有限元与comsol步骤

keq
线性弹簧模型描述，合并方程与线
性弹簧方程 F＝kx 相比，其等价刚 度为
x
F
FEM 实例
杆可以视为由四个弹簧串接起来的模型：
f keq (ui+1 - ui ) Aavg E l (Ai 1 Ai ) E (ui+1 - ui ) (ui+1 - ui ) 2l
u1 u2
1
y
w2
P
FEM 实例
每个单元的横截面面积，由定义单元节点处横截面的平均面积表示。
1 2
3
A1 A2 A3 l3
l1 l2
4
5
A4 l4
P
P
FEM 实例
为了研究典型的单元行为，考虑一个带有统一横截面A的单元，单元长度为l， 承受的外力为F，产生的形变是Δl。
l l
Δl l F
F
FEM 实例
近似单元的平均应力：
F = A
近似单元的平均应变：
l l
根据胡克定律：
AE F ( ) l l
其中，A为受力单元的横截面 积，E为材料的杨氏模量，l， Δl分布为受力单元的长度和形 变。
E
FEM 实例
注意到合并方程与线性弹簧的方程
F ＝ kx 相似，因此一个中心点受力 而且横截面相等的实体可以视作一 个弹簧。 每个单元的弹性行为可以由相应的
COMSOL操作步骤
阅读文献，思考 公式推导，数学抽象 构建几何模型 完成参数设定
N
设置边界条件
结果正确？
后处理
计算
网格化
Y 得出正确结果
COMSOL操作步骤
微分方程 边界条件 初始条件 FEM 自由变量的解
后处理
COMSOL操作步骤
完成预设参数与变量 构建集合模型 完成参数设定 设置边界条件 网格化 计算 后处理
R1 0 0 0 P
FEM 实例
k1 k 1 0 0 0 k1 k1 k2 k2 0 0 0 k2 k 2 k3 k3 0 0 0 k3 k3 k 4 k4 0 0 0 k4 k4
单元1
2
单元2
其中等价单元的刚度为：
(A Ai ) E keq i 1 2l
u3 u4
u5
3
单元3
4
单元4
5
P
FEM 实例
节点的力平衡方程：
k1 (u2 u1 ) k1 (u2 u1 ) k 2 (u3 u2 )
R1 k1 (u2 u1 ) 0 k1 (u2 u1 ) k 2 (u3 u2 ) 0 k2 (u3 u2 ) k 3 (u4 u3 ) 0 k3 (u4 u3 ) k 4 (u5 u4 ) 0 k4 (u5 u4 ) P 0
COMSOL Multiphsics 初级教程
——有限元方法简介与COMSOL操作入门
FEM 介绍
有限元方法是广泛用于解决应力分析，热传导，电磁学和流体力学等工程问题的 数值方法。
FEM 介绍
前处理阶段：
1.建立求解域，并将之离散化成有限个单元，即将问题分解成节点和单元。 2.假定描述单元物理属性的形函数，即利用一个近似的连续函数描述每个单元的解。 3.建立单元的刚度方程。 4.组装单元，构造总刚度矩阵。 5.应用边界条件和初始条件，并施加载荷。
参考书籍
COMSOL Multiphysics 4.2a 软件安装包:
http://yunpan.cn/QzSyqcmttIEIy COMSOL Multiphysics 4.4a 软件安装包:
http://yunpan.cn/QzR8MrmnHTAcF
初级教程PPT与COMSOL模型 http://yunpan.cn/QzSmfPM2GXQLk 新浪微博 小强Sirius
u1 u 2 u3 u 4 u5
R1 0 0 0 p
R Ku F
[反作用力矩阵]=[刚度矩阵][位移矩阵]-[负荷矩阵]
FEMห้องสมุดไป่ตู้实例
由于杆的上端是固定的，节点1的位移量是零，因此方程的第一行应为u1＝0。所以 应用边界条件将得到如下的矩阵方程：
1 k 1 0 0 0
0 k1 k2 k2 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
0 0 k3 k3 k 4 k4
0 u1 0 u 0 2 0 0 u3 0 k 4 u4 0 k4 p u5
k 2 (u3 u2 ) k3 (u4 u3 )
k3 (u4 u3 )
k 4 (u5 u4 )
k 4 (u5 u4 )
FEM 实例
k1u1 k1u2 k1u1 k1u2 k2u2 k2u3
k2u2 k2u3 k3u3 k3u4 k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 k4u4 k4u5
[刚度矩阵][位移矩阵]=[载荷矩阵]
FEM 实例
假定题目中E=10.4x106 lb/in2，w1=2 in, w2=1 in, t=0.125 in, L=10 in, P=1000 lb。
由上述方法计算结果如下：
0 0.001026 u 0.002210 in 0.003608 0.005317
求解阶段： 6.求解线性或非线性微分方程组得到节点值，例如不同节点上的位移或热传导问题中 的温度。 后处理阶段： 7.得到其他更重要的信息，如每个单元上的应力和每个单元中的热流密度。
FEM 实例
w1
求沿杆长度方向上不同点变形的大小， 在以下的分析中，假设应用的载荷比杆 的重量要大得多，因此忽略杆的重量。