语言逻辑PIII【Propositional logic
09第九讲 联言、选言命题及其推理
＊＊（2004年B类）81. 甲、乙、丙、丁四人的 血型各不相同，甲说：“我是A型。”乙说： “我是O型。”丙说：“我是AB型。”丁说： “我不是AB型。”四个人中只有一个人的话 是假的。 以下哪项成立? ( ) A. 无论谁说假话，都能推出四个人的血型情况。 B. 乙的话假，可推出四个人的血型情况。 C. 丙的话假，可推出四个人的血型情况。 D. 丁的话假，可推出四个人的血型情况。 【答案】B
1）张小平或者犯杀人罪，或者犯抢劫罪； 张小平没有犯杀人罪； 所以张小平犯抢劫罪。 *2）张小平或者犯杀人罪，或者犯抢劫罪； 张小平犯杀人罪； 所以张小平没有犯抢劫罪。 3）克林顿是美国总统， 所以克林顿或者是美国总统，或者是美 国国务卿。 ******
4）鱼，我所欲也，熊掌亦我所欲也；二者不 可得兼，舍鱼而取熊掌者也。生亦我所欲 也，义亦我所欲也，二者不可得兼，舍生 而取义者也。（孟子《告子章句上》） 或者要鱼，或者要熊掌，二者不可得兼； 不要鱼， 所以要熊掌。 5）要么为玉碎，要么为瓦全； 宁为玉碎， 所以，不为瓦全。 ******
1、定义：断定事物若干种可能情况（至少有 一种存在）的命题。相容与不相容 2、构成：选言肢(disjuncts)，联结词。 3、相容选言命题：（ inclusive disjunction） 1） 常用联结词：或者，可能…也可能，或许， 也许。 2） 逻辑形式：p或者q p∨q(析取式) 3）逻辑性质：当且仅当选言肢都假，相容选言 命题假。 选言肢不可同假(选言)，可以同真(相容)。 ******
• the truth value of the compound proposition is completely determined by the truth values of its components. • A truth table is an arrangement of truth values that shows in every possible case how the truth value of a compound proposition is determined by the truth values of its simple components. • ******
第三讲 命题逻辑
第一节 复合命题
一、判断、语句和命题
第三，同一语句可以表达不同的判断。 语句分为两种：一是无歧义语句，一是歧义语句。 歧义语句在不同的语境下可以表达不同的判断。 如：这是一个现代派画家的画展——这个画展是 由某一个现代派画家举办的/这一个画展是由现代派 （而不是其他流派）画家举办的。
第一节 复合命题
三、基本的复合命题
（一）联言命题 4.公式
p且q p∧q （合取式）（P、Q称为合取支） 合成式：若分别肯定两个联言支，则可肯定由 这两个联言支组成的联言命题。其形式是： P 李白是唐朝诗人。 Q 杜甫是唐朝诗人。 所以，P并且Q 所以，李白和杜甫都是唐朝诗人。
三、基本的复合命题
（一）联言命题
4.公式
三、基本的复合命题
（二） 选言命题 不相容选言命题真值表
p
T T F F
q
T F T F
p∨ q
F T T F
三、基本的复合命题
（二） 选言命题 或为玉碎，或为瓦全 要么继续闭关锁国而落 后挨打，要么实行改革 开放而走向富强。
三、基本的复合命题
（二） 选言命题 4. 选言支是否穷尽问题
选言支穷尽，指选言命题反映了事物的全部可 能情况。——保证至少有一个选言支是真的——保 证选言命题是真的。
三、基本的复合命题
（二） 选言命题 1.定义 选言命题是断定在几种事 物情况中至少有一种存在的复 合命题。 如：我明天或者去百色起 义纪念馆，或者去澄碧湖。
澄碧湖
三、基本的复合命题
（二） 选言命题
2.两种类型 相容选言命题，不相容选言命题。
例1：张小妹是诗人，或是画家。 例2：韦芳要么是四川人，要么是湖 南人 ，要么是广西人。
1.数理逻辑_04
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） Logic）
1.8推理理论 1.8推理理论(Inference Theory)
常用的蕴含式和等价式见课本P43 表1-8.3、1-8.4 常用的蕴含式和等价式见课本 、 1.如果考试及格 那我高兴。若我高兴， 如果考试及格， 例1.如果考试及格，那我高兴。若我高兴，那么我饭 量增加。我的饭量没增加，所以我考试没有及格。 量增加。我的饭量没增加，所以我考试没有及格。 试对上述论证构造证明。 试对上述论证构造证明。 我考试及格. Q：我高兴。 我饭量增加。 解：设P：我考试及格. Q：我高兴。R：我饭量增加。 则此论证可表为 (P→Q)∧(Q→R)∧┐R⇒ (P→Q)∧(Q→R)∧┐R⇒┐P 证:
直接证法：由一组前提，利用一些公认的推理规则， 直接证法：由一组前提，利用一些公认的推理规则， 根据已知的等价或蕴含公式推演得到有效结论。 根据已知的等价或蕴含公式推演得到有效结论。 常用的推理规则 P规则 （也称前提引入规则）前提在推导过程中的任何 规则:（ 规则 也称前提引入规则） 时候都可以引用。 时候都可以引用。 T规则 在推导过程中，所证明的结论、已知的等价或蕴 规则:在推导过程中 规则 在推导过程中，所证明的结论、 含公式都可以作为后续证明的前提， 含公式都可以作为后续证明的前提，命题公式中 的任何子公式都可以用与之等价的命题公式置换。 的任何子公式都可以用与之等价的命题公式置换。
附加前提证明法或CP规则 附加前提证明法或CP规则. 规则.
2011-4-7
17
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） Logic）
1.8推理理论 1.8推理理论(Inference Theory)
第1章 命题逻辑
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
联结词“∨”的定义真值表
P
Q
P∨Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
29
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
1.2 逻辑联结词(Logical Connectives) 1.2.1 否定联结词(Negation) ┐ 1.2.2 合取联结词(Conjunction)∧ 1.2.3 析取联结词(Disjunction)∨ 1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional)
1.2逻辑联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化. (1) 李平既聪明又用功. (2) 李平虽然聪明, 但不用功. (3) 李平不但聪明,而且用功. (4) 李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功. 则 (1) P∧Q (2) P∧┐Q
个值:真（用 T(true)或1 表 示）、假 （用F(false) 或0表 示） 。 ✓ 真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。 ✓ 假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。
5
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
说明：“∧” 属于二元(binary)运算符. 合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真 时，运算结果才为真，否则为假。
常用的五个命题联结词
常用的五个命题联结词命题逻辑(propositional logic) 也被称为语句逻辑(sentential logic)，是从连接词和复合语句的角度讨论逻辑蕴含，可演绎性和一致性。
这意味着我们会忽略语句中的其他的元素主语、谓词和量词等。
命题和语句是有区别的，但暂时不区分，命题、语句或句子都是指的同样的东西。
理论的前提和结论都是由陈述句构成的。
对于陈述句，我们给出一个简单的定义:对于任何一个语句ϕ \phi ϕ，如果我们问下列问题是有意义的，•ϕ \phi ϕ是真的吗？•ϕ \phi ϕ是假的吗？那么我们就称ϕ \phiϕ为陈述句。
对于书中的句子：•讨论的句子只限于陈述句•讨论的陈述句只限于非真即假的陈述句如果一个句子是真的，那么我们说该句子的真值是真；如果一个句子是假的，我们说该句子的真值是假。
真和假统称真值(true-value)。
用这个概念重复上两个预设，那么有联结词命题联结词(propositional connectives)，也被称为语句联结词(sentenial connectives),又称命题算子或者语句算子(propositional/sentential operators)。
通常我们简称命题联结词为联结词。
直观来讲，他们是带空格的表达式，使得陈述句填入这些空格的结果总是陈述句。
例如：•----，并且----•(虽然)----，但是，----•(或者)----,或者----•并非----•因为----，所以----•可以想象----•张三相信----•李四认为----•政客们喜欢说----对于自然数 n > 0 n>0 n>0，如果一个联结词有 n 个空格，我们通常就说他是 n元联结词。
联结词实际上是陈述句集合上的某种函数(运算)：对于每个这样的 n 元函数，一旦给定有序的 n 个陈述句作为其自变量的取值，该函数的值是一个唯一的陈述句，即由依次填入联结词的空格列所得到的句子。
离散数学(1.2逻辑联接词)
注意：不要见到“与”或“和”就使用联结词∧ ！ 例如: (1) 李敏和李华是姐妹。 （2）李敏和张华是朋友。
8
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例4. 试生成下列命题的合取. (1) P: 我们在XNA303. Q: 今天是星期二. (2) S：李平在吃饭. R：张明在吃饭. 解: (1) P∧Q :我们在XNA303且今天是星期二. (2) S∧R:李平与张明在吃饭.
1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional) 或
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻
辑联结词(Logical Connectives)
在命题逻辑中,主要研究的是复合命题,而复合命 题是由原子命题与逻辑联结词组合而成,联结词组是 复合命题的重要组成部分. 1.2.1 否定联结词 ┐ 定义1.2.1 设P为一命题， P的否定是一个新的复合 命题, 称为P的否定式，记作 “┐P”读作“非P”. 符 号“┐ ” 称为否定联结词。 ┐P为真当且仅当P为 假. 说明： “┐”属于一元(unary)运算符
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
• “┐”的定义也可用下表来说明. 联结词“┐”的定义真值表
P F T
┐P
T F
4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
P F F T T Q F T F T P
Chapter1.1-Propositional_logic1(Propositions and Connectives)
Discrete Mathematics
Henan Polytechnic University School of Computer Science and Technology
Statements or propositional variables can be combined by logical connectives（逻辑联结词） to obtain compound statements(复合命题).
p and q: The sun is shining and it is cold.
Logical Connectives（逻辑联结词）
Unary
Negaton（合取） Disjunction （析取） Exclusive OR （异或） Implication （蕴涵） Biconditional （等价，双条件命题）
注意： 一个语句本身是否能分辨真假与我们是否知 道它的真假是两回事。也就是说，对于一个句子， 2050年元旦是晴天。 有时我们可能无法判定它的真假，但它本身却是 有真假的，那么这个语句是命题，否则就不是命 题。 悖论不是命题。
判断下列语句是否是命题，如果是，判断真假。 eg1：我第一次接触《离散数学》，我就立刻 喜欢 上它了。
Foundations of Logic: Overview
Propositional logic:
Basic definitions. Equivalence rules & derivations.
Predicate logic
经典命题逻辑和谓词逻辑的语义解释
经典命题逻辑和谓词逻辑的语义解释经典命题逻辑（Classical Propositional Logic，CPL）和谓词逻辑（Predicate Logic，PL）是常见的两种逻辑。
下面将分别对它们的语义解释进行简要说明。
一、经典命题逻辑的语义解释经典命题逻辑是一种用于判断正确性的逻辑，基于“命题（proposition）”的概念来描述逻辑结构。
命题是一个具有真假性的陈述，例如“太阳从东方升起”。
CPL可以用逻辑符号来表示命题，如“∧”表示逻辑与，“∨”表示逻辑或，“¬”表示逻辑非等。
下面是CPL语义解释的基本概念：• 模型（Model）：对于一组命题，在逻辑上称为“命题系统”，如果存在一组真值赋值（True/False Assignment），使得对于系统中的所有命题，每个命题都能够被赋予相应的真假值，则称这个真值赋值是模型。
也就是说，模型是对命题系统的一种真值解释，通过模型可以判断命题系统的真伪性。
• 句子（Sentence）：CPL中的句子由一个或多个命题构成，并由逻辑符号组合而成。
例如，P∧Q就是由P和Q组成的一个句子。
句子的真假性取决于其中每个命题的真伪性以及逻辑符号的作用。
如果一个句子是真的，那么我们就说它是“可满足的”。
• 命题公式（Propositional Formula）：命题公式是指由命题和逻辑符号组成的复杂语句。
命题公式可以被看做是一种特殊的句子，句子是命题公式的实例。
例如，P∧(Q∨R)就是一个命题公式。
二、谓词逻辑的语义解释谓词逻辑是经典命题逻辑的扩展，用步骤更加精细的方式来描述命题的结构。
谓词逻辑是一种用于描述命题关系的逻辑。
它使用“命题变量（variable）”和“谓词（predicate）”这两个概念来构建命题。
命题变量代表某种对象，谓词则代表这些对象的性质或关系。
例如，如果我们有一个谓词“有色彩（colored）”，那么我们就可以将一个命题变量“x”替换为具体对象，如“苹果”，称得到的命题为“苹果有色彩”。
语言逻辑PI【LanguageandLogic
• Classifications of Language • Natural language vs. formal language • Natural language exists for thousands of years, nobody knows who designed the language( such as English, Chinese, German,etc.). • All natural languages are highly ambiguous.
He made her duck.
• I cooked waterfowl for her benefit为她着想 (to eat). • I cooked waterfowl belonging to her. • I created the plaster duck she owns. • I caused her to quickly lower her head or body. • I waved my magic hand and turned her into a waterfowl.
He made her duck.
• Grammar: Make can be:
– Transitive带宾语: (verb has a noun direct object)
• I cooked [waterfowl belonging to her]
– Ditransitive双宾语的: (verb has 2 noun objects)
Context语境 to the rescue救援
• Q1: What did you cook for Mary last night? A1: I made her duck. • Q2: Where did Mary get that great plaster 石膏 duck? A2: I made her duck.
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）1.1 Propositional Logic（命题逻辑）Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。
Truth Table（真值表）Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）Translating English Sentences1.2 Propositional Equivalences（命题等价）Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）Logical Equivalences——Page24Disjunctive normal form(DNF，析取范式)Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～291.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词Quantifiers——量词Ø Universal Quantifier(全称量词) "全部满足Ø Existential Quantifier(存在量词) $至少有一个Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)Logical Equivalence Involving QuantifiersNegating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)Using Quantifiers in System SpecificationsExamples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。
形式逻辑 辩证逻辑 三大逻辑
形式逻辑辩证逻辑三大逻辑形式逻辑是一种逻辑学上的理论，它研究命题之间的关系。
Formal logic is a theoretical study in logic, which investigates the relationships between propositions.形式逻辑主要涉及到命题的真假和关系，以及逻辑推理的规则。
Formal logic mainly involves the truth and relations of propositions, as well as the rules of logical inference.形式逻辑通过符号和公式来描述命题之间的关系和推理规则。
Formal logic describes the relationships between propositions and the rules of inference through symbols and formulas.形式逻辑可以分为命题逻辑和谓词逻辑两种类型。
Formal logic can be divided into two types: propositional logic and predicate logic.命题逻辑主要研究命题之间的联结方式和推理规则。
Propositional logic mainly studies the ways of connecting propositions and the rules of inference.命题逻辑使用符号表示命题的真假和联结关系。
Propositional logic uses symbols to represent the truth and relations of propositions.命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，而不涉及命题中的主语和谓语。
Propositional logic focuses on the logical relationships between propositions, without involving the subjects and predicates in the propositions.谓词逻辑引入了量词和谓词符号，可以描述更复杂的命题关系。
离散数学第一章 命题逻辑
1.2 联结词
2、合取 ∧
Proposition Logic 命题逻辑
P∧Q是P和Q的合取, 读做“P与Q”或“P并且Q”。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ∧Q 0 0 0 1
如： P: 王华的成绩很好。
Q: 王华的品德很好。 P∧Q: 王华的成绩很好并且品德很好。
对，成立，则真值为真，T，1
错，不成立，则真值为假，F，0
断言是一陈述语句。一个命题是一个或真或假而不能 两者都是的断言。如果命题是真, 我们说它的真值为真； 如果命题是假，我们说它的真值是假。
4/5/2014 8:53 PM chapter1 2
1.1 命题及其表示法
【例1 】判定下列各语句是否为命题： （是） (a) 巴黎在法国。 （是） （是） (c) 3+2=5 (d) 别的星球上有生物。 （是） (b) 煤是白色的。 (e) 全体立正。 (f) 明天是否开大会？
从真值表可知P∨Q为真, 当且仅当P或Q至少有一为真。
4/5/2014 8:53 PM chapter1 12
1.2 联结词
Proposition Logic 命题逻辑
“或”字常见的含义有两种: 一种是“可兼或”, 如上
例中的或, 它不排除小王既喜欢唱歌又喜欢跳舞这种情况。
一种是“排斥或”（异或）, 例如“人固有一死, 或重于泰 山, 或轻于鸿毛”中的“或”, 它表示非此即彼, 不可兼得。 运算符∨表示可兼或, 排斥或以后用另一符号表达。 如：(1)小李明天出差去上海或去广州。
所以,“如果P则Q”, “只要P则Q”,只有Q才P”, “仅当Q 则P”都可符号化为P→Q 的形式。
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）1.1 Propositional Logic（命题逻辑）Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。
Truth Table（真值表）Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）Translating English Sentences1.2 Propositional Equivalences（命题等价）Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）Logical Equivalences——Page24Disjunctive normal form(DNF，析取范式)Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～291.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词Quantifiers——量词Ø Universal Quantifier(全称量词) "全部满足Ø Existential Quantifier(存在量词) $至少有一个Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)Logical Equivalence Involving QuantifiersNegating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)Using Quantifiers in System SpecificationsExamples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。
几个逻辑相关的英语单词
几个逻辑相关的英语单词逻辑 logic数理逻辑 mathematical logic模型论 model theory集合论 set theory递归论 recursion theory证明论 proof theory非标准分析 nonstandard analysis反推数学 reverse mathematics元数学 metamathematics二阶算术的子系统 subsystems of the second-order arithmetic 直觉主义 intuitionism构造性数学 constructive mathematics语言 language元语言 metalanguage元定理 metatheorem公理 axiom定理 theorem命题 proposition命题演算 propositional calculus 谓词演算 predicate calculus合取 conjunction析取 disjunction非,否定 negation量词 quantifier全称量词 universal quantifier 存在量词 existential quantifier 关系 relation函数 function常量 constant变元,变量 variable项 term公式 formula原子公式 atomic formula句子,命题 sentence永真命题 tautology前束标准型 prenex normal form 理论 theory可满足的 satisfiable和谐性,相容性 consistency句法 syntax语义 semantics可靠性定理 soundness theorem完备性定理 completeness theorem 紧致性定理 compactness theorem可公理化 axiomatizable有限可公理化 finitely axiomatizable 同构 isomorphism同态 homomorphism初等等价 elementary equivalent 初等嵌入 elementary embedding 初等子模型 elementary submodel 初等扩张 elementary extension图象 diagram正图象 positive diagram初等图象 elementary diagram模型 model可数模型 countable model不可数模型 uncountable model原子模型 atomic model素模型 prime model齐性模型 homogeneous model万有模型 universal model饱和模型 saturated model特殊模型 special model递归饱和模型 recursively saturated model 布尔值模型 boolean-valued model格值模型 lattice-valued model超滤 ultrafilter超积 ultraproduct超幂 ultrapower模型完备 model complete子模型完备 submodel complete量词消去 quantifier elimination稳定性理论 stable theory集,集合 set子集 subset幂集 power set空集 empty set有限集 finite set无限集 infinite set可数集 countable set不可数集 uncountable set 有限集 finite set无限集 infinite set序数 ordinal极限序数 limit ordinal后继序数 successor ordinal 基数 cardinal大基数 large cardinal可测基数 measurable cardinal正则基数 regular cardinal奇异基数 singular cardinal不可达基数 inaccessible力迫法 forcing连续统假设 Continuum Hypothesis 选择公理 Axiom of Choice决定性公理 Axiom of Determinacy 归纳法 induction超限归纳法 transfinite induction 超限递归 transfinite recursion递归 recursion原始递归 primitive recursive递归函数 recursive function递归可枚举 recursively enumerable递归可判定 recursively decidable 递归不可分 recursively inseparable 递归集 recursive set算术集 arithmetical set解析集 analytic set单纯集 simple set创造集 creative set多一归约 many-one reducible一一归约 one-one reducible图灵归约 Turing reducible不可解度 degree of unsolvability 图灵度 Turing degree一阶逻辑 first-order logic二阶逻辑 second-order logic高阶逻辑 higher-order logic非古典逻辑 non-classical logic 无穷逻辑 infinitary logic古典逻辑 classical logic直觉主义逻辑 intuitionistic logic 模态逻辑 modal logic多值逻辑 many-valued logic。
命题逻辑的语义与语义表达
命题逻辑的语义与语义表达命题逻辑（propositional logic）是数理逻辑的基础，它研究的是命题的形式逻辑。
在命题逻辑中，命题（proposition）被定义为可以判断真假的陈述句，并且只有两个可能的取值：真（T）和假（F）。
命题逻辑的语义（semantics）是研究命题与其真值之间的关系，即命题的意义以及其在不同情况下的真假取值。
在命题逻辑中，我们可以使用真值赋值表（truth table）来确定命题的真值。
真值赋值表列出了所有可能的情况，以及每个命题对应的真值。
对于命题逻辑的语义表达（semantic expression），我们可以使用多种形式来描述命题的意义。
以下是一些常见的语义表达方式：1. 真值赋值表（Truth table）：真值赋值表是一种常用的语义表达方式，它将每个命题的真值列出来，使读者可以清楚地了解每种情况下命题的真假取值。
2. 真值公式（Truth function）：真值公式是一种表示命题逻辑中的逻辑运算的方式。
例如，命题逻辑中的与（and）、或（or）和非（not）等逻辑运算可以通过真值公式进行描述。
3. 命题逻辑公式（Propositional logic formula）：命题逻辑公式是描述命题逻辑中命题与逻辑运算之间关系的符号串。
它由命题符号、逻辑运算符号以及括号组成。
命题逻辑公式可以使用逻辑公式的推导规则进行推导，以验证其逻辑的正确性。
4. 自然语言表达（Natural language expression）：除了利用符号和公式来描述命题逻辑的语义外，我们还可以使用自然语言来表达命题的意义。
自然语言是人类日常进行交流的常用语言，使用自然语言可以更加贴近人们的表达方式，使得命题逻辑的语义更易理解。
命题逻辑的语义与语义表达是命题逻辑研究的重要内容。
通过对命题逻辑的语义的研究，我们可以更好地理解命题的真值以及命题之间的逻辑关系，进而应用于其他相关领域，如人工智能、自然语言处理等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• The syntax语法学 and semantics语义学 of propositional calculus (命题演算的语法学、语义学) • Tautologies and contradictions (重言式、矛盾式) • Truth tables (真值表)
Propositional logic: connectives
•
•
•
•
conjunction连接 of p and q); “p∨q” is the proposition “p or q or both”, (the disjunction 析取 of p and q.） “p → q” is the proposition “if p then q”, (the implication蕴含 of p and q.) “p ↔ q” is the proposition “if p then q, and vice替代 versa反之亦然”, (the equivalence of p and q.) “¬p” is the proposition “not p”.
Propositional logic
• The meaning of the logical connectives Conjunction ∧, & Difference between ∧, & vs. and () Run a mile every day and you will feel like a new man. Not conjunction but implication蕴涵: () If you run a mile every day then you will feel like a new man. p→q
Propositional logic
• The meaning of the logical connectives Conjunction ∧, & Difference between ∧, & vs. and “And” often expresses sequences 后果 of events. () He lay down on the bed and died. () He died and lay down on the bed. In logic, p ∧ q is always equivalent to q ∧ p. p ∧ q ≡q ∧ p (commutative 交换的) ∧ is atemporal不受时间影响的.
Propositional logic
• The meaning of the logical connectives Disjunction ∨
The disjunction析取 is used to create a compound sentence并列（复合）句 which is false only if both the simple sentences in it are false. It will be enough that one disjunct 不相连的is true for the whole disjunction to be true.
点
Contents: • Connectives 联接词 • The meaning of the logical connectives (negation否定,conjunction连接, disjunction分离, implication蕴含, equivalence相等) • How to indicate constitute structure(表示组成成分的
2. The possibility of focusing different constituents 构成部分 in a negated sentence by stress and intonation语调 is also lost in propositional logic. () Mary didn’t break the window. Mary didn’t break the window. The difference between () and () cannot be captured 捕获in propositional logic; both would be translated as ～p.
Propositional logic
• The meaning of the logical connectives Conjunction ∧, & Difference between ∧, & vs. and “∧, &” can only be used to combine sentences “And” can be used to combine constituents below the sentence level. John and Bill (×John ∧ Bill) () John and Bill own a car. () John owns a car and Bill owns a car. (p ∧ q)
Propositional logic命题逻辑
• Propositional logic largely 大部分地 involves studying logical connectives 连接词 such as the words “and” and “or” and the rules determining 确定 the truth-values of the propositions they are used to join连接, as well as what these rules mean for the validity正确性 of arguments.论
• Four of the propositional connectives
“and”, “or” , “if... then”, “if and only if当且 仅当” plus “not” If p and q are propositions, then
•
• “p∧q” is the proposition “p and q ”, (the
Propositional logic命题逻辑
• Propositional logic (sentential logic句子
逻辑), is that branch of logic that studies ways of combining联合 or altering改 变 statements声明 or propositions命题 to form more complicated结构复杂的 statements or propositions. Joining two simpler propositions with the word “and” is one common way of combining statements. When two statements are joined together with “and”, the complex statement formed by them is true if and only if both the component成分的 statements are true.
• Bill is a vegetarian even though he eats pork. • Bill is a vegetarian and he reads eats pork. • Bill is a vegetarian or he eats pork.
•
p even though q p and q p or q The logical form provided by the sentential connectives therefore determines the logical consequences 逻辑结论of the sentences that have been related by the connectives.
3. The hope of capturing complexity捕捉的复杂性 in the formal representation of propositional logic is lost. () Harold did not think Alfred was fond of cakes. () is ambiguous for there being a choice between interpreting理解 the subordinate次要的 or the main clause as negated.
连接词 • We will use letters such as p,q,r,s,... or A,B,C,D,... to represent propositions. The letters are called logical variables逻辑变量/数. We combine simple propositions to form compound复合 propositions using connectives (logical constants逻辑常数). • logical variables逻辑变量/数: signs that can stand for any declarative sentence 陈述句 (represent the content) • Constants常数，常量: signs that have a permanent non-variable 恒定的meaning (represent the structure) • Logical constants逻辑常数[常项]: signs that through their permanent meanings and functions determine the logical structure of the sentences they occur发生 in.