(完整版)十字相乘法因式分解讲义2
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二、因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和 添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定 理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3 x2 +x=-x(3x-1)）
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是
()
A． 2(x y)2 13(x y) 20
B． (2x 2 y)2 13(x y) 20
C． 2(x y)2 13(x y) 20
D． 2(x y)2 9(x y) 20
6．将下述多项式分解后，有相同因式 x－1 的多项式有
试一试：
把下列各式分解因式：
(1) 2x2 15x 7
(2) 3a2 8a 4
(3) 5x2 7x 6
(4) 6 y2 11y 10
(5) 5a2b2 23ab 10
(6) 3a2b2 17abxy 10x2 y2
(7) x2 7xy 12 y2
(8) x4 7x2 18
(9) 4m2 8mn 3n2
3．多项式 x2 3x a 可分解为(x－5)(x－b)，则 a，b 的值分别为
()
A．10 和－2
B．－10 和 2
C．10 和 2
D．－10 和－2
4．不能用十字相乘法分解的是
()
A． x2 x 2
B． 3x2 10x2 3x C． 4x2 x 2
D． 5x2 6xy 8 y2
(3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 ．
例 4 分解因式： (x2 2x 3)( x2 2x 24) 90 ．
例 5 分解因式 6x4 5x3 38x2 5x 6．
例 6 分解因式 x2 2xy y2 5x 5 y 6 ．
例 7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式 ax2 bx c a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2 x c2 )
课题 教学目标 重点、难点
因式分解十字相乘法
1、 了解因式分解的意义。 2、 熟练运用适当的方法进行因式分解。
重点：因式分解的概念以及运用提取公因式法和公式法分解因式。 难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。
教学内容
一、概述
定 义 ：把 一 个 多 项 式 化 为 几 个 整 式 的 积 的 形 式 ，这 种 变 形 叫 做 把 这 个 多 项 式 因 式 分 解 ，也 叫 作 分 解 因 式 。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学 问 题 的 有 力 工 具 。因 式 分 解 方 法 灵 活 ，技 巧 性 强 ，学 习 这 些 方 法 与 技 巧 ，不 仅 是 掌 握 因 式 分 解 内 容 所 必 需 的 ， 而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式 四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综 合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法互为逆变形。
它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等 于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
（3）在多项式 2a2b2 7ab 3 中，把 看作一个整体，即
，就是关于 的二次三项式．同
样，多项式 (x y)2 7(x y) 12 ，把
看作一个整体，就是关于 的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为 1 的二次三项式 x2 (a b)x ab (x a)( x b)
二、典型例题 例 1 把下列各式分解因式：
(1) x2 2x 15；
(2) x2 5xy 6 y2 ．
例 2 把下列各式分解因式：
(1) 2x2 5x 3；
(2) 3x2 8x 3 ．
例 3 把下列各式分解因式：
1） x4 10x2 9 ；
(2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y) ；
(10) 5x5 15x3 y 20xy2
课后练习 一、选择题
1． 如果 x2 px q (x a)( x b) ，那么 p 等于
A．ab
B．a＋b
C．－ab
2．如果 x2 (a b) x 5b x2 x 30 ，则 b 为
A．5
B．－6
C．－5
D．－(a＋b) D．6
() ()
()
① x2 7x 6 ；
Biblioteka Baidu
② 3x2 2x 1；
③ x2 5x 6 ；
④ 4x2 5x 9 ；
⑤15x2 23x 8 ；
A．2 个
B．3 个
C．4 个
⑥ x4 11x2 12
D．5 个
二、填空题
7． x2 3x 10 __________．
8． m2 5m 6 (m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________．
十字相乘法分解因式
1．二次三项式
（1）多项式 ax2 bx c ，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项，
为一次项，
为常数项．
例如： x2 2x 3 和 x2 5x 6 都是关于 x 的二次三项式．
（2）在多项式 x2 6xy 8 y2 中，如果把
关于 的二次三项式．
看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和 添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定 理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3 x2 +x=-x(3x-1)）
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是
()
A． 2(x y)2 13(x y) 20
B． (2x 2 y)2 13(x y) 20
C． 2(x y)2 13(x y) 20
D． 2(x y)2 9(x y) 20
6．将下述多项式分解后，有相同因式 x－1 的多项式有
试一试：
把下列各式分解因式：
(1) 2x2 15x 7
(2) 3a2 8a 4
(3) 5x2 7x 6
(4) 6 y2 11y 10
(5) 5a2b2 23ab 10
(6) 3a2b2 17abxy 10x2 y2
(7) x2 7xy 12 y2
(8) x4 7x2 18
(9) 4m2 8mn 3n2
3．多项式 x2 3x a 可分解为(x－5)(x－b)，则 a，b 的值分别为
()
A．10 和－2
B．－10 和 2
C．10 和 2
D．－10 和－2
4．不能用十字相乘法分解的是
()
A． x2 x 2
B． 3x2 10x2 3x C． 4x2 x 2
D． 5x2 6xy 8 y2
(3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 ．
例 4 分解因式： (x2 2x 3)( x2 2x 24) 90 ．
例 5 分解因式 6x4 5x3 38x2 5x 6．
例 6 分解因式 x2 2xy y2 5x 5 y 6 ．
例 7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式 ax2 bx c a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2 x c2 )
课题 教学目标 重点、难点
因式分解十字相乘法
1、 了解因式分解的意义。 2、 熟练运用适当的方法进行因式分解。
重点：因式分解的概念以及运用提取公因式法和公式法分解因式。 难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。
教学内容
一、概述
定 义 ：把 一 个 多 项 式 化 为 几 个 整 式 的 积 的 形 式 ，这 种 变 形 叫 做 把 这 个 多 项 式 因 式 分 解 ，也 叫 作 分 解 因 式 。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学 问 题 的 有 力 工 具 。因 式 分 解 方 法 灵 活 ，技 巧 性 强 ，学 习 这 些 方 法 与 技 巧 ，不 仅 是 掌 握 因 式 分 解 内 容 所 必 需 的 ， 而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式 四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综 合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法互为逆变形。
它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等 于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
（3）在多项式 2a2b2 7ab 3 中，把 看作一个整体，即
，就是关于 的二次三项式．同
样，多项式 (x y)2 7(x y) 12 ，把
看作一个整体，就是关于 的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为 1 的二次三项式 x2 (a b)x ab (x a)( x b)
二、典型例题 例 1 把下列各式分解因式：
(1) x2 2x 15；
(2) x2 5xy 6 y2 ．
例 2 把下列各式分解因式：
(1) 2x2 5x 3；
(2) 3x2 8x 3 ．
例 3 把下列各式分解因式：
1） x4 10x2 9 ；
(2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y) ；
(10) 5x5 15x3 y 20xy2
课后练习 一、选择题
1． 如果 x2 px q (x a)( x b) ，那么 p 等于
A．ab
B．a＋b
C．－ab
2．如果 x2 (a b) x 5b x2 x 30 ，则 b 为
A．5
B．－6
C．－5
D．－(a＋b) D．6
() ()
()
① x2 7x 6 ；
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② 3x2 2x 1；
③ x2 5x 6 ；
④ 4x2 5x 9 ；
⑤15x2 23x 8 ；
A．2 个
B．3 个
C．4 个
⑥ x4 11x2 12
D．5 个
二、填空题
7． x2 3x 10 __________．
8． m2 5m 6 (m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________．
十字相乘法分解因式
1．二次三项式
（1）多项式 ax2 bx c ，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项，
为一次项，
为常数项．
例如： x2 2x 3 和 x2 5x 6 都是关于 x 的二次三项式．
（2）在多项式 x2 6xy 8 y2 中，如果把
关于 的二次三项式．
看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是