信号与系统期末考试复习提纲

七、卷积定理 时域卷积定理 时域卷积定理
若
f1 (t ) ↔ F1 ( s ),
R e[ s ] > σ 1
f 2 (t ) ↔ F2 ( s),
频域卷积定理
Re[ s ] > σ 2 则
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ↔ F1 ( s ) F2 ( s ) ROC : 至少是公共部分
f1(t)i f2 (t) ↔
§ 1.4 阶跃函数和冲激函数
当n→∞时，函数 γ n (t ) 在 t = 0 的邻域 由0立即跃变为1，其斜率为无限大，而 在 t = 0 处的值仍可认为是1/2。这个函 数就定义为单位阶跃函数。
0, t < 0 1 ε (t ) = lim n→∞ γ n (t ) = , t = 0 2 1, t > 0
连续时间信号例子：
单位阶跃函数定义：
0, t < 0 1 ε (t ) = , t = 0 2 1, t > 0
离散时间信号 仅在一些离散的瞬间才有定义的 信号称为离散时间信号，简称离散 信号。这里“离散”是指信号的定 义域——时间（或其它量）是离散 的，它只取某些规定的值。
T [{0}, f (t − t d )] = y zs (t − t d ) T [{0}, f (k − k d )] = y zs (k − k d )
上图画出了线性时不变系统（连续系统） 的示意图。线性时不变系统的这种性质称 为时不变性（或移位不变性），对离散系 统也相类似。
第二章
E = lim a →∞ ∫ | f (t ) | dt
2 −a
a
P = lim a →∞
1 a 2 | f (t ) | dt ∫−a 2a
若信号f(t)的能量有界（即0<E<∞，这 时P=0）则称其为能量有限信号，简称为能 量信号。
若信号f(t)的功率有界（即0<P<∞,这 时E=∞）则称其为功率有限信号，简称功 率信号。
f (t ) ↔ F ( s ),
Re[ s ] > σ 0
复常数S a = σ a + jωa
则
f (t )e Sat ↔ F ( s − ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa ) Re[ s ] > σ 0 + σ a
ROC是将 表明 F(s − sa ) 的ROC是将 F (s) 的ROC 平移了一个 Re[ sa ] 。
五、时域微分特性
Re[ s ] > σ 1 Re[ s ] > σ 2
则
a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) ↔ a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s ) Re[ s ] > max(σ 1 , σ 2 )
二、尺度变换 若
f (t ) ↔ F ( s ), 实常数a>0
Re[ s ] > σ 0
• 如果 f (∞) = lim f (t ) ，f (t ) ↔ F ( s ), Re[ s ] > σ 0 , σ 0 < 0 t →∞ 则
三、尺度变换（横坐标展缩） 需将信号横坐标的尺寸展宽或压缩 （常称为尺度变换），可用变量at（a为 非零常数）替代原信号f(t)的自变量t,得到 非零 信号f(at)。若a>1，则信号f(at)是将原信 号f(t)以原点（t=0）为基准，沿横轴压缩 到原来的1/a，若0<a<1，则f(at)表示将 f(t)沿横轴展宽至1/a倍。
则
1 s f (at ) ↔ F ( ) a a Re[ s ] > aσ 0
三、时移特性 若
f (t )ε (t ) ↔ F ( s ), 实常数t0
Re[ s ] > σ 0
则
f (t − t0 )ε (t − t0 ) ↔ e − st0 F ( s ) Re[ s ] > σ 0
复频移特性（ 域平移特性 域平移特性） 四、复频移特性（S域平移特性） 若
二、系统的框图表示 连续或离散系统除用数学方程 描述外，还可用框图 框图表示系统的激 框图 励与响应之间的数学运算关系。
§ 1.6 系统的特性和分析方法
本书主要讨论线性时不变系统，简称 LTI(Linear Time Invariant)系统。
一、线性 系统的激励f(·)与响应y(·)的关系可简记为 y(·)=T[f(·)] 线性性质包含两个内容：齐次性和可加性。
二、周期信号和非周期信号
周期信号是定义在（－∞，∞）区间， 每隔一定时间T（或整数N），按相同规律 重复变化的信号。连续周期和离散周期信 号可表示为
f (t ) = f (t + mT ), m = 0,±1,±2, ⋯ f (k ) = f (k + mN ), m = 0,±1,±2, ⋯
满足以上关系式的最小T（或N）值 称为该信号的重复周期，简称周期。 只要给出周期信号在任一周期内的 函数式或波形，便可确知它在任一时刻 的值。
如果系统既是齐次的又是可加的，则称该 系统为线性的。
T [a1 f1 (⋅) + a2 f 2 (⋅)] = a1T [ f1 (⋅)] + a2T [ f 2 (⋅)]
二、时不变性 如果系统的参数都是常数，它们不 随时间变化，则称该系统为时不变（或 非时变）系统或常参量系统，否则称为 时变系统。 线性系统可以是时不变的，也可以 是时变的。描述LTI系统的数学模型是常 系数线性微分（差分）方程，而描述线 性时变系统的数学模型是变系数线性微 分（差分）方程。
Re[ s ] > σ 1 + σ 2
2π j ∫
1
c+ j∞
c− j∞
F1 (η)F2 (s −η)dη,
σ 1 < c < Re[ s ] − σ 2
八、S域微分和积分 若 则
f (t ) ↔ F ( s ),
Re[ s ] > σ 0
dF ( s ) (−t ) f (t ) ↔ ds d n F ( s) (−t ) n f (t ) ↔ ds n
§1.3 信号的基本运算
一、加法和乘法 同一瞬时“和信号”、“积信号” 同一瞬时 f (•) = f1 (•) + f 2 (•) f (•) = f1 (•) f 2 (•) 式中 (•) 表示 (t ) 或 (k )
二、反转和平移 将信号f(t)或f(k)中的自变量t（或k）换为－ t（或－k），其几何含义将信号f（·）以 纵坐标为轴反转（或称反折）。
若 则
f (t ) ↔ F ( s ),
Re[ s ] > σ 0
f (1) (t ) ↔ sF ( s ) − f (0− ),
ROC至少 Re[ s ] > σ 0 ， ROC至少 有可能扩大。 有可能扩大。
六、时域积分特性 若
f ( t ) ↔ F ( s ),
t n
Re[ s ] > σ 0
• 二、反转和平移
• 三、尺度变换（横坐标展缩）
• 既有时移又有尺度变换
1 f (at − b) ↔ e a
b −j ω a
F( j
ω
a
)
第五章 连续系统的s域分析
三、单边拉普拉斯变换 定义： 定义： def ∞
0−
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
def0
f (t ) = 1 σ + jω F ( s )e st ds, 2π j ∫σ − jω
考 δ (t),δ ' (t) 虑 , t<0
t >0
常用信号的拉氏变换
1 S
e ε (t )
−α t
e ε (t )
jβ t
1 s + α 1 s − jβ
δ (t )
δ'
1
s
§5.2 拉普拉斯变换的性质
一、线性 若
f1 (t ) ↔ F1 ( s ), f 2 (t ) ↔ F2 ( s ), a1 , a2常数
由于时不变系统的参数不随时间变化， 故系统的零状态响应 zs(·)的形式就与输 零状态响应y 零状态响应 入信号接入的时间无关，也就是说，如 果激励f(·)作用于系统所引起的响应为 yzs(·) ， 那 么 ， 当 激 励 延 迟 一 定 时 间 td （或kd ）接入时，它所引起的零状态响 应也延迟相同的时间，即若 T [{0}, f (⋅)] = y zs (⋅) 则有
1 则 ( ∫0 − ) f ( x ) dx ↔ n F ( s ) s t 1 1 ( −1) ( −1) f (t ) = ∫ f ( x)dx ↔ F ( s ) + f (0− ) −∞ s s n t 1 1 (−n) n f (t ) = ( ∫ ) f ( x)dx ↔ n F ( s ) + ∑ n − m +1 f ( − m ) (0− ) −∞ s m =1 s ROC : 至少 (Re[ s ] > σ 0 ) ∩ (Re[ s ] > 0)
狄拉克（Dirac）给出了冲激函数的 另一种定义 δ (t ) = 0, t ≠ 0 ∞ δ (t )dt = 1 ∫
−∞

式中的含义是该函数波形下的面积等于1。 在t=t1 处出现的冲激可写为δ(t－t1)。如 果a是常数，则aδ(t)表示出现在t=0处， 强度为a的冲激函数。如a为负值，则表示 强度为|a|的负冲激。
当n→∞时，函数pn(t)的宽度趋于零， 而幅度趋于无限大，但其强度仍等于1。 这个函数就定义为单位冲激函数，用 δ(t)表示。 δ (t ) = lim n→∞ pn (t ) 阶跃函数与冲激函数的关系是 d ε (t ) δ (t ) = dt
ε (t ) = ∫ δ ( x ) d x
−∞
t
∞ f (t ) ↔ ∫ F (η )dη , s t
, Re[ s ] > σ 0
Re[ s ] > σ 0
九、初值定理和终值定理 解决的问题：F ( S ) → 解决的问题：
f (0+ ), f (∞)
• 如果 f (t ) ↔ F ( s ), Re[ s ] > σ 0 （ f (t ) 不包含奇异 函数），则 函数），则 ），
题 型
• • • • • 填空（10分） 单项选择（2*5分） 判断（2*5分） 画图（20分） 计算（10*5分）
第一章 信号与系统
§1.2 信号
信号常可表示为时间函数（或序列）， 该函数的图像称为信号的波形。
一、连续信号和离散信号
在连续时间范围内（－∞<t<∞）有定 义的信号称为连续时间信号，简称为连续 信号。这里“连续”是指函数的定义域— —时间（或其它量）是连续的，至于信号 的值域可以是连续的，也可以不是。
f (0+ ) = lim f (t ) = lim sF ( s )
t → 0+ s →∞
f ' (0+ ) = lim s[ sF ( s ) − f (0+ )]
s →∞
f '' (0+ ) = lim s[ s 2 F ( s ) − sf (0+ ) − f ' (0+ )]
s →∞
——初值定理 初值定理
连续系统的时域分析
第三章
离散系统的时域分析
学习内容： 学习内容
1.了解单位序列响应的意义； 2.掌握卷积和的定义和计算方法。
第四章 连续系统的频域分析
学习重点
掌握周期信号的频谱. 掌握非周期信号的傅立叶变换的定义及其典型 信号的傅立叶变换.
• 一、加法和乘法
四、能量信号和功率信号
在单位电阻上的能量或功率，亦称为 归一化能量或功率。信号f(t)在单位电阻 上的瞬时功率为|f(t)|2,在区间-a<t<a的能 量为： a 2
∫
−a
| f (t ) | dt
在区间-a<t<a的平均功率为：
1 a 2 ∫−a | f (t ) | dt 2a
在（－∞， ∞）区间的能量和平均功率：
平移也称为移位。 对于连续信号f(t)，若有常数t0>0， 延时信号f(t－t0)是将原信号沿正t轴平移t0 时间，而f(t+t0)是将原信号向负t轴方向移 动t0时间。 对 于 离 散 信 号 f(k) ， 若 有 整 数 常 数 k0>0，延时信号f(k－k0)是将原序列沿正k 轴移动k0个单位，而f(k+k0)是将原序列沿 负k方向移动k0个单位。
§1.5 系统的描述
按数学模型的不同，系统可分为： 即时系统与动态系统； 连续系统与离散系统； 线性系统与非线性系统； 时变系统与时不变（非时变）系统等 等。
一、系统的数学模型 当系统的激励是连续信号时，若其响 应也是连续信号，则称其为连续系统。 当系统的激励是离散信号时，若其响应 也是离散信号，则称其为离散系统。连 续系统与离散系统常组合使用，可称为 混合系统。描述连续系统的数学模型是 微分方程，而描述离散系统的数学模型 是差分方程。