理论力学 第12章
理论力学第12章 达朗贝尔原理
基础部分——动力学第12 章达朗贝尔原理惯性力Jean le Rond d’Alembert （1717-1783)达朗贝尔达朗贝尔原理达朗贝尔原理具体内容：a F F m −=−='惯性力定义：质点惯性力aF m −=I 一、惯性力的概念aF m −='2222d d d d z ty m t[注意]不是真实力直角坐标自然坐标aF m −=I−a m 质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理合力：NF I FI N =++F F F 注意：◆◆优点：◆可以将动力学问题从形式上转化为静力学动静法◆给动力学问题提供了一种统一的解题格式。
如何测定车辆的加速度？虚加惯性力解：达朗贝尔原理[例12-1]IF 摆式加速计的原理⇒⇒构成形式上的平衡力系质点系的达朗贝尔原理内力外力表明：惯性力系外力平面任意力系实际应用时，同静力学问题一样，选取研究对象；刚体惯性力系的简化简化方法一、质点系惯性力系的主矢与主矩无关有关二、刚体惯性力系的简化◆质心C结论：1IF2IF3IF IRFCm aF−=IR⇒交点O简化tI iF nI iF αα特殊情形：●●αOz O J M −=I 作用在O 点C m a F −=IR t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αt I iFn I iFα[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O=（逆）①2IR ωme F =②αCz O J M −=I （与α反向）③0, 0I IR ==O M F （惯性力主矢、主矩均为零）IRF OM I α（作用于质心C ）C m a F −=IR αCz C J M −=I 质心C IRF CM I α特殊情形：●●⇒[思考]εmr F =t IRrR r mF −=22n IRωε2I 21mr M C=求：惯性力系向质心C 简化的主矢？主矩？达朗贝尔原理上节课内容回顾（质点惯性力）或：质心C Cm a F −=IRαOz O J M −=I Cm a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I ααOz O J M −=I C m a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αCm a F −=IR αCz C J M −=I质心C IRF CM I α质心C[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O =问：若向质心C 简化，则主矢？e =−∑Cx xma F 平面运动微分方程0)( e=−∑αCz C J MF 0e =−∑Cy yma F IRF CM I α⇒⇒[例12-2]解：惯性力系αt RI Fn IRFn AFt A FAM I αtRI Fn IR F nA F t AF AM I α惯性力系）解题步骤及要点：注意：F IR = ma C M I O = J Oz αα思考：AC CθASO[例12-3]先解：惯性力系m gF IR M I C F sF NαR a C =CθASOm gF IRF OxF OyM I C再惯性力系M O[例12-4]解：惯性力系 1I F OM I 2I F α)(=∑F OMα11r a =2211 α22r a =1I F OM I 2I F α[思考题] A BCD E )(118↓=g a A mgF 113T =111≥f主动力系惯性力系RFIRF OMIRF IRF OM I tI iFn I iF∑∑==ii iyzi i i zx z y m J x z m J RF IRF OM I tI iFn I iFRF IRF OM Ill F M l F M y x y x /)]()[( 2I I 2R ⋅−+⋅−ll F M l F M x y x y /)]()[(2I I 2R ⋅++⋅+−ll F M l F M y x y x /)]()[(1I I 1R ⋅++⋅+−ll F M l F M x y x y /)]()[( 1I I 1R ⋅−+⋅−xF R −约束力静动主动力惯性力动约束力I x 02=ωJ 质心过)04222≠+=−ωααωωα惯性主轴z 轴为中心惯性主轴静平衡过质心⇒动平衡中心惯性主轴⇒[例12-5]静平衡动平衡爆破时烟囱怎样倒塌θOAωα解：m g)cos 1(3θ−lg F OxF OyMI On RI F t IRF 受力分析[例12-6])]([)(sin ⋅−−+−+⋅x x l l x x l mg ααθ1()(sin mgl −θB注意：求内力(矩)时惯性力的处理！xθxAB()ml x lα−m l lαBM BxF x mg lByF12-5-1 关于惯性力系的简化OA ωαMI OnR I FtIRFOAωαMI CnRIFtRIFC 思考思考12-5-2 刚体平面运动时有关动力学量的计算mv+C12-5-3 本章知识结构框图达朗贝尔原理惯性力系的简化质点系达朗贝尔原理定轴转动的约束力一般质点系刚体静、动约束力静、动平衡课后学习建议：◆。
理论力学哈工大第七版第十二章
§12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程 课后习题
一、空间力对点的矩以矢量表示 —力矩矢—定位矢量
投影式:
dLx dt
r M x (Fi(e) )
dLy dt
r M y (Fi(e) )
dLz dt
r M z (Fi(e) )
适用范围：对固定点或固定轴。
内力不能改变质点系的动量矩。 思考：内力的影响？
解:1.取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。 以顺时针为正。
2.运动分析 LO J m v R
MO F r F
i
jk
x y z
Fx Fy Fz
矢量的模—— MO F F h 2AOAB
；
矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向—按右手螺旋法则确定。
二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是 一个代数量，其绝对值等 于该力在垂直于该轴平面 上的投影对轴与该平面交 点之矩。
二、质点系的动量矩定理
第i个质点
d dt
r MO
(mivri
)
r MO
r ( Fi (i )
)
r MO
r ( Fi ( e )
)
n个质点
由于
rr MO (Fi(i) ) 0
r
d dt
r MO
r (mivi
梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后答案
动量矩定理12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。
求质点对原点 O 的动量矩。
解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度V xdxsin t dt aV y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为L O M o (mV x ) M 0(mV y )mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮子轴心为A,质心为C, AC = e ；轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ； C 、A 、B 三点在同一铅直线上。
（1 ）当轮子只 滚不滑时，若 V A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。
（2）当轮子又滚又滑时， 若V A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。
解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。
轮子角速度V A R质心C 的速度V CBCR e轮子的动量p mv Cmv A (方向水平向右)R对B 点动量矩L B J B2 2 2由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m （R e ）2食 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速度。
V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) （方向向右） 对B 点动量矩L B mv C BC J Cm(v A 2e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下，设 只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。
试求轮子对轮心的惯性半径。
解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（ a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F （ 1） J C = Fr （ 2）因轮子只滚不滑，所以有 a c = r （ 3） ® 12将式（3）代入式（1）、（2）消去F 得到mr sinm?g上式对时间两次积分，并注意到 t = 0时 0, 0,则 mgrt 2 sin mgrt 2s in 2(J C mr 2) 2(m 2 mr 2) 把 r = 0.025 m 及 t = 5 s 时，s 'grt 2sin f gt 2sin-r r「s r 1grt 2sin 2( 2 r 2) r 3 m 代入上式得0.0259.8 52si n202 30.09 m 90 mm12-17 图示均质杆 AB 长为I ，放在铅直平面内，杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上，另一端 B 放在光滑的水平地板上，并与水平面成 °角。
理论力学动量矩定理
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点旳动量矩定理
设质点对固定点O旳动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点旳矩为MO(F) ，如图 所示。
将动量矩对时间取一 次导数，得
d dt
MO
(mv)
d dt
(r
mv)
d r mv r d (mv)
dt
dt
MO(mv) MO(F)
x
z
F mv
Q
r
y
12.2.1 质点旳动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点旳动量矩与对轴 旳动量矩旳关系代入，得
d dt
M
x
(mv)
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv)
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv)
M
z
(F
)
质点对某固定
轴旳动量矩对时间旳 一阶导数等于质点所 受旳力对同一轴旳矩。
12.2.1 质点旳动量矩定理
例12-2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为 l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过 O点旳铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时旳运动规律。
例12-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O旳转
动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A旳
质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系 统对轴O旳动量矩。
解：
LO L块 L盘 mvr J mr 2 J (mr 2 J )
LO旳转向沿逆时针方向。
Or
A mv
LO J m2vR MO (F (e) ) M m2 g sin R
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学12—动能定理
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
理论力学(盛冬发)课后知识题目解析ch12
第12章 动能定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．圆轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力均不做功。
( √ ) 2．理想约束的约束反力做功之和恒等于零。
( √ ) 3．由于质点系中的内力成对出现，所以内力的功的代数和恒等于零。
( × ) 4．弹簧从原长压缩10cm 和拉长10cm ，弹簧力做功相等。
( √ )5．质点系动能的变化与作用在质点系上的外力有关，与内力无关。
( × ) 6．三个质量相同的质点，从距地相同的高度上，以相同的初速度，一个向上抛出，一个水平抛出，一个向下抛出，则三质点落地时的速度相等。
( √ )7．动能定理的方程是矢量式。
( × ) 8．弹簧由其自然位置拉长10cm ，再拉长10cm ，在这两个过程中弹力做功相等。
( × )二、填空题1．当质点在铅垂平面内恰好转过一周时，其重力所做的功为 0 。
2．在理想约束的条件下，约束反力所做的功的代数和为零。
3．如图12.19所示，质量为1m 的均质杆OA ，一端铰接在质量为2m 的均质圆轮的轮心，另一端放在水平面上，圆轮在地面上做纯滚动，若轮心的速度为o v ，则系统的动能=T222014321v m v m +。
4．圆轮的一端连接弹簧，其刚度系数为k ，另一端连接一重量为P 的重物，如图12.20所示。
初始时弹簧为自然长，当重物下降为h 时，系统的总功=W 221kh Ph -。
图12.19 图12.205．如图12.21所示的曲柄连杆机构，滑块A 与滑道BC 之间的摩擦力是系统的内力，设已知摩擦力为F 且等于常数，则曲柄转一周摩擦力的功为Fr 4-。
6．平行四边形机构如图12.22所示，r B O A O ==21，B O A O 21//，曲柄A O 1以角速度ω转动。
设各杆都是均质杆，质量均为m ，则系统的动能T =2265ωmr 。
第十二章动量定理_理论力学
第十二章动量定理1质系动量的计算质系的动量或式中m为整个质系的质量；对于刚体系常用计算质系的动量，式中vCi为第i个刚体质心的速度。
2.质系动量定理质系动量定理建立了质系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即★质系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
★质系动量守恒定律：当作用于质系的外力系的主矢量，质系动量守恒，即=常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质系的动量在此轴上的投影守恒，如，则常量。
3.质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即对于刚体系可表示为式中aCi表示第i个刚体质心的加速度。
4.变质量质点运动微分方程5.应用质系动量定理一般可解决质系动力学的两类问题一类是已知质系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质系上外力系中的未知约束力。
另一类是已知作用于在质系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质系的动量变化率或质心的加速度。
动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。
质系动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的主矢量之间的关系。
质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理论基础。
§12-1质系动量定理如图12-1所示质系由个质点组成，第i个质点的质量为，速度为vi，作用于质点上的外力记为，内力记为。
牛顿第二定律可表示为其中，称为质点的动量。
对于整个系统，求上述个方程的矢量和，得更换求和及求导次序，得式中（12-1）为质系内各质点动量的主矢量，称为质系的动量。
为外力的主矢量，为内力的主矢量，根据牛顿第三定律，内力总是大小相等、方向相反，成对的出现在质系内部，所以，于是得(12-2)上式称为质系动量定理，即：质系动量p对时间t的变化率等于作用在质系上外力系的主矢量，而与内力系无关。
在应用动量定理时，应取矢量式（12-2）的投影形式，如动量定理的直角坐标投影式为(12-3)强调说明两点：1、质系动量的变化只决定于外力的主矢量。
理论力学：第12章 达朗伯原理
ai ri ， ain ri2 ， Qi miri ， Qin miri2
向轴 O 点简化： （如图）
主矢——惯性力： Q
Qi
(miai )
MaC
MaC
MaCn
Q
Qn
主矩——惯性力偶： M gO mO (Qi ) mO (Qi ) (Qi ri ) (miri2 ) IO
l 2
cos 45
0
(2)
考虑(a)式，(1)(2)方程包含 4 个未知量：
aCx， aCy， ， TB 。
选 A 为基点，C 为动点，画加速度图如图
aCx aCy a A aCA
考虑刚才的处理方式，列上式投影方程时 避开 aA，即在 NA 方向投影。
在 NA 方向投影： aCx cos 45 aCy sin 45 0 aC A sin(45 30 ) (3) 式中 aC A l
)Q 2
2
M IO
b
(Q sin FIC )(r 2 sin )
(6)
Lb
b
Q cos ( 2 2 cos ) M IC G 3 0
将前面结果代入以上三式，解得
Q(Q sin P)
XH
cos
P 2Q
(Q sin P)2 YH P 2Q G
提问：可以么？
ΣmA (F ) 0
TBl cos 30
mg
l cos 30 2
FIx
l sin 30 2
FIy
l cos 30 2
理论力学(哈工大第八版)-教学课件-第12章
求:系统的运动微分方程。
解: s R
T
1
m
ds
2
2 dt
1 J d 2
2 dt
1 2
m
J R2
ds dt
2
ds
ds
P重力 mg dt , P弹性力 ks dt
dT dt P重力 P弹性力
2.势能
在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0,有势力所 作的功为质点在点M相对于M0的势能.
V
M0 F dr
M
M0 M
Fxdx Fydy Fzdz
M 0称势能零点
（1）重力场中的势能
V
Z0 Z
mgdz
mg
z
z0
（2）弹性力场的势能
V
m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度
解: 轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2gSsin
T1 0
T2
1 2
(m1R12 )12
1 2
m222
1 2
(1 2
m2
R2
2
)
2 2
1
C
R1
,2
C
R2
W12 T2 T1
第十二章 动 能 定 理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W
F
cos
s
F
理论力学第12章-动量矩定理
z
M ，底圆半径为 R ，高为 h 。
r
h z dz
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
速度 a 。
解：小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 ：
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ，G 1 和 G 2 外，尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ，轨道对车的约束力FN 。其中G 1 ， FO x ，Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ，
（12-10）
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动，某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ，
其质量为 m i ，转动半径为 r i ，动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为：
LO MO mv r mv （12-8）
质点系对各坐标轴动量矩
第十二章 动能定理
2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2
1 2
m vC2
1 2
JC2
3 4
m(R
r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P
W
F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功
F FW k
W12
M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W
F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。
吉林大学理论力学课件-第12章
w O
M O IO I
t t a F IR F IR
n F IR ＝－ m a C ＝－ m ( τ + a C ) a τ n C C C C 主矢： IR
2 τ M IIO ＝ M O ( F τ) FI i ＝－ ( m i r 2 ) å i i i a＝－ J O a 主矩： O å O I i O
☆刚体作平面运动（平行于对称平面）
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与 质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯 性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 以质心C为基点，将平面运动分解 C 为跟随基点的平移和绕基点的转动。 对于刚体上的任意质点， 对于刚体上的任意质点，
i i
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 1、分析质点所受的主动力和约束力； 1 、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 2 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 3 4、应用达朗贝尔原理表达式求解 4 、应用达朗贝尔原理表达式求解
＝ － m i r a τ , m i r w 2 n ) ( － i i 2 i i i i
C n n F IR F IR
F IR IR
m i
a a
F IR ＝å I i ＝å ( m i a i ) F I i － i i ＝－m a C IR C
第12章 达朗贝尔原理 12 达朗贝尔原理
(D’Alembert Principle)
第12章 达朗贝尔原理 12
理论力学基础 动能定理
M2 M1
(
Fx
dx
Fy
dy
Fzdz)
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
三、重力之功 Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系
第
一 节
W m g(z z )
12
i
i1
i2
力
的
功
由 mzC mi zi
量分别为m和2m，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和
第 B重量均为m。常力偶M作用在曲柄上，设＝0
三 节 动
时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角
表示)。
vB
能
定 理
K
vA
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
例题六 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重
量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向
W d r F
三
节 m d v d r mdv d r mdv v mvdv
动 能 定
dt
d
(
1
dt
mv2 )
理
2
动能定理的微分形式: W d ( 1 mv2 )
2
动能定理的积分形式:
W
1 2
mv22
1 2
mv12
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳
第 索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，
梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后答案
动量矩定理12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：tb y ta x ωω2sin cos ==式中a 、b 和ω为常量。
求质点对原点O 的动量矩。
解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度tb t y v t a txv y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-==质点对点O 的动量矩为ta tb m t b t a m xmv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0⋅⋅+⋅-⋅-=⋅+⋅-=+=y x v vt mab ωω3cos 2=12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
解：（1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。
轮子角速度 Rv A=ω质心C 的速度)(e R Rv C B v AC +==ω 轮子的动量A C mv ReR mv p +==（方向水平向右） 对B 点动量矩ω⋅=B B J L 由于222)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故 []Rv e R m me J L AA B 22)( ++-=（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。
e v v v v A CA A C ω+=+=轮子动量 )(e v m mv p A C ω+== （方向向右） 对B 点动量矩)( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm ，无初速地沿倾角︒=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
理论力学第十二章 动能定理
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
理论力学第七版 第十二章 动能定理
T2 T1 Wi
质点系动能定理积分形式
32
探索系统全部力的功的问题 主动力 外力 全部力 外部约束力 内力
A O
B
A O
B
R
理想光滑面约束，约束力的功等于零。 为什么？ 固定铰支座其约束力也不作功。 为什么？ 当轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力 静摩擦力的功等于零。 为什么？ 滚阻力偶作负功
刚体所有内力
36
三（质点系）动能定理的特点
1 标量方程----只能求解一个未知量 2 不考虑中间过程，对运动不加限制 3 可以解决什么问题？ 思考 能否求出理想约束里面的外部约束力？ 能否求出理想约束里面的内部约束力？ 对于具有理想约束的刚体运动机构，若在主动 力（力矩）的作用下运动（隐含运动）。 求运动量（速度 角速度）、加速度（角加速度）
本章的第二个重点问题
要求：
质点系动能定理的内容 特点(记牢 理解) 2 质点系动能定理的应用 （重点掌握）
1
30
一、质点的动能定理（基础）
dv m dr F dr dt
F dr W
d v ma F m dt F
1 2 d mv W 2
20
1 平移刚体的动能 平移刚体的运动特点
1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi MvC 2 2 2
2 定轴转动刚体的动能
1 T mi vi2 2
1 2 mi ( ri ) 2 1 2 2 mi ri 2
z
ri
1 2 J z 2
33
3 探索全部力的功的问题 外力 全部力 内力
理论力学第12章 动量矩定理.
因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O点的轴的动量矩：
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
理论力学第12动量定理
( PaB ) 2 ( PaB )1 P PBb PAa Qt v2 Qt v1
由质点系动量定理；得
dP P lim Q(v 2 v1 ) W P1 P2 R dt t 0 t
即：动反力（总反力）
R (W P1 P2 ) Q(v2 v1 )
dp y dp x dp z e e FRx , FRy , FRez dt dt dt
建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度和 时间的动力学问题。
结论与讨论
质点系动量守恒定理
dp FRe dt
e R e Rx
F ＝0
e R
e Ry
p = C1
e Rz
F 0，F 0, 或 F 0, 或 F 0
i 1 i 1
n
n
dt
m r dt
i 1
n
i i
根据质点系质心的位矢公式
z
m2
mn m1
C
mi ri mi ri rC m mi
mi
mvC mi vi
rC ri
o
y x
p mi vi mvC
O
vC
O
vC
C
C
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块A和B的质量均为 m，曲
柄OC和连杆AB的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度 绕O轴旋转。 图示位置时，角度 t 为任意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
解：第一种方法：先计算各个质点的动
vA A
vC
AB
D
量，再求其矢量和。
p mAv A mB v B
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P
δW dt
Mz
d
dt
M z
2.功率方程
dT
dt
n δWi i1 dt
n
Pi
i 1
—— 功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于 质点系的所有力的功率的代数和.
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变 化和转化的问题。
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
dT dt P输入 P有用 P无用
mi
即： T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mi
vi
2
12mi 2ri2
12
2
Jmz iri2
即：
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
质心为C
1 2
J pω2
Jp JC md2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与 绕质心转动的动能之和.
则杆的动能：
§12-3 动能定理
1.质点的动能定理
将 m dvr 两 端Fr 点乘 ，得dr：
dt
m
d
v
dr
F
d
r
dt
由于 dr v，d于t 是有：
mvr
dvr
r F
drr
由于 mvr
dvr
d(1
mv2 ),
r F
drr
δW
2
质点动能的增量 等于作用在质点 上力的元功
d(1 mv2 ) δW —— 质点动能定理的微分形式 2
3.机械效率
有效功率： P有效
P有用
dT dt
机械效率： P有效
P输入
η 是评定机器质量优劣的重要指标之一，
一般情况下 η 1
多级传动系统： 12 L n
例128已知: P输入 5.4kW, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
例12-1
已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使圆盘向右 运动, 初静止。 求: 盘心C走过 s 路程时力的功。
F
解：
重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有
力F作功，将力F向质心简化，得：
一个力 F ，F一个力偶 M C F R
且： s/R
总功为：
F
W F ' s MC 2Fs
对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动， 质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动 能与相对于质心平移坐标系运动的动能之和。
[例] 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑 的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙 地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，
中心速度为 ，v杆A 与水平线的夹角 ，4求5 该瞬
一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和
力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，
有：
δW
δWi
r FR
r ' drC
r MC
dr
平面运动刚体的元功为：
δW
r FR
'
r drC
MCd
当质心由 C1 ~ ,C转2 角由 1时~,力2系的功为：
W12
C2 C1
r FR
r drC
2 1
M C d
约束力作功等于零的约束为理想约束.
当轮子在固定面只滚不滑时， 接触点为瞬心，滑动摩擦力作用 点没动，此时的滑动摩擦力也不 作功。
不计滚动摩阻时，纯滚动的接 触点也是理想约束 内力作功之和不一定等于零.
F21 F12
理想约束的约束力不作 功，而质点系的内力作 功之和并不一定等于零
刚体所有内力作功之和等于零.
W Fxdx Fydy Fzdz
几种常见力的功 1.重力的功 质点：M1 M 2 重力在直角坐标轴上的投影为：
Fx Fy 0 Fz mg
重力作功为：
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
重力作功仅与质点运动开始和末了位移的 高度差有关，与运动轨迹的形状无关
质点系： 全部重力作功之和为：
求:切削力F的最大值。
解: P有用 P输入 P无用 3.78kW
P有用
Fv
F
d 2
·πn 30
当n
42 r/min时，F
60 πdn
P有用
60 3.78 π 0.1 42
17.19kN
当 n 112r / min 时，F 60 3.78 6.45kN
π 0.1112
§ 12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
(2m1 3m2 )R1
• 作业 • 习题 12-8 12-15
§ 12-4 功率、功率方程、机械效率
1.功率 单位时间力所作的功
P δW 单位W（瓦特）,1W=1J/S 由δW Fr,得drr dt
P
r F
drr
dt
r F
vr
Ftv
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.
作用在转动刚体上的力的功率为：
时系统的动能。 解：
P 为AB杆的瞬心
[例]如图滑块A以速度 vA 在滑道内滑
动，其上铰接一质量为m，长为 l 的均 质杆AB，杆以角速度 绕A转动。试 求当杆AB与铅垂线的夹角为 时，杆 的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vC vA vCA
速度合成矢量图如图，由余弦定 理有：
V
r0
r F
drr
k
r
2
2
2 0
若取弹簧的自然位置为零势能点，则
有 δ0 0 ，于是有： V k 2
2
（3）万有引力场中的势能
设质量为 m1的质点受质量为m2
的物体的万有引力F作用。
取点 A0 为零势能点，则质点
在点A的势能为：
V
A0
r F
drr
A
由于err drr dr有
A0
A
fm1m2 r2
err
drr
V
r1 fm1m2
r
r2
dr
1
fm1m2
r1
Байду номын сангаас
1 r
如果取零势能点在无穷远，即：r1 ， 则：
V fm1m2 万有引力场为势力场
r
（4）重力－弹性力系统 一般取系统的平衡位置作为系统的零势点。 质量为m，长为l的均质杆用刚性系数为 k的弹簧吊住于水平位置平衡。
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解: 轮C与轮O共同作为一个质点系
主动力所作的功为：W12 M m2gs sin
质点系的动能为：
T1 0
T2
1 2
(m1R12
)ω12
1 2
m2vC2
1 2
(
1 2
m2
R22
)ω22
由于：1
vC R1
,2
vC R2
W12 T2 T1
M
m2gs sin
T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒
此类系统称保守系统. 非保守系统的机械能是不守恒的.
(T2 V2 ) (T1 V1) W12
机械能耗散
例12已1知0：轮D匀速转动。重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀
速下降，钢索刚度系数 k=3.35× 106 N/m . 求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力.
F k(r l0 )er
当弹簧伸长时，力与
er
当弹簧被压缩时，力与
的方向相反；
er
的方向相同；
F k(r l0 )er
弹性力的功为：
W12
A2
r F
drr
A1 r
A2 A1
k
(r
l0
r )er
drr
因为：err
drr
r r
drr
1 2r
d(rr
rr )
1 2r
d(r 2 )
vC 2 4
(2m1
3m2 )
(a)
其中： s
R1
vC 2
(M m2gR1 sin )s
R1(2m1 3m2 )
M
m2gs sin
vC 2 4
(2m1
3m2 )
(a)
式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
1 2
(2m1
3m2 )vCaC
M
vC R1
m2 gvC
sin
aC 2
(M m2gR1 sin )
[例]两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示； AB 杆质 量是OA杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位 置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端 的速度。
解：取整个系统为研究对象
vA
OA杆铅垂时, AB杆瞬时平移。
vB
B端速度为v，且
例12-3 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ： R2 ，m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
势力场中,物体所受的力为有势力(保守力)。
重力、弹性力、万有引力都是保守力； 重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。
2.势能
在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0， 有势力所作的功为质点在点M相对于M0的势能
V
M0
r F
drr
M
M0 M
Fxdx Fydy Fzdz
点M的0 势能等于零，称为势能零点