【秋季课程人教版初二数学】第8讲——最短路径问题_教案
初二数学人教版秋季班(学生版版)第8讲 最短路径问题--基础班
第8讲最短路径问题知识点1 将军饮马问题（一）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．解决办法：从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸线相交于C，如下图所示：则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．【典例】1.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．【随堂练习】1．（2018•上虞区模拟）如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC 平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（）A．3B．4C．4D．3知识点2 将军饮马问题（二）【典例】1.如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___________．【随堂练习】1．（2017秋•东城区期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°知识点3 造桥选址问题【典例】【题干】如图（1）A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．（选学）知识点4 几何图形中的最短距离问题【典例】1.（1）问题发现：如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）（2）解决问题：如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）②求这个最短距离．（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为_______（保留作图痕迹，不写作法）综合运用1. 如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=2018．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为___________．2. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2√3cm，E为AB的中点，P 为AD上一点，PE+PB的最小值为_________．3. 如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．4. 如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．5. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）6. 已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，则∠GOH=__________；②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．7. 如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）．（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？。
最新人教版八年级数学上册《最短路径问题》教学设计(精品教案)
13.4 课题学习最短路径问题学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点）2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点）教学过程一、情境导入相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？（画出图形，做出说明。
）解析：利用两点之间线段最短进而得出答案.解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短.【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题【类型二】运用轴对称解决距离最短问题例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．【类型三】最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明）（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？解析：（1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出AB的中垂线与EF的交点M即可，交点即为厂址所在位置．（2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案。
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
1.设计练习题：根据教学目标和重难点，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.独立完成：学生独立完成练习题，提高解决问题的能力。
3.教师指导：针对学生做题过程中遇到的问题，给予个别指导，帮助学生掌握解题方法。
4.评价与反馈：对学生的练习成果进行评价，及时反馈，促使学生改进和提高。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的基本概念，了解其在现实生活中的应用，如地图导航、网络路由等。
2.学会使用数学方法求解最短路径问题，包括但不限于：欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等。
3.能够运用所学的最短路径算法解决实际问题，并能够根据问题背景选择合适的算法。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课所学的最短路径问题、欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等知识点进行回顾和总结。
2.学生分享：邀请学生分享自己在学习过程中的收获和感悟，提高学生的表达能力。
3.教师点评：针对学生的分享，给予积极的评价和引导学生认识到数学在解决实际问题中的价值，培养他们勇于探索、积极思考的精神，以及团队合作、尊重他人的品质。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.最短路径问题的基本概念及其在实际中的应用。
2.欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等最短路径求解方法。
3.将实际问题转化为数学模型的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
（二）教学难点
1.理解并掌握最短路径算法的原理和步骤。
2.将算法应用于解决实际问题，进行数学建模。
4.掌握最短路径问题的数学表达和建模方法，能够将实际问题转化为数学模型。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下过程与方法：
人教版初二数学上册《最短路径应用》教案
人教版初二数学上册《最短路径应用》教案一、教学目标- 理解最短路径的概念和应用场景。
- 学会使用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题。
- 能够解决实际生活中的最短路径问题。
二、教学内容1. 最短路径的概念介绍。
2. 迪杰斯特拉算法的原理和步骤。
3. 实际案例分析和解决。
三、教学过程1. 导入新知：通过与学生讨论交通路线选择的问题，引入最短路径的概念。
2. 概念解释：向学生解释最短路径的定义和应用场景，例如如何选择最短路线来减少时间和距离。
3. 理论研究：介绍迪杰斯特拉算法的原理和步骤，让学生了解如何通过该算法求解最短路径问题。
4. 实例演示：通过一个实际案例，展示如何运用迪杰斯特拉算法来解决最短路径问题。
让学生参与其中，理解算法的运作过程。
5. 练巩固：提供一些练题目让学生自主尝试解决，并与同学共同讨论答案。
6. 拓展应用：引导学生思考最短路径在其他领域的应用，如物流配送、网络寻路等，并与学生分享一些相关实例。
7. 总结回顾：对本节课的内容进行总结，强调最短路径概念和迪杰斯特拉算法的重要性。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与和理解情况。
2. 练成绩：评估学生在完成练题目时的准确性和独立性。
3. 案例解决：考察学生对实际案例的分析和解决能力。
4. 反馈评价：根据学生对课堂内容的理解和掌握程度，给予相应的反馈和评价。
五、教学反思本节课通过引入最短路径概念和迪杰斯特拉算法，帮助学生了解了最短路径的应用场景和解决方法。
通过实例演示和练习巩固，学生对这一概念有了更深入的理解，并掌握了迪杰斯特拉算法的步骤。
在今后的教学中，可以进一步拓展最短路径的应用领域，提供更多实例让学生进行探索和思考。
人教版八年级数学上册《最短路径问题》教案设计
13.4课题学习最短路径问题)课程设计修改和反思实际问题转化为数学问题来解决。
今天我们就通过几个实际问题学习如何设计最短路径。
（设计意图：在学习本节课之前让学生们清楚学习这节课的知识在解决生活实际问题中有什么作用，同时让学生意识到数学知识应用的广泛性。
） 导：相传，古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题:如图，从点A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”。
（设计意图：利用问题故事的形式导入，既激发学生的学习兴趣，又明确的出示了这节课的学习内容。
） 知识回顾：1.如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？ABl课程设计修改和反思为什么？2.如图，点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？4.如图，如何做点A 关于直线l 的对称点●┐（设计意图：在学习本节课之前先让学生预习几个知识点，便于这节课学生们能熟练的运用所学的知识解决本节课的内容。
） 师：让我们回到刚才出示的问题中，引导学生将实际问题转化为数学问题，并明确作图要求。
A B ① ②③P l A B C D lAA B l抽象成ABl数学问题课程设计修改和反思作图：在直线l 上求作一点C,使AC+BC 最短问题.（设计意图：运用转化的思想，将实际问题抽象成数学问题，用数学思想和方法进行解决。
）思：现在假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？根据是“两点之间，线段最短” “两边之和大于第三边”。
（设计意图：让学生们思考假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短的问题，并用数学知识进行验证和推理。
人教版初中八年级上册数学《课题学习最短路径问题》精品教案
13.4 课题学习最短路径问题【知识与技能】1.了解最短路径问题.2.掌握解决最短路径问题的方法.【过程与方法】通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力.【情感态度】通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心.【教学重点】解决最短路径问题.【教学难点】最短路径的选择.一、情景导入，初步认识问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）【教学说明】（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小?将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？【分析】本问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小.设B′是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小.在连接AB′的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.【教学说明】解决最短路径问题通常运用的知识有“过直线作已知点的对称点”，“两点的所有连线中，线段最短”等.三、师生互动，课堂小结这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
最短路径问题 教学设计 人教版八年级上册数学
13.4课题学习最短路径问题教学设计我们可以将实际问题抽象为数学问题：我们可以把两条桌子看成两条线段AB和CD，E为学生坐的座位，E到AB的点为F，E到CD的点为H，F和H为两动点，当F和H在什么位置时，EF+FH+HE最小？由这个问题，我们可以联想到下面的问题：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到河对岸的B地喂马.同样的，我们可以简化成几何图形问题：如图，点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用我们以前学过的知识：“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”，将A、B两点连接起来，与直线l相交于C点，这个C点即为所求.但是，现在的这个问题和它不同，那我们能不能同样利用“两点之间，线段最短”这个理论呢？我们可以利用轴对称，作E点关于CD的对称点E′，作E点关于AB 的对称点E″，连接E′E″，与AB相交于F点，与CD相交于H点. 以例题结合我们曾经学过的“将军饮马”问题，通过“两点之间，线段最短”来探讨“将军饮马”的变式问题.回顾将军饮马的经典问题，让学生对新知与旧知之间的关系进行对比和分析，从而达到转化新知的目的，通过老师的引导让学生思考最终发现迁移旧知解决新的问题.让学生体会由两定一动一定线型的最短路径问题拓展到一定两动由轴对称的性质可知：EH=E′H，EF=E″F当E″F+E′H+FH最短时，EF+FH+HE最短又∵两点之间，线段最短即：当E′E″成一条线段时，E″F+E′H+FH最短，EF+FH+HE也最短.两定线类型问题间的关系，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．下边我们来看一看另一类问题问题2：有一个牧民，他喂了一群马，每天早上，牧民都得到放置水桶的E点去取水桶，然后到远处的小河CD处挑水，最后将水挑到水槽AB处，倒入槽中，让马都可以喝到水，那么，牧民怎么走，才能让自己的行进线路最短呢？首先，我们可以把水槽和小河抽象成两条直线，取水点F，可以看成CD上的一个动点，取水回来，将水倒到H点，那么，上面的问题可以转化为：当点F在CD上的什么位置时，EF和FH的和最小.我们可以将E点对称到河对岸，然后比较不同的F点时，这两条线段距离之和.通过轴对称变化和“点到直线的距离，垂线段最短”来解决“将军饮马”的变式问题.让学生自己亲身经历实际问题转化成数学问题的过程，提高学生解决实际问题的能力.。
最新初中人教版数学人教八年级上册《课题学习 最短路径问题》教学设计
《13.4课题学习最短路径问题》教学设计一、内容与内容解析1．内容用轴对称解决一些最短路径问题．2．内容解析在现实生活中，存在着很多最短路径问题．用几何法解决最短路径问题，其基础知识是“两点间的所有连线中，线段最短”和“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，遇到相对复杂的问题，则往往需要通过图形的变换（如平移、轴对称、旋转等）把问题转化到上述基本知识的应用情境．这种转化的思想在数学问题解决中应用非常普遍．本课的重点是：用轴对称把问题转化为“两间的连线中，线段最短”（或者“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”）．二、目标与目标解析1．目标（1）能把“将军饮马问题”用几何图形表示，把实际问题转化为几何最值问题．（2）明确得到的几何问题的条件和结论，能用轴对称转化和解决问题．（3）体会几何最值问题解决中的转化思想．2．目标解析达成目标（1）的标志是：能把实际问题中的“地点”和“河”抽象为数学中的“点”、“直线”，把问题抽象为几何最值问题．达成目标（2）的标志是：能用轴对称把直线同侧两点到直线的距离之和转化我异侧两点到直线的距离之和．然后用“两点之间连线中线段最短”解决问题．达成目标（3）的标志是：感悟用轴对称几何最值问题转化为“两点之间最短连线问题”的数学转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题本质上是几何最值问题．由于学生缺乏研究几何最值问题的经验，独立解决本课问题，难以把实际问题抽象为几何最值问题，也难以用轴对称转化问题．其中最难的是把实际问题抽象为几何最值问题，不知道思考问题的方向．需要教师引导学生回顾几何中涉及“距离最短”的基本知识——“线段最短”或“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”及“垂线段最短”，指明解决问题的基本思路：把问题转化为基本知识的条件中的几何结构．在证明时，则需要在直线上“任意”取一点，构造一般情况与作出的特殊情况比较，学生想不到，需要教师说明．四、教学过程设计（一）将实际问题抽象为数学问题最短路径问题是现实生活中常见的问题，在七年级，我们学习了“两点之间的连线中线段最短”和“连接直线外一点和直线上任意点的连线中，垂线段最短”，今天，我们继续讨论最短路径问题．相传，在古希腊亚历山大城有一位将军问一个叫海伦的知名学者这样一个问题：问题1如图1，牧马人从需从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后带马到B地，牧马人在什么地方饮马，可使所走的路径最短？图1追问1这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？师生活动：教师用下面问题引导学生把实际问题抽象为数学问题．追问2：要把这个实际问题转化为数学问题，可以把“A地”、“B地”、“笔直的河l”看作几何中的哪些基本图形？师生活动：学生回答：把“A地”、“B地”看作点，把“笔直的河l”看作直线，画出如图2的图形．图2追问3：实际问题中的“所走的总路径最短”在图2中怎样表示？师生活动：教师引导学生把“所走的总路径最短”表示为“线段AC与线段BC的和最小”，把实际问题抽象为下面几何最值问题：问题2 如图3，A，B是直线l同侧的一点，在直线l上作一点C，使AC+BC最小．图3设计意图：引导学生把实际问题抽象为几何问题．（二）分析思考，确定所求的点问题3 问题2我们没有见过，难以解决，说说大家所熟悉的最短路径问题是什么？ 师生活动：教师引导学生回顾“线段最短”和“垂线段最短”．让学生明确，本题的难点是“经过第三点”C ，而且不管点C 在哪里，点A ，B ，C 都不在同一直线上，难以构成最短的线段．设计意图：引导学生回顾相关经验，分析问题的难点．问题4 如果我们改变一下问题的条件，怎样改变A ，B 两点的位置才能让C 运动时，A ，B ，C 可能在同一直线上？师生活动：教师引导学生发现，当A ，B 两点直线l 的两侧可以做到，而且直接可以用“线段最短”解决问题——直线AB 与直线l 的交点即为所求（如图4）．设计意图：以退为进，先构造容易解决的问题． 问题5 比较图3和图4，能把图3中“在直线l 上确定点C 使AC +BC 最小”问题转化为图4中“在直线l 上确定点C 使AC +BC 最小”问题吗？师生活动：教师引导学生思考，先把图3中的点B 或者点A 移到直线的异侧．追问1：把图3中的点B 移到直线l 的另一侧的B′，有什么条件？师生活动：学生回答，要确保对于每一点C ，BC =B′C ，这样AC +BC=AC +B′C ，在保证AC +BC 最小就是AC +B′C 最小．追问2：根据这一要求，怎样移动点B ？师生活动：教师组织学生讨论，得到作点B 关于直线l 的对称点B ′的方法．设计意图：把同侧的两点问题转化为异侧两点问题．问题6 现在能作出问题2中的点C 了吗？师生活动：教师引导学生作出符合要求的点C ：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）作直线AB ，交直线l 于C 点，则点C 即为所求的点．设计意图：作出所要求的点C ． 图5CB ′ABllAB 图4C（三）推理证明，确立作出的点符合要求问题7 作出的点C 是否符合要求，这需要证明，怎样证明？师生活动：教师引导学生明确目标，要证明点C 符合要求，就是要证明，对于直线l 上的任意一点D ，都有AD +BD ＞AC +BC ．证明：在直线直线l 上的任取一点D ，连接AD ，BD ，B′D ．∵点B 和B′关于直线l 对称，∴直线l 是线段BB′的垂直平分线，∵D ，C 在直线l 上，∴BD=B′D ，BC=B′C ，又∵AD +BD ＞AB′，AB′=AC+B′C=AC +BC ，∴AD +BD ＞AC +BC ，即AC +BC 最小．设计意图：证明点C 符合要求．（四）回顾总结，感悟数学思想方法问题8 我们是怎样解决问题的？师生活动：组织学生讨论，总结实际问题抽象为数学问题的过程和用轴对称方法转化问题的方法，感悟转化的思想（如图7）．设计意图：体会轴对称的应用和数学转化思想．（五）布置作业，深化研究如图，三角形湖面的三边分别为AB ，AC ，BC ，现要从A 地出发划船到堤岸BC ，取物，再回到堤岸AB 上，请在图上画出最短路径．图6CB ′ ABl D五、板书设计A BC图8课题学习最短路径问题(1)几何问题转化为两点间距离。
八年级上册数学教案《最短路径问题》
八年级上册数学教案《最短路径问题》学情分析最短路径在现实生活中经常遇到，也是数学分支——图论研究的一个经典算法问题，初中阶段，主要以“两点之间线段最短”连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短“为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。
教学目的1、理解利用轴对称变化解决最短路径问题的思路和原理，能够利用轴对称变化解决最短路径问题。
2、通过探究最短路径问题的过程，提升应用意识。
3、感受数学与生活的练习，提高学习数学的兴趣。
教学重点利用轴对称变化解决最短路径问题。
教学难点理解利用轴对称变化解决最短路径问题的思路和原理。
教学方法讲授法、提问法、讨论法、练习法教学过程一、回顾旧知1、什么是轴对称？对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2、什么是轴对称的性质？（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
二、探究新知1、提出问题如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。
牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2、分析题干引导：如果把河边l近似地看成一条直线，要确定的点C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为什么问题？明确问题转化：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。
分析：两点之间，线段最短，但要从A到B要先经过河边点C，不能直接应用。
如果C位于A，B之间，即A，B在河的两侧，则能够应用“两点之间线段最短”确定最短路径。
生：可以在直线另一侧找一个点A′或点B′代替原来的点A或点B，但A与A′或B与B′到两边任意一点C的距离要相等，A C = A′C或BC = B′C。
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例
1.教师将学生分成若干小组，每组选择一个最短路径问题进行研究和探究；
2.引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力；
3.教师巡回指导，针对不同小组的问题，提供适当的帮助和指导，促进学生的思考和发展。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足；
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上进行学习的。八年级的学生思维活跃，好奇心强，具备一定的探究能力，但同时在学习过程中容易忽视数学与实际生活的联系，对最短路径问题的理解停留在理论层面。因此，本节课的教学案例旨在通过生活实例，引导学生感受最短路径问题在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
2.组织学生进行评价，让学生互相评价，提高学生的自我认知和评价能力；
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的全面发展，给予极的反馈和鼓励。
（五）作业小结
1.教师布置与本节课相关的基础性作业和拓展性作业，巩固学生对最短路径问题的理解和掌握；
2.鼓励学生运用所学知识解决实际生活中的最短路径问题，提高学生的数学应用意识；
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示实际生活中的最短路径问题，如快递员送快递、旅行家规划旅行路线等，让学生感受到最短路径问题在现实生活中的重要性；
2.设计具有挑战性的问题，如学校到图书馆的最短路径是什么？引导学生思考并尝试解决；
3.创设情境，让学生扮演不同角色，如导演、导游等，规划最短路径，提高学生的参与度和积极性。
人教版初二数学上册《最短路线问题》教案
人教版初二数学上册《最短路线问题》教案一、教学目标1. 了解最短路线问题的概念和应用背景。
2. 掌握求解最短路径的方法，包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
3. 能够灵活运用最短路径算法解决实际问题。
二、教学准备1. 教材：人教版初二数学上册。
2. 教具：投影仪、黑板、白板、教案、课件等。
三、教学内容及流程1. 导入（5分钟）- 利用地图等实际例子引入最短路线问题，并与学生进行讨论，激发学生的研究兴趣。
2. 知识讲解（15分钟）- 讲解最短路径的定义和应用背景，引导学生了解最短路径问题在现实生活中的重要性。
3. 方法讲解（20分钟）- 介绍迪杰斯特拉算法的基本原理和步骤，通过实例演示其具体应用方法。
- 介绍弗洛伊德算法的基本思想和具体过程，通过实例说明其求解最短路径的能力。
4. 练与应用（25分钟）- 设计一些简单的最短路径问题，让学生运用迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法进行求解。
- 提供一些实际案例，让学生运用所学知识解决实际问题。
5. 总结与反思（10分钟）- 总结所学知识要点，强调最短路径问题的重要性和实际应用价值。
- 与学生一起反思本节课的收获和不足之处，为下一步研究做好准备。
四、教学评价1. 观察学生的课堂参与情况，包括回答问题、互动讨论等。
2. 以小组或个人作业形式，设计相关的问题让学生回答。
3. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决一个实际的最短路径问题，并提交书面报告。
五、教学延伸为了帮助学生更好地理解最短路线问题和相关算法，教师可以组织学生进行实地考察，例如到校园周围进行最短路径的测量和求解，让学生亲自体验和实践所学知识的应用。
以上是人教版初二数学上册《最短路线问题》教案的主要内容，希望对您有所帮助。
新人教版八年级数学上【教案】课题学习 最短路径问题
新人教版八年级数学上【教案】课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题【教学目标】教学知识点能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景引入课题师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.(板书)课题学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考,抽象为数学问题这是一个实际问题,你打算首先做什么?活动1:思考画图、得出数学问题将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2:尝试解决数学问题问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的问题2 如图,什么位置时,AC 与CB的和最小?师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充教师可作如下提示如果学生有困难,作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.如图所示:问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.由轴对称的性质知,BC =B'C,BC'=B'C'.AC +BC= AC +B'C = AB',AC'+BC'= AC'+B'C'.在?AC'B'中,AC'+B'C'>AB',当只有在C点位置时,AC+BC最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.问题5 造桥选址问题如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?问题解决:如图,平移A到A,使AA等于河宽,连接AB交河岸于N.作桥MN,此时111路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥MN,连接AM,BN,AN. 由平移性质可111111 知,AM=AN,AA=MN=MN,AM=AN. AM+MN+BN转化为AA+AB,而111111111AM+MN+BN 转化为AA+AN+BN. 在?ANB中,由线段公理知AN+BN>AB.11111111111111因此AM+MN+BN> AM+MN+BN,如图所示: 1111三、巩固训练)基础训练 (一1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线l与AB'的交点.2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处.)变式训练 (二如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?(三)综合训练茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?图a 图b四、反思小结(1)本节课研究问题的基本过程是什么?(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?五、作业布置课本93页第15题.。
最短路径问题八年级数学上(人教版)学习教案
B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点 即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ， 使得四边形APQB的周长最小．
练习 已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作 两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四 边形APQB的周长最小． 作法：
a A A′
B
将点A沿直线l的方向平移A′， 使得AA′=a. 作A′关于直线l的对称点A′′
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
A
Ma Nb
B
思考： 问题能否简化？
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
A
Ma Nb
B
B
思考： 能否通过图形的变化（轴对称，平移等），
A
实际问题用数学语言表达.
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
利用平移，实现线段的转移. 转化2：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
N
AM′+N′B=A′N′+N′B.
B 由两点之间，线段最短可知：
初二数学第8讲 最短路径问题教案
教学过程一、复习预习1.两点之间，线段最短。
2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、知识讲解考点1：求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。
考点2：求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。
三、例题精析【例题1】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短【答案】作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，则点C为所求的点。
【解析】在直线l上任取不同于C点的C'点，连接AC’,BC’∵点B和B'关于直线l对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’<C'A+C'B'∴AB'=CA+CB<C'A+C'B'【例题2】如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，2.连接A'B交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
【解析】由平移的性质，得AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。
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教学过程
一、复习预习
1.两点之间，线段最短。
2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
二、知识讲解
考点1：求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。
考点2：求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。
三、例题精析
【例题1】
如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短
【答案】作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，则点C为所求的点。
【解析】在直线l上任取不同于C点的C'点，连接AC’,BC’∵点B和B'关于直线l对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’<C'A+C'B'
∴AB'=CA+CB<C'A+C'B'
【例题2】
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，
2.连接A'B交河对岸于点N,
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
【解析】由平移的性质，得AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B
若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B
在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B
所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。
【例题3】如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
【答案】分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM ，ON 于点
B 、点
C ，则点B 、点C 即为所求
【解析】若点取在B'、C'处∵A 和A'关于OM 对称，A 和A''关于ON 对称∴AB=A'B ，AC=A''C ，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC 的周长ABC △l =AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B 和点C 即为使三角形周长最小的点。
【例题4】如图所示，点A，B分别是直线l上异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
【
答案】连接AB与l交于点C，点C即为所求的点。
【解析】两点之间线段最短
【例题5】如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，则选在哪处饮马使总距离最短。
【答案】作点A关于CD的对称点A′，连接A'B，交CD于点M，则M点即为使饮马总距离最短的点。
【解析】在直线CD上任取不同于M点的M'点，连接A'M'、AM'.∵点A和A'关于直线CD对称∴AM'=A'M',AM=A'M,AM+MB=A'M+MB=A'B,AM'+M'B=A'M'+M'B>A'B∴选在M点处饮马使总距离最短。
【例题6】如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP 为最短．
【答案】连接DE交AC于点P，则DE=EP+BP最短。
【解析】在AC上任取不同于P点的P'点∵点B和点D关于直线AC对称∴DP=BP，DP'=BP'
∴EP+BP=EP+DP=DE，EP'+BP'=EP'+DP'∵EP'+DP'>DE∴EP'+BP'>EP+BP,∴点取在P处时EP+BP 为最短
【例题7】如图，点P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求做一点M，使△PQM的周长最短
【答案】作点P关于线段BC所在直线的对称点P'，连接P'Q交BC于点M，则点M即为所求的点。
【解析】在BC上任取不同于M点的M'点，连接PQ、PM、PM'、P'M'、M'Q，∵点P和P'关于B C 所在的直线对称，∴PM=P'M，PM'=P'M'，∴△PQM的周长=PM+MQ+QP=P'M+MQ+QP=P'Q+QP，若点区在M'处，△PQM'的周长=PM'+M'Q+QP
=P'M'+M'Q+QP，∵P'M'+M'Q>P'Q∴P'M'+M'Q+QP>P'Q+QP,∴△PQM'的周长>△PQM的周长,∴点取在M处使△PQM'的周长最短。
【例题8】某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【答案】作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,
2.作点C关于直线OB的对称点点E,
3.连接DE分别交直线OA、OB于点M、N，
则CM+MN+CN最短
【解析】在OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接CM、CM'、DM'、CN、CN'、EN'、M'N'∵点C和D关于射线OA对称，C和E关于射线OB对称，∴CM=DM，
CM'=DM'、CN=EN、CN'=EN'∴CM+MN+CN= DM+MN+EN=DE，CM'+CN'+ M'N'= DM'+ EN'+M'N'∵DM'+ EN'+M'N'> DE∴CM'+CN'+ M'N'> CM+MN+CN∴CM+MN+CN最短。
【例题9】如图，两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+QN 最短
【答案】分别作点P点Q关于直线OA、OB的对称点P'、Q',连接P'Q'分别交射线OA、OB于点M、N，则点M、N即为所求的点。
【解析】在射线OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接PM、PM'、P'M'、QN、QN'、Q'N'，∵点P和P'关于射线OA对称，Q和Q'关于射线OB对称，
∴PM=P'M，PM'=P'M'，QN=Q'N，QN'=Q'N'∴PM+MN+QN=P'M+MN+Q'N=P'Q'
PM'+M'N'+QN'=P'M'+M'N'+Q'N'>P'Q'∴PM'+M'N'+QN'>PM+MN+QN∴点M、点N即为使PM+MN+QN最短的点。
课程小结
1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置
2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。