
2m
∇ψ * ⋅∇ψ + ψ *Vψ ,
（4）
且能量平均值
E = ∫ d 3r ⋅ω 。
（b）由（4）式，得
⎤ 2 ⎡ ∂ω ⎢∇ ∂ψ ∗⋅∇ψ + ∇ψ * ⋅∇ ∂ψ ⎥ + ∂ψ ∗ Vψ + ψ *V ∂ψ = ∂t 2m ⎢ ∂t ∂t ⎥ ∂t ∂t ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 2 ⎡ ∂ψ ∗ ∂ψ ∂ψ 2 * ⎟ ⎥ ∂ψ ∗ ∂ψ * ⎟ ⎜ ∂ψ ∗ 2 ⎢ ⎜ Vψ + ψ *V = ∇⋅ ∇ψ + ∇ψ − ∇ψ + ∇ψ + ⎟ ⎜ ∂t ⎟⎥ 2m ⎢ ⎜ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝
量子信息导论作业
量子信息导论第二章作业1：Alice 和Bob 选择B92方案来建立量子密钥序列。
Alice 选择两种态：01=ψ，=2ψ )10(2/1+，分别以1/2的概率发送给Bob ，Bob 分别以1/2的几率选择基{}10和基)}10(2/110(2/1{-+对收到的态进行正交测量。
(1) 请论述Alice 和Bob 将遵从怎样的经典通信协议来建立密钥；(2)假定存在一个窃听者，该窃听者试图以概率克隆的方式对该密钥建立过程进行攻击。
则下列的几组克隆概率中，哪几组在理论上是可能的（括号中第一个数表示成功地克隆出1ψ的概率，第二个数表示成功地克隆出2ψ的概率）。
并给出证明。
,222,222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1，0.1），(0.5，0.5)，（0.7，0.7），（0.9，0.9）。
（3）窃听者如果克隆失败，他会随机发送1ψ或2ψ给Bob （分别以1/2的几率）。
如窃听者选择以上几组中最优的克隆方案进行攻击，则作为Alice 和Bob ，他们至少要公开对照多少组数据，均检验无误，才能确保该密钥的安全性达到99%以上？2：给出高维空间量子teleportation 的数学证明。
3：混合纠缠态()()14I I λρλλψψ--=-+⊗a) 求标准teleportation 的保真度，并且，当λ达到多少时，保真度将优于经典极限？ （所谓经典极限是指：A 方随机选择一组测量基进行测量，并将测量结果通过经典 信道通知B ，B 根据A 的测量结果进行态制备。
）b) 计算()()()()()()Pr ()A A ob n m Tr E n E m ρλ↑↑=r r r r()E n r 是Alice 的比特投影到()n ↑r 上的投影子。
量子信息技术-第二章
1
12
1 00 11 2
23
1 00 2
0 3 01 12 1 3 10
12
0 3 11 12 1 3
123
1 00 2
12
0 3 01 12 1 3 10
12
0 3 11 12 1 3
紧接着送信者A 将自己拥有的2个qubit用2 qubit态矢空间 的基底 00 , 01 , 10 , 11 进行测量。
第二章 量子通信
一、量子态的不可克隆定理(Non-Cloning theorem)
1.量子态的不可克隆定理
由于量子力学的态叠加原理，量子系统的任意未知量 子态，不可能在不遭破坏的前提下，以确定成功的概率被 克隆到另一量子体系上。 证明1 假定存在理想克隆机，它的幺正变换为U。克隆机
的初态为 A S
3
0 1
3
利用Hadamard操作和Cnot操作重写teleportation 过程。第二题作业！
说明:
1) 此过程不违背不可克隆定理。A 处粒子1在测量后已不 处于原来状态。过程只是待传态转移(从1到3)，不是待传 态的复制。 2) 不存在信息的瞬间传递。B必须等候收听A测量的结果， 所以没有违背狭义相对论原理。 3) 也可以通过这样的方式来完成隐形传态：即送信者A 先对 自己的两个qubit进行Cnot操作，随后对载有待传态的qubit进 行Hadamard门操作。
如果此时在A与备制中心C之间，及B与备制中心C之间 已分别共同拥有相同的Bell状态。这种情况下使得A与B之间 间接地共同拥有Bell状态，称之为纠缠状态交换。
量子力学习题解答-第2章
第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。
首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）222.2d V E m dxψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。
能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）*()()m n mn x x dx ψψδ∞-∞=⎰或δ函数正交归一性（连续谱）'*'()()()q qx x dx q q ψψδ∞-∞=-⎰ 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数/(,)()niE t n n x t x eψ-ψ=定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。
对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为(,)(,)n n nx t c x t ψ=ψ∑系数n c 由初始波函数确定(,0)()n n nx c x ψψ=∑ ， *()(,0)n n c x x dx ψ∞-∞=ψ⎰由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性21nnc=∑对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2n c ，能量的期待值可由2n n nH c E =∑求出。
这种方法与用*ˆ(,)(,)H x t H x t dx∞-∞=ψψ⎰方法等价。
2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）0, 0(),x aV x<<⎧=⎨∞⎩其它地方能量本征函数和能量本征值为2222(), 0;1,2,3,...2nnn xx x a nanEmaπψπ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭=若0,(),a x aV x-<<⎧=⎨∞⎩其它地方则能量本征函数和能量本征值为2222()(), ;1,2,3,...22(2)nnnx x a a x a nanEm aπψπ⎛⎫=+-<<=⎪⎝⎭=1n=是基态（能量最低），2n=是第一激发态。
量子力学导论Chap2-2
在抽象线性矢量空间中矢量无长度，矢量间无角度。
描述
这是关于量子态的原理的基本内容，
是“粒子有波动性”这一事实的数学表
§2.3 Schrö dinger方程
1、Schrö dinger 方程的引进 经典力学认为质点同时具有精确位置和精确动量， 两种描述质点运动的方程： 1）牛顿力学框架下描述质点的动力学方程为 F＝m a 2）分析力学框架下描述质点的运动方程是拉格朗日 方程（从能量角度出发的方程，动能和势能）
有一集合S，满足如下条件： 设 a 1 和 a 2 均属于S， 则 b 1 a 1 2 a 2 也属于 S， 即：如果集合 S 中两元素的线性叠加仍然属于 S， 则 S 为一个 线性矢量空间。
如果 1 和 2 都是一个微观系统可能存在的状态，则
= 1 1 +2 2 也是这一系统的一个可能的状态。
( r , 0 )e
d r
3
(r , t )
1 ( 2 )
3
d r ' d pe
3
3
i [ p ( r r ' ) / Et / ]
( r ' ,0 )
可见， 初始时刻的 (r，0) 完全决定了以后任何时刻 的(r，t)。
j
j dS
s
定义为几率流密度矢量
定域几率守恒或粒子数守恒
平方可积，则当 r , ～ r -(3/2+s)，s > 0。
于是
i
t
*
{2 r
2
( ) d S
第二章习题解答
第 二 章 基 本 信 息 论
习题解答
2.3 试求： 试求： (1) 在一付标准扑克牌中抽出一张牌的平均信息量； 在一付标准扑克牌中抽出一张牌的平均信息量； (2) 若扑克仅按它的等级鉴定而不问花色，重复上述计算。 若扑克仅按它的等级鉴定而不问花色，重复上述计算。 解 (1) 每张牌不同，共有 54 种状态且等概， p = 1 / 54, 每张牌不同， 种状态且等概， 平均信息量为： 平均信息量为： I = log 54 = 5.7549 ( bit ); (2) 只按等级，共有 14 种状态，其状态空间为： 只按等级， 种状态，其状态空间为： X p(x) A 2 3 …… J Q K 王 2 54 4 4 4 4 4 4 …… 54 54 54 54 54 54
首先求联合概率： 首先求联合概率： p ( i j ) = p( i ) p( j / i ) p( i j ) A B C A 0 16 / 54 2 / 54 j B 36 / 135 16 / 54 4 / 135 C 9 / 135 0 2 / 270 7
i
第 二 章 基 本 信 息 论
习题解答
所提供的信息量分别为： 消息 xB和 xC 所提供的信息量分别为：
I ( x B ) = − log p( x B ) = − log 0.2 = 2.3219 (bit ); I ( xC ) = − log p( xC ) = − log 0.3 = 1.737 (bit ).
可见， 消息x 所提供的信息量大一些 大一些。 可见，消息 xB比消息 C 所提供的信息量大一些。 3
i
1 1 4 4 2 2 H ( x / y3 ) = − log − log − log = 1.3788 ; 7 7 7 7 7 7 H ( x / y4 ) = −(1 / 3) log(1 / 3) − ( 2 / 3) log( 2 / 3) = 0.9138 .
量子信息导论 量子计算部分详解
| α | 2 + | β | 2 = 1.
中国科学技术大学 陈凯
(Classical) Information
Information Technology
QuantumInfor mation
中国科学技术大学 陈凯
量子信息处理的概念和内涵
Shor算法
ã 计算步数 ã 利用经典THz计算机分解
300位的大数，需1024步， 150000年。 ã 利用Shor算法THz计算机， 只需1010步，1秒！ ã RSA将不再安全！
P. W. Shor
L. K. Grover
Grover搜寻算法
ã 如何在草堆中 找到一根针？
ã 经典搜寻：N 步 ã 量子搜寻：N1/2 步 ã 可破译DES密码：
The DARPA Quantum Network
中国科学技术大学 陈凯
NIST Quantum Communication Testbed
中国科学技术大学 陈凯
1 Mbit/s over 4km (2006年)
SECOQC QKD网络拓扑和分布
中国科学技术大学 陈凯
SECOQC QKD节点组成
新华社金融信息交易所
金融信息量子通信验证网(2012)
中国科学技术大学 陈凯
合肥城域量子通信试验示范网 (46个节点, 2012年)
美国量子信息国家战略 －－以LANL为例
鼓励交叉研究 理论与实验相结合
中国科学技术大学 陈凯
量子信息处理的物理实现
• Liquid-state NMR • NMR spin lattices • Linear ion-trap
量子计算与量子信息原理 第二卷
量子计算与量子信息原理第二卷一、引言随着科学技术的不断发展，量子计算和量子信息技术逐渐成为研究的热点。
量子理论的发展为计算和信息处理领域带来了全新的可能性和挑战。
而《量子计算与量子信息原理》第二卷正是针对这一领域的深入探讨和研究。
二、量子计算的基础原理1. 量子计算的基本概念量子计算是以量子理论为基础的一种全新的信息处理方法。
在量子计算中，信息以量子态的形式储存和处理，利用量子叠加和纠缠等特性进行计算操作，这使得量子计算具有比传统计算更强的计算能力和处理速度。
2. 量子位运算在量子计算中，量子位（qubit）是信息的基本单位。
与经典计算中的比特不同，量子位不仅可以处于0或1的叠加态，还可以利用量子纠缠来实现信息的同时处理和传输，为量子计算提供了更大的计算空间和灵活性。
3. 量子门操作量子门是用来改变量子位状态的操作，包括单量子门和多量子门操作。
单量子门可用于实现量子位的旋转和相位变换，而多量子门操作则可以实现量子态的纠缠和量子并行计算，是量子计算的重要基础。
三、量子信息的基础原理1. 量子通信量子通信是利用量子纠缠和量子隐形传态等量子特性进行信息传输和交换的一种全新通信方式。
量子通信具有绝对安全性和超高速度的特点，对信息传输安全和保密性有着重要意义。
2. 量子密钥分发量子密钥分发是基于量子纠缠的一种加密方法，可以实现安全的密钥分发和密钥认证。
与经典密钥分发方法相比，量子密钥分发具有抗窃听和攻击的能力，是未来信息安全领域的重要发展方向。
3. 量子信息处理量子信息处理是利用量子计算和量子通信等技术对信息进行处理和管理的一种新型信息处理方式。
通过量子计算和量子通信的结合，可以实现更高效的信息处理和传输，为信息技术的发展注入了新的动力。
四、量子计算与量子信息的应用前景1. 量子计算在密码学领域的应用量子计算可以对常用的非对称加密算法进行破解，从而对当前的信息安全体系造成冲击。
量子计算在密码学的研究和信息安全领域的应用具有重要意义，同时也提出了新的挑战。
信息论第二章答案汇总
2.3 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解： (1)bit x p x I x p i i i 170.4181log )(log )(18161616161)(=-=-==⨯+⨯=(2)bit x p x I x p i i i 170.5361log)(log )(3616161)(=-=-==⨯=(3)两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66共有21种组合：其中11，22，33，44，55，66的概率是3616161=⨯ 其他15个组合的概率是18161612=⨯⨯symbol bit x p x p X H ii i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-=-=∑(4)参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：symbolbit x p x p X H X P X ii i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 3612 )(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑(5)bit x p x I x p i i i 710.13611log)(log )(3611116161)(=-=-==⨯⨯=2-42.6 掷两颗骰子，当其向上的面的小圆点之和是3时，该消息包含的信息量是多少？当小圆点之和是7时，该消息所包含的信息量又是多少？ 解：1）因圆点之和为3的概率1()(1,2)(2,1)18p x p p =+=该消息自信息量()log ()log18 4.170I x p x bit =-== 2）因圆点之和为7的概率1()(1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3)6p x p p p p p p =+++++=该消息自信息量()log ()log6 2.585I x p x bit =-==2.7 设有一离散无记忆信源，其概率空间为123401233/81/41/41/8X x x x x P ====⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求每个符号的自信息量（2）信源发出一消息符号序列为{202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210}，求该序列的自信息量和平均每个符号携带的信息量 解：122118()log log 1.415()3I x bit p x === 同理可以求得233()2,()2,()3I x bit I x bit I x bit ===因为信源无记忆，所以此消息序列的信息量就等于该序列中各个符号的信息量之和 就有：123414()13()12()6()87.81I I x I x I x I x bit =+++= 平均每个符号携带的信息量为87.811.9545=bit/符号 2-9 “－” 用三个脉冲 “●”用一个脉冲(1) I(●)=Log 4()2= I(－)＝Log 43⎛ ⎝⎫⎪⎭0.415=(2) H= 14Log 4()34Log 43⎛⎝⎫⎪⎭+0.811=2-10(2) P(黑/黑)= P(白/黑)=H(Y/黑)=(3) P(黑/白)= P(白/白)=H(Y/白)=(4) P(黑)= P(白)=H(Y)=2.11 有一个可以旋转的圆盘，盘面上被均匀的分成38份，用1，…，38的数字标示，其中有两份涂绿色，18份涂红色，18份涂黑色，圆盘停转后，盘面上的指针指向某一数字和颜色。
信息论与编码第二章习题及答案(清华大学出版社)
2-1、一阶马尔可夫链信源有3个符号{}123,,u u u ，转移概率为：1112()u p u=，2112()u p u =，31()0u p u =，1213()u p u = ，22()0u p u =，3223()u p u =，1313()u p u =，2323()u p u =，33()0u p u =。
画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：由题可得状态概率矩阵为：1/21/20[(|)]1/302/31/32/30j i p s s ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦状态转换图为：12S112 13 13S2 23 S3 令各状态的稳态分布概率为1W ，2W ，3W ，则： 1W =121W +132W +133W ， 2W=121W +233W , 3W =232W 且：1W +2W +3W =1∴稳态分布概率为：1W =25，2W =925，3W = 6252-2.由符号集｛０，１｝组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：P(0|00)=0.8,P(0|11)=0.2,P(1|00)=0.2,P(1|11)=0.8,P(0|01)=0.5,p(0|10)=0.5,p(1|01)=0.5,p(1|10)=0.5画出状态图，并计算各符号稳态概率。
解：状态转移概率矩阵为：0.8 0.2 0 00 0 0.5 0.5()0.5 0.5 0 00 0 0.2 0.8j i p s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令各状态的稳态分布概率为1w 、2w 、3w 、4w ，利用（2-1-17）可得方程组。
1111221331441132112222332442133113223333443244114224334444240.80.50.20.50.50.20.50.8w w p w p w p w p w w w w p w p w p w p w w w w p w p w p w p w w w w p w p w p w p w w =+++=+⎧⎪=+++=+⎪⎨=+++=+⎪⎪=+++=+⎩ 且12341w w w w +++=；解方程组得：12345141717514w w w w ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩ 即：5(00)141(01)71(10)75(11)14p p p p ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩2-3、同时掷两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都是16，求：（1）、“3和5同时出现”事件的自信息量；（2）、“两个1同时出现”事件的自信息量； （3）、两个点数的各种组合的熵或平均信息量； （4）、两个点数之和的熵； （5）、两个点数中至少有一个是1的自信息量。
量子力学——第二章作业参考答案
+
∂ψ * Vψ ∂t
=
2⎛
2m
⎜ ⎝
∂ψ ∂t
∇2ψ *
+
∂ψ * ∂t
∇2ψ
⎞ ⎟
，
⎠
将（5）式代入（2）式得
∂ω ∂t
=
∇i⎡⎢ ⎣
2
2m
⎛ ⎜ ⎝
∂ψ ∂t
∇2ψ
*
+
∂ψ * ∂t
∇2ψ
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
，
（5）
引入能流密度 s
=
−
2 ⎛ ∂ψ
2m
⎜ ⎝
∂t
∇2ψ *
+
∂ψ * ∂t
∇2ψ
⎞ ⎟
ψ
+ψ *Vψ
⎞ ⎟，
⎝ 2m
⎠
动量算符 Pˆ = −i ∇ 是厄米算符，有
( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ d 3rψ *Pˆ 2ψ = d 3rψ *Pˆ Pˆψ = d 3r Pˆψ * Pˆψ = d 3r 2∇ψ *i∇ψ ，从而
得到能量平均值
∫ < E >=
d 3r
⎛ ⎜ ⎝
2
2m
∇ψ
* i∇ψ
ψ ( x,t) =
1 2π
∫∞ ϕ −∞
(
p
')
exp
⎡ ⎢
⎣
i
⎛ ⎜ ⎝
p'
x
−
p '2 2m
t
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
dp '
∫ = 1
2π
∞
δ
−∞
(
p
−
p
') exp
⎡ ⎢ ⎣
量子力学导论-2
例题1
设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝。 试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。
解 ： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定
量 x。 由于 px mx
根据不确定性关系得
1.051034 J s
x 2mx 20.01kg0.5102 m
Steven Chu (朱棣文)
Stanford University USA
C. Cohen-Tannoudji
Ecole Normale Superieure & College de France France
Williams Phillips
National Institute of Standards & Technology USA
数百个电子
同一个电子重复许多次相同实验表现 出的统计结果，是自己与自己干涉
数万个电子
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率小 电电子子数数N=N7132=070000000
出现概率大
哥本哈根思想三大核心之一：概率= 2
哥本哈根描述：单个电子从电子枪出发后，到底如何运动 的？只有用波的形式描述才能精确的解释干涉条纹！在没 有被我们试图观测的时候，电子以一种我们无法描述也无 法观测的方式运动，同时穿过双缝，自己和自己干涉，在 波长差满足整数关系的地方，落点变成电子的概率比较高， 波函数“坍缩”，波动性消失，成为一个观测屏幕上的光 点！波长差满足半波长奇数倍的地方，波函数接近0，电子 到达此处的概率少！ 哥本哈根描述：一旦我们试图观测这个过程，电子就不会 以一种我们无法描述也无法观测的方式运动，同时穿过双 缝自己和自己干涉，而是立刻波函数“坍缩”，电子波动 性消失，只能通过一条缝隙，不再发生干涉现象！
信息论第二章课件及习题答案
2013-8-1
2
§2.1 离散型随机变量的非平 均信息量（事件的信息量）
（本章将给出各种信息量的定义和 它们的性质。）
I ( xk ; y j )
loga rkj qk w j
定义2.1.1(非平均互信息量) 给定 一个二维离散型随机变量 {(X, Y), (xk, yj), rkj, k=1~K; j=1~J} （因此就给定了两个离散型随机 变量 {X, xk, qk, k=1~K}和{Y, yj, wj, j=1~J}）。 事件xk∈X与事件yj∈Y的互信息 量定义为I(xk; yj)
2013-8-1
3
§2.1 离散型随机变量的非平 均信息量（事件的信息量）
（本章将给出各种信息量的定义和 它们的性质。）
I ( xk ; y j )
loga loga rkj qk w j P(( X , Y ) ( xk , y j )) P( X xk ) P(Y y j )
2013-8-1 17
图2.2.1
H(X) 1.0
0.5
0
2013-8-1
0.5
1
P
18
§2.2 离散型随机变量的平均 自信息量（熵）
定义2.2.2(条件熵) 给定一个二维离散型 随机变量 {(X, Y), (xk, yj), rkj, k=1~K; j=1~J}。
称如下定义的H(X|Y) 为X相对于Y的条件 熵。
2013-8-1 13
§2.1 离散型随机变量的非平 均信息量（事件的信息量）
小结 非平均互信息量I(xk; yj)。 非平均自信息量h(xk)，h(yj)。 条件的非平均自信息量h(xk|yj)， h(yj|xk)。 联合的非平均自信息量h(xk, yj)。 相互关系： I(xk; yj)≤min{h(xk)，h(yj)}。 h(xk|yj)=h(xk)-I(xk; yj) 。 h(xk, yj)=h(yj)+h(xk|yj)=h(xk)+h(yj|xk)。 h(xk, yj)=h(xk)+h(yj)-I(xk; yj)。
量子信息导论作业
量子信息导论第一章作业（*标记者为选做题）1：计算二元对称信道的信道容量。
2：{}{}变换。
，试构造出该＝，使得，则存在幺正变换、态中存在两组正交归一化空间U ~U U ~ii i i ψψψψH 3：{}{变换。
，并构造出该＝，使得请证明，则存在＝，有，它们满足：、中存在两组归一化态空间U ~U U ~~j i, ~ii j i j i i i ψψψψψψψψ∀H 4：对两比特态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B A B B A 121023121123021021φ i)求约化密度矩阵B A ρρ,；ii)求φ的Schmidt 分解形式。
5：对三粒子系统纯态ABC φ，在空间C B A H H H ⊗⊗中是否存在C B A H H H ,,中的正交基{}{}{}C B A i i i ,,，使得C B A ii ABC i i i p ⊗⊗=∑φ一定成立?给出理由。
6：设ψ为量子比特态，在Bloch 球面上均匀随机分布。
i) 随机地猜想一个态φ，求猜测态相对于ψ的平均保真度>=<2ψφF 。
ii) 对此量子态做正交测量{}I P P P P =+↓↑↓↑,,。
测量后系统被制备到：ψψψψρ↓↓↑↑+=P P P P ，求ρ与原来的态ψ的平均保真度。
（>=<ψρψF ）7：123021,123021,0321--=+-==ψψψ。
现令i i i F ψψ32=，则{}3,2,1=a a F 构成二维空间中的POVM 。
现引入一个辅助的qubit ，试在扩展空间中实施一个正交测量，从而实现此POVM 。
8*：证明超算符仅在幺正条件下才是可逆的。
9：证明()011021-=-ψ在()()n U n U ,,ϑϑ⊗下是不变的。
10*：证明 ()()()()BC AC B A S S S S ρρρρ+≤+。
11：考虑2－qubit 系统--+⊗=ψψρ2181I I AB ，分别沿m n ,方向测A,B 粒子的自旋。
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量子信息导论第二章作业
1：Alice 和Bob 选择B92方案来建立量子密钥序列。
Alice 选择两种态：01=ψ，=2ψ )10(2/1+，分别以1/2的概率发送给Bob ，Bob 分别以1/2的几率选择基{}10和基)}10(2/1),10(2/1{-+对收到的态进行正交测量。
(1) 请论述Alice 和Bob 将遵从怎样的经典通信协议来建立密钥；
(2)假定存在一个窃听者，该窃听者试图以概率克隆的方式对该密钥建立过程进行攻击。
则下列的几组克隆概率中，哪几组在理论上是可能的（括号中第一个数表示成功地克隆出1ψ的概率，第二个数表示成功地克隆出2ψ的概率）。
并给出证明。
,222,222⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--（1，0.1）
，(0.5，0.5)，（0.7，0.7），（0.9，0.9）。
（3）窃听者如果克隆失败，他会随机发送1ψ或2ψ给Bob （分别以1/2的几率）。
如窃听者选择以上几组中最优的克隆方案进行攻击，则作为Alice 和Bob ，他们至少要公开对照多少组数据，均检验无误，才能确保该密钥的安全性达到99%以上？
2：给出高维空间量子teleportation 的数学证明。
3：混合纠缠态()()14I I λ
ρλλψψ--=-+⊗
a) 求标准teleportation 的保真度，并且，当λ达到多少时，保真度将优于经典极限？ （所谓经典极限是指：A 方随机选择一组测量基进行测量，并将测量结果通过经典 信道通知B ，B 根据A 的测量结果进行态制备。
）
b) 计算()()()()()()Pr ()A A ob n m Tr E n E m ρλ↑↑=
()E n 是Alice 的比特投影到()n ↑上的投影子。