【秋季课程人教版初二数学】第8讲——最短路径问题_教案

教学过程

一、复习预习

1.两点之间，线段最短。

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

二、知识讲解

考点1：求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题

讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。

考点2：求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题

讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。

三、例题精析

【例题1】

如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短

【答案】作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，则点C为所求的点。

【解析】在直线l上任取不同于C点的C'点，连接AC’,BC’∵点B和B'关于直线l对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’

∴AB'=CA+CB

【例题2】

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，

2.连接A'B交河对岸于点N,

则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。

【解析】由平移的性质，得AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B

若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B

在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B

所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。

【例题3】如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

【答案】分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM ，ON 于点

B 、点

C ，则点B 、点C 即为所求

【解析】若点取在B'、C'处∵A 和A'关于OM 对称，A 和A''关于ON 对称∴AB=A'B ，AC=A''C ，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC 的周长ABC △l =AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B 和点C 即为使三角形周长最小的点。

【例题4】如图所示，点A，B分别是直线l上异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

【

答案】连接AB与l交于点C，点C即为所求的点。

【解析】两点之间线段最短

【例题5】如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，则选在哪处饮马使总距离最短。

【答案】作点A关于CD的对称点A′，连接A'B，交CD于点M，则M点即为使饮马总距离最短的点。

【解析】在直线CD上任取不同于M点的M'点，连接A'M'、AM'.∵点A和A'关于直线CD对称∴AM'=A'M',AM=A'M,AM+MB=A'M+MB=A'B,AM'+M'B=A'M'+M'B>A'B∴选在M点处饮马使总距离最短。

【例题6】如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP 为最短．

【答案】连接DE交AC于点P，则DE=EP+BP最短。

【解析】在AC上任取不同于P点的P'点∵点B和点D关于直线AC对称∴DP=BP，DP'=BP'

∴EP+BP=EP+DP=DE，EP'+BP'=EP'+DP'∵EP'+DP'>DE∴EP'+BP'>EP+BP,∴点取在P处时EP+BP 为最短

【例题7】如图，点P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求做一点M，使△PQM的周长最短

【答案】作点P关于线段BC所在直线的对称点P'，连接P'Q交BC于点M，则点M即为所求的点。

【解析】在BC上任取不同于M点的M'点，连接PQ、PM、PM'、P'M'、M'Q，∵点P和P'关于B C 所在的直线对称，∴PM=P'M，PM'=P'M'，∴△PQM的周长=PM+MQ+QP=P'M+MQ+QP=P'Q+QP，若点区在M'处，△PQM'的周长=PM'+M'Q+QP

=P'M'+M'Q+QP，∵P'M'+M'Q>P'Q∴P'M'+M'Q+QP>P'Q+QP,∴△PQM'的周长>△PQM的周长,∴点取在M处使△PQM'的周长最短。

【例题8】某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

【答案】作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,

2.作点C关于直线OB的对称点点E,

3.连接DE分别交直线OA、OB于点M、N，

则CM+MN+CN最短

【解析】在OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接CM、CM'、DM'、CN、CN'、EN'、M'N'∵点C和D关于射线OA对称，C和E关于射线OB对称，∴CM=DM，

CM'=DM'、CN=EN、CN'=EN'∴CM+MN+CN= DM+MN+EN=DE，CM'+CN'+ M'N'= DM'+ EN'+M'N'∵DM'+ EN'+M'N'> DE∴CM'+CN'+ M'N'> CM+MN+CN∴CM+MN+CN最短。