2集合之间的关系

1.2 集合之间的关系

【知识解读】

1、集合与集合之间的关系：

（1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中______元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集

合B 的子集，记作_______（或B A ⊇），读作“___________”或“B 包含A ”。 如：每个整数都是有理数，就是说：整数集中Z 的每个元素都属于有理数集Q ，即Z Q ⊆，同理Q R ⊆，即N _____Z ______Q ______R ；

注意: 任何集合都是它自身集合的子集，如A_____A 。

（2）相等的集合：对于集合A 和B ，如果______且_______，那么叫做集合A 与集合B 相等。

记作A=B ，读作“集合A 等于集合B ”。因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等。

注意: 当A=B 时，A 一定是B 的子集，B 一定是A 的子集，即A=B ,A B B A ⇔⊆⊆。

（3）真子集：对于两个集合A ，B ，如果________，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么

集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ___ B 或（B _____A ），读作“A 真包于B ”或是“B 真包含A ”。由真子集的定义可见，真子集是子集关系中的特殊关系。 如：对于数集N ，Z ，Q ，R 来说，有N _____ Z _______ Q _______ R ；

注意： 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

2、有关有限集的子集个数的结论：

若集合A 是含有n 个元素的有限集，则集合A 的子集共有____________个， 集合A 的非空子集有__________个，集合A 的非空真子集有_____________个；

【例题讲解】

例1、 确定实数,x y ，使{}{}2,7,4x x y +=。

例2、确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系；

（1）{|A n n =为12的正约数

}与}{1,3,2,4,6,12B =； （2）}{

*|2,C m m k k N ==∈与{|D m m =为4的正整数倍数}。

例3、设{}{}1,2,3,4,1,2A B ==，试写出集合C ，使C

A ，

B

C ⊆。

例4、（1）写出集合{}a 的所有子集；

（2）写出集合{},a b 的所有子集； （3）写出集合{},,a b c 的所有子集，进而猜想含有n 个元素的有限集的子集的个数.

例5、已知{}{}34211A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，，若B A ⊆，求实数m 的取值范围。

※例6、若{}

{}2|320,|20A x x x B x mx =-+==-=，且B A ⊆，求m 的值。

【课后作业】

1、用适当符号,,,,∈∉⊆⊇=， 填空：

（1）t __{}t ； (2){}|10x x +<____{}

2|10x x +=； (3)Q ___R ；

（4）6___{|x x <； (5){10以内的质数}_____{}1,2,3,5,7。

2、集合{}0与空集φ之间的关系中正确的是：（ ）

A 、{0}φ=

B 、{}0φ∈

C 、φ{}0

D 、{}φ{}0；

3、集合{}1,2,3的所有子集是_________________________________________________。

4、设()3,|

12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，(){},|1B x y y x ==+，则A 与B 的关系是_________。 5、已知{}

,a b {},,,A a b c d ⊆，写出所有符合条件的集合A 。

6、若{}{}|2,|A x x B x x a =≤=<，且A B ⊆，则a 的取值范围是___________；

7、设{}{}|12,|A x x B x x a

=-<≤=>满足A B ，则实数a 的取值范围是___________。

8、非空集{}1,3,7,9S ⊆满足：如果x S ∈，则10x S -∈，则符合条件的集合S 为_____________________________________________。

9、若{}1,,,{0,

,}b A a a b B b a =+=，且A B =，则b a -=___________。

10、集{}2|60,{|10}P x x x Q x kx =+-==+=，且满足Q P ，求实数k 的值。

*11、已知集合A 满足条件：若1a A a ∈≠，，则11A a

∈-. （1） 若2A ∈，则集合A 中是否还有其它元素？若没有，说明理由：若有，求出A 中所

有元素；

（2）集合A 是否有可能是只有一个真子集的集合？如果有可能，求出集合A ，如果不能，说明有理由；

*

12、已知非空集合S N *，并且满足条件“如果x S ∈，那么()8x S -∈”，

（1） 写出所有只含有一个元素的集合S ；

（2） 写出所有只含有两个元素的集合S ；

（3） 满足题设的集合S 共有集合？

【回顾反思】