精彩编辑题11压杆稳定

压杆稳定

1. 图示结构，AB 为刚性杆，其它杆均为直径10 mm d =的细长圆杆，弹性模量200 GPa E =, 屈服极限s 360 MPa σ=，试求此结构的破坏载荷F 值。

解：1

2.37 m, sin 26

H α⎛⎫== ⎪⎝⎭,

0.169()Cy Dy F F F =-=↓,

N1N4N2N30.507F F F F F ==-=-=

由杆1，4，N11s 0.507F F A σ==，s 155.8 kN 0.507

A

F σ=

=

由杆2，3，2N2cr 2π0.673 kN EI

F F l ===, cr 2 1.33 kN 0.507

F F ==

结构破坏载荷 1.33 kN F =

2. 图示桁架由5根圆截面杆组成。已知各杆直径均为30 mm d =， 1 m l =。各杆的弹性模量均为200 GPa E =，p 100λ=，061λ=，直线经验公式系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，许用应力[]160 MPa σ=，并规定稳定安全因数st []3n =，试求此结构的许可载荷[]F 。 解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为

N1N2N3N4N F F F F F =====

杆5受拉，其轴力为N5F F = 按杆5的强度条件：

N5

[], []113 kN F F A A

σσ≤≤= 按杆1，2，3，4的稳定条件 p 133λλ=> 由欧拉公式 cr 78.48 kN F =

cr

st N

[]F n F ≥ 37.1 kN F ≤ ， []37.1 kN F =

3. 钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长 2 m l =，横截面积220 cm A =，惯性矩440 cm z I =；钢的弹性模量s 200 GPa E =，铜的弹性模量c 100 GPa E =，钢的线膨胀系数6s 12.510α-=⨯℃-1，铜的线膨系数6c 16.510α-=⨯℃-1。

m

解：铜杆受压，轴力为Nc F ，钢杆受拉，轴力为Ns F ，Nc Ns N F F F ==

由协调条件 s c l l ∆=∆ 即 N N s c s c F l F l

tl tl E A E A

αα∆+=∆- N c s s c 11 ()F t A E E αα⎛⎫

∆=

+ ⎪-⎝⎭

铜杆为细长杆 2c cr 2π98.7 kN E I

F l

==

当 Nc cr F F =时失稳, 此时 185 C t ∆=

4. 图示矩形截面杆AC 与圆形截面杆CD 均用低碳钢制成，C ，D 两处均为球铰，材料的弹性模量200 GPa E =，强度极限b 400 MPa σ=，屈服极限s 240 MPa σ=，比例极限

p 200 MPa σ=，直线公式系数304 MPa a =, 1.118 MPa b =。p 100λ=，061λ=，强度安

全因数[] 2.0n =，稳定安全因数st [] 3.0n =，试确定结构的最大许可载荷F 。 解：(1) 由梁AC 的强度

2

max max

max 2, , []

36 97.2 kN

z z

M F bh M W W F σσ===≤≤得 (2) 由杆CD 的稳定性

cr

p cr N N 1200, 15.50 kN, ,

33

15.50 kN, []15.50 kN

CD CD F F F F F F F λλ=>==≥≤=

5. 图示两端固定的工字钢梁，横截面积22

6.1 cm A =，惯性矩41 130 cm z I =，493.1 cm y I =,长度 6 m l =，材料的弹性模量200 GPa E =，比例极限p 200 MPa σ=，屈服极限

s 240 MPa σ=，直线公式的系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，线膨胀系数712510/l α-=⨯℃，当工字钢的温度升高10t ∆=℃时，试求其工作安全因数。

解：p 158.799.3λλ=>=

由欧拉公式，可得临界应力cr 78.2 MPa σ=

温度应力 25 MPa l tE σα=∆= 工作安全因数 cr

st 3.13n σσ

=

=

6. 图示正方形平面桁架，杆AB ，BC ，CD ，DA 均为刚性杆。杆AC ，BD 为弹性圆杆，其直径20 mm d =，杆长550 mm l =；两杆材料也相同，比例极限p 200 MPa σ=, 屈服极限

s 240 MPa σ=，弹性模量200 GPa E =，直线公式系数304 MPa a =, 1.12 MPa b =，线膨

胀系数612.510/l α-=⨯℃，当只有杆AC 温度升高，其他杆温度均不变时，试求极限的温度改变量cr t ∆。

解：由平衡方程可得：N N N AC BD F F F == (压) 由变形协调方程，并注意到小变形， 有AC

BD ΔΔ

即 N N AC BD l F l F l

tl EA EA

α∆-=

又由 p 11099λλ=>=, 知2cr 2πEI

F l

=

令 N cr F F =, 得 22

cr 2

π130.58d t l α∆==℃

7. 图示结构，已知三根细长杆的弹性模量E ，杆长l ，横截面积A 及线膨胀系数α均相同。问：当升温t ∆为多大时，该结构将失稳。

解：由 N l F l

tl EA α∆=， 可得 N l F tEA α=∆

细长杆： 2cr 2π EI

F l =

当 N cr F F =时失稳 22πl EI

tEA l

α∆= 得 22πl I t Al α∆=

8. 图示结构ABC 为矩形截面杆，60 mm, 100 mm, 4 m b h l ===，BD 为圆截面杆，直径

60 mm d =，两杆材料均为低碳钢，弹性模量200 GPa E =, 比例极限p 200 MPa σ=,屈服

极限s 240 MPa σ=，直线经验公式为cr (304 1.12) MPa σλ=-，均布载荷 1 kN/m q =，稳定安全因数st []3n =。试校核杆BD 的稳定性。

解：(1) 由协调方程，Δcos45

BD

B l f =

得 3

4N cos 45(2)25(2)3844845

BD F l l q l EI EI - 解得 N 7.06 kN BD F = (2) 杆BD ：p 377100λλ=>= 由欧拉公式：cr 39 kN F = cr st st N 5.56[]BD

F

n n F ==>，安全。

B

D

A

C