高中数学必修4模块测试(期末复习)

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高中数学人教A版必修四模块综合检测(C) pdf版含答案

图象重合，则 ω 的最小值为( )
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 α、β 为锐角，且 a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当 a∥b 时，
α＋β＝________.
cos2α＋
3．A [∵|a|＝
4＝ 2 ，∴cos2α＝4.∴cos 2α＝2cos2α－1＝－2.]
4．B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2 3.]
5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
2
π
π
14．已知 cos4α－sin4α＝3，α∈(0，2)，则 cos(2α＋3)＝________.
15．若向量A→B＝(3，－1)，n＝(2,1)，且
n·A→C＝7，那么
B→C n· ＝________.
π
4
θ
16．若 θ∈[0，2]，且 sin θ＝5，则 tan 2＝________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
20．(12 分)已知 x∈R，向量O→A＝(acos2x,1)，O→B＝(2， 3asin 2x－a)，f(x)＝O→A·O→B，a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式，并求当 a>0 时，f(x)的单调增区间；
π (2)当 x∈[0，2]时，f(x)的最大值为 5，求 a 的值．

高中数学人教A版必修四期末考试综合检测(C)Word版含答案

期末考试模块综合检测 (C)
( 时间： 120 分钟满分： 150 分 )
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 )
1．若角 600 °的终边上有一点 (－ 4， a)，则 a 的值是 ( )
A．4 3
B．－ 4 3
43 C. 3
43 D ．－ 3
2．若向量 a＝ (3，m)， b＝(2，－ 1)， a·b＝ 0，则实数 m 的值为 ( )
16．若
π θ∈ [ 0， 2] ，且
4 sin θ＝5，则
tan
θ2＝ ________.
三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17． (10 分 ) 已知向量 a＝ (sin θ， 1)， b＝ (1， cos θ)，－ π2<θ<π2. (1)若 a⊥ b，求 θ； (2)求 |a＋ b|的最大值．
18．(12 分 )已知函数 f(x)＝sin( ωｘ＋ φ)(ω>0,0 ≤ φ≤ π为）偶函数，其图象上相邻的两个最高点之
间的距离为 2π．
(1)求 f( x)的解析式；
ππ
π1
5π
(2)若 α∈ (－ 3， 2)， f(α＋3)＝ 3，求 sin(2α＋ 3 )的值．
19． (12 分 ) 设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝ (2cos x,1)，b＝ (cos x， 3sin 2x)，x∈ R. (1)若函数 f(x)＝ 1－ 3，且 x∈ [ － π3，π3] ，求 x；
22． (12 分 ) 已知向量 a＝ (cos α， sin α)， b＝ (cos x， sin x)， c＝(sin x＋ 2sin α， cos x＋ 2cos α)，其中 0<α<x<π． (1)若 α＝ π4，求函数 f( x)＝ b·c 的最小值及相应 x 的值； (2)若 a 与 b 的夹角为 π3，且 a⊥c，求 tan 2α的值．

(完整版)高一数学必修4测试题及答案详解

BCCAB BDBDD BD(-2，-1) -6 -3 [-1，3] 根号2118解：（1）336tan )64tan()623tan(==+-=-ππππ……（4分）（2）原式=︒︒+︒︒=︒+︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(=42621222322+=⨯+⨯ ……（8分）19解：由已知有：３·2)cos(1B A +-＋2)cos(1B A -+＝２ ……（3分）∴－３cos(A ＋B)+cos(A －B)＝0,∴－３(cosAcosB －sinAsinB)+(cosAcosB ＋sinAsinB)＝0, ………（6分）∴cosAcosB ＝2sinAsinB, ∴tan ＡtanB=21…………（8分） 20解：设),(y x =，由题意得：⎩⎨⎧=--=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅)1,3()2,1(),(0)2.1(),(0λλy x y x ……（3分）)7,14(7142312=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=⇒y x y x yx λλ……（6分）)6,11(=-=……（8分）21解：（Ⅰ）)cos 23sin 21(2x x y +=＝)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +＝)3sin(2π+x……（2分）函数)(x f 的周期为T ＝π2，振幅为2。

……（.4分）（Ⅱ）列表：……（6分）图象如上（作图不规范者扣1分）。

……（8分）（Ⅲ）由)(232322Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ解得： )(67262Z k k x k ∈+≤≤+ππππ所以函数的递减区间为)(],672,62[Z k k k ∈++ππππ……（10分）22解：（Ⅰ）因为A （1,1），B （2,1）所以＝（1,1），＝（2,1）……（2分） cos ∠AOB 1010310121411)1,2()1,1(||||=+=+⋅+⋅=⋅OB OA . ……（4分）（Ⅱ）因为C （3,1），D （3，0），所以tan ∠BOD ＝21，tan ∠COD ＝31……（6分）所以 tan(∠BOD ＋∠COD)=CODBOD COD BOD ∠∠-∠+∠tan tan 1tan tan 1312113121=⋅-+= ……（8分）又因为∠BOD 和∠COD 均为锐角，故∠BOD ＋∠COD ＝45° ……（10分）考查向量数量积的几何意义，向量夹角求法，两角和的正切，。

新人教A版高中数学必修四第二学期期末考试测试题(含答案)

山东省聊城四中第二学期高一期末考试数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷120分，考试时间100分钟。

2．答题前请将自己的学校、班级、姓名、考场号等填写在答题卷密封线内的相应栏目。

3．请将答案按题序号填写在答题卷上，考后仅收答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．5sin()6π-的值是A ．B ．12C ．D ．12- 2．已知(1,2),(5,4),(.3),(3,)A B C x D y -，且AB CD =，则,x y 的值分别为A 、－7，－5B 、－7，5C 、7，－5D 、7，5 3.下列给出的赋值语句中正确的是（）A . 4M =B .M M =-C 3B A ==D 0x y +=4．某经济研究小组对全国50个中小城市进行职工人均工资x 与居民人均消费水平y 进行了统计调查，发现y 与x 具有相关关系，其回归方程为ˆ0.3 1.65y x =+（单位：千元）．某城市居民人均消费水平为6.60，估计该城市职工人均消费水平额占居民人均工资收入的百分比为 A ．66%B ．55.3%C ．45.3%D ．40%5．右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数及方差分别为( )A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4 6．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（） A ．5.3 B ．4.3C ．4.7D ．5.77．已知)1,1(-A ，)5,2(B ，点P 在线段AB 上，且||3||=，则点P 的坐标为（）A ．)4,1(-B ．)313,23(C ．)4,45(D ．)213,411(8．函数x x y cos -=的部分图象是（）10．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A ．51B ．52C ．103 D ．107 11．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度； B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度；C ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度；D ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度。

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】(1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ??2sin x －1>0，1－2c os x ≥0，即sin x >12，cos x ≤12，解得π6＋2k π<5<="" p="">6π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】函数f (x )有意义，则－sin x ≥0，tan x －1≥0，即sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <="" p="" π＋π2(k="" ∈z="">∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ? ????－α＋π2cos ? ??3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】直接应用诱导公式求解．【规范解答】(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ? ????－25π3＝－cos ? ????－25π3＝－cos ? ?8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ? ????3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】因为sin ? ????3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】(1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】(1)由图像知，A ＝－12－? ???－322＝12，k ＝－12＋? ???－322＝－1，T ＝2×? ????2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ? ??2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ? ????x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ? ?2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ? ????2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ? ????2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ? ?2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ? ?2x －π6的图像．【解】因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ? ??π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ? ?2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin2?x －π6＋π6＝3sin ? ????2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解．(2)先求x ∈0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ? ??2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )．∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是x ?x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间π8，34π上的最大值和最小值．【解】(1)∵f (x )＝2sin ? ?2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ? ????2x －π4在区间π8，3π8上是增函数，在区间3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又f ? ????π8＝0，f ? ??3π8＝ 2.F ? ????34π＝2sin ? ??3π2－π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝?θsin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝?θcos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．如图：由单位圆三角函数线知：M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域．【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<－1<="" p="" x="">2.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为x2π3＋2k π<="" ＝sin="">由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1，∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ? 4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】由y ＝sin ? ????4x －π3＝sin 4? ?x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．? ?k π－14，k π＋34，k ∈ZB.? ?2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．? ????k －14，k ＋34，k ∈ZD.? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】由图像知，周期T ＝2? ????54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ? ?πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<="">4，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ? ????π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6D ．10【解析】根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在? ??π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在? ????π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ? ????11x －π4，f (x )在? ????π18，3π44上单调递增，在? ??3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ? ????9x ＋π4，满足f (x )在? ????π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为? ??5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ? ???2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ? ?2x －π6，则g (x )＝5sin ? ?2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点? ????5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式。

人教A版高中数学必修4：模块综合检测Word版含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.2．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．4．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 7．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋2C ．2＋2 2D ．－2－22解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.8．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，则(AB ＋DC )·AC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．22解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2＝AB 2＋2AB ·DC ＋DC 2.∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0，∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ， ∴AB ·DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2.设|AB |＋|DC |＝x ，则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：510．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________.解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721011．在△ABC 中，已知sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B · cos C ，则tan A ＝________，sin 2A ＝________.解析：由sin A ＝10sin B sin C ，cos A ＝10cos B cos C 得cos A －sin A ＝10cos(B ＋C )＝－10cos A ，所以sin A ＝11cos A ，所以tan A ＝11，sin 2A ＝2sin A cos A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 1＋tan 2A ＝1161. 答案：11116112．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1的最小正周期是________，振幅是________．解析：f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以最小正周期为π，振幅为 2.答案：π213．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，且|2a －b |＝13，则|2a ＋b |＝________，向量a 在向量b 方向上的投影为________．解析：|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝4×22－4a ·b ＋32＝13，解得a·b ＝3.因为|2a ＋b |2＝4a 2＋4a·b ＋b 2＝4×22＋4×3＋32＝37，所以|2a ＋b |＝37.向量a 在向量b 方向上的投影为a·b |b |＝33＝1.答案：37 114．已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f (x )＝________，f ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，AB ＝1，故M ＝12，函数f (x )的最小正周期是2，即2πω＝2，ω＝π，所以f (x )＝12cos(πx ＋φ)，又函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z.由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－12sin πx ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝－12sin π2＝－12. 答案：－12sin πx －1215．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ. 解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.17．(本小题满分15分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2. 解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.18．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表： x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－219．(本小题满分15分)已知向量OA ＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA －n )．(1)求向量OA ； (2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值．解：(1)∵OA ＝(cos α，sin α)， ∴OA －n ＝(cos α，sin α＋5)． ∵m ⊥(OA －n )，∴m ·(OA －n )＝0， ∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210.又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22. 20．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值．解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1. 又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

高中数学人教A版必修4模块综合检测(二) Word版含解析

模块综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(北京高考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则 2a －b ＝( )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)解析：选A 因为a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选A.2．点M (2，tan 300°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3，∴M (2，－3)．故点M (2，tan 300°)位于第四象限．3．已知OA ＝(2,3)，OB ＝(－3，y )，且OA ⊥OB ，则y 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：选A ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝－6＋3y ＝0，∴y ＝2. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3. 5.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：选B 2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 6．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3. 7．已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π解析：选C ∵f (x )＝2sin x 的周期为2π，∴|x 1－x 2|的最小值为π.8．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3 D.22 解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x .而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所得函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 10．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )A ．2 3B ．3 3 C.32 D. 3 解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC ＝(x C －x B ，y C )，BD ＝(－x B,1)．∵BC ＝ 3 BD ，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3.AC ＝((1－3)x B ，3)，AD ＝(0,1)，AC ·AD ＝ 3.12．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2解析：选A 由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.所以x －y ＝3. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10. 答案：1014．(江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3.答案：315．(山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π16．化简：sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α ＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)．(1)求证：(a －b )⊥(a －c )；(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值．解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )，a －c ＝(cos x ，sin x －1)，(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1)＝cos 2x ＋sin 2x －1＝0.∴(a －b )⊥(a －c )．(2)|a |＝(1＋cos x )2＋(1＋sin x )2 ＝3＋2(sin x ＋cos x ) ＝ 3＋22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 3＋22＝2＋1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1. 18．(本小题满分12分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin (α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x2. 19．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－45，sin β－α2＝513，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，β－α2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝35， cos ⎝⎛⎭⎫β－α2＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－α2＝1213. ∵⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝α＋β2， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫β－α2－sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213－35×513＝－6365. 20．(本小题满分12分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.21．(本小题满分12分)已知f (x )＝23cos 2x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求f (x )的值域．解：f (x )＝sin 2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6， ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)． ∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴f (x )∈[0,3]．22．(本小题满分12分)(陕西高考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝12， ∴f (x )的最小值为－12. 因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.。

新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-模块综合测评

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A ．12i B ．－12i C ．12 D ．－12 C [i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12B ．22C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12.]3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列选项不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥β C ．AB ∥βD ．AC ⊥mB [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ，又AB ∥l ，∴AB ∥m ，则A 一定成立．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ，则D 一定成立．∵AB ∥l ，AB ⊄β，l ⊂β，∴AB ∥β，则C 一定成立．若C ∉α且AC ⊥α，∵l ⊂α，∴AC ⊥l ，∵平面α⊥平面β，∴AC ∥β，则B 不一定成立．故选B ．]4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10πB [因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]5．复数i1－i的共轭复数为( ) A ．－12＋12i B ．12＋12i C ．12－12i D ．－12－12iD [因为i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，所以其共轭复数为－12－12i.故选D ．]6．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形C [∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，∴a c ＝sin B ，sin B ＝22.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，∴a c ＝sin A sin C ＝22，∴sin C ＝2sin A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos C ＋22sin C ，∴cos C ＝0.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，∴A ＝π－B －C ＝π4，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ．]7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交D ．PC 1与平面AB 1D 1平行 D [连接BC 1和DC 1(图略)，因为BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，而PC 1⊂平面C 1BD ，所以PC 1∥平面AB 1D 1.选D ．]8．已知三棱锥P -ABC 的各棱长均相等，O 是△ABC 的中心，D 是PC 的中点，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为( )A ．23B ．73C ．12D ．13A [设底面边长为a ，连接CO 并延长交AB 于F ，过点D 作DE ∥PO 交CF 于点E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，因为PO ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以△BDE 是直角三角形，设三棱锥P -ABC 的各棱长均为a ，则， BD ＝CF ＝32a ，CO ＝23BD ＝33a ，所以PO ＝a 2－13a 2＝63a ，因为点D 为侧棱PC 的中点，所以DE ＝12PO ＝66a ，所以cos ∠BDE ＝DE BD ＝66a32a＝23，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为23.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ＞c 2，则C ＜π3 B ．若a ＋b ＞2c ，则C ＜π3 C ．若(a ＋b )c ＜2ab ，则C ＞π2 D ．若(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，则C ＞π2AB [对于A ，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞2ab －ab 2ab ＝12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故A 正确；对于B ，因为a ＋b ＞2c ，所以(a ＋b )2＞4c 2，c 2＜(a ＋b )24，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞a 2＋b 2－(a ＋b )242ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故B 正确；对于C ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a ＋b )c ＜2ab ，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝78＞0，所以C ＜π2，故C 错误；对于D ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34＞0，所以C ＜π2，故D 错误．故选AB ．]10．下列各式的运算结果不是纯虚数的是( ) A ．i·(1＋i)2 B ．i 2·(1－i) C ．(1＋i)2D ．i·(1＋i)ABD [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．]11．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αD．若α⊥β，α∥γ，则β⊥γBD[对于A，由α⊥β，l⊥β，得l⊂α或l∥α，故A错误；对于B，过直线l作第三个平面与平面β相交于直线m，根据线面平行的性质，知m∥l，又l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故B正确；对于C，l还可能与α相交，故C错误；对于D，在平面α内作与α和β的交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质，得m⊥β，再过直线m作平面δ，并与平面γ相交于直线n，根据面面平行的性质，知m∥n，所以n⊥β，又n⊂γ，所以γ⊥β，故D正确．]12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“≻”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”时，z1≻z2.按上述定义的关系“≻”，下列命题为真命题的是()A．若z1≻z2，则|z1|＞|z2|B．若z1≻z2，z2≻z3，则z1≻z3C．若z1≻z2，则对于任意z∈C，z1＋z≻z2＋zD．对于复数z≻0，若z1≻z2，则zz1≻zz2BC[对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，但|z1|＝5，|z2|＝10，不满足|z1|＞|z2|，故A为假命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)，由z1≻z2，z2≻z3可得“a1＞a3”或“a1＝a3且b1＞b3”，即z1≻z3，故B为真命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋b i(a1，a2，a，b1，b2，b∈R)，由z1≻z2可得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，显然有“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a ＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，从而z1＋z≻z2＋z，故C为真命题；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，显然不满足zz1≻zz2，故D为假命题．故选BC．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知实数a，b满足a＋b i＝i2 019(i为虚数单位)，则a＋b的值为_______．－1 [由i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以a ＋b i ＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝－i ，得a ＝0，b ＝－1.∴a ＋b ＝－1.]14．已知在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．6 [在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝AB 2＋42－(27)22AB ·4＝12，解得AB ＝6或－2(舍去)．因为Rt △ADB 与Rt △ADC 有公共边AD ，所以62－BD 2＝42－(27－BD )2，解得BD ＝1277，所以CD ＝277，所以BDCD＝6.]15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．(本题第一空2分，第二空3分)图1 图2262－1 [依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.]16．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)．若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为________．322 [由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2.∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋92，∴当a ＝32时，z *z －取得最小值，为322.] 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．[解] z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i5＝1－i. 因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－(2＋a )＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P -ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P -ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．[解] (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由底面ABCD 为长方形，得BC ⊥CD ．而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD ．又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ．而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB ．(2)由已知，PD 是阳马P -ABCD 的高，所以V 1＝13S 长方形ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ．由(1)知，DE 是鳖臑D -BCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ，于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PDCE ·DE ＝4. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，∠C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． [解] (1)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b ＝2a . 联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.20．(本题小题满分12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点．(1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：BD ⊥EG ；(3)求多面体ADBEG 的体积．[解] (1)证明：∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC ．又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG . (2)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE . 又AE ⊥EB ，EB ∩EF ＝E ，EB ，EF ⊂平面BCFE ， ∴AE ⊥平面BCFE .过D 作DH ∥AE 交EF 于H ，连接BH ，EG ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH ⊥EG .∵AD ∥EH ，DH ∥AE ，∴四边形AEHD 为平行四边形，∴EH ＝AD ＝2， ∴EH ＝BG ＝2，又EH ∥BG ，EH ⊥BE ，BE ＝2， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH ⊥EG ，又BH ∩DH ＝H ，BH ⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，∴EG ⊥平面BHD ．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG.(3)∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，∴AD⊥平面AEB，由(2)知四边形BGHE为正方形，∴BE⊥BC．∴V ADBEG＝V D﹣AEB＋V D﹣BEG＝13S△ABE·AD＋13S△BEG·AE＝43＋43＝83.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2 n mile.问乙船每小时航行多少海里．[解]如图所示，连接A1B2.因为A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，所以A1A2＝A2B2.又因为∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形．所以A1B2＝A1A2＝10 2.又因为A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×2 2＝200.所以B1B2＝10 2.所以乙船的速度为1022060＝302(n mile/h)．即乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)如图，三棱锥P-ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC ＝PC＝1，AC＝2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．(1)证明：平面GFE∥平面PCB；(2)求二面角B-AP-C的正切值；(3)求直线PF与平面P AB所成角的正弦值．[解](1)证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF⊄平面PCB，GF⊄平面PCB，所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB．(2)如图，过点C作CH⊥P A，垂足为H，连接HB．因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以BC⊥平面P AC，所以BC⊥P A．又P A⊥CH，CH∩BC＝C，所以P A⊥平面BCH，所以HB⊥P A，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角，依条件容易求出CH＝25，所以tan∠BHC＝125＝52，所以二面角B-AP-C的正切值是5 2.(3)如图，设PB的中点为K，连接KC，AK.因为△PCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB．又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC＝C，所以AC⊥平面PCB，所以AC⊥PB．又PB⊥KC，AC∩KC＝C，所以PB⊥平面AKC．又PB⊂平面P AB，所以平面AKC⊥平面P AB．在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M.因为平面AKC⊥平面P AB，所以FM⊥平面P AB．连接PM，则∠MPF是直线PF与平面P AB所成的角．易得PF＝2，FM＝13，所以sin∠MPF＝132＝26，即直线PF与平面P AB所成角的正弦值是2 6.。

高中数学必修四模块复习卷答案

益田中学2007—2008学年度第一学期第二学段高一年级数学必修四模块考试试题参考答案（一）本套试题命题范围：1.使用教材（人教A 版）2.命题范围（必修4 全册）3.适用学生（高一年级）（二）详细答案及评分标准：第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在题后的表格中．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在横线上． 11．426+ 12. 3- 13．552-14．21三、解答题本大题共３小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分10分)解: 因为)22,3(+-=+k k b a k ，)4,10(3-=-b a--------------------------------2分当平行与b a b a k3-+时，则010)22()4()3(=⨯+--⨯-k k -------------------------------------------------2分解得：31-=k --------------------------------------------------------------------------2分此时)4,10(3-=-b a，)22,3(+-=+k k b a k=)2)31(2,331(+-⨯--=)34,310(-=)3(31)4,10(31b a--=--．-----------------------------------------------------------2分所以b a b a k3-+与反向．---------------------------------------------------------------2分［另解：当平行与b a b a k 3-+，存在唯一实数λ，使)3(b a b a k-=+λ即)4,10()22,3(-=+-λk k 得：⎩⎨⎧-=+=-λλ422103k k解得：31,31-=-=λk ，即当31-=k ，平行与b a b a k 3-+这时因为31-=λ，所以b a b a k 3-+与反向．］16．(本题满分10分)解:（Ⅰ）（5分） x x x x x f sin cos )2cos(cos )(+=+-=π=x x cos sin +-----------------------------------1分)cos 22sin 22(2x x += )4sin(2π+=x ------------------------------2分∴)(x f 的最大值为2．--------------------------------2分（Ⅱ）（5分）因为43)(=αf ，即43cos sin =+αα -------------------1分∴169cos sin 21=+αα --------------------------------------2分∴1672sin -=α．------------------------------------------2分17．(本题满分10分)解：（Ⅰ）（4分）由sin()02x π+≠，得cos 0x ≠，所以f(x)的定义城为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z ．--------------------------------4分[另解：由sin()02x π+≠，得Z k k x ∈≠+,2ππ∴Z k k x ∈-≠,2ππ所以f(x)的定义城为},2{Z k k x x ∈-≠ππ］（Ⅱ）（6分）xx x x f cos )2sin 2sin 4cos 2(cos 21)(ππ++=＝xxx cos 2sin 2cos 1++-----------------------------------------------------------1分∴21cos 2sin 22cos 2cos sin ()2(cos sin )cos cos f αααααααααα+++===+．---2分因为α是第四象限角，所以4sin 15α===-．----------2分所以342()2()555f α=-=-．----------------------------------------------------------------1分第Ⅱ卷(满分50分)一、选择题本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在题后的【】中． 18．C 19．D二、填空题本大题共2小题，每小题5分，共10分．请将答案填写在横线上． 20．81 21．34-（2分）； 67（3分）。

高中数学必修4模块测试(期末复习)

高中数学必修4模块测试(期末复习)
高中数学必修4模块测试
一、选择题：(本大题共10小题，每题4分，共40分) 1.以下能与sin20
的值相等的是( ).
A．cos20 B．sin( 20 ) C．sin70 D．sin160
2．如下图，D是△ABC的边AB上的中点，那么向量CD 〔〕.
11
BA B． BC BA 2211
C． D．
22
A． BC
3．半径为10 cm，面积为100cm的扇形中，弧所对的圆心角为〔〕.
A．2弧度 B．2 C．2 弧度 D．10弧度
2
4．|a| 2,|b| 5,a b 3，那么a b等于〔〕.
5．为了得到函数y cos(2x A．向左平行移动
3
),x R的图象，只需把函数y cos2x的图象〔〕.
个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 36
C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
36
6．平行四边形ABCD中，AD=3，AB＝5，那么|| ||的值是〔〕. A．16 B．34 C．68 D．32 7. tan
2
2
1cos sin ，那么〔〕. 2cos sin
D． 3
A．2 B． 2 C．3
8．如下图：某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：。

f(x) Asin( x ) b，x [6,14]，那么这段曲线的解析式为〔〕。

2019版数学北师大版必修4练习：模块综合测试卷Word版含解析

2019版数学精品资料（北师大版）模块综合测试卷时间：90分钟分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知角α的终边上有一点M (11，－5)，则sin α等于()A ．－57B ．－56C ．－58D ．－115答案：B 解析：∵|OM |＝112＋－52＝6，∴sin α＝－56. 2．若向量MN →＝(－1,3)，NP →＝(3，t)，且MN →∥NP →，则MP →等于() A ．(1,3)B ．(2，－6)C ．(－3,2)D ．(3,2)答案：B 解析：∵MN →∥NP →，∴－t －9＝0，∴t ＝－9，NP →＝(3，－9)，∴MP →＝MN →＋NP →＝(2，－6)．3．下列函数中，周期是π2的偶函数是() A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22xC ．y ＝tan2xD ．y ＝cos2x答案：B 解析：A 选项中y ＝sin4x 的周期是π2，但是是奇函数．B 选项中y ＝cos 22x －sin 22x ＝cos4x ，是偶函数，且周期T ＝π2.C 选项中y ＝tan2x 的周期是π2，但是是奇函数．D 选项中y ＝cos2x 是偶函数，但周期是π．4．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6C ．－83 D.83答案：A解析：2x －12＝0∴x ＝6，故选 A.5．已知tan α2＝3，则cos α的值为() A.45B ．－45C.415D ．－35答案：B解析：将cos α表示成tan α2的关系式，代入求值．cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－321＋32＝－45.。

2017-高中数学必修4期末考试

2017-高中数学必修4期末考试2017年高一数学必修4模块期末考试一、选择题1.若向量OO=（-5，4），OO=（7，9），则与向量OO同向的单位向量坐标是（）A.（−13，−13）B.（13，13）C.（−13，13）D.（13，−13）2.下列各式中值等于125的是（）A。

5^3 B。

25^2/5 C。

3^5 D。

125^1/33.已知O(O)=OOOO+3OOOO(O∈O)，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A。

2 B。

3 C。

4 D。

64.在四边形ABCD中，则四边形ABCD OO=O+2O，OO=−4O−O，OO=−5O−3O，的形状是（）A。

长方形 B。

平行四边形 C。

菱形 D。

梯形5.如图所示，在△ABC中，AD=DB，F在线段CD上，设OO=O，OO=O，则O+O的最小值为（）A。

6+2√2 B。

9/4 C。

9 D。

6+4√26.在△ABC中，OO=O，OO=O．若点D满足OO=(O+3O)/3=2OOOO，则O的坐标为（）A。

(2b/3.c/3) B。

(b/3.2c/3) C。

(2c/3.b/3) D。

(c/3.2b/3)7.在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A，则△ABC一定是（）三角形．A。

锐角 B。

直角 C。

等腰 D。

等腰或直角8.将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移4π个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[−4，6]上为减函数，则正实数ω的最大值为（）A。

2 B。

1 C。

2/π D。

39.cos555°的值为（）A。

6+2√13/2 B。

2-6√13/2 C。

6-2√13/2 D。

-6+2√13/210.满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数是（）A。

1 B。

2 C。

无数个 D。

不存在11.已知角α是第四象限角，角α的终边经过点P（4，y），且sinα=5/13，则tanα的值是（）A。

高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第一章章末检测含解析

第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．锐角都是第一象限角C ．第一象限角都是锐角D ．小于90°的角都是锐角答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π. 4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( ) A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3＝1，cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 5．sin(－1740°)的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 答案：B解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 7．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数的偶函数是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移23个单位 D ．向右平移23个单位答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝⎛⎭⎫x ＋23， ∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可． 9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12答案：B解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax (x <0)g (x －1)(x ≥0)，则g ⎝⎛⎭⎫56等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，∴g ⎝⎛⎭⎫56＝g ⎝⎛⎭⎫－16＝sin ⎝⎛⎭⎫－a 6＝ sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A. 12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 答案：m解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________．答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________．答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x ≥12，如图，结合三角函数线知： ⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6. 答案：①②解析：4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故①②正确，③④错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54. 18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值．解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，又∵⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ， ∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立， ∴a ＝12或a ＝－14.(2)∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴a <0， ∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－62. 19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝32， g (x )＝－4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 当b ＜0时，⎩⎨⎧ a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32， g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT＝2π. 又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π·16＋φ＝π2＋2k π， ∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3，所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32. (2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)． (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2α＝± 1－⎝⎛⎭⎫352＝±45. 22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上为减函数又f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， ∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根．(3)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－m ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2m 由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π8，k ∈Z 当k ＝0时，m ＝π8，此时g (x )＝2sin2x 关于原点中心对称．。

2019版高中数学人教B版必修4：模块综合检测含解析

B.-C.D.131323:cos α=1-2sin 2=1-2×.故选C .α2(33)2=13:Ctan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是( )第一象限角 B.第二象限角第三象限角D.第四象限角:由已知得tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.:sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2-2sin 2αcos 2α=1-sin 22α=1-×(1-cos 22α)=.12121118:C已知a =,b =,c=a +k b ,d=a-b ,c 与d 的夹角是,则k 的值为( )(1,12)(1,-12)π4B.-3或- D.-113:c =,d =(0,1).(1,12)+(k ,-12k )=(1+k ,12-12k )π1-1k为圆心,OB 为半径作圆弧交sin α=2cos α2sin α=cos α:设扇形的半径为r ,则扇形的面积为αr 2,直角三角形PBO 中,PB=r tan α,△PBO的面积为r×r tan 1212由题意得r×r tan α=2×αr 2,∴tan α=2α,故选B .1212:B已知函数y=A sin(ωx+φ)+m (A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对π2π3,则下面各式中符合条件的函数解析式是( )4sin(x +π6)当k=1时,φ=,π6∴y=2sin+2.(4x +π6):D已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是( )OB OC CA AB A.[1,2]B.[2,4]2-1,2+1]D.[2,2+1]2222:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),AB 所以||=∈[AB (2-cosθ)2+(-2-sinθ)2=4-4cosθ+1+4+4sinθ=9+42sin (θ-π4)∴直线RQ的倾斜角为,5π6∴=-,A=.A1-4333:A已知点A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在l 上,则关于实数x 的方程x 2+x =0的解OA OB +AC ( ) B.{-1}D.{-1,0}1-52,-1+52}:由于,又,则存在实数λ,使=λ,则=λ()=λ-λ,所以有λAB =OB ‒OA AB ∥AC AC AB AC OB ‒OA OB OA OA =0,由于不共线,又x 2+x =0,+AC OA 和OB OA OB +AC又α,β∈,(0,π2)所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=,1-cos 2(α+β)=223所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=.(-79)×(-13)+429×223=2327:D已知∠A 1,∠A 2,…,∠A n 为凸多边形的内角,且lg sin A 1+lg sin A 2+…+lg sin A n =0,则这个多边形是(正六边形 B.梯形矩形D.含锐角的菱形已知(sin x-2cos x )(3+2sin x+2cos x )=0,则的值为 .sin2x +2cos 2x1+tanx :∵3+2sin x+2cos x=3+2sin≥3-2,∴3+2sin x+2cos x ≠0,2(x +π4)2∴sin x-2cos x=0,sin x=2cos x ,∴(2cos x )2+cos 2x=1,cos 2x=.15∴sin2x +2cos 2x 1+tanx ==2cos 2x=.2cosx (sinx +cosx )sinx +cosxcosx252:9已知a 1+a 2+…+a 2 015=0,且a n =(3,4)(1≤n ≤2 010,n ∈N *),则a 1+a 2+…+a n-1+a n+1+…+a 2 015的模为 :由题意知a 1+a 2+…+a n-1+a n+1+…+a 2 015=-a n =(-3,-4),所以所求模为5.:5三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(10分)已知sin+sin .(α+π4)(α-π4)=23求sin α的值;求的值.sin (α-π4)1-cos2α-sin2α如果t在任意一段秒的时间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数1150值是多少?(1)由图知,A=300,×T=,121800‒(-1900)=177 200∴T=,∴ω=,173 6002πT=7 200π17∴π×+φ=0.7 20017(-1900)又|φ|<,∴φ=π,π2817解:由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a ·b+|b|2=|a|2-2a ·b+3|b|2,3333∴2(|a|2-|b|2)+4a ·b=0.3而|a|=|b|,∴a ·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,1232(2α+π6)∴2α+=k π(k ∈Z ).π6又0≤α<π,∴α=或α=.5π1211π12(12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交B 两点,已知A ,B两点的横坐标分别为.210,255(1)tan(α+β)==-3.1-7×2(2)∵tan 2β=,2tanβ1-tan 2β=2×121-(12)2=43∴tan(α+2β)==-1.tanα+tan2β1-tanαtan2β=7+431-7×43∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.3π23π4(12分)已知点A ,B ,C 的坐标分别为A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),α∈.(π2,3π2)若||=||,求角α的值;AC BC 2sin 2α+sin2α∴=-.2sin 2α+sin2α1+tanα59(12分)如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为θ的扇形,A 是扇形弧PQ 上的动点,AB ∥OQ ,OP 与AB B ,AC ∥OP ,OQ 与AC 交于点C.当θ=时,求点A 的位置,使矩形ABOC 的面积最大,并求出这个最大面积;π2当θ=时,求点A 的位置,使平行四边形ABOC 的面积最大,并求出这个最大面积.π3(2)连接OA ,设∠AOP=α,过A 点作AH ⊥OP ,垂足为H.在Rt △AOH 中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt △ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.AHBH 333∴OB=OH-BH=cos α-sin α.33设平行四边形ABOC 的面积为S ,则S=OB ·AH=sin α(cosα-33sinα)=sin αcos α-sin 2α=sin 2α-(1-cos 2α)331236=sin 2α+cos 2α-123636。

2019-2020学年高中数学人教版必修四模块综合检测(一) Word版含答案

模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－1 120°角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C. 4.1－sin 20°＝( ) A ．cos 10°B ．sin 10°－cos 10° C.2sin 35°D ．±(sin 10°－cos 10°)解析：选C ∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin 235°， ∴1－sin 20°＝2sin 35°.5．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10 B ．10 C ．－ 5D. 5解析：选D 因为a· b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5.6．(山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π. 法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B. 7．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z.取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝ 23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14，故选B. 10．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( ) A ．k π，(k ∈Z) B ．k π＋π6，(k ∈Z) C ．k π＋π3，(k ∈Z) D ．－k π－π3，(k ∈Z) 解析：选 D f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得θ＝－k π－π3(k ∈Z)，故选D.11．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( ) A ．12P P ·13P PB ．12P P ·14P PC ．12P P ·15P PD ．12P P ·16P P解析：选A 由于12P P ⊥15P P ，故其数量积是0，可排除C ；12P P 与16P P 的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则12P P ·13P P ＝|12P P |·|13P P |·cos 30°＝32a 2，12P P ·14P P＝|12P P |·|14P P |·cos 60°＝a 2. 12．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b (a <0)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝2，b ＝－5B ．a ＝－2，b ＝2C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－2解析：选C f (x )＝－a (cos 2x ＋3sin 2x )＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b . 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. ∵－5≤f (x )≤1，a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－5，－2a ＋2a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.答案：1214．(北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝xAB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→.又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1615．(重庆高考)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析：因为AB ＝OB －OA ＝(1，k －1)，且OA ⊥AB ，所以OA ·AB ＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.答案：416．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则y 的表达式为________．解析：由图象，知A ＝2，由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b|＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |； (2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a·b ＝|a||b |cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin(2ωx ＋π6)＋a2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1，又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)时，f (x )单调递增， ∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)． 19．(本小题满分12分)(天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠π2＋k π，k∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d . 解：(1)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－－－＝0，－＋－＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝20＋55，5＋255或d ＝20－55，5－255. 21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 2 个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b ＝sin(t －h a)．(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求P 首次到达最高点所用的时间．解：(1)A ＝r ＝10.T ＝604＝15(s)． (2)由d －k b ＝sin t －h a ，得d ＝b sin t －ha＋k .b ＝A ＝10，T ＝2π1a＝2πa ＝15，∴a ＝152π. 由于圆心离水面52个长度单位， ∴k ＝5 2. ∴d ＝10sin2π－15＋5 2.将t ＝0，d ＝0代入上式，得sin(2π15h )＝22，2π15h ＝π4， ∴d ＝10sin(2π15t －π4)＋5 2.(3)P 到达最高点时d ＝10＋5 2.∴sin(2π15t －π4)＝1，得2π15t －π4＝π2，t ＝458(s)．即P 首次到达最高点所用时间为458s. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

高中数学模块综合测试(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

模块综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D ) A ．30° B ．－30° C ．－60°D ．120°解析：P ⎝⎛⎭⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B )A ．－53B ．－19C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO →的坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫12，－5 解析：由AD →＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD →＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故应选C ． 5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C )A ．179 B ．－223C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179. 7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( A ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，∴sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝⎛⎭⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x . 而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由题图象知，⎝⎛⎭⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA →＋OB →＋OC →＝0；②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0；③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ．代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 . 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2，由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4.∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错；③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ，∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z . 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5 ＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求： (1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．(2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点．(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值．解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝⎛⎭⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值X 围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.word11 / 11 (2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值X 围为[－1－2，2－2]．。

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