用傅里叶变换计算衍射的光强分布

龙岩学院学年论文（设计）

论文题目用傅里叶变换计算衍射的光强分布

学院物理与机电工程学院

专业物理学（光电子技术方向）

年级 2011级

姓名徐武童

学号 ********** 指导教师兑自强

二0一三年四月十二日

用傅里叶变换计算衍射的光强分布

物理与机电工程学院 11物本

2011042526徐武童指导老师：兑自强

【摘要】：利用傅里叶变换式计算光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟单缝和圆孔衍射及光强分布，分析计算和模拟结果得知衍射图样取决于缝宽或孔径的大小

【关键词】：傅里叶变换；单缝；圆孔；衍射；光强分布

目录

前言1 1.傅里叶变换式 1

1.1一维变换式 2

1.2二维变换式 3

1.3三维傅里叶变换式 3

2. 用傅里叶变换计算衍射的光强分布 4

2.1计算圆孔衍射的光强分布 6

2.2计算单缝衍射的光强分布 7

3.光强分布曲线 8

3.1单缝衍射的光强分布曲线 8

3.2圆孔衍射的光强分布曲线 9

4.讨论10

4.1单缝衍射 10

4.2圆孔衍射 10

总结11

致谢11

0 前言

衍射现象是波动光学中的重要知识，光的衍射的定义从广义上说是光在传播过程中，遇到障碍物时产生的偏离几何光学规律从而引起光强重新分布的现象，也称为绕射。该定义指出光的衍射是一种区别于几何光学规律的光的传播现象。当所选光学元件的尺度与波长相当时，光的传播现象明显不同于几何光学所描述的。它也明确给出了产生衍射现象的条件“光波遇到障碍物”，对于任何一束光都会因在空间传播过程中遇到障碍物而使自由波面受损，从而改变波前后振幅，使光表现出衍射行为。

而傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。

在现代光学发展的今天，如何运用傅里叶方法解决干涉、衍射和成像等问题成了至关重要的部分。

1 傅里叶变换式

1.1 一维变换式

某个空间变量的一维函数()x f ，可以表示为无穷多个谐波分量的线性组合：

()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞

∞0

0sin cos 1)(kxdk k B kxdk k A x f π（1）

其中决定各空间频率()k 的贡献的权重因子()k A 和()k B 分别是()x f 的傅里叶余弦和正弦变换式，由下式给出： ()()⎰+∞

∞

-'''=x d x k x f k A cos , ()()⎰+∞

∞

-'''=x d x k x f k B sin (2)

将（2）式代入（1）式中

()()()dk x d x k x f kx dk x d x k x f kx x f '''+

'''=

⎰

⎰⎰

⎰∞

∞

∞

∞

sin sin 1

cos cos 1

π

π

（3）

由于()x k kx x k kx x x k '+'=-'sin sin cos cos cos ，上式可改写为

()()()⎰

⎰∞

+∞∞-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'-''=

cos 1

dk x d x x k x f x f π

（4）

方括号中的量是k 的偶函数，因而改变外面的一个积分限得到

()()⎰⎰+∞

∞-+∞∞-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-''=

dk x x k x f x f cos 21)(π

（5） 由于

()()⎰⎰+∞

∞-+∞∞-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'-''0sin 2dk x d x x k x f i

π

，把它与上式相加，并应用欧拉公式，得

()()⎰⎰+∞∞--+∞

∞-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=dk e x d e x f x f ikx x ik π21（6） 由于可以写为()()⎰+∞∞--=dk e k F x f ikx

π21（7） 只要 ()()dx e x f k F ikx ⎰+∞

∞-=（8）

式（8）中已令x x ='，函数()k F 叫做()x f 的傅里叶变换式，用下面的记号来表示：

()()}{x f F k F = (9)

常常把()x f 和()k F 称为傅里叶变换式。如果f 是时间的函数而不是空间变量的函数，为了在时域中得到相应的变换式偶，我们只是把x 换成t ，再把空间角频率k 换成时

间角频率w ，即()()⎰

+∞

∞

--=

dw e k F t f iwt π21

（10）

以及

()()dt e t f w F iwt ⎰+∞

∞

-=（11）

1.2 二维变换式

光学中一般涉及的信号，例如孔上的光场或者象平面上的通量密度分布，将傅里叶变换式推广到二维情况有

()()

()()

y x y

k x k i y x dk dk e

k k F y x f y x ⎰⎰∞

+-=

,21

,2

π（12）

或者

()()()

dxdy e

y x f y x F y

k x k i y x ⎰⎰∞

+=,,（13）

其中x k 和y k 分别是沿坐标轴方向的空间角频率。 1.3 三维傅里叶变换式 将傅里叶变换推广到三维情况有

()()

()()

z y x z k y k x k i z y x dk dk dk e

k k k F z y x f z y x )

3

,,21

,,++-∞

⎰⎰⎰=

π（14）

以及

()()()

⎰⎰⎰∞

++=dxdydz e

z y x f z y x F y

k y k x k i z y x ,,,,（15）

其中x k ，y k 和z k 分别是沿坐标方向的空间角频率。

2 用傅里叶变换计算衍射的光强分布

光是一种电磁波，按jwt e 的规律随时间传播，电光源发出的是一组球面波，设光源位于坐标原点处，以速度v 在电容率为ε的介质中传播，当光到达半径为r 的求面时，光的场强E 是t r ,的函数，可以表示为

()()()()[]kr wt j r E r t jw r E t r E -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=exp exp ,

υ（16）

其中λ

π

υ2==w k 称为波数，()t r E , 为光矢量