理论力学 第12章

则杆的动能：
§12-3 动能定理
1.质点的动能定理
将 m dvr 两 端Fr 点乘 ，得dr：
dt
m
d
v
dr
F
d
r
dt
由于 dr v，d于t 是有：
mvr
dvr
r F
drr
由于 mvr
dvr
d(1
mv2 ),
r F
drr
δW
2
质点动能的增量 等于作用在质点 上力的元功
d(1 mv2 ) δW —— 质点动能定理的微分形式 2
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解: 轮C与轮O共同作为一个质点系
主动力所作的功为：W12 M m2gs sin
质点系的动能为：
T1 0
T2
1 2
(m1R12
)ω12
1 2
m2vC2
1 2
(
1 2
m2
R22
)ω22
由于：1
vC R1
,2
vC R2
W12 T2 T1
M
m2gs sin
C
P
FS
FN
§ 12-2 质点和质点系的动能
1.质点的动能
1 mv2 2
标量，恒为正值
单位：J（焦耳） 动能和动量都是表征机械运动的量
2.质点系的动能
T
1 2
mi
vi
2
（1）平移刚体的动能
平移刚体各点的速度都相同，可以质心速度为 代表，于是平移刚体的动能为：
T
1 m
2i
vi2
1 2
vC2
[例]两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示； AB 杆质 量是OA杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位 置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端 的速度。
解：取整个系统为研究对象
vA
OA杆铅垂时, AB杆瞬时平移。
vB
B端速度为v，且
例12-3 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ： R2 ，m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
选不同零势能点列出系统的势能。 平衡时弹簧的初变形为
1. 选水平位置为重力零势能点，自然位置O为弹簧 零势能点。
杆处于微小摆角 时，系统的势能为
2. 选杆水平位置平衡时为系统的零势能点
杆处于微小摆角 时，系统的势能为
3.机械能守恒定律 机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和. 由动能定理有：T2 T1 W12 如果质点系仅在有势力作用下,有：W12 V1 V2
约束力作功等于零的约束为理想约束.
当轮子在固定面只滚不滑时， 接触点为瞬心，滑动摩擦力作用 点没动，此时的滑动摩擦力也不 作功。
不计滚动摩阻时，纯滚动的接 触点也是理想约束 内力作功之和不一定等于零.
F21 F12
理想约束的约束力不作 功，而质点系的内力作 功之和并不一定等于零
刚体所有内力作功之和等于零.
2
)
δWi
即 dT δWi —— 质点系动能定理的微分形式
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部 力所作的元功的和
对上式积分后得：
T2 T1 Wi —— 质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能 改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中 所作功的和
3.理想约束及内力的功 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长 的柔索等约束的约束力作功等于零.
第十二章 动能定理
第十二章 动能定理
§ 12-1 力的功 § 12-2 质点和质点系的动能 § 12-3 动能定理 § 12-4 功率 功率方程 机械效率 § 12-5 势力场 势能 机械能守恒定律 § 12-6 普遍定理的综合应用举例
§ 12-1 力的功
常力在直线运动中的功
质点M在常力F 作用 下沿直线走过一段路程s ，力F在这段路程内所积 累的效应用力的功来度 量，定义为：
T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒
此类系统称保守系统. 非保守系统的机械能是不守恒的.
(T2 V2 ) (T1 V1) W12
机械能耗散
例12已1知0：轮D匀速转动。重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀
速下降，钢索刚度系数 k=3.35× 106 N/m . 求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力.
(2m1 3m2 )R1
• 作业 • 习题 12-8 12-15
§ 12-4 功率、功率方程、机械效率
1.功率 单位时间力所作的功
P δW 单位W（瓦特）,1W=1J/S 由δW Fr,得drr dt
P
r F
drr
dt
r F
vr
Ftv
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.
作用在转动刚体上的力的功率为：
W Fxdx Fydy Fzdz
几种常见力的功 1.重力的功 质点：M1 M 2 重力在直角坐标轴上的投影为：
Fx Fy 0 Fz mg
重力作功为：
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
重力作功仅与质点运动开始和末了位移的 高度差有关，与运动轨迹的形状无关
质点系： 全部重力作功之和为：
A0
A
fm1m2 r2
err
drr
V
r1 fm1m2
r
r2
dr
1
fm1m2
r1
1 r
如果取零势能点在无穷远，即：r1 ， 则：
V fm1m2 万有引力场为势力场
r
（4）重力－弹性力系统 一般取系统的平衡位置作为系统的零势点。 质量为m，长为l的均质杆用刚性系数为 k的弹簧吊住于水平位置平衡。
vC 2 4
(2m1
3m2 )
(a)
其中： s
R1
vC 2
(M m2gR1 sin )s
R1(2m1 3m2 )
M
m2gs sin
vC 2 4
(2m1
3m2 )
(a)
式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
1 2
(2m1
3m2 )vCaC
M
vC R1
m2 gvC
sin
aC 2
(M m2gR1 sin )
例12-1
已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使圆盘向右 运动, 初静止。 求: 盘心C走过 s 路程时力的功。
F
解：
重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有
力F作功，将力F向质心简化，得：
一个力 F ，F一个力偶 M C F R
且： s/R
总功为：
F
W F ' s MC 2Fs
F
s
W F cosθ s 代数量
其中，θ 为力与直线位移方向之间的夹角 单位：J（焦耳）
变力在曲线运动中的功
元功：δW F cos ds
矢量形式：δW
r F
drr
M1 M2
W12
M2 M1
δW
M2 M1
Fr ·drr
在直角坐标系中：
rrrr F Fxi Fy j Fzk
r rr r dr dxi dyj dzk
3.机械效率
有效功率： P有效
P有用
dT dt
机械效率： P有效
P输入
η 是评定机器质量优劣的重要指标之一，
一般情况下 η 1
多级传动系统： 12 L n
例128已知: P输入 5.4kW, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
F k(r l0 )er
当弹簧伸长时，力与
er
当弹簧被压缩时，力与
的方向相反；
er
的方向相同；
F k(r l0 )er
弹性力的功为：
W12
A2
r F
drr
A1 r
A2 A1
k
(r
l0
r )er
drr
因为：err
drr
r r
drr
1 2r
d(rr
rr )
1 2r
d(r 2 )
在势力场中,势能的大小是相对于零势能点而言的。 对于不同的零势能点，在势力场同一位置的势能有 不同的数值。
（1）重力场中的势能
重力场中，以铅垂轴为z轴，z0处为零势能 点。质点在z坐标处的重力势能为：
V
Z0 Z
mgdz
mg
z
z0
（2）弹性力场的势能
以弹簧变形量为 δ0 处为零势能点，则变形 量为 δ 处的弹簧势能为：
P
δW dt
Mz
d
dt
M z
2.功率方程
dT
dt
n δWi i1 dt
n
Pi
i 1
—— 功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于 质点系的所有力的功率的代数和.
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变 化和转化的问题。
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
dT dt P输入 P有用 P无用
V
r0
r F
drr
k
r
2
2
2 0
若取弹簧的自然位置为零势能点，则
有 δ0 0 ，于是有： V k 2
2
（3）万有引力场中的势能
设质量为 m1的质点受质量为m2
的物体的万有引力F作用。
取点 A0 为零势能点，则质点
在点A的势能为：
V
A0
r F
drr
A
由于err drr dr有
势力场中,物体所受的力为有势力(保守力)。
重力、弹性力、万有引力都是保守力； 重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。
2.势能
在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0， 有势力所作的功为质点在点M相对于M0的势能
V
M0
r F
drr
M
M0 M
Fxdx Fydy Fzdz
点M的0 势能等于零，称为势能零点
求:切削力F的最大值。
解: P有用 P输入 P无用 3.78kW
P有用
Fv
F
d 2
·πn 30
当n
42 r/min时，F
60 πdn
P有用
60 3.78 π 0.1 42
17.19kN
当 n 112r / min 时，F 60 3.78 6.45kN
π 0.1112
§ 12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
对 d(1 mv2积) 分δ后W可得到 2
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
—— 质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变 量等于作用于质点的力作的功.
力作正功，质点动能增加； 力作负功，质点动能减小。
2.质点系的动能定理
由
d(
1 2
mi
vi
2
)
δWi
d(
1 2mi
vi
1.势力场
如果一物体在空间任一位置都受到一个大小和方 向完全由所在位置确定的力的作用，则这部分空间 称为力场。
例如：地球表面的空间为重力场； 太阳周围的空间为太阳引力场。
如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的 功只与力作用点的始、末位置有关,而与该点的轨迹 形状无关。这种力场称为势力场(保守力场)。
由于：M z Ft R
δW M zd
从角 转1 动到角 过2 程中力 的Fr 功为
W12
2 1
M
zd
若 M z 常 量，则：
W12 M z (2 1)
4. 任意运动刚体上力系的功
无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所 有力作功的代数和。
对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学
也适用。将力系向刚体上任一点简化，一般简化为
W m g(z z )
12
i
i1
i2
由质心坐标公式,有:
zC
mi zi m
W12 mg(zC1 zC2 )
重力的功只与质心的始、末位置有关，与质 心的运动轨迹形状路径无关。
2.弹性力的功 物体受到弹性力的作用， 作用点A的轨迹为 A1 A2 在弹性极限内，弹性力的大小：
F kδ
k——弹簧刚度系数 (N/m)
对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动， 质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动 能与相对于质心平移坐标系运动的动能之和。
Baidu Nhomakorabea
[例] 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑 的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙 地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，
中心速度为 ，v杆A 与水平线的夹角 ，4求5 该瞬
一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和
力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，
有：
δW
δWi
r FR
r ' drC
r MC
dr
平面运动刚体的元功为：
δW
r FR
'
r drC
MCd
当质心由 C1 ~ ,C转2 角由 1时~,力2系的功为：
W12
C2 C1
r FR
r drC
2 1
M C d
mi
即： T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mi
vi
2
12mi 2ri2
12
2
Jmz iri2
即：
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
质心为C
1 2
J pω2
Jp JC md2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与 绕质心转动的动能之和.
dr
得
W12
r2 r1
k(r
l0 )dr
即
W12
k 2
(12
22)
1 r1 l0 , 2 r2 l0
初变形 末变形
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的 变形量有关，与力作用点的轨迹形状无关
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F在切线上的投影为：Ft F cosθ
力F的δW元功 F为r ：drr Ftds Ft Rd
时系统的动能。 解：
P 为AB杆的瞬心
[例]如图滑块A以速度 vA 在滑道内滑
动，其上铰接一质量为m，长为 l 的均 质杆AB，杆以角速度 绕A转动。试 求当杆AB与铅垂线的夹角为 时，杆 的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vC vA vCA
速度合成矢量图如图，由余弦定 理有：