直线方程的几种建立方式及其适用范围

直线方程的几种建立方式及其适用范围
罗村高级中学 黄勉
确定在不同条件下的直线方程，是高考试题重点考查的内容之一。

因此，需要熟练掌握直线方程的各种形式，以及各自的适用范围，以便在不同的情况下灵活地选用。

下面直线方程的几种建立方式及其适用范围列出，以供大家参考：
一、 点斜式
若直线l 过定点),(00y x P ，斜率为k ，则直线l 的方程为)(00x x k y y -=-； 它不适用平行于y 轴（包括y 轴）的直线，换句话说就是不适用于斜率不存在（即倾斜角为090）的直线。

当斜率不存在时，直线l 的方程为：0x x =；特别地，当k ＝0时，其方程为0y y =。

例1、 已知直线l 过点A （1，2）,B(3,m )，求直线l 的方程。

分析：因为直线l 经过点B(3,m ),且m 是一个参数，因此需要对m 进行分情况讨论。

解：当m ＝1时，直线l 的倾斜角为090，其斜率是不存在的，故此直线l 的方程为1=x 。

当m ≠1时，直线l 的斜率为11-=
m k ，又因为直线l 通过点A （1，2），所以直线l 的方程为：)1(1
12--=-x m y 。

例2、 已知直线l 经过点P （—3，4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的
方程。

分析：不难看出，直线l 在经过原点和斜率为—1的两种情况下在两坐标轴上的截距相等。

因此，需要对这两种情况分类讨论。

解：若直线l 经过原点，则直线l 的斜率为3
4-=k ，从而直线l 的方程为：x y 3
4-=，即034=+y x 。

若直线l 不经过原点，由于它在两坐标轴上的截距相等，所以直线l 的斜率为1-=k ，从而直线l 的方程为：),3(4--=-x y 即01=-+y x 。

二、 斜截式
若直线l 的斜率为k 且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为：b kx y +=； 它不适用于平行于y 轴（包括y 轴斜率）的直线，即不适用于斜率不存在（倾斜
角为090）的直线。

也就是说，斜截式与点斜式的适用范围是一样的。

例3、 已知直线l 经过点)4,3(-P ,若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线
l 的方程。

分析：由于直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，且经过点)4,3(-P ，因此可建立方程分别求出此直线的斜率和在斜率上的截距，从而利用斜截式建立直线的方程。

解：设直线l 的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，从而直线l 的方程可设为：b kx y +=；
由于直线l 经过点)4,3(-P ，令y ＝0，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-b
k k b b 3412解得⎩⎨⎧==164b k 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=331b k ，
所以所求的直线方程为
331164+-=+=x y x y 或，即
0930164=-+=+-y x y x 或。

三、 两点式
若直线l 经过两点),(),,(22111y x P y x P （2121,y y x x ≠≠），则直线l 的方程为：1
21121x x x x y y y --=--。

它适用于不平行于坐标轴（包括坐标轴）的直线，若将此方程改写成：))(())((112112y y y y y y x x --=--，则它适用于任何直线。

特别地，当21x x =时，直线方程为1x x =；当21y y =时，直线方程为1y y =。

例4、 已知直线1l ：0123=+-y x ，0432=-+y x l ：
，过点)2,1(-P 引一条直线l 与21,l l 分别交于点M ，N 两点，若P 恰为MN 的中点，求直线l 的方程。

分析：由于M ，N 以P 为中点，也就是说M,N 关于点P 对称，从而可用求对称点的问题分别求出点M ，N 的坐标，利用两点式建立直线方程。

解：设M(b a ,)，则N 点的坐标为（b a ---4,2）
又 点M,N 分别在直线1l ，2l 上，⎩⎨⎧=--+--=+-∴04)4()2(30123b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=3
3b a ，
从而M,N 两点的坐标分别为M(3,3-),N ()1,1-
所以直线l 的方程为：
1
31131+--=++x y ，整理得032=-+y x 。

四、 截距式 若直线l 在y x ,轴上的截距分别为)0(,≠ab b a ，则直线l 的方程为：1=+b
y a x ； 它不适用于平行于坐标轴（包括坐标轴）的直线和经过原点的直线。

但若将此直线改写成ab ay bx =+，则适用于任何直线。

例5、 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，其截距之和为12,求直线l 的方程。

分析：由于直线l 在两坐标轴上的截距相等，且两截距之和等于12，则其截距不可能为零，从而可求出两截距的值利用截距式建立直线方程。

解：设直线l 在轴轴和y x 上的截距分为b a ,，则b a =且12=+b a ，从而6==b a 所以所求的直线方程为
,16
6=+y x 整理得6=+y x 。

例6、 若直线l 在x 轴上的截距的截距是它y 轴上的截距的2倍，且两截距之和
等于12，求直线l 的方程。

分析：同上题一样，由于直线l 在x 轴上的截距的截距是它y 轴上的截距的2倍，且两截距之和等于12，所以其截距不可能为零，从而可求出两截距的值利用截距式建立直线方程。

解：设直线l 在轴轴和y x 上的截距分为b a ,，则b a 2=且12=+b a 解得4,8==b a ，所以所求的直线方程为,14
8=+y x 整理得82=+y x 。

五、 一般式
直线l 的方程的一般形式为()0022≠+=++B A C By Ax ；它适用于任何直线。

例7、 过点)2,1(P 引一条直线，使A(2,3),B(5,4-)到它的距离相等，求这条直线
的方程。

解：设此直线的方程为()0022≠+=++B A C By Ax ，
直线过点)2,1(P 且A(2,3),B(5,4-)到它的距离相等，从而有
⎪⎩⎪⎨⎧++-=+++=++2222543202B A C B A B
A C
B A
C B A ，解得A=4B 或3A －B －C=0； ∴A=4B,C=－6B 或2A=3B,－7A=3C
∴直线的方程为072064=-+=-+A Ay Ax B By Bx 或，
即072064=-+=-+y x y x 或。

例8、 若000≠++C B A 求过点P （1,2）且与直线0432=++y x 平行的直线l 的
方程。

分析：由于所求直线与直线0432=++y x 平行，所以可用一般式建立所求直线的方程032=++C y x ，再用待定系数法求出C ，从而写出所求的直线方程。

解：设所求直线方程为032=++C y x ，因为它过点（1,2），将点（1,2）代入直线方程，解得C=－8，从而所求的直线方程为：0832=-+y x 。

重点提示：
由以上分析可以看出：
1、倾斜角为090（平行于y 轴）的直线不能用点斜式和截距式来建立其方程；
2、平行于坐标轴（包括坐标轴）的直线不能用两点式和截距式来建立其方程；
3、过原点的直线不能用截距式来建立其方程。