导数的四则运算法则教案设计
2导数的四则运算法则教学设计
2导数的四则运算法则教学设计在高中数学中，导数是一个非常重要的概念和工具。
它是微积分的一个重要分支，是求解函数性质和变化率的基础。
导数的四则运算法则是导数的基本操作之一，在高中数学学习中是一个必须要掌握的技能。
本文将结合我的教学实践，分享一些导数的四则运算法则教学设计的经验。
一、教学目标学生能够掌握导数的加法、减法、乘法、除法四则运算法则，并能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1.导数的基本概念回顾在导数的四则运算法则教学前，我们需要先复习导数的基本概念，包括导数的定义、求导公式和一些常见函数的导数。
这样可以帮助学生更好地理解和掌握导数的四则运算法则。
2、导数的加法法则导数的加法法则是指两个函数的导数之和等于这两个函数的和的导数。
在这一部分的教学中，我采用了课堂讨论和精讲相结合的方式，引导学生通过讨论和实例推导出导数的加法法则。
最后，我让学生完成一些练习题。
这些练习题既可以巩固所学知识，同时也可以帮助学生发现加法法则在实际问题中的应用。
3、导数的减法法则导数的减法法则是指两个函数的导数之差等于这两个函数的差的导数。
在教学中，我也采用了讨论和实例推导的方式，以便学生更好地理解导数的减法法则。
最后，我让学生完成一些练习题，以巩固所学知识。
4、导数的乘法法则导数的乘法法则是指两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第二个函数的导数乘上第一个函数。
在教学中，我采取了揭示法则特点和实例分析相结合的方式，引导学生掌握乘法法则的基本思想，并让他们完成一些相应的练习，并在实际问题中应用所学知识。
5、导数的除法法则导数的除法法则是指两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数减去第二个函数的导数乘上第一个函数，再除以第二个函数平方。
在教学中，我采取了分析讨论和实例演示相结合的方式，引导学生掌握除法法则的基本思想，并让他们完成一些相应的练习，并在实际问题中应用所学知识。
6、导数的四则运算综合练习为了让学生巩固所学知识，并运用所学知识解决实际问题，我给学生布置了一些导数的四则运算综合练习作业。
高中数学_导数的四则运算法则教学设计学情分析教材分析课后反思
“导数的四则运算法则”教学设计【课前学习活动设计】1.提前下发学案，让学生完成预案部分，让学生能带着问题研究学习，对课本内容有一个较好的初步掌握。
2.收缴预案，教师批阅学生预习案。
3.根据预案当中学生出现的问题，在课堂教学中预案反馈，针对性点评、分析，纠正学生的问题和错误。
4.对预案评优【教学过程设计】【当堂检测设计】本节课的当堂检测选用了两道题目，第1题是选择题，目的是考察学生对导数公式和求导法则的掌握情况，，第2题是应用导数的运算法则，根据导数的几何意义求曲线的切线方程，第1题是5分，第2题10分，共15分。
题目当堂完成，并进行学生提问检查，公布答案。
课下教师再收集学生学案，并进行评阅计分，同时了解各个同学的具体掌握情况及存在问题，为进一步提高打下基础。
【课外学习活动设计】由于课上时间有限，因此，在社团活动时间，组织各位同学多加练习，以求彻底掌握。
附：《导数的四则运算法则》学生导学案导数的四则运算法则【学习目标】1.知识目标：掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；能正确运用基本初等函数的导数公式和两个函数和、差、积、商的求导法则求一些简单函数的导数.2.能力目标：主动参与，小组合作交流，归纳出求导法则应用的规律与方法.3.情感、态度与价值观：激情投入，高效学习，形成缜密的数学思维品质.【重点】掌握函数的和、差、积、商的求导法则. 【难点】对函数的积和商的求导法则的理解和运用.【课前预习】一．复习回顾基本初等函数的导数公式(1)若()f x C = (C 为常数)，则()f x '＝ ； (2)若()()f x x Q αα=∈，则()f x '＝ ； (3)若()(0,1)xf x a a a =>≠，则()f x '＝ ； (4)若()x f x e =，则()f x '＝ ；(5)若()log (0,1,0)a f x x a a x =>≠>，则()f x '＝ ； (6)若()ln f x x =，则()f x '＝ ； (7)若()sin f x x =，则()f x '＝ ； (8)若()cos f x x =，则()f x '＝ 。
导数的四则运算法则教案
《导数的四则运算法则》教案导数的概念及其几何意义一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆ 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)•⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ）A.4 x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x )25. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A. 3Δt ＋6B. －3Δt ＋6C. 3Δt －6D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()limh f x h f x h的值（ ）x 0，h 有关 x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ ）A.2B.1C.08.设函数f (x )=，则()()limx af x f a xa 等于( ) A.1aB.2aC.21aD.21a9. 下列各式中正确的是( )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A. 194B. 174C. 154D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4 B. 16 C. 8 D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A. y ＝3x －4 B. y ＝－3x ＋2 C. y ＝－4x ＋3 D. y ＝4x －519.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0 ΔsΔt 为( )A ．在t 时刻该物体的瞬时速度B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度D ．以上说法均错误 20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( ) A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值 B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时的平均变化率D．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的切线的斜率21.已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)＞f′(x B) B．f′(x A)＜f′(x B) C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定22.(2012·上饶检测)函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2 B．3 C．6 D．1223.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2 B．－2 C．3 D．－324.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )A．1 B.12C．－12D．－125．已知曲线y＝x24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为()A．1 B．2 C．3 D．426．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )A．at0 B．－at0 C.12at0 D．2at0二、填空题27. 在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx为____．28. 若质点M按规律s＝2t2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt]内，相应的平均速度_．29.已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__．30．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．31.函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s＝3t2＋2，求此物体在t＝1时的瞬时速度是33．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是___．34.函数f(x)=3x2-4x在x=-1处的导数是 .三、解答题35. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(2)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(3)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；36. 已知自由落体的运动方程为s＝12gt2，求：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s这段时间内的平均速度；(4)落体在t＝2 s时的瞬时速度．37. 求等边双曲线y＝1x在点⎝⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．38. 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．39．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．40.(2012·榆林调研)已知曲线y＝13x3上一点P⎝⎛⎭⎪⎫2，83。
教学设计2：3.2.3 导数的四则运算法则
3.2.3 导数的四则运算法则教学目标（一）三维目标（1）知识与技能1）了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导；2）掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则；3）能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数.（2）过程与方法利用学生已经掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入新课，通过学生的猜想、尝试、探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解.（3）情感、态度与价值观通过学生的主动参入，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神.（二）教学重点掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则（三）教学难点学生对积和商的求导法则的理解和运用（四）教学建议本节课在教学时可运用尝试探索、类比联想、变式练习等方法进行.教学过程一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二导数的运算法则 （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =.复合函数的导数 复合函数的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1：求下列各函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝x 2sin x. 解：(1)∵y ＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)化简得y ＝x ·1x －x ＋1x －1＝－12x ＋12x -，∴y ′＝－1212x -－1232x -＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′ ＝x ′－12(sin x )′ ＝1－12cos x . (4)y ′＝（x 2）′sin x －x 2·（sin x ）′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 例2：求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．解法二：y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例3：曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．解：y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离， 故所求距离为2|1271431|++-＝22716．。
《导数的四则运算法则》教学设计
《导数的四则运算法则》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能
(1)掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则.
(2)能正确利用法则求函数的导数，解决相关的问题.
2.过程与方法
利用学生已掌握的导数定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题引入新课，通过学生的猜想，探究和、差、积、商的求导法则，并加以应用，加深学生对法则的理解.
3.情感、态度与价值观
通过学生的主动参与，自我探索，互相交流，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索和创新精神.
二、教材分析
1.地位、作用
导数运算法则的给出是前几节课的继续，它将求导数问题、求曲线切线问题、求瞬时速度问题由理论化转为公式化，使较复杂的过程简单化，也为下节课研究函数的单调性与极值问题提供了方便，在连接教材内容方面起到了一个纽带的作用.
2.教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则及应用.
3.教学难点：积、商的求导法则的理解和综合运用.
三、教学方法
通过设疑、引导、启发等形式，采用启发式与发现法相结合的教学方法，引导学生学会自主观察、类比、分析、归纳等学习方法.
四、教学过程。
导数的四则运算教学设计
《导数的四则运算法则》教学设计一、复习导入1. 复习导数的定义及求导方法：/y =xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0/2. 基本求导公式：【设计意图】：通过让学生回顾导数的相关知识以及基本函数的求导公式，不仅巩固导数的概念及求法，同时也为下面探究导数的运算法则打下基础，有利于本节课的顺利进行。
二、探究新知（一）探究函数和（差）的求导法则1)(,2)()()()(1)()(.122='='='='''==x x g x x x f x g x f x x g x x f 生：和）求（。
，已知y )()(2''+=义求师引导学生用导数的定，求）令（y x g x f y12)12lim )()()(lim )()(lim lim 022000+=++∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+=∆∆='→∆→∆→∆→∆x x x xx x x x x x x x f x x f x y y x x x x （ ，12)(])()([2+='+'='+='x x x x g x f y 得到？并证明的导数之间有什么关系、与猜想)()(])()([.2x g x f x g x f '+ )()(])()([x g x f x g x f '+'='+生： )()(x g x f y +=证明：设[]xx g x f x x g x x f x y y x x ∆+-∆++∆+=∆∆='→∆→∆）（)()()()(lim lim00 []xx g x x g x x f x x f x ∆-∆++∆-∆+=→∆)()()()(lim 0=0lim x →()()f x x f x x+-+0lim x →()()g x x g x x +-=()()f x g x ''+)()(])()([x g x f x g x f '+'='+∴【设计意图】：提出问题引导学生去猜想证明，培养学生思考探索的精神，并且通过证明使学生明白法则的由来，有助于学生在理解的基础上掌握法则。
人教版高中选修(B版)1-13.2.3导数的四则运算法则课程设计
人教版高中选修(B版)1-13.2.3导数的四则运算法则课程设计一、教学目标1.了解导数概念和四则运算法则；2.掌握导数的四则运算法则，能基于此计算导数；3.能够将导数的四则运算与函数的运算相结合，解决实际问题。
二、教学重点难点1.导数概念与四则运算法则；2.将导数的四则运算与函数的运算相结合。
三、教具准备1.讲义；2.课件；3.黑板、彩色粉笔。
四、教学内容及安排1. 导数概念回顾在数学中，导数是用于表示函数在某一点处变化率（即斜率）的概念。
导数的定义如下：$$ f'(x)=\\lim_{\\Delta x\\to 0}\\frac{\\Delta y}{\\Deltax}=\\lim_{\\Delta x\\to 0}\\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} $$ 其中，$\\Delta x$表示自变量的增量，$\\Delta y$表示函数值的增量，$\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$表示变化率，f(x)表示函数在x处的取值。
2. 导数的四则运算法则根据导数的定义，可以得到导数的四则运算法则：2.1 导数的加减法则设f(x)和g(x)都在x0处可导，则：$$ [f(x)\\pm g(x)]' = f'(x) \\pm g'(x) $$2.2 导数的乘法法则设f(x)和g(x)都在x0处可导，则：$$ [f(x)\\times g(x)]' = f'(x) \\times g(x) + f(x) \\times g'(x) $$2.3 导数的除法法则设f(x)和g(x)都在x0处可导，且g(x0)eq0，则：$$ [\\frac{f(x)}{g(x)}]'=\\frac{f'(x)\\times g(x)-f(x)\\timesg'(x)}{[g(x)]^2} $$2.4 导数的复合法则设u(x)和v(x)都在x0处可导，则：$$ [f(u(x))]'=f'(u(x))\\times u'(x) $$3. 案例分析3.1 案例1已知函数f(x)和g(x)的导数分别为f′(x)=4x和g′(x)=2x+1，求函数$h(x)=f(x)\\times g(x)$在x=1处的导数。
计算导数导数四则运算教案
§3 计算导数教学目标：1. 知识与技能：能够根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数y =f (x )在x 0处的导数的（算法）步骤；理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给的8个函数的导数公式，并能用它们求简单函数的导数。
2. 过程与方法：经历计算函数f (t)=2t 2,f (x )=x +2x在给定点的导数的过程，明确算理和确定算法；梳理计算具体函数在给定点的导数的过程，抽象、概括出一般函数在所给定区间上导函数的概念；体验函数在给定点的导数与所给区间上导函数这种特殊与一般的关系，领会他们间的联系与不同，设计导函数的求解程序，即算法。
3. 情感态度价值观：获得计算一般函数的导数的步骤；感受特殊与一般的思想；在导数计算的过程中形成严谨细致、独立思考的习惯。
教学重点：计算一般函数在某点的导数，利用导数表求简单函数的导函数。
教学难点：导函数公式表的记忆与运用，建议在具体函数的求导过程中逐步掌握导数公式表的理解和使用。
教学过程： 一、 导学探究 【知识回顾】1.平均变化率:设函数)(x f y =，当自变量x 从0x 变到1x 时，函数值从0()f x 变到1()f x ，函数值y 关于x 的平均变化率为y x ∆=∆1010()()f x f x x x --=00()()f x x f x x+∆-∆ 2.导数的定义：当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作0()f x '=101010()()limx x f x f x x x →--=000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆【探究新知】阅读教材P64-67回答下列问题1导(函)数定义：一般地，如果一个函数)(x f y =在区间（a ，b ）上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '，()f x '=()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。
教学设计3：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则教学目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． 教学知识梳理知识点一 导数的四则运算法则 已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 试求G (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数．并说出G ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系．答案 G ′(x )＝1－1x 2.同理，H ′(x )＝1＋1x 2.∴G ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )，H ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )． 思考3 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )正确吗？那么⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )(g (x )≠0且g ′(x )≠0)是否正确？答案 [f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x ). 梳理 导数的四则运算法则 (1)设f (x )，g (x )是可导的，则：⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 特别提醒：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．(2)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．知识点二 复合函数y ＝f (u (x ))的导数．y ＝f (u (x ))是x 的复合函数，则y ′＝f ′(u (x ))＝d y d u ·d ud x ＝f ′(u )·u ′(x )．题型探究类型一 利用导数的四则运算法则求导 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.解 (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.反思与感悟 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1 (1)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝________.【答案】0【解析】∵f ′(x )＝(x －a )′(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －b )′·(x －c )＋(x －a )(x －b )(x －c )′ ＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )＝－(a －b )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )＝(a －c )(b －c )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝a (a －b )(a －c )－b (a －b )(b －c )＋c(a －c )(b －c )＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(b －c )(a －c )＝0.(2)求下列函数的导数．①y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x ； ②y ＝x 2＋1x 2＋3；③y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)； ④y ＝x sin x －2cos x .解 ①313122223y x x x x --－∵＝－＋＋，1352222333.22y x x x x ---'+--∴＝②方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2.方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2. ③方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3) ＝3x 2＋18x ＋23.方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5) ＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15， ∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′ ＝3x 2＋18x ＋23.④y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2(cos x )′cos 2x＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.类型二 简单复合函数求导 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝e cos x ＋1；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6；(4)y ＝11－2x. 解 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－sin x )＝－e cos x ＋1sin x . (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(3)设y ＝2sin u ，u ＝3x －π6，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2cos u ×3＝6cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (4)设y ＝u12-，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(12u-)′·(1－2x )′＝－1232u -×(－2)＝(1－2x )32-.反思与感悟 求复合函数导数的步骤(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y ＝f (u )，u ＝g (x )．(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求y u ′，再求u x ′.(3)计算y u ′·u x ′，并把中间变量转化为自变量．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程． 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________． 【答案】10【解析】f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4， ∴f ′(0)＝10.(2)求下列函数的导数．①y ＝3－x ；②y ＝12ln(x 2＋1)；③y ＝a 1－2x (a >0，a ≠1)．解 ①设y ＝u ，u ＝3－x ， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝12u·(－1)＝－123－x.②设y ＝12ln u ，u ＝x 2＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12·1u ·(2x )＝12·1x 2＋1·(2x )＝xx 2＋1.③令y ＝a u ，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝a u ·ln a ·(－2) ＝a 1－2xln a ·(－2)＝－2a 1－2xln a .类型三 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例3 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln xx－2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )s in x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练3 函数f (x )＝x 2x －1＋f ′(1)，则f ′(1)＝________.【答案】－1【解析】对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2，则f ′(1)＝－1.命题角度2 与切线有关的问题例4 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 【答案】(e ，e)【解析】设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e. ∴点P 的坐标是(e ，e)．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. ①求a ，b 的值；②设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 解 ①因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ， 又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. ②由①可得g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练4 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. 【答案】1【解析】∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x ，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin 2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a ，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程． 解 设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′＝cos x e sin x ， 即y ′|x ＝0＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，所以c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0. 达标检测1．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )【答案】D【解析】y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2 D ．－e3 【答案】A【解析】∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2，∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 【答案】A【解析】∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．【答案】－1【解析】由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ， 得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 5．在曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________． 【答案】3x －y －11＝0【解析】∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2) ＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，此时切点坐标为(－1，－14)， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.。
导数的四则运算法则导学案
导数的四则运算法则导学案导数的四则运算法则(一)【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)【问题探究】探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：（1）y＝3x－lg x；（2）y＝(x2＋1)(x－1)；（3）y＝x5＋x7＋x9x.跟踪训练1求下列函数的导数：（1）f(x)＝x·tan x；（2）f(x)＝2－2sin2x2；（3）f(x)＝x－1x＋1；（4）f(x)＝sin x1＋sin x.探究点二导数的应用例2（1）曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______ 5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【教学反思】导数的四则运算法则(二)【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【问题探究】探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x ＋1)．探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求下列函数的导数：（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝11－2x；（3）y＝sin(－2x＋π3)；（4）y＝102x＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e 2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________ 【教学反思】2)1ln()(x x a x f -+=)1,0(q p ,q p ≠1)1()1(>-+-+qp q f p f a。
【教案】导数的四则运算法则教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用《5.2.2导数的四则运算法则》教学设计 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数PPT 课件． 【新课导入】 问题1：阅读课本第76~78页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．）本节课主要学习导数的四则运算法则；（运算法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2：基本初等函数的导数公式有哪些？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：基本初等函数的导数公式1. 若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2. 若()(f x x αα=∈Q ，且0)α≠，则1()f x x αα-='；3. 若()sin f x x =，则()cos f x x ='；4. 若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标5. 若()(0x f x a a =>，且1)a ≠，则()ln x f x a a ='；特别地，若()e x f x =，则()e x f x '=；6. 若()log (0a f x x a =>，且1)a ≠，则1()ln f x x a ='； 特别地，若()ln f x x =，则1()f x x'=；设计意图：温故而知新． 问题2：在上节课的例2中，当0p =5时，()5 1.05t p t =⨯，这时，求p 关于t 的导数可以看成求函数f （t ）=5与g （t ）=1.05t 乘积的导数,一般地，如何求两个函数和、差、积、商的导数呢？不妨设2()()f x x g x x ==，，计算[()()]f x g x '+与[()()]f x g x '-，它们与()f x '和()g x '有什么关系？ 师生活动：分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师最后总结、讲解设计意图：通过对上节例题的提问，引导学生探究导数的四则运算法则．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：函数和、差的求导法则设2()()y f x g x x x =+=+，因为222Δ(Δ)2ΔΔΔ21ΔΔΔy x x x x x x x x x++===++·， 所以Δ0Δ0Δ[()()]lim lim(Δ21)21Δx x y f x g x y x x x x →→+===++='+'. 而2()()2()1f x x x g x x '''=='==，， 所以[()()]()()f x g x f x g x +='+''.同样地，对于上述函数，[()()]()()f x g x f x g x -='-''.教师总结：两个函数()f x 和()g x 的和（或差）的导数法则：[()()]()()f x g x f x g x ±='±''. 设计意图：通过利用导数的定义和求导公式求出两个函数的导数和以及两个函数的和的导数,进而得出两个函数的和与差的导数运算法则．问题3：设2()()f x x g x x ==，，计算[()()]f x g x '与()()f x g x ''，它们是否相等？()f x 与()g x 商的导数是否等于它们导数的商呢？师生活动：学生分组讨论，每组选出一位代表回答，教师讲解、总结知识点2：函数积、商的求导法则32[()()]()3f x x x x g '='=，()()212f x g x x x ''==·，因此[()()]()()f x g x f x g x ''≠'.同样地，()()f x g x '⎡⎤⎢⎥⎣⎦与()()f x g x ''也不相等. 教师总结：（1）对于两个函数()f x 和()g x 的乘积（或商）的导数，有如下法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. （2）由函数的乘积的导数法则可以得出[()]()()()cf x c f x cf x cf x ''''=+=，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[()]()cf x cf x '='.设计意图：让学生通过对导数积、商的运算法则的探讨，发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【巩固练习】例1求下列函数的导数：（1）33y x x =-+；（2）2cos x y x =+.师生活动：学生完成，教师巡视，并写出规范解题过程．预设的答案：（1）332()(3)()(3)31y x x x x x ''''='-+=-+=-.（2）(2cos )2(cos )2ln 2(s )in x x x y x x x '=+=+=-'''.设计意图：通过该题使学生学会运用导数公式和导数的和、差运算法则求函数的导数．发展学生数学运算的核心素养．方法总结：求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 例2 求下列函数的导数：（1）3x y x e =；（2）22sin x y x=. 师生活动：学生讨论后完成，教师完善．预设的答案：（1）33323e ()e e e )3e (()x x x x x y x x x x x '==+=+'''.（2）222222432sin (2sin )2sin ()2cos 4sin 2cos 4sin ()x x x x x x x x x x x x y x x x x ''---⎛''⎫==== ⎪⎝⎭. 设计意图：通过该题使学生学会运用导数公式和导数的积、商运算法则求函数的导数．发展学生数学运算的核心素养．例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t 水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%；（2）98%.师生活动：学生分组讨论，每组派一代表板演，教师完善解题过程．预设的答案：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.252845284(100)5284(100)()100(100)x x c x x x ''⨯--⨯-⎛⎫== ⎪--⎝⎭'' 220(100)5284(1)5284(100)(100)x x x ⨯--⨯-==--. （1）因为25284(90)52.84(10090)c ==-'，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.（2）因为25284(98)1321(10098)c =='-，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨.本题实际意义：函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，(98)25(90)c c ''=.它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.设计意图：通过本题，使学生进一步理解导数的概念，体会导数在实际问题中的应用．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．方法总结：本题是一个体现导数意义的实际问题，解题的关键是理解函数在某一点的瞬时变化率就是函数在这一点的导数，在解答本题时先要求出函数c （x ）分别在x =90，80处的导数，然后再回到实际问题中，即将求导结果：“翻译”成瞬时变化率，得到实际问题的解答． 练习：教科书P 78练习1、2 、3设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养． 【课堂总结】1． 板书设计：5. 2.2导数的四则运算法则新知探究巩固练习 知识点1：函数和、差的求导法则例1 知识点2：函数积、商的求导法则 例2例32．总结概括：导数的四则运算法则及简单运用师生活动：学生总结，老师适当补充． 3．课堂作业：教科书P 81习题5.21、3、4【目标检测设计】1.若32()25f x x x =+-，则)1(f '=( )A.3B.8C.8-D.3-设计意图：进一步巩固导数的和、差运算法则．2.下列求导数运算正确的是( )A.2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '= C.()333log e x x '= D.()2cos 2sin x x x x '=- 设计意图：进一步巩固导数的四则运算法则．3.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(n e)l f x xf x '=+，则)e (f '=( )A.eB.1-C.1e --D.e - 设计意图：进一步巩固导数的四则运算法则，注意)e (f '是常数．4.设()e ln x f x a b x =+，且1(1)e (1)ef f ''=-=，，则a b +=______. 设计意图：进一步巩固导数的四则运算法则以及方程组的解法．参考答案：1.B 2()62f x x x '=+，把1x =代入得(1)628f '=+=.故选B.2.B 211'11''x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；()2'1log ln 2x x =，故B 正确；()33'ln3x x =，故C 错误；()()2222cos cos (c '''os )2cos sin x x x x x x x x x x =+=-，故D 错误.故选B.3.C 因为1'()2(e)'f x f x =+，所以1(e)2e ')'(e f f =+，解得11(e)e e'f -=-=-.故选C. 4.1 由题意知)'(e x b f x a x =+，则1e e,e e a a b b +=-=，得1,0a b ==，故1a b +=.。
导数的四则运算法则说课稿
导数的四则运算法则说课稿《导数的四则运算法则》说课稿各位老师好，我说课的内容是五年制高等职业教育第二版第十二章第二节《导数的四则运算法则》。
本节内容为一课时，主要从教材分析、教法、学法和程序设计这四个方面进行。
一、教材分析1、本节内容包括在牢记基本初等函数的导数公式基础上运用导数的运算法则求导。
2、地位和作用：导数的运算法则是建立在基本初等函数的导数公式上给出的求导法则。
这些公式与法则简化了复杂函数的求导问题，同时为后面研究导数在函数中的应用提供了工具，因此具有承上启下的作用。
3、课标要求（1）知识要求：熟记常见函数的导数公式，掌握导数的运算法则。
（2）能力要求：熟练应用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求函数的导数。
（3）情感价值观：培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生运用给出的公式与法则解决问题，使学生在感受数学美的同时激发学习兴趣，培养乐于求索的精神。
4、重点和难点：本小节重点是基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
难点是熟记导数公式及运算法则求函数导数。
①依据前面所学鉴于导数的概念只能求几个常见函数的导数,，教材中给出基本初等函数的导数公式及运算法则，可以将比较复杂的函数求导问题转化为会求的或易求的函数导数问题，从而使许多函数求导过程得到简化，体现出公式及法则的优越性。
②熟练记住公式并能熟练应用是难点，有些函数导数公式比较难记应抓住公式特点通过发现类比归纳记住公式并灵活运用。
导数的实际应用是本节的另一难点，教学时先建立数学模型将实际问题转化为数学问题，最后再回归实际问题。
③对于难点的突破主要通过对例题的讲解和练习题的训练,让学生从中总结发现规律,通过对比分析提高分析问题和解决问题的能力.二、教法教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生的主动性，充分调动学生的积极性，有效的渗透数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
根据这一原则和所要完成的教学目标，并激发学生的兴趣，我采用如下教学方法：比较法：将教材中给出的基本初等函数的导数公式对比记忆，如正余弦函数的导数、对数与指数函数的导数加以对比，两函数和与差的导数以及两函数积的导数与商的导数运算法则加以对比，通过对比加深对公式和法则的理解和记忆。
2.4导数的四则运算法则教案(北师大版选修2-2)
§4 导数的四则运算法则4．1导数的加法与减法法则4．2导数的乘法与除法法则(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现两函数和、差、积、商的求导法则；(2)运用两函数和、差、积、商的求导法则计算函数的导数．2．过程与方法通过对特殊的两个函数的和、差、积、商的导数与两函数导数的和、差、积、商的关系的探究学习，培养学生发现数学规律的方法与能力；通过法则的应用，提高学生化归转化的意识和能力．3．情感、态度与价值观(1)通过两函数和、差、积、商的求导法则的探索及推广，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探究归纳意识和能力；(2)通过法则的应用实践，体会数学中“化繁为简”这一基本的解题策略，体会数学在认识世界、改变世界中的价值．●重点难点重点：和、差、积、商的求导法则的运用．难点：法则的提出与推导．教学时从具体实例出发，引导学生分析实例中函数的结构与基本初等函数的关系，并引导学生提出问题，然后利用导数的定义解决问题，从而从具体问题中化解难点，再通过对法则的适用，突出重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了导数的定义和基本初等函数的求导公式之后，是对上述知识的应用和升华．因此，通过具体实例的分析和探索，让学生从联系与转化的角度提出问题、解决问题是本节课教学的关键．故本节课宜采用“探究→发现→应用”式教学模式，即在具体实例及教师的引导下，经过学生的探究发现问题，揭示规律并运用规律解决问题．●教学流程比较f′x，g′x与f x±g x，f x·g x，f xg x的导数关系.?通过学生归纳、猜想得出导数四则运算法则.?通过例1及变式训练，巩固导数四则运算法则的运用.?通过例2及变式训练，强化求导法则的应用，增强综合运用知识的能力.?通过例3及变式训练，完善已学知识使之系统.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识.?。
导数的四则运算教案
导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。
2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。
3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。
二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。
重点：导数的加、减、乘、除运算规则。
四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。
2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。
3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。
六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。
2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。
3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。
4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。
七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。
2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。
八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。
2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。
导数的四则运算法则教学设计
5.2.2 导数的四则运算法则课题 5.2.2 导数的四则运算法则单元第六单元学科数学年级高二教材分析导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量的刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本工具，因而在解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题中有着广泛应用。
在本单元，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想。
教学目标与核心素养大单元目标：1.通过学习基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求复杂函数的导数2.能利用复合函数求导法则求简单的复合函数的导数本节目标：1.通过用定义对函数的导数进行推理，让学生理解导数的四则运算法则.2.通过探究函数的求导法则的过程，发展学生数学运算和逻辑推理能力.3.让学生在探究过程中，体验探索的乐趣，培养学生的数学思维。
重点导数的四则运算法则难点导数的四则运算法则教学过程教学环节教学内容设计师生活动设计意图导入新课情境导入高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求f(t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，ΔyΔt所趋近的那个定值．若y＝sin x＋x，我们应该如何求导数呢？教师引入问题，学生思考，引出本节新课内容。
通过设置问题情境，引导学生推导函数和、差、积、商的求导法则，培养学生的逻辑推理能力，同时增加了教学过程的趣味性、实践性，调动起学生积极性。
讲授新课【预习新知】探究用定义推导[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′, 它们与f'(x)和g'(x)有什么关系?教师提出问题，检测学生通过课前预习课本，让学生初步[()()]()().f x g x f x g x '''-=-同理有 一般地，对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±思考 类比两个函数f (x )和g (x )的和(或差)的求导法则， 那么[f (x )g (x )]′与f ′(x )g ′(x ), 它们是否相等? f (x )与g (x )商的导数是否等于它们导数的商呢?你能否用定义证明呢？事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的积(或商)的导数，我们有如下法则：2[()()]()()()()()()()()()(()0).()[()]f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x g x '''=+'''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦；【预习检测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知函数y ＝2ln x －2x，则y ′＝2x －2x ln2.( )(2)已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，则y ′＝3cos x ＋sin x ．( )(3)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( )(4)若函数f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝e x (x ＋2)x 3.( ) 2．已知函数f (x )＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－sin 1B ．1＋sin 1C ．sin 1－1D ．－sin 1 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2 x ＋sin 2 xB ．y ′＝cos 2 x －sin 2 xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x 4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝预习新课的效果。
导数的四则运算法则教案
导数的四则运算法则（陈秀成）
（一）教学目标
１．知识与技能：
了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导；掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则；能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数。
２．过程与方法：
利用学生已掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入课题，通过学生的猜想、尝试，探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解。
３．情感与价值观：
通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神。。
（二）教学重点、难点
教学重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
教学难点：学生对积和商的求导法则的理解和运用。
（三）教学方法
本节在教学中可运用尝试探索、类比联想、变式练习等方法进行。
（四）教学过程
学生思考，教师引导，教师和学生一起证明。
引导学生去猜想、证明，让学生通过自己的思考，获取新知识，发展学生的创新能力。
问题3设 是可导的，且 ，则： 。
教师提出问题，学生自己证明
教师给出答案，并对一些常见错误重点指出。
通过练习，锻炼学生的分析问题的能力。
应
用
举
例
例1（1）求函数 的导数。
（2）求函数 的导数。
概
念
形
成
问题1对于上面的猜想：即 教师给予确Fra bibliotek，让学生自己证明。
教师提出问题，学生思考回答。
让学生自己动手证明，教师检查写的过程。
提出问题，引导学生去猜想、证明，培养学生探索思考的精神。
问题2设 是可导的，则：
教学设计2：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3导数的四则运算法则教学目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．教学导引1．导数运算法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1，∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)； (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)(1x－1)． 解 (1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)＝x ＋2＋2x， ∴y ′＝1－2x2. (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ， ∴y ′＝12cos x . (3)∵y ＝(x ＋1)(1x －1)＝－x ＋1x， ∴y ′＝(－x )′＋(1x )′＝－12x －12－12x －32 ＝－12x(1＋1x )． 要点二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝log a (2x 2＋3x ＋1)；(2)y ＝a 3x cos(2x ＋π3)． 解 (1)y ′＝[log a (2x 2＋3x ＋1)]′＝(2x 2＋3x ＋1)′(2x 2＋3x ＋1)ln a＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln a. (2)y ′＝(a 3x )′cos(2x ＋π3)＋a 3x [cos(2x ＋π3)]′ ＝3a 3x ln a ·cos(2x ＋π3)－a 3x sin(2x ＋π3)·2 ＝a 3x [3ln a ·cos(2x ＋π3)－2sin(2x ＋π3)]． 规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝ln x 2＋1；(2)y ＝(2x 3－x ＋1x)4. 解 (1)∵y ＝12ln(x 2＋1)， ∴y ′＝12(x 2＋1)(x 2＋1)′＝x x 2＋1. (2)设u ＝2x 3－x ＋1x，则y ＝u 4， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝4u 3·(6x 2－1－1x 2) ＝4(2x 3－x ＋1x )3(6x 2－1－1x 2)． 要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．跟踪演练3 求满足下列条件的f (x )的解析式：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解 (1)依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0.由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数，知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .将f (x )，f ′(x )代入方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需要a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1.解得a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.当堂检测1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x【答案】D【解析】利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x【答案】C【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 【答案】A【解析】∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝ . 【答案】ln 2－1【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ， ∴b ＝ln 2－1.。
教学设计1：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数.教学重点： 掌握复合函数导数的求法教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导. 教学过程：（一）复习引入1. 几种常见函数的导数公式(C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－sin x ．2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ． 4．商的导数 ).0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u（二）讲授新课1．复合函数： 如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ． 像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．复合函数的导数一般地，设函数u ＝ϕ(x )在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ． 或写作 x f '(ϕ(x ))＝f '(u ) ϕ'(x )．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．例题讲解：例1：求y ＝(3x －2)2的导数．解：法1：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12．法2：由于y'u ＝2u ，u'x ＝3，因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12．例2：求y ＝(2x ＋1)5的导数．解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4． 例3：求下列函数的导数．(1)y ＝2x 2＋3x 3；(2)y ＝x 3·10x ； (3)y ＝cos x ·ln x ；(4)y ＝x 2sin x. 解：(1)y ＝2x 2＋3x 3＝2x －2＋3x －3， y ′＝－4x －3－9x －4.(2)y ′＝(x 3)′·10x ＋x 3·(10x )′＝3x 2·10x ＋x 3·10x ·ln10.(3)y ′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (4)y ′＝(x 2)′·sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 课堂检测：1．函数y ＝(x －a )(x －b )的导数是( )A ．abB ．－a (x －b )C ．－b (x －a )D ．2x －a －b【答案】D【解析】解法一：y ′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b . 解法二：∵y ＝(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab∴y ′＝(x 2)′－[(a ＋b )x ]′＋(ab )′＝2x －a －b ，故选D.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A ．12(e x －e －x ) B ．12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －xD ．e x ＋e －x【答案】A【解析】y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )．故选A. 3．函数f (x )＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，则x 0是( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【答案】B【解析】解法一：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，∴f ′(x 0)＝x 20－a2x 20＝0，得：x 0＝±a .解法二：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋a2x ′＝1－a 2x 2，∴f ′(x 0)＝1－a 2x 20＝0，即x 20＝a 2，∴x 0＝±a .故选B.4．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x【答案】A【解析】∵y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12－12cos2x ′＝sin2x .故选A.5．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于() A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.故选D.（三）课堂小结f'(ϕ(x))＝f '(u) ϕ'(x)．复合函数的导数：x（四）课后作业。
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4.2.3 导数的四则运算法则
三维目标：
1．知识与技能
掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法
通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观
培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
教学重难点
教学重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
教学难点：学生对积和商的求导法则的理解和运用。
教学过程
（六）教学反思
和（或差）的导数的探究要充分放手，留有适当的时间，让学生发现和论证，即使出现错误（类比这些错误，及时纠正），把握时机恰时恰当的处理，这样的课堂教学才能出现闪光点，富有激情和生命力。
对于积和商的导数，学生尝试证明可能存在一定的障碍，教师应及时指导学生，注意导数定义的形成。
内容不多，也很容易，可以放手让学生进行充分的探究。