2020高考数学(理)冲刺刷题首先练辑：第三部分 2020高考仿真模拟卷(三) Word版含解析
2020高考数学(理)全真模拟卷3(解析版)
备战2020高考全真模拟卷3数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）2月14日第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|06}M x x =≤≤，{|232}x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．(,6]-∞ B ．(,5]-∞ C ．[0,6] D ．[0,5]【答案】A 【解析】分析：根据指数函数求解集合N ，再根据集合的交集运算，即可得到结果. 详解：由题意，集合{|06},{|232}{|5}xM x x N x x x =≤≤=≤=≤， 所以{|6}(,6]M N x x ⋃=≤=-∞，故选A.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合N 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.2．若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．-4 B ．45-C ．4i -D ．45i -【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出复数z,再求z 及其虚部得解. 【详解】 由题得55(34)5(34)3434(34)(34)255i i iz i i i +++====--+， 所以3455z i =-，所以z 的虚部为45-. 故选B 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算和共轭复数的概念，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3．在ABC ∆中，1=3AD DC u u u r u u u r ，P 是直线BD 上的一点，若12AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则m =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件化以,AB AD u u u r u u u r为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数.【详解】114222AP mAB AC mAB AD mAB AD =+=+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，又B P D 、、三点共线，所以21+=m ，得1m =-. 故选：B 【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．已知1127,4xyk x y ==-=，则k 的值是（ ） A ．42()7B ．142()7C ．145D ．147()2【答案】B 【解析】试题分析：由题意27log ,log x k y k ==，所以144271111222log 2log 7log 4,,()log log 777k k k k k x y k k -=-=-====，故选B ． 考点：对数的运算，换底公式．5．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2223a b c ab +-==，则ABC V 的面积为()A．34B．34C．32D．32【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理化简a2＋b2－c2＝ab＝3得C＝60°，即得△ABC的面积. 【详解】依题意得cos C＝222122a b cab+-=，所以C＝60°，因此△ABC的面积等于12absin C＝12×3×32＝34，故答案为B【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6．下表是考生甲、乙、丙填写的第一批A段3个平行志愿，而且均服从调剂，如果3人之前批次均未被录取，且3所学校天津大学、中山大学、厦门大学分别差1人、2人、2人未招满.已知平行志愿的录取规则是“分数优先，遵循志愿”，即按照分数从高到低的位次依次检索考生的院校志愿、、A B C，按照下面程序框图录取.执行如图的程序框图，则考生甲、乙、丙被录取院校分别是( )A．天津大学、中山大学、中山大学B．中山大学、天津大学、中山大学C．天津大学、厦门大学、中山大学D．中山大学、天津大学、厦门大学【答案】B【解析】乙的分最高，第一志愿是天津在，所以被天津大学录走。
2020年高考数学全真模拟试卷 (三)(含答案解析)
2020年高考数学全真模拟试卷（三） 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）已知在△ABC 中，AB =，AC =BC =，若O 为△ABC 的外心且满足AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则6x y +=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 6 2. 已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A. -3B. -2C. 2D. 3 3.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 4.“43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5.设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值为（ ）A. B. 32 C. 3 6.若复数2(1i z i i=-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --7. 已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（ ） A. 4B. 5C. 6D. 7 8. 若非零向量a r ，b r 满足||||a b =r r ，向量2a b +r r 与b r 垂直，则a r 与b r 的夹角为（ ）A. 150°B. 120°C. 60°D. 30° 9.已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>10.在△ABC 中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cos C =（ ）A. 5665B. 3365- C. 5665或1665-D. 1665- 11.已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π- B. 0 C. 3πD. 23π 12.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A. 23B. 43 C. 13 D. 16第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 设正三棱锥P -ABC 的高为H ，且此棱锥的内切球的半径R =17H ，则22H PA＝_______． 14.下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为22sin()2804a πρρθ-++-=，若曲线C 上总存在两个，则实数a 的取值范围是()()3,11,3--⋃；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量~(2,),~(3,)B p B p ξη，若5(1)9P ξ≥=，则6(2)27P η≥=；④已知n 为满足1232727272727(3)S a C C C C a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥能被9整除的正数a 的最小值，则1()nx x -的展开式中，系数最大的项为第6项.15. 已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）A. 22παβ-=B. 22παβ+=C. 2παβ+=D. 2παβ-= 16. 边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则BP BC ⋅=u u u v u u u v ______.三、解答题（本题共7道小题，每小题10分，共70分） 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AC 、BB 1的中点.（Ⅰ）证明：BD ∥平面AEC 1；（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角1A EC B --的余弦值.18.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为5252525x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋，＝－（t 为参数）．（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 垂直的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值． 19.在△ABC 中，3sin 2sin ,tan 35A B C==.（1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求△ABC 的周长.20.已知函数()y f x =与函数x y a =(0,a >且1)a ≠图象关于y x =对称 （Ⅰ）若当[]0,2x ∈时，函数(3)f ax -恒有意义，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当2a =时，求函数())(2)g x f x f x =⋅最小值．21. 已知函数()2cos 3cos )f x x x x =+．（I ）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标；（II ）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．22.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan ()a b A a b => .（Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围.23..某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？试卷答案1.B【分析】由余弦定理可得，2cos6BAC∠=，再根据数量积的定义可求出AO AB⋅u u u r u u u r，AC AB⋅u uu r u u u r，然后依据AO x AB y AC=+u u u r u u u r u u u r，利用数量积运算性质计算AO AB⋅u u u r u u u r，即可求出。
2020年全国3卷高考理科数学仿真试卷(三)答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C8．C9．A10．B11．D12．D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．214．2015．32016．9π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】(1)2n a n =；(2)()1654209n nn S +-+=．【解析】(1)由题意得22228t t t t t -++==，所以2t =±，···········2分2t =时，12a =，公差2d =，所以2n a n =；···········4分2t =-时，16a =，公差2d =-，所以82n a n =-．···········6分(2)若数列{}n a 为递增数列，则2n a n =，所以2log 2n b n =，4n n b =，()()1214nn n a b n -=-⋅，···········8分所以()()231143454234214n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，·········9分()()23414143454234214n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，所以()23134242424214n n n S n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅ ()()211414422143n n n -+-=+⨯---()1206543n n +---=，···········10分所以()1654209n nn S +-+=．···········12分18．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）随机变量X 的可取值为0，1，2，3，4···········1分 (2) (3)分 (4) (5)分···········6分故随机变量X 的分布列为:X 01234P1708351835835170···········7分（2）随机变量X 服从超几何分布：()4428E x ⨯∴==，···········9分()1422E Y ∴=⨯=．···········11分()()224E X E Y ∴+=+=．···········12分19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在半圆柱中，1BB ⊥平面11PA B ，所以1BB PA ⊥．···········2分因为11A B 是上底面对应圆的直径，所以11PA PB ⊥．···········4分因为111PB BB B = ，1PB ⊂平面1PBB ，11BB PBB ⊂，所以1PA ⊥平面1PBB ．···········5分（2）以C 为坐标原点，以CA ，CB 为，y 轴，过C 作与平面ABC 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系C xyz -．如图所示，设1CB =，则()1,0,0B ，()0,1,0A，(1A，(1B，(P ．···6分平面11PA B 的一个法向量()10,0,1=n ．···········8分设平面11CA B 的一个法向量()2,,x y z =n ，则1z =···········10分···········11分由图可知二面角11P A B C --为钝角，所以所求二面角的余弦值为．···········12分20．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ，∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴122x =，1y =，∴111121222AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=，则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分∴2224m k =+，1221==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分21．【答案】（1）见解析；（2）当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．【解析】（1）1m =时，()1e ln x f x x x -=-，()1'e ln 1x f x x -=--，········1分要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()0f x '≥对0x >恒成立，令()1e x i x x -=-，则()1e 1x i x -'=-，当1x >时，()0i x '>，···········2分当1x <时，()0i x '<，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10i x i =≥，···········3分即1e x x -≥（当且仅当1x =时等号成立），令()()1ln 0j x x x x =-->当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j =≥，即ln 1x x +≥（当且仅当1x =时取等号），()1e ln 1x f x x -'=--()ln 10x x -+≥≥（当且仅当1x =时等号成立），()f x 在()0+∞，上单调递增．···········5分（2）由()e ln x m g x x m -=--有，显然()g x '是增函数，令()00g x '=，00e e x m x =，00ln m x x =+，则(]00,x x ∈时，()0g x '≤，[)0,x x ∈+∞时，()0g x '≥，∴()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x ···········7分①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；···········8分②当1m <时，001x <<02ln 0x <，001x <<，所以()0g x >0，()g x 没有零点；···········9分③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()eee e e 0mmm mmg m m -----=+-=>，又对于函数e 1x y x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥，∴当0x >时，1010y >--=，即e 1x x >+，∴()23e ln3m g m m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--，令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m-=-=，∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >，又0e 1m x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，综上，当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．···········12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2020届全国高考理科数学模拟冲刺卷三(含答案)
2
16
A.
B.
C.6
D.4
3
3
9、已知
f
x
1 2
x
,x
1
，若关 x 于的方程 a f x 恰有两个不同实根，
x
2
4x
2,
x
1
则实数 a 的取值范围是（ ）
A.
,
1 2
U 1,
2
B.
0,
1 2
U
1,
2
C.
1, 2 D.
1, 2
x2 y2
π
10、已知 O 为坐标原点，过双曲线 1(a 0，b 0) 右焦点 F 作倾斜角为 的直线 l ，
uuur uuur uuur
15、已知 A2,1,3, B(－4, 2, x),C(1, x, 2) ，若向量 OA OB 与 OC 垂直(O 为坐标原点)，则 x
等于
.
x2 y2 16、设 F1, F2 为椭圆 C : + 1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若△MF1F2
36 20
(1 x)n a0 a1x a2 x2 L an xn ,若 a1 a2 L an 242 ,则实数 ( )
A.3
B.2
C.1
D.4
6、已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 (4,3) ，则
sin 2 cos 2 (
7 A.
5
)
17 B.
0,
π 2
，
10 ∴ AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 5 .
12 答案及解析：
答案：B
解析：因
为
对
于
任
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)(含答案解析)
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2+i)z=3+4i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ）A ．2−iB ．2+iC ．1−2iD ．1+2i 2．已知集合M ={−1，0，1}，N ={y |y =1+sin2x π，x ∈M }，则集合M ∩N 的真子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 6 8 10 12 y2356根据上表可得回归直线方程ˆy=0.7x +a ，据此可以预测当x =15时，y =（ ） A ．7.8 B ．8.2 C ．9.6 D ．8.5 4．若向量a ，b 满足|a |=3，|b |=2，a ⊥(a −b )，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2π B ．23π C ．6πD ．56π5．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．{x ∈R |0 x 2log 3}B ．{x ∈R |−2 x 2}C ．{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}D ．{x ∈R |−2 x 2log 3或x =2}6．设变量x ，y 满足10222270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤，z =2a x y +(0<a)的最大值为5，则a =（ ）A ．1B ．12C．2 D7．已知双曲线2x −2y =1的左、右两个焦点分别是1F 、2F ，O 为坐标原点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线lt -+=0与圆O 有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[−2，2] B ．[0，2] C ．[−4，4] D ．[0，4]8．已知等差数列{n a }的公差d ≠0，首项1a =d ，数列{2n a }的前n 项和为n S ，等比数列{n b }是公比q 小于1的正项有理数列，首项1b =2d ，其前n 项和为n T ，若33S T 是正整数，则q 的可能取值为（ ）A ．17B ．37C ．12D ．349．若函数y=cos(2x +φ)(0<φ<2π)的图象的对称中心在区间(6π，3π)内只有一个，则φ的值可以是（ ） A ．12π B ．6π C ．3πD ．56π 10．已知三棱锥P −ABC 的顶点都在同一个球面上(球O )，且P A =2，PB =PC，当三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是（ ） A ．316π B ．38π C ．116πD ．18π11．已知抛物线2y =8x 的准线与双曲线22221x y a b-=相交于A ，B 两点， 若直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2 CD12．已知函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1e +1，e −1]B ．[1e+1，e −1)C．{1}∪(1e+1，e−1] D．{1}∪[1e+1，e−1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若261()(2)x a xx+-展开式中的常数项为60，则实数a的值为．14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．15．已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin(B+C)+3sin(A+C)cos C=0，则tan A的最大值为．16．已知函数()f x=212ln xx-，若对任意的1x，2x∈(0，1e]，且1x≠2x，122212()()||f x f xx x-->2212kx x⋅恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，且满足3nS=2na+1．(1)求数列{na}的通项公式；(2)设数列{nb}满足nb=(n+1)na，求数列{nb}的前n项和nT．18．(本小题满分12分)某运动会为每场排球比赛提供6名球童，其中男孩4名，女孩2名，赛前从6名球童中确定2名正选球童和1名预备球童为发球队员递球，假设每名球童被选中是等可能的．(1)在一场排球比赛中，在已知预备球童是男孩的前提下，求2名正选球童也都是男孩的概率；(2)(i)求选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩的概率；(ii)某比赛场馆一天有3场排球比赛，若每场排球比赛都需要从提供的6名球童中进行选择，记球童选取情况恰为(i)中结果的场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)已知四棱锥A−BCPM及其三视图如图所示，其中PC⊥BC，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形．(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角M−AC−B的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为1F，2F，过点A (−4，0)的直线l与椭圆C相切于点B，与y轴交于点D(0，2)，又椭圆的离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)圆Q与直线l相切于点B，且经过点2F，求圆Q的方程，并判断圆Q与圆2x+2y=2a的位置关系．21．(本小题满分12分)已知函数()f x=ax+ln x−2，a∈R．(1)若曲线y=()f x在点P(2，m)处的切线平行于直线y=−32x+1，求函数()f x的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数()f x在(0，2e]上有最小值2?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−6π)=12．(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆ρ=2相交于A ，B 两点，求点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲设函数()f x =1+|2x −3|，()g x =|9x +3|．(1)求不等式()f x13()g x 的解集； (2)若不等式()f x 2t x +12+|x −32|的解集非空，求实数t 的取值范围．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)答案1．A 【解析】由(2+i)z=3+4i ，得z=34i (34i)(2i)105i2i (2i)(2i)5++-+==++-=2+i ，则z 的共轭复数为2−i ，选A ．2．B 【解析】因为N ={0，1，2}，所以M ∩N ={0，1}，其真子集的个数是3，故选B ． 3．B 【解析】根据题中表格可知x =6810124+++=9，y =23564+++=4，所以a =y −0.7x =4−0.7×9=−2.3，所以ˆy=0．7x −2.3， 当x =15时，y =0.7×15−2.3=8.2．4．C 【解析】通解 因为a ⊥(a −b )，所以a ·(a −b )=0，即a ·a −a ·b =|a |2−|a |·|b |cos<a ，b >=0，所以cos<a ，b >=2||||||⋅a a b =32，又<a ，b >∈[0，π]，故a 与b 的夹角为6π，选C ．优解 因为a ⊥(a −b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a −b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C ．5．C 【解析】根据题意，得当x ∈(−2，2)时，()f x =2x ，由1 2x 3，得0 x 2log 3；当x ∉(−2，2)时，()f x =x +1，由1 x +1 3，得0 x 2，即x =2．故输入的实数x 的取值范围是{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}．故选C ．6．A 【解析】如图，画出可行域，∵z =2a x +y ，∴y =−2a x z +，求z 的最大值，即求直线y=−2a x z+在y 轴上的最大截距，显然当直线y=−28a x +过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由10270x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A (2，3)，则22a +3=5，可得a =1．故选A ．7．C 【解析】双曲线2x −2y =1的两个焦点分别是1F (2，0)，2F 2，0)，从而圆O 的方程为2x +2y =253x t +=0与圆O 有公共点，，即|t| 4，从而实数t的取值范围是[−4，4]，故选C．8．C【解析】由题意知，33ST=2222222249141d d dd d q d q q q++=++++为正整数，设为t，则1+q+2q=14t，即2q+q+1−14t=0，因为q有解，故1−4(1−14t) 0，t563．故q因而t整除56，即t的可能取值为1、2、4、7、8、14，经检验当t=8时符合题意，此时q12=，故选C．9．A【解析】令2x+φ=2π+kπ(k∈Z)，则x=4π+2kπ−2ϕ，所以6π<4π+2kπ−2ϕ<3π，即ϕπ−16<k<ϕπ+16．又由0<φ<2π，得−16<ϕπ−16<13，16<ϕπ+16<23，所以k=0，此时φ∈(−6π，6π)，选A．10．A【解析】三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和为12×sin∠APB+12×sin∠APC+12sin∠BPC，由于∠APB，∠APC，∠BPC相互之间没有影响，所以只有当上述三个角均为直角时，三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和最大，此时P A，PB，PC两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥P−ABC与该长方体有共同的外接球，故球O的半径r==2，所以三棱锥P−ABC的体积与球O的体积的比值是311233241623ππ⨯⨯=⨯．11．A【解析】通解因为直线AF(点F为抛物线的焦点)与直线y=x垂直，所以直线AF的斜率为AFk=−1，又抛物线2y=8x的焦点为F(2，0)，则直线AF的方程为y=−x+2，与抛物线的准线：x=−2联立，得点A(−2，4)，又点A在双曲线上，所以24a−1616=1，解得2a=2，故2e=22ca=9，双曲线的离心率e=3．故选A．优解 因为直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，所以直线AF 的斜率为AF k =−1，又A ，B 两点是抛物线2y =8x 的准线与双曲线222116x y a -=的交点，根据双曲线的对称性，可知△ABF 是等腰直角三角形，故由点A 的横坐标为−2，AF k =−1，知点A 的纵坐标为4，即A (−2，4)，代入双曲线方程可得24a −1616=1，解得2a =2， 2e =22c a =9，故双曲线的离心率e =3．故选A ．12．C 【解析】因为函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，即点(x ，y )与(x ，−y )分别在两个函数的图象上，且唯一．又1ex e ，所以()ln ()y f x x y g x x a==⎧⎨=-=-⎩，即方程ln x =x −a 在[1e ，e ]上有唯一解，所以函数()f x =ln x 的图象和直线y=x −a 在区间[1e ，e ]上有唯一的公共点，作出大致图象如图所示．当两函数图象相切时， 设切点为(0x ，0y )，1()(ln )f x x x''==，所以001()f x x '=，所以0x =1，切点为(1，0)，代入直线方程得a =1．当直线y =x −a 过点A (1e ，−1)时，a =1e+1；当直线y =x −a 过点B (e ，1)时，a =e −1．结合图象可知，若恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则a =1或1e+1<a e −1．13．1【解析】261(2)x x -展开式的通项为1r T +=6C r 26(2)r x -−1()r x-=(−1)r ×62r -6C r 123rx -，当12−3r =0时，r =4，而12−3r =−1时，r =133不符合题意，所以常数项为(−1)4×2246C a =60，解得a =1．14．4【解析】由三视图得该几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于直角梯形的上底边的直角顶点的四棱锥，所以该几何体的体积为13×242+×2×2=4．15．34【解析】因为sin (B +C )+3sin (A +C )cos C =0，所以sin(B +C )=−3sin B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =−3sin B cos C ，sin C cos B =−4sin B cos C ．易知C ≠90°， 所以tan C =−4tan B ，所以tan(A +B )=4tan B ， 所以tan A =tan[(A +B )−B ]=2tan()tan 3tan 1tan()tan 14tan A B B BA B B B+-==-+⋅+114tan 3tan 3B B +34=(B 是锐角，tan B >0)，当且仅当1tan B=4tan B ， 即tan B =12时取等号，所以tan A 的最大值为34． 16．(−∞，4]【解析】由对任意的1x ，2x ∈(0，1e]，且1x ≠2x ，122212()()||f x f x x x -->2212kx x ⋅， 得122212()()||11f x f x x x --min >k ，令g (21x )=()f x ，x ∈(0，1e ]，则()g x =x +x ln x ，x ∈[2e ，+∞)，()g x '=2+ln x ≥4，又122212()()||11f x f x x x --=2212221211()()||11g g x x x x --表示曲线y=()g x在[2e ，+∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值， 则122212()()||11f x f x x x -->4，则k ≤4，即实数k 的取值范围是(−∞，4]．17．【解析】(1)当n =1时，31S =21a +1⇒1a =1，当n ≥2时，由11321321n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩，得3(n S −1n S -)=2n a −21n a -⇒n a =−21n a -，从而n a =(−2)1n -．（4分）(2)由n b =(n +1) n a 得n b =(n +1)×(−2)1n -，则n T =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+…+(n +1)×(−2)1n -， ① −2n T =2×(−2)1+3×(−2)2+4×(−2)3+…+(n +1)×(−2)n ， ② 由①−②得，3n T =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+…+(−2)1n -−(n +1)×(−2)n=1+1(2)1(2)n ----−(n +1)×(−2)n =43−(n +43)×(−2)n ，从而n T =49−349n +×(−2)n ． （12分）18．【解析】(1)从6名球童中选取3名球童，已知预备球童为男孩，2名正选球童从其余5人中选取，共有25C =10种不同的选法，因为2名正选球童都是男孩，则需要从剩余3名男球童中选取，有23C =3种选法，由古典概型的概率计算公式，得2名正选球童也都是男孩的概率P =310． （5分）(2)(i)从6名球童中选取3名球童，共有36C =20种不同的选法，记事件A 为“选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩”，则事件A 包含的选法有2142C C =12种，由古典概型的概率计算公式，得P (A )=123205=． （7分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ~B (3，0.6)，P (ξ=0)=03C (0.6)0×(0.4)3=0.064，P (ξ=1)=13C (0.6)1×(0.4)2=0.288， P (ξ=2)=23C (0.6)2×(0.4)1=0.432，P (ξ=3)=33C (0.6)3×(0.4)0=0.216．（10分） 因而ξ的分布列为P0.064 0.288 0.432 0.216Eξ=3×0.6=1.8．（12分） 【备注】在解决概率与统计问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的情况，从而选择正确的概率计算公式，同时注意上述几种事件的综合问题，要全面考虑．19．【解析】(1)由三视图可知，平面PCBM ⊥平面ABC ，又平面PCBM ∩平面ABC =BC ，且PC ⊥BC ，（2分）∴PC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ．（4分）(2)解法一 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ，易知AC ⊥MH ，∴∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角．（6分）由三视图可知PC =MN =1，PM =CN =1，CB =2，AC =1，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则A 到直线BC 的距离为AE 3（7分） 在Rt △AEC 中，AC =1，AE 3sin ∠ACE 3 ∴∠ACE =60°，∴∠ACB =120°，（8分） 在Rt △NHC 中，∵∠NCH =∠ACE =60°，∴NH =CN ·sin ∠NCH =1×sin 60°=32．（10分） 在Rt △MNH 中，∵MH 22MN NH +7cos ∠MHN =NH MH =217．故二面角M −AC −B的余弦值为217．（12分）解法二 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．（5分）由三视图知PC =MN =1，CB =2，AC =1，过A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则点A 到直线BC 的距离为AE =32．（6分） 在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立如图所示的空间直角坐标系．在Rt △AEC 中，AC =1，AE =32，∴CE =12， ∴C (0，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，1)，B (0，2，0)，A 3−12，0)， ∴CA u u u r 3−12，0)，AM u u u u r =(3，32，1)．（8分） 设平面MAC 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，得33023102x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令z =1，则x =3y =−1， ∴n =(−33，−1，1)是平面MAC 的一个法向量．（10分） 又平面ABC 的一个法向量为CP u u u r =(0，0，1)，∴cos<n ，CP u u u r >=||||CP CP ⋅=u u u r u u u r n n 21． 由图可知二面角M −AC −B 为锐二面角，∴二面角M −AC −B 的余弦值为217．（12分）20．【解析】(1)由题意知，直线l的方程为x−2y+4=0，由22221240 x yabx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得(2a+42b)2y−162b y+162b−2a2b=0，（2分）又椭圆的离心率e=ca=12，所以2e=2222214c a ba a-==，因而42b=32a，则42a2y−122a y+234a(16−2a)=0，（3分）由直线l与椭圆相切，得Δ=22(12)a−124a(16−2a)=0，则2a=4，2b=3，所以椭圆C的方程为22143x y+=．（5分）(2)由(1)得B(−1，32)，2F(1，0)，由题意知圆心Q在过点B与l垂直的直线上，该直线方程为y−32=−2(x+1)，即4x+2y+1=0．（6分）设圆心Q(x，y)，因而4x+2y+1=0，连接QB，2QF，则|QB|=|2QF|，（7分）从而2(1)x++23()2y-=2(1)x-+2y，解得x=−38，y=14，则Q(−38，14)，圆Q的半径R=|QB223135(1)()8428-++-=，（9分）所以圆Q的方程为(x+38)2+(y−14)2=12564．（10分）而2x +2y =4的圆心为O (0，0)，半径r =2，两圆的圆心距|OQ ，（10分）由于144>125，因而16−5因而|OQ <2，即两圆内含． （12分）【备注】分析近几年的高考题可知，解析几何的考查基本稳定在椭圆与圆、抛物线与圆、椭圆与抛物线的结合上，已知条件以向量的形式呈现也很普遍，而众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论更是备受青睐，因而在复习备考阶段，应加以强化，这些结论不但要知其然，更要知其所以然，突破传统思维定势的影响，寻求解题的突破口，提高复习的全面性与灵活性．21．【解析】(1)∵()f x =a x+ln x −2(x >0)， ∴()f x '=2a x -+1x(x >0)，（1分） 又曲线y =()f x 在点P (2，m )处的切线平行于直线y =−32x +1， ∴(2)f '=−14a +12=−32⇒a =8． ∴()f x '=28x -+1x =28x x -(x >0)，（3分） 令()f x '>0，得x >8，()f x 在(8，+∞)上单调递增；令()f x '<0，得0<x <8，()f x 在(0，8)上单调递减．∴()f x 的单调递增区间为(8，+∞)，单调递减区间为(0，8)．（5分）(2)由(1)知()f x '=2a x -+1x =2x a x- (x >0)． (i)当a 0时，()f x '>0恒成立，即()f x 在(0，2e ]上单调递增，无最小值，不满足题意．（6分）(ii)当a >0时，令()f x '=0，得x =a ，所以当()f x '>0时，x >a ，当()f x '<0时，0<x <a ，（7分）此时函数()f x 在(a ，+∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =2()f e =2a e +ln 2e −2=2a e ， 由2a e=2，得a =22e ，满足a >2e ，符合题意；（8分） 若a 2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =()f a =a a +ln a −2=ln a −1， 由ln a −1=2，得a =3e ，不满足a 2e ，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a =22e ，使函数()f x 在(0，2e ]上有最小值2．（12分）22．【解析】(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得y −1=3(x −1)， 显然，直线l 过定点(1，1)，倾斜角为6π， 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（5分）(2)圆ρ=2的直角坐标方程为22x y +=4，把12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22x y +=4， 得)2+(1+12t )2=4，2t+1)t −2=0， 因为+1)2+8>0，故设其两根分别为1t ，2t ，显然12t t =−2，故点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积为2．（10分）【备注】极坐标方程与直角坐标方程互化及参数方程与普通方程互化是本知识板块的基础，当然也是近年高考命题的重点与热点．直线参数方程中参数的几何意义的应用也是重要的考点，值得考生关注．23．【解析】(1)由()f x 13()g x，可得|3x+1|−|2x−3| 1，则当x32时，3x+1−2x+3 1，即x −3，∴不符合题意；当−13x<32时，3x+1+2x−3 1，∴−13x35；当x<−13时，−3x−1+2x−3 1，∴−5 x<−13．综上，不等式()f x13()g x的解集为{x|−5 x35}．（5分）(2)根据题意，由不等式()f x−2tx12+|x−32|，化简得()f x−tx 0，即()f x tx．由()f x=1+|2x−3|=322,2342,2x xx x⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩≥，作出y=()f x与y=tx的大致图象如图所示．由单调性可知()f x的最小值点为A(32，1)，∵当过原点的直线y=tx经过点A时，t=23，当直线y=tx与AC平行时，t=−2．∴当−2 t<23时，y=()f x与y=tx的图象无交点，且y=tx的图象都在y=()f x的图象的下方，∴当不等式()f x−tx 0的解集非空时，t的取值范围是(−∞，−2)∪[23，+∞)．（12分）。
仿真卷03-决胜2020年高考数学(理)实战演练仿真卷(解析版)
∴f（x）min＝f（1）＝e﹣1
∴k≤e﹣1．
故答案为：e﹣1． 三、 解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.）
17.已知函数
f(x)＝4sin
x－π 3
cos
x＋
3.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
0，π (2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在 2 上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算
又 a1+an＝34②，
联立①②，解得：a1＝2，an＝32 或 a1＝32，an＝2，
当 a1＝2，an＝32 时，sn＝
＝
＝
＝62，
解得 q＝2， 所以 an＝2×2n﹣1＝32，此时 n＝5； 同理可得 a1＝32，an＝2，也有 n＝5． 则项数 n 等于 5，
故选：B．
8.
设F1，F是双曲线
−
π 4
,kπ
+
π 4
)，k
∈
Z
D. t 的最小值为1π，g(x)的周期为π
6.【答案】D
【解析】函数
f(x)
=
sin(x
−
π 6
)图象上的所有点向左平移
t(t
)个单位长度，得到
g(x)
=
sin(x
+
t
−
π 6
)，
由于函数 g(x)是奇函数．
所以：t
−
π 6
=
kπ(k
∈
Z)，
解得：t
=
kπ
+
π，
1
15. 已知菱形 ABCD 的一条对角线 BD 长为 2，点 E 满足A→E＝1E→D，点 F 为 CD 的中点，若A→D·B→E＝－2，
【2020 高考冲刺 必刷卷 文理--理数第3套【含答案】
2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数3第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |y =√1-2x },B ={x |log 2x <-2},则A ∪B =A.(0,14)B.(-∞,14)C.(14,12]D.(-∞,12]2．已知复数z 的共轭复数为z ¯,且z ¯-2=3+4i z,则|z |=A.√13B.√5C.5D.√23．已知α,β是两个不同的平面,a ,b 是两条不同的直线,且a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,给出下列命题:①若a ∥b ,则α∥β;②若a ⊥b ,则α⊥β;③若α⊥β,则a ⊥b .其中错误命题的序号是A.①②B.②③C.①③D.①②③4．某省普通高校招生考试方案规定:每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中随机选3门参加选考科目的考试,假设每位考生选考任何3门科目的可能性相同,那么从该省的所有考生中,随机选取4人,他们的选考科目中都含有物理的概率为A.164B.364C.116D.145．若a =(√3)43,b =915,c =8710,则有A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.a >c >b6．若(ax−√x )6展开式中的常数项为60,则展开式中含x -3项的系数为 A.240B.120C.-240D.157．将函数f (x )=√3sin(2x +π4)的图象先向右平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12,得到函数g (x )的图象,则g (x )在[-π8,π3]上的最小值为A.0B.-12C.-√32D.-√38．运行如图所示的程序框图,则输出的S 的值为A.-115B.-35C.-37D.-99．已知经过坐标原点O 的直线与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于M ,N 两点(M 在第二象限),A ,F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点,若直线MF 平分线段AN ,且|AF |=4,则该椭圆的方程为A.x 29+y 25=1B.x 236+y 24=1C.x 236+y 232=1D.x 225+y 224=110．在一个半球内挖去一个圆锥,所得几何体的三视图如图所示,已知该几何体的正视图与侧视图完全相同,且图中的三角形为正三角形,三角形的底边在图中半圆的直径上,上顶点在半圆弧的中点.若该几何体的表面积为10π,则该几何体的体积为A.3√3πB.11√33π C.√3π D.5√33π11．已知函数f (x )=13x 3+12bx 2+cx +d (b ,c ,d 为实数),若f (x )在区间(0,2)内有两个不同的极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则f '(0),f '(2)满足A.两个都小于1B.只有一个小于1C.两个都不小于1D.至少有一个小于112．在△ABC 中,A =120°,AC =2AB =6,点D 满足AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2x x+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y2x+2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为A.3√217B.3√7C.6√217D.3√2114第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知向量a =(1,2),b =(k ,-6),若a ⊥(b -a ),则k = . 14．已知α是第三象限角,且sin(α-π4)=-√55,则tan(α+π4)= .15．某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动,某班级获得了某品牌的图书共4本,其中数学、英语、物理、化学各一本.现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁4个人,每人一本,并请这4个人在看自己得到的赠书之前进行预测,结果如下.甲说:乙或丙得到物理书;乙说:甲或丙得到英语书;丙说:数学书被甲得到;丁说:甲得到物理书.最终结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测均不正确,那么甲、乙、丙、丁4个人得到的书分别是 .16．已知双曲线C 经过点(2,3),且该双曲线的其中一条渐近线的方程为y =√3x ,F 1,F 2分别为该双曲线的左、右焦点,P 为该双曲线右支上一点,点A (6,8),则当|PA |+|PF 2|取最小值时,点P 的坐标为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知数列{a n }为正项数列,且n a n+12-4(n +1)a n 2=0,令b n =n√n.(1)求证:{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,求数列{a n 2}的前n 项和S n .18．如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是梯形,AD ∥BC 且AD ⊥AB ,AB =BC =2AD =4,△PAB 是等边三角形,且平面PAB ⊥平面ABCD ,E 是PB 的中点,点M 在棱PC 上.(1)求证:AE ⊥BM ;(2)若M 为PC 的中点,求平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.19．NBA 球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一,在2017-2018赛季NBA 常规赛中,球员J 和H 在某15场常规赛中的每场比赛得分如图所示.(1)试以此样本估计球员J 在本赛季的场均得分以及球员H 在本赛季参加的75场常规赛中,得分超过32分的场数.(2)对以上样本数据,从两个球员得分都超过35分的场次中各随机抽取2场,进一步研究两名球员的得分情况,求在恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分的条件下,该球员是H 的概率.(3)效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标,现统计了球员J 在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值,如表所示:若球员J 每场比赛的效率值y 与得分x 具有线性相关关系,试用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程(结果精确到0.001),并由此估计在上述15场比赛中,效率值超过31的场数.参考公式:b^=∑i=1n(x i −x-)(y i −y -)∑i=1nx i 2−nx-2=∑i=1nx i y i −nx -y -∑i=1nx i 2−nx-2,a ^=y -−b ^x -.参考数据:∑i=15x i y i =3 288.2,∑i=15x i 2=3 355.20．已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0),圆C 2:(x -1)2+y 2=r 2(r >0),抛物线C 1上的点(1,y 0)到其焦点的距离为54.(1)求抛物线C 1的方程.(2)如图,已知点P 为抛物线C 1在第一象限内一点,且横坐标为2,过点P 作圆C 2的两条切线分别交抛物线C 1于点A ,B (A ,B 异于点P ),问是否存在圆C 2使得AB 恰为其切线?若存在,求出r ;若不存在,请说明理由.21．已知函数f (x )=e x (ax 2+x )+1,其中e 为自然对数的底数,a ∈R .(1)若函数f (x )在[1,2]上单调递减,求实数a 的取值范围; (2)若函数g (x )=f(x)xe x-1在(-∞,0)上有两个不同的零点x 1,x 2,求证:x 1+x 2+4<0.22．已知平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =1-35t,y =1+15t(t 为参数),椭圆C 的标准方程是x 29+y 2=1.(1)求直线l 的普通方程以及椭圆C 的参数方程;(2)若点M (2,2),点N 在椭圆C 上,求线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最大值.23．已知函数f (x )=|1-4x |-|1+2x |.(1)解不等式f (x )≤4;(2)若不等式f (x )≤k -f (-x2)有解,求实数k 的取值范围.参考答案1.D【解析】本题考查集合的并运算以及函数的定义域等,考查的核心素养是数学运算. 先求出集合A ,B ,再结合数轴求并集.因为A ={x |y =√1-2x }={x |x ≤12},B ={x |log 2x <-2}={x |0<x <14},所以A ∪B =(-∞,12].【备注】无 2.B【解析】本题考查复数的模、共轭复数、复数的四则运算以及复数相等的充要条件,考查的核心素养是数学运算.设出复数z 的代数形式,然后利用复数相等的充要条件求出复数z ,最后求得|z |. 由z ¯-2=3+4i z可得z (z ¯-2)=3+4i.设z =x +y i(x ,y ∈R ),则(x +y i)(x -y i-2)=3+4i,整理得x 2+y 2-2x -2y i=3+4i,所以{x 2+y 2-2x =3,-2y =4,得{x =1,y =-2,则z =1-2i,|z |=√5.【备注】无 3.D【解析】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.画出空间图形,考虑各种可能的情形,进行分析、判断.如图(1),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且a ∥b ,但是α与β相交,①错误;如图(2),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且a ⊥b ,但是α不垂直于β,②错误;如图(3),虽然a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,且α⊥β,但是a ∥b ,③错误.故错误命题的序号为①②③.【备注】无 4.C【解析】本题考查古典概型、独立重复试验及其应用,考查的核心素养是逻辑推理、数据分析.首先求出任意一位考生的选考科目中含有物理的概率都为12,再利用独立重复试验的概率计算公式计算所求概率.依题意知,该省的任意一位考生的选考科目中含有物理的概率都为C 52C 63=12,故随机选取4人,他们的选考科目中都含有物理的概率为C 44·(12)4=116.【备注】无 5.B【解析】本题考查指数函数的性质及其应用,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理. 先利用指数函数的性质比较a ,b 的大小,并确定它们的大致范围,再确定c 的大致范围,最后确定三者的大小关系. 因为a =(√3)43=323,b =915=325,且1>23>25,所以3>323>325,即3>a >b .又c =8710=22110>4,所以c >a >b . 【备注】无 6.A【解析】本题考查二项式定理的应用,考查的核心素养是数学运算.先根据二项展开式的通项公式及展开式中的常数项为60求得实数a 的值,再求出含x -3项的系数. (ax −√x )6的展开式的通项T r +1=C 6r (a x )6-r (-√x)r=(-1)r C 6r a 6-r ·x 32r-6,令32r -6=0,解得r =4,于是(-1)4C 64a 2=60,解得a =±2.再令32r -6=-3,解得r =2,故展开式中含x -3项的系数为(-1)2C 62a 4=240.【备注】无 7.D【解析】本题考查三角函数图象的变换以及三角函数的性质,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理以及数学运算.首先求出g (x )的解析式,然后求g (x )在[-π8,π3]上的最小值.将函数f (x )=√3sin(2x +π4)的图象先向右平移π6个单位长度,得y =√3sin[2(x -π6)+π4]=√3sin(2x -π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12,得g (x )=√3sin(4x -π12)的图象.当x ∈[-π8,π3]时,4x -π12∈[-7π12,5π4],因此当4x -π12=-π2,即x =-5π48时,g (x )在[-π8,π3]上取得最小值-√3.【备注】无 8.B【解析】本题考查“当型”循环结构的程序框图及其应用,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.运行该程序框图,k =1,S =1;S =3×1-2×1=1,k =2;S =3×1-2×2=-1,k =3;S =3×(-1)-2×3=-9,k =4;S =3×(-9)-2×4=-35,k =5.不满足k <5,故输出S =-35. 【备注】无 9.C【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质,考查三角形的相似及其应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力.试题的命制立足于基础知识,考生可以根据几何直观与椭圆的几何性质解题,突出对数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的考查.取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,可证△OFP ∽△AFM ,从而可求得c 的值,进而求得a ,b 2的值,得到椭圆的方程.解法一 由|AF |=4得a -c =4,设线段AN 的中点为P ,M (m ,n ),则N (-m ,-n ),又A (a ,0),所以P (a-m 2,-n 2),F (a -4,0).因为点M ,F ,P 在一条直线上,所以k MF =k FP ,即n-0m-(a-4)=-n 2-0a-m2-(a-4),化简得a =6,所以c =2,b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.解法二 如图,取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,因为O 是MN 的中点,P 是AN 的中点,所以OP ∥MA ,且|OP |=12|MA |,因此△OFP ∽△AFM ,所以|OF||AF|=|OP||AM|=12,即c 4=12,因此c =2,从而a =c +|AF |=2+4=6,故b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.【备注】无 10.D【解析】本题考查几何体的三视图,几何体表面积、体积的求法,球的体积、表面积公式等,考查空间想象能力和运算求解能力.试题通过三视图重点考查考生对空间几何体及“切割”问题的掌握情况,考查直观想象、数学运算等核心素养.利用三视图的性质及几何体的表面积求出半球的半径以及圆锥的底面半径、高和母线长,从而计算几何体的体积.设半球的半径为R ,圆锥的底面半径为r ,则圆锥的高为R ,母线长为2r ,因此2r ·√32=R ,即R =√3r .因为该几何体的表面积由圆锥的侧面积以及半球的表面积减去圆锥的底面积构成,所以12·4π·(√3r )2+π·(√3r )2-πr 2+π·r ·2r =10π,得r =1.因此该几何体的体积V =12×43π×(√3)3-13π×12×√3=5√33π. 【备注】对一个几何体进行挖切后,所得几何体与原几何体相比,所得几何体在减少一些面的同时,又会增加另外的一些面,在求解所得几何体的表面积时,不能忽视这一点. 11.D【解析】本题主要考查导数、函数的极值点、基本不等式的应用等,考查逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.试题结合函数与导数知识命制发散性试题,对考生的创新意识要求较高,将要解决的问题转化为比较f '(0)·f '(2)与1的大小关系,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养. 易得f '(x )=x 2+bx +c ,由f (x )在区间(0,2)内有两个不同的极值点x 1,x 2(x 1<x 2),可知方程x 2+bx +c =0有两个不同的实数根x 1,x 2,且0<x 1<x 2<2,则f '(x )=(x -x 1)(x -x 2),则f '(0)·f '(2)=(0-x 1)(0-x 2)(2-x 1)(2-x 2) =[(x 1-0)(2-x 1)]·[(x 2-0)(2-x 2)] ≤[(x 1-0)+(2-x 1)2]2·[(x 2-0)+(2-x 2)2]2=1, 当且仅当{x 1-0=2-x 1,x 2-0=2-x 2时取等号,但由x 1<x 2知,等号不成立,所以f '(0)·f '(2)<1,则f'(0), f '(2)中至少有一个小于1.【备注】无 12.A【解析】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用以及平面向量的相关知识,考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.试题用向量的几何性质创设解三角形的情境,注重通性通法,全面考查逻辑推理和数学运算等核心素养,为考生灵活运用数学知识、思想方法解决问题提供了空间.延长AB 至点M ,使得AB =BM ,取AC 的中点N ,连接MN ,M C.首先将已知向量表达式变形,据此推出点D 在直线MN 上,从而将问题转化为求A 点到直线MN 的距离问题,然后由余弦定理以及三角形面积公式通过等面积法求出|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.解法一 延长AB 至点M ,使得AB =BM ,取AC 的中点N ,连接MN ,M C.则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y 2x+2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x x+y AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yx+y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为xx+y+yx+y =1,所以D ,M ,N 三点共线,即D 点在直线MN 上.因此|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值即A 点到直线MN 的距离,作AH ⊥MN ,垂足为H ,则AH 的长即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.易知△AMN ≌△ACB ,则S △AMN =S △ABC =12·AB ·AC ·sin A =12×3×6×sin 120°=9√32. 由余弦定理可得MN =BC =√32+62-2×3×6×cos120°=3√7, 因此有12×3√7×AH =9√32,解得AH =3√217.故|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为3√217. 解法二 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y2x+2yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2x x+y )2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+(y 2x+2y )2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2·2x x+y ·y 2x+2y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =36x 2(x+y)2+36y 2(2x+2y)2−18xy (x+y)2=9·4x 2-2xy+y 2x 2+2xy+y2.令4x 2-2xy+y 2x 2+2xy+y2=t ,则(4-t )x 2-(2+2t )xy +(1-t )y 2=0.易知|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,y ≠0,所以当y ≠0时,令xy=m ,则(4-t )m 2-(2+2t )m +(1-t )=0,依题意有Δ=[-(2+2t )]2-4(4-t )(1-t )≥0,解得t ≥37,因此|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥277,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥3√217,故|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为3√217. 【备注】【解后反思】本题给出了两种解法,其中解法二解题过程复杂繁琐,部分考生很难做出正确结果;解法一的解题过程相对简单,需要考生认真分析题目中给出的向量表达式,在原三角形的基础上,通过延长边AB 以及取边AC 的中点,结合三点共线的条件,确定D 点所在的直线,再利用余弦定理、三角形面积公式即可求得结果. 13.17【解析】本题考查向量的坐标表示、向量垂直等,考查考生对基础知识的掌握情况. 利用向量垂直得到相关等式,解出k 即可.由题意知,b -a =(k -1,-8),a ·(b -a )=0,即k -1+2×(-8)=0,解得k =17. 【备注】无 14.-2【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式,考查考生的化归与转化能力和运算求解能力.因为α是第三象限角,所以π+2k π<α<3π2+2k π,k ∈Z,所以3π4+2k π<α-π4<5π4+2k π,k ∈Z,所以cos(α-π4)<0,所以sin(α+π4)=sin[(α-π4)+π2]=cos(α-π4)=-√1-sin 2(α-π4)=-2√55,cos(α+π4)=cos[(α-π4)+π2]=-sin(α-π4)=√55, 所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=-2. 【备注】无15.化学、英语、数学、物理【解析】本题考查推理的相关知识,考查的核心素养是逻辑推理.从4个人的预测结果均不正确入手,逐一分析,推断出甲、乙、丙、丁4个人得到的书. 由甲、丁的预测均不正确可知,丁得到的是物理书,结合乙的预测不正确可知,乙得到的是英语书,结合丙的预测不正确可知,甲得到的是化学书,故丙得到的是数学书. 【备注】无 16.(1+3√22,3+3√22) 【解析】本题主要考查双曲线的定义、几何性质,考查数形结合思想、化归与转化思想.由题意,可设双曲线C 的方程为y 2-3x 2=k ,将(2,3)代入,得32-3×22=k ,得k =-3,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1,作出双曲线C 如图所示,连接PF 1,AF 1.由双曲线的定义,得|PF 1|-|PF 2|=2,所以|PF 2|=|PF 1|-2,则|PA |+|PF 2|=|PA |+|PF 1|-2≥|AF 1|-2,当且仅当A ,P ,F 1三点共线时,等号成立.由A (6,8),F 1(-2,0),得直线AF 1的方程为y =x +2,由{y =x +2,x 2-y 23=1,得2x 2-4x -7=0,解得x =1±3√22,因为点P 在双曲线的右支上,所以点P 的坐标为(1+3√22,3+3√22). 【备注】无 17.解:(1)由n a n+12-4(n +1)a n 2=0,得a n+12n+1=4·a n 2n,因为a n >0,所以n+1√n+1=2·n√n.又b n =n√n,所以b n +1=2b n ,因此b n+1b n=2.故数列{b n }是公比为2的等比数列. (2)b 1=1√1=1,所以结合(1)得b n =2n -1,即n√n=2n -1,所以a n =√n ·2n -1,因此a n 2=n ·4n -1.于是S n =1+2×4+3×42+…+n ×4n -1,所以4S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n -1+n ×4n , 以上两式相减得,-3S n =1+4+42+…+4n -1-n ·4n=1-4n 1-4-n ·4n=(1-3n)·4n -13.故S n =(3n-1)·4n +19.【解析】本题考查等比数列的定义以及通项公式,考查用错位相减法求数列的前n 项和. 试题主要考查等比数列的概念和通项公式、错位相减法,引导考生培养提取有效信息的能力,用数学思想方法分析问题、解决问题的能力,较好地体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.(1)将已知条件进行变形,可得到b n +1,b n 的关系,然后根据等比数列的定义即可证得结论;(2)结合(1)先求出数列{b n }的通项公式,再得到数列{a n 2}的通项公式,最后用错位相减法求前n项和. 【备注】无18.解:(1)因为AD ∥BC 且AD ⊥AB ,所以BC ⊥A B.又平面PAB ⊥平面ABCD ,且平面PAB ∩平面ABCD =AB ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面PAB , 因此BC ⊥A E.因为△PAB 是等边三角形,E 是PB 的中点,所以AE ⊥P B. 又BC ∩PB =B ,所以AE ⊥平面PBC , 又BM ⊂平面PBC ,故AE ⊥BM .(2)解法一 如图,以AB 的中点O 为坐标原点,OB ,OP 所在直线分别为x 轴、z 轴,过点O 且平行于BC 的直线为y 轴,建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),D (-2,2,0),P (0,0,2√3),C (2,4,0),所以PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2√3),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,-2√3). 设平面PDC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则由{n 1·PD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{-2x 1+2y 1-2√3z 1=0,2x 1+4y 1-2√3z 1=0,取x 1=1,则y 1=-2,z 1=-√3,所以n 1=(1,-2,-√3)是平面PDC 的一个法向量. 因为B (2,0,0),E 是PB 的中点,所以E (1,0,√3). 因为M 为PC 的中点,所以M (1,2,√3), 于是DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-2,√3),DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,√3). 设平面DME 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则由{n 2·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{3x 2-2y 2+√3z 2=0,3x 2+√3z 2=0,取x 2=1,则y 2=0,z 2=-√3,所以n 2=(1,0,-√3)是平面DME 的一个法向量. 所以|cos<n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=2√2×2=√22. 故平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为√22. 解法二 因为M 为PC 的中点,E 是PB 的中点, 所以EM ∥BC ,EM =12BC =2,由题意易得AD ⊥AP ,所以PD =2+AP 2=√22+42=2√5, 因为PB ⊥BC ,所以PC =√PB 2+BC 2=√42+42=4√2, 又DC =√AB 2+(BC-AD)2=2√5,所以PD =DC ,又M 为PC 的中点,所以DM ⊥P C. 易知DM =AE =2√3,AD ⊥AE ,所以DE =√AD 2+AE 2=√22+(2√3)2=4, 所以DM 2+EM 2=DE 2,因此DM ⊥EM ,因此∠PME 就是平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的平面角. 又EM ∥BC ,所以∠PME =∠PCB =45°,所以cos∠PME =√22.故平面DME 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为√22.【解析】本题考查空间中线线垂直的证明以及二面角余弦值的求解,考查逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力.试题在全面考查考生立体几何基础知识的同时,通过问题的分层设计,使不同层次考生的水平都得以发挥,体现了《课程标准》对立体几何教学的知识要求和能力要求,使直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养得到了有效考查.(1)要证AE ⊥BM ,只需证明AE ⊥平面PBC ,而易知AE ⊥PB ,再通过BC ⊥平面PAB 证得BC ⊥AE ,即可使问题得证;(2)可建立空间直角坐标系利用空间向量法求解,也可利用几何法在图形中找到所求锐二面角的平面角,然后在三角形中求解. 【备注】无19.解:(1)由样本数据可得球员J 在15场比赛中的场均得分为115(15+18+21+22+22+24+27+30+32+33+36+37+38+39+41)=29(分),故球员J 在本赛季的场均得分约为29分.由样本数据可得球员H 在15场比赛中,得分超过32分的有6场,故球员H 在本赛季参加的75场常规赛中,得分超过32分的场数约为615×75=30.(2)设事件A :“恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分”. 事件B :“2场比赛得分都超过37分的球员是H”.依题图知,球员J 得分超过35分的场数是5,球员H 得分超过35分的场数是4. 球员J 得分超过37分的场数是3,球员H 得分超过37分的场数是3. 所以P (A )=C 32·3+C 32·(C 21C 31+1)C 52C 42=12,P (AB )=C 32·(C 21C 31+1)C 52C 42=720,故P (B |A )=P(AB)P(A)=72012=710.故在恰有一名球员的2场比赛得分都超过37分的条件下,该球员是H 的概率为710.(3)由已知数据可得x ¯=18+21+27+30+315=25.4,y ¯=19+20.5+26.5+28.8+30.25=25,因为∑i=15x i y i =3 288.2,∑i=15x i 2=3 355,所以b ^=∑i=15x i y i -5x ¯ y¯∑i=15x i2-5x ¯2=3 288.2-5×25.4×253 355-5×25.42≈0.876于是a ^=y ¯−b ^x ¯≈25-0.876×25.4≈2.750,故回归直线方程为y =0.876x +2.750.由于y 与x 正相关,且当x =32时,y =0.876×32+2.750=30.782<31, 当x =33时,y =0.876×33+2.750=31.658>31,因此估计在15场比赛中,当球员J 的得分为33,36,37,38,39,41时,效率值超过31,共6场.【解析】本题考查茎叶图、样本的数字特征及其应用,考查条件概率的求解以及回归直线方程,考查的核心素养是数据分析、数学运算.(1)利用样本的数字特征估计总体的数字特征,运用相关公式计算即可;(2)设出相关事件,利用条件概率的计算公式进行计算;(3)代入相关数据,求出回归直线方程,并将样本数据代入进行判断.【备注】【解后反思】本题第(2)问是条件概率的计算问题,解决这类问题时,首先要用字母表示相关事件,然后利用条件概率的计算公式求解,其中要特别注意P (AB )是指事件A 和B 同时发生的概率.20.解:(1)由题意得,抛物线的焦点为(p2,0),1+p2=54,解得p =12,所以抛物线C 1的方程为y 2=x . (2)由(1)知,P (2,√2).假设存在圆C 2使得AB 恰为其切线,设A (y 12,y 1),B (y 22,y 2),则直线PA 的方程为y -√2=y 1-√2y 12-2·(x -2),即x -(y 1+√2)y +√2y 1=0.由点C 2(1,0)到PA 的距离为r ,得√2y 1√1+(y 1+√2)2=r ,化简,得(2-r 2)y 12+2√2(1-r 2)y 1+1-3r 2=0,同理,得(2-r 2)y 22+2√2(1-r 2)y 2+1-3r 2=0.所以y 1,y 2是方程(2-r 2)y 2+2√2(1-r 2)y +1-3r 2=0的两个不等实根, 故y 1+y 2=-2√2(1-r 2)2-r ,y 1y 2=1-3r 22-r. 易得直线AB 的方程为x -(y 1+y 2)y +y 1y 2=0, 由点C 2(1,0)到直线AB 的距离为r ,得12√1+(y 1+y 2)2=r ,所以(1+1-3r 22-r 2)2=r 2+r2[-2√2(1-r 2)2-r 2]2, 于是,(3-4r 2)2=r 2(2-r 2)2+8r 2(1-r 2)2,化简,得r 6-4r 4+4r 2-1=0,即(r 2-1)(r 4-3r 2+1)=0. 经分析知,0<r <1,因此r =√5-12, 所以存在圆C 2使得AB 恰为其切线,且r =√5-12. 【解析】本题主要考查抛物线的定义和几何性质,直线与圆、抛物线的位置关系等,考查运算求解能力、数形结合思想.试题以抛物线和圆为载体设题,求解时利用直线与圆、抛物线的位置关系列方程,彰显了直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养,考查考生思维的灵活性和综合应用知识解决问题的能力.(1)由抛物线的定义和几何性质列出方程,求出p 的值,进而可求出抛物线的方程;(2)设出A ,B 两点的坐标,得到直线PA ,PB ,AB 的方程,利用圆心到PA ,PB ,AB 的距离均为r 列出方程,结合题意,求出r 的值.【备注】【易错警示】本题在利用直线与圆相切得到关于r 的方程(r 2-1)(r 4-3r 2+1)=0后,可以求得6个r 的值,根据r >0可排除3个值,但很多考生不能分析出0<r <1,从而在另外3个值的取舍上出错21.解:(1)f '(x )=e x [ax 2+(2a +1)x +1],因为f (x )在[1,2]上单调递减,所以e x (ax 2+2ax +x +1)≤0在[1,2]上恒成立, 即ax 2+2ax +x +1≤0在[1,2]上恒成立,所以a ≤-x+1x 2+2x在[1,2]上恒成立.令p (x )=-x+1x 2+2x,则p'(x )=x 2+2x+2(x 2+2x)2>0,所以p (x )在[1,2]上单调递增,所以当x ∈[1,2]时,p (x )min =p (1)=-23,故实数a 的取值范围为(-∞,-23]. (2)g (x )=f(x)xex -1=ax +1xex =x (a +1x 2e x),令h (x )=a +1x 2ex ,则h'(x )=-(x+2)x 3e x.当x <-2时,h'(x )<0,h (x )单调递减; 当-2<x <0时,h'(x )>0,h (x )单调递增. 所以h (x )在x =-2处取得极小值a +e 24.依题意知h (x )在(-∞,0)上有两个不同的零点x 1,x 2,不妨设x 1<x 2, 则x 1<-2<x 2<0.令F (x )=h (-2+x )-h (-2-x ),-2<x <0, 则F (x )=a +1(x-2)e -a -1(x+2)e =e 2-x (x-2)−e 2+x(x+2),-2<x <0,F'(x )=xe 2-x (2-x)3−xe 2+x(x+2)3=x [e 2-x(2-x)3−e 2+x(x+2)3]. 令P (x )=e xx3,则P'(x )=e x (x-3)x 4,显然当0<x <3时,P'(x )<0,P (x )在(0,3)上单调递减,当x >3时,P'(x )>0,P (x )在(3,+∞)上单调递增.当-2<x <0时,2<2-x <4,0<2+x <2,因为P (2)-P (4)=e 28−e 464=e 2(8-e 2)64>0,所以P (2)>P (4),所以当-2<x <0时,P (2-x )<P (2+x ),即当-2<x <0时,e 2-x(2-x)−e 2+x(x+2)<0,于是F'(x )>0,所以F (x )在(-2,0)上单调递增,于是F (x )<F (0)=0,所以当-2<x <0时,h (-2+x )<h (-2-x ).又-2-x 2∈(-2,0),所以h [-2+(-2-x 2)]<h [-2-(-2-x 2)],即h (-4-x 2)<h (x 2)=h (x 1).因为-4-x 2<-2,x 1<-2,且h (x )在(-∞,-2)上单调递减,所以-4-x 2>x 1,故x 1+x 2+4<0.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的零点问题,考查考生分析问题、解决问题的能力.试题通过利用导数研究函数的单调性、极值等,体现对逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的考查.【备注】无22.解:(1)由{x =1-35t,y =1+15t 消去参数得,x -1=-3(y -1),整理得直线l 的普通方程为x +3y -4=0. 因为椭圆C 的标准方程是x 29+y 2=1,所以椭圆C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数). (2)设N (3cos θ,sin θ),又M (2,2),所以点P 的坐标为(3cosθ+22,sinθ+22), 于是点P 到直线l 的距离d =|3cosθ+22+3·sinθ+22-4|√10=3√510|sin(θ+π4)|, 因此当|sin(θ+π4)|=1时,d max =3√510.故线段MN 的中点P 到直线l 的距离的最大值为3√510. 【解析】【考查目标】本题考查直线、椭圆的参数方程与普通方程的互化,考查的核心素养是数学抽象、数学运算.(1)消去参数t 即得直线l 的普通方程,引进参数θ即得椭圆C 的参数方程;(2)利用椭圆C 的参数方程设出N 点的坐标,然后根据中点坐标公式得到P 点坐标,利用点到直线的距离公式得到点P 到直线l 的距离关于θ的表达式,最后结合三角函数知识求得最大值.【备注】无23.解:(1)不等式f (x )≤4可化为不等式组:①{x ≥14,4x-1-(2x +1)≤4或②{-12<x <14,1-4x-(2x +1)≤4或③{x ≤-12,1-4x +(2x +1)≤4.解①得14≤x ≤3,解②得-12<x <14,解③得-1≤x ≤-12, 所以-1≤x ≤3,故不等式f (x )≤4的解集为{x |-1≤x ≤3}.(2)由f (x )≤k -f (-x 2)可得|1-4x |-|1+2x |≤k -(|1+2x |-|1-x |),整理得k ≥|1-4x |-|1-x |. 令g (x )=|1-4x |-|1-x |,则g (x )={3x,x ≥1,5x-2,14<x <1,-3x,x ≤14,因此当x =14时,g (x )取得最小值-34. 故当不等式f (x )≤k -f (-x 2)有解时,实数k 的取值范围是[-34,+∞). 【解析】本题考查绝对值不等式的解法、不等式有解,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)利用零点分段法求解;(2)将原不等式整理成k ≥|1-4x |-|1-x |的形式,令g (x )=|1-4x |-|1-x |,将g (x )=|1-4x |-|1-x |化为分段函数,并求得其最小值,即得实数k 的取值范围.【备注】无。
2020届全国高考仿真模拟考试(三)理科数学
2020届全国高考仿真模拟考试（三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·贵州遵义模拟]若集合A ＝{x |1≤x <15}，B ＝{x |－1<lg x ≤1}，则( )A ．A ∩B ＝[1，15] B ．A ∪B ＝⎝⎛⎭⎫110，15C ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R 答案：B解析：A ＝{x |1≤x <15}，B ＝{x |－1<lg x ≤1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪110<x ≤10， ∴A ∩B ＝{x |1≤x ≤10}，A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪110<x <15.故选B. 2．[2019·辽宁鞍山一中模拟]在复平面内，复数－2＋3i3－4i所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B解析：设z ＝－2＋3i 3－4i ，则z ＝－1825＋125i ，所以复数－2＋3i 3－4i在复平面内所对应的点应位于第二象限．故选B.3．[2019·湖北黄冈调研]已知函数f (2x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (x )的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－4，0)C ．(－3，1) D.⎝⎛⎭⎫－12，1 答案：C解析：∵f (2x ＋1)的定义域为(－2，0)，即－2<x <0，∴－3<2x ＋1<1.∴f (x )的定义域为(－3，1)．故选C.4．[2019·河南濮阳检测]若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 答案：B解析：因为f (0)＝m ＋23，且函数f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23，所以“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，所以a <－23，则实数a 能取的最大整数为－1.故选B.5．[2019·贵州贵阳监测]如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35 答案：C解析：由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.6．[2019·天津第一中学月考]如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若CD →在BC →上的投影为－12，则CE →·BD →＝( )A ．－2B ．－12C ．0 D. 2 答案：A解析：通解 ∵CD →在BC →上的投影为－12，∴CD →在CB →上的投影为12.∵BC ＝2，∴AD ＝32.又点E 为AB 的中点，∴CE →＝BE →－BC →＝12BA →－BC →，又BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋34BC →，∠ABC ＝90°，∴CE →·BD →＝12BA →2－58BA →·BC →－34BC →2＝－2.故选A.优解 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，0)，C (2，0)，E (0，22)，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫－2，22，又CD →在BC →上的投影为－12，∴D ⎝⎛⎭⎫32，2，∴BD →＝⎝⎛⎭⎫32，2，∴CE →·BD →＝－2.故选A. 7．[2019·河北衡水七调]要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，示意如图所示，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距600 m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．120 2 mB ．480 mC ．240 2 mD ．600 m 答案：D解析：设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理可知cos 120°＝BC 2＋CD 2－BD 22×BC ×CD＝－12，解得x ＝600，故铁塔AB 的高度为600 m ，故选D.8．[2019·湖南师大附中模拟]庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案：C解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1，输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.若4>n 不成立，执行循环体，S ＝1516，k ＝4＋1＝5.若5>n 不成立，执行循环体，S ＝3132，k ＝5＋1＝6.若6>n 不成立，执行循环体，S ＝6364，k ＝6＋1＝7.……由于输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，可得当S ＝3132，k ＝6时，应该满足条件6>n ，所以5≤n <6，故输入的正整数n 的值为5.故选C.9．[2019·广东六校联考]在区间[－π，π]上随机取两个实数a ，b ，记向量m ＝(a ，4b )，n ＝(4a ，b )，则m ·n ≥4π2的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π5D ．1－π6答案：B解析：在区间[－π，π]上随机取两个实数a ，b ，则点(a ，b )在如图所示的正方形上及其内部．因为m ·n ＝4a 2＋4b 2≥4π2，所以a 2＋b 2≥π2，满足条件的点(a ，b )在以原点为圆心，π为半径的圆的外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以m ·n ≥4π2的概率P ＝4π2－π34π2＝1－π4，故选B.10．[2019·四川绵阳诊断]2018年9月24日，英国数学家M.F 阿蒂亚爵士在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记S ＝1＋122＋132＋…＋1n 2＋…，则( )A ．1<S <43 B.43<S <32C.32<S <2 D ．S >2 答案：C解析：因为n (n －1)<n 2<n (n ＋1)(n ≥2且n ∈N *)，所以1n (n －1)>1n 2>1n (n ＋1)，所以S <1＋11×2＋12×3＋…＋1n (n －1)＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝2－1n ，S >1＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝1＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝32－1n ＋1，当n →＋∞且n ∈N *时，1n ＋1→0，1n →0，所以32<S <2.故选C.11．[2019·河北六校联考]如图所示，P A 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，P A ＝AB ＝2，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，当三棱锥P －AEF 的体积最大时，PC 与底面ABC 所成角的余弦值是( )A.32B.22C.33D.12 答案：D解析：因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC ， 又AC ⊥BC ，AC ∩AP ＝A ，故BC ⊥平面P AC .又AF ⊂平面P AC ，故AF ⊥BC ，又AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，故AF ⊥平面PBC ， 所以AF ⊥PB ，AF ⊥EF ，又AE ⊥PB ，所以PB ⊥平面AEF . 设∠BAC ＝θ，则AC ＝2cos θ，BC ＝2sin θ，PC ＝4＋4cos 2θ，在Rt △P AC 中，AF ＝P A ×AC PC ＝4cos θ4＋4cos 2θ＝2cos θ1＋cos 2θ，AE ＝PE ＝2，EF ＝AE 2－AF 2，V P －AEF ＝13×12×EF ×PE ×AF ＝16×2－AF 2×2×AF＝26×－(AF 2－1)2＋1≤26， 当AF ＝1时，V P －AEF 取得最大值26，此时AF ＝2cos θ1＋cos 2θ＝1，解得cos θ＝33(负值舍去)，PC 与底面ABC 所成的角为∠PCA ， cos ∠PCA ＝AC PC ＝2cos θ21＋cos 2θ＝12，故选D.12．[2019·天津市七校联考]已知直线22x －y ＋42＝0，经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1，且与椭圆在第二象限的交点为M ，与y 轴的交点为N ，F 2是椭圆的右焦点，|MN |＝|MF 2|，则椭圆的方程为( )A.x 240＋y 24＝1B.x 25＋y 2＝1 C.x 210＋y 2＝1 D.x 29＋y 25＝1 答案：D解析：由题意知，直线22x －y ＋42＝0与x 轴的交点为(－2，0)，又直线22x －y ＋42＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1，所以F 1(－2，0)，即c ＝2，直线22x －y ＋42＝0与椭圆在第二象限的交点为M ，与y 轴的交点为N (0，42)，且|MN |＝|MF 2|，所以|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1N |＝2a ，即a ＝|F 1N |2＝12(－2－0)2＋(0－42)2＝3，又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5，所以所求的椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·山东烟台三中月考]已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >0)的两根分别为tan α，tanβ，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案：－3π4解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝1.又α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0， ∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4.14．[2019·贵州遵义一中期中]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x －3y －2≤0，4x －y ＋3≥0，则z ＝|x －y ＋1|的取值范围是________．答案：[0，3]解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x －y ＋1＝0，因为z ＝|x －y ＋1|＝2×|x－y ＋1|2表示点(x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的2倍，所以结合图象易知0≤z ≤3.15．[2019·湖南重点中学联考]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知一个堑堵的底面积为6，其各面均与体积为4π3的球相切，则该堑堵的表面积为________．答案：36解析：设球的半径为r ，堑堵底面三角形的周长为l ，由已知得r ＝1，∴堑堵的高为2.则12lr ＝6，l ＝12，∴表面积S ＝12×2＋6×2＝36. 16．[2019·福建晋江四校期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎦⎤2，174 解析：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，的图象，如图所示．设f (x )＝t ，由图可知，t ∈(0，4]，f (x )＝t 有4个根，∴在(0，4]上，方程t 2－bt ＋1＝0有2个不同的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜b2＜4，Δ＝b 2－4>0，16－4b ＋1≥0，1>0，解得2<b ≤174.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·安徽省示范高中联考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1，2，3，….数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝n (3－b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)因为n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2，所以a 1＝1. 因为S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2，则a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减，得a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0，即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0，所以2a n ＋1＝a n .易知a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝12(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1. 因为b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1，2，3，…)，所以b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，由此得b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝⎛⎭⎫122，…，b n －b n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －2(n ＝2，3，…)． 将这(n －1)个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －2＝1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2. 又b 1＝1，所以b n ＝3－⎝⎛⎭⎫12n －2(n ＝2，3，…)， 易知当n ＝1时也满足上式，所以b n ＝3－⎝⎛⎭⎫12n －2(n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝n (3－b n )＝2n ⎝⎛⎭⎫12n －1，则T n ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫120＋2×⎝⎛⎭⎫121＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)× ⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n －2＋n ×⎝⎛⎭⎫12n －1，① 12T n ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n －1)×⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n －1＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ，② ①－②得，12T n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫120＋⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ×⎝⎛⎭⎫12n ＝2×1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－2n ⎝⎛⎭⎫12n＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－(4＋2n )⎝⎛⎭⎫12n，所以T n ＝8－(8＋4n )⎝⎛⎭⎫12n ＝8－(2＋n )⎝⎛⎭⎫12n －2. 18．(12分)[2019·郑州高中毕业年级第一次质量预测]已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E ，M分别是BC ，PD 上的中点，直线EM 与平面P AD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动．(1)证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面P AD ；(2)求点F 恰为PC 的中点时，二面角C －AF －E 的余弦值． 解析：(1)证明：连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是正三角形，∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ， 又AD ∥BC ，∴AE ⊥AD .∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥AE ，又P A ∩AD ＝A ，∴AE ⊥平面P AD ， 又AE ⊂平面AEF ，∴无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面P AD .(2)由(1)得AE ，AD ，AP 两两垂直，分别以AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，连接AM ，∵AE ⊥平面P AD ，∴∠AME 就是EM 与平面P AD 所成的角，在Rt △AME 中，sin ∠AME ＝155，则tan ∠AME ＝62，即AE AM ＝62，设AB ＝2a ，则AE ＝3a ，得AM ＝2a ，又AD ＝AB ＝2a ，设P A ＝2b ，则M (0，a ，b )，∴AM ＝a 2＋b 2＝2a ，解得b ＝a ，∴P A ＝AD ＝2a ，则A (0，0，0)，B (3a ，－a ，0)，C (3a ，a ，0)，D (0，2a ，0)，P (0，0，2a )，E (3a ，0，0)，F ⎝⎛⎭⎫3a 2，a 2，a ，∴AE →＝(3a ，0，0)，AF →＝⎝⎛⎭⎫3a 2，a 2，a ， BD →＝(－3a ，3a ，0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧3ax ＝0，3ax 2＋ay 2＋az ＝0，取z ＝a ，得n ＝(0，－2a ，a )． 又BD ⊥平面ACF ， ∴BD →＝(－3a ，3a ，0)是平面ACF 的一个法向量，∴cos 〈n ，BD →〉＝n ·BD →|n |·|BD →|＝－6a 25a ·23a ＝－155，由图可知二面角C －AF －E 的平面角为锐角，∴二面角C －AF －E 的余弦值为155.19．(12分)[2019·安徽省合肥市高三第三次质量检测]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7 000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；方案二：交纳延保金1 0000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．(1)求X 的分布列；(2)以所需延保金及维修费用的期望为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 解析：(1)X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.P (X ＝0)＝110×110＝1100，P (X ＝1)＝110×15×2＝125，P (X ＝2)＝15×15＋25×110×2＝325，P (X ＝3)＝110×310×2＋15×25×2＝1150，P (X ＝4)＝25×25＋310×15×2＝725，P (X ＝5)＝25×310×2＝625，P (X ＝6)＝310×310＝9100，所以X 的分布列为1所以EY 1＝17100×7 000＋1150×9 000＋725×11 000＋625×13 000＋9100×15 000＝10 720.选择延保方案二，所需费用Y 2(单位：元)的分布列为所以EY 2＝67100×10 000＋625×11 000＋9100×12 000＝10 420.因为EY 1>EY 2，所以该医院选择延保方案二较合算． 20．(12分)[2019·湖北重点高中联考协作体期中]已知动圆C 过定点F 2(1，0)，并且内切于定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝12.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若曲线y 2＝4x 上存在M ，N 两点，(1)中曲线上有P ，Q 两点，并且M ，N ，F 2三点共线，P ，Q ，F 2三点共线，PQ ⊥MN ，求四边形PMQN 的面积的最小值．解析：(1)设动圆的半径为r ，则|CF 2|＝r ，|CF 1|＝23－r ， 所以|CF 1|＋|CF 2|＝23>|F 1F 2|，由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 且长半轴长a ＝3，半焦距c ＝1，所以短半轴长b ＝2，所以动圆圆心C 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0， 易得|MN |＝4，|PQ |＝23，四边形PMQN 的面积S ＝4 3.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k2＋2，x 1x 2＝1，|MN |＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫4k 2＋22－4＝4k 2＋4. 因为PQ ⊥MN ，所以直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝－1k(x －1)，x 23＋y22＝1，得(2k 2＋3)x 2－6x ＋3－6k 2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝62k 2＋3，x 3x 4＝3－6k 22k 2＋3，|PQ |＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫62k 2＋32－4×3－6k 22k 2＋3＝43(k 2＋1)2k 2＋3. 则四边形PMQN 的面积S ＝12·|MN |·|PQ |＝12·⎝⎛⎭⎫4k 2＋4·43(k 2＋1)2k 2＋3＝83(k 2＋1)2k 2(2k 2＋3).令k 2＋1＝t ，t >1，则S ＝83t 2(t －1)(2t ＋1)＝83－1t 2－1t ＋2＝83－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋94.因为t >1，所以0<1t <1，易知－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋94的取值范围是(0，2)，所以S >832＝4 3. 综上可得S ≥43，故S 的最小值为4 3.21．(12分)[2019·银川一中高三第一次模拟考试]已知函数f (x )＝a (x －2ln x )＋x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1－2x ＋2－x x 3＝(x －2)(ax 2－1)x 3.(ⅰ)当a ≤0时，ax 2－1<0恒成立，x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，f (x )在(0，2)上单调递增；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(2，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当a >0时，由f ′(x )＝0得，x 1＝2，x 2＝1a ，x 3＝－1a(舍去)，①当x 1＝x 2，即a ＝14时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当x 1>x 2，即a >14时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 或x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )>0恒成立，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a ，(2，＋∞)上单调递增； x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0恒成立，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，2上单调递减； ③当x 1<x 2，即0<a <14时，x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞或x ∈(0，2)时，f ′(x )>0恒成立，f (x )在(0，2)，⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增； x ∈⎝⎛⎭⎫2，1a 时，f ′(x )<0恒成立，f (x )在⎝⎛⎭⎫2，1a 上单调递减； 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)；当a ＝14时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间； 当a >14时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，(2，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，2； 当0<a <14时，f (x )的单调递增区间为(0，2)，⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2，1a . (2)由(1)知，当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)， 又因为f (1)＝a <0，取x 0＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，5，令f 1(x )＝x －2ln x ，f 2(x )＝1x ， 则f 1′(x )＝1－2x>0在(2，＋∞)上成立， 故f 1(x )＝x －2ln x 单调递增，f 1(x 0)≥5－2ln 5＝1＋2(2－ln 5)>1，f (x 0)＝a (x 0－2ln x 0)＋1x 0－1x 20<a ＋1x 0－1x 20≤－1x 20<0， (注：此处若写“当x →＋∞时，f (x )→－∞”也给分)所以f (x )有两个零点等价于f (2)＝a (2－2ln 2)＋14>0， 得a >－18－8ln 2， 所以－18－8ln 2<a <0. 当a ＝0时，f (x )＝x －1x 2，只有一个零点，不符合题意； 当a ＝14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意； 当a >0且a ≠14时，f (x )有两个极值， f (2)＝a (2－2ln 2)＋14>0，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ＋a ln a －a ， 记g (x )＝2x ＋x ln x －x ，g ′(x )＝212x ＋(1＋ln x )－1＝1x＋ln x ， 令h (x )＝1x ＋ln x ，则h ′(x )＝－12x 32＋1x ＝2x －12x 32. 当x >14时，h ′(x )>0，g ′(x )在⎝⎛⎭⎫14，＋∞上单调递增；当0<x <14时，h ′(x )<0，g ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，14上单调递减． 故g ′(x )>g ′⎝⎛⎭⎫14＝2－2ln 2>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增．x →0时，g (x )→0，故f ⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ＋a ln a －a >0. 又f (2)＝a (2－2ln 2)＋14>0，由(1)知，f (x )至多只有一个零点，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－18－8ln 2，0. 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)22．(10分)[2019·长沙二模][选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝m ＋32t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)写出曲线C 2的直角坐标方程；(2)设点P ，Q 分别在C 1，C 2上运动，若|PQ |的最小值为1，求m 的值．解析：(1)ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6即ρ＝23cos θ＋2sin θ， 所以ρ2＝23ρcos θ＋2ρsin θ，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2代入得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x －2y ＝0.(2)将x 2＋y 2－23x －2y ＝0化为(x －3)2＋(y －1)2＝4，所以C 2是圆心为(3，1)，半径为2的圆，将C 1的参数方程化为普通方程为3x －y ＋m ＝0，所以|PQ |min ＝|3×3－1＋m |(3)2＋(－1)2－2＝|2＋m |2－2＝1， 由此解得m ＝4或m ＝－8.23．(10分)[2019·山东省济宁市模拟考][选修4－5：不等式选讲]已知a >0，b >0，函数f (x )＝|2x ＋a |＋2|x －b 2|＋1的最小值为2. (1)求a ＋b 的值；(2)求证：a ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥3－b .解析：(1)因为f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －b |＋1≥|2x ＋a －(2x －b )|＋1＝|a ＋b |＋1，当且仅当(2x ＋a )(2x －b )≤0时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋1＝2，所以a ＋b ＝1.(2)由(1)知，a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝1＋4＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b＝9， 当且仅当b a ＝4a b 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取等号． 所以log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥log 39＝2，所以a ＋b ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥1＋2＝3，即a ＋log 3⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ≥3－b .。
2020年全国3卷高考理科数学仿真试卷(三)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B = （）A ．{}|11x x -<<B ．{}|12x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（）A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（）A ．-160B ．320C ．480D ．6404．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（）A ．B ．2C ．3D ．6．设函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>，其图象的一条对称轴在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内，且()f x 的最小正周期大于，则ω的取值范围为（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()1,2D ．[)1,27．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin150.2588≈ ，sin7.50.1305≈ ）班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）A ．14πB ．49πC ．19D ．58π11．已知()cos23,cos67AB =︒︒ ，()2cos68,2cos22BC =︒︒，则ABC △的面积为（）A ．2B 2C ．1D ．2212．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（）A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020高考理科数学仿真模拟卷(解析版)
2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．23．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u vu u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（ ） A ．13B ．13-C ．76D ．76-6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n- C ．113n - D ．1121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--U8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A ．2B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．14．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD，AB BD ==，1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I .故选D.2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】A【解析】()()()()221222255a i i a i a az i i i i +-++-===+++-Q 是纯虚数 2105205a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：12a =-本题正确选项：A3．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x 2，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee =>-，排除D 选项.故选A. 5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（ ） A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B. 6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+【答案】B【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,11123n n n a a a +-+= ,1111112()n nn n a a a a +--=-, 则1111211n n n n a a a a +--=-,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1111222n n n na a -+-=⨯= ，利用叠加法，211213211111111()()......()122.......2n n n a a a a a a a --+-+-++-=++++ ， 1212121n n n a -==-- ，则121n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2- D ．{2}(1,1]--U【答案】D【解析】由题意得21362k T ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，k N ∈，得21T k π=+，故242k Tπω==+，因为06ω<<，k N ∈，所以2ω=.由2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，因为2πϕ<，故6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤+≤，令26t x π=+，则由题意得2sin 0t m -=在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12m =-或11222m -<≤，解得{}(]21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，准线l ：2x =-，圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0F ，半径1r =，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知|PB PF =，则1PA PQ PA PF r PA PB +≥+-=+-，∴当,,A P B 三点共线时PA PB +取最小值325+=，1514PA PQ PA PB ∴+≥+-≥-=．即有PA PQ +取得最小值4，故选B ．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17 B ．27C ．37D ．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E ,分4步进行分析： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E ，与A,B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有3种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有2种颜色可选，则区域D,C 有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种， 其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选， 则区域D,C 有2+2×1=4种选择， 不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数【答案】A【解析】根据题意可知：（12341234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（12341234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：（12341234+++++x x x x y y y y +）（） =1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析：A ，如果输出的值为792，则a =792， I （a ）=279，D （a ）=972，b =D （a ）−I （a ）=972−279=693，不满足题意． B ，如果输出的值为693，则a =693,，I （a ）=369，D （a ）=963，b =D （a ）−I （a ）=963−369=594，不满足题意． C ，如果输出的值为594，则a =594，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．ABCD【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF ,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH -FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N∠=α，因为sinα=1MN A M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________． 【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为Oe：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=u u u u r u u u u r，1,2i=，所以Oe与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e+<<.故填⎭.16．四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==，1CB CD==，则四面体A BCD-的外接球的表面积为______【答案】4π【解析】如图，在四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==1CB CD==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1． 其表面积为2414ππ⨯=．故答案为：4π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭Q ，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <， 因为n 是自然数，所以n 的最大值为4. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）.∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长. 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ， 由此可得，0MN n ⋅=u u u u r r，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD（Ⅱ），设1(,,)n x y z =u r 为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u r ，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =u r ，设2(,,)n x y z =u u r 为平面1ACB 的一个法向量，则2120{0n AB n AC ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r ，又1(0,1,2)AB =u u u r ，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-u u r ，因此有121212cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅u r u u r u r u u r u r u u r，于是12,10sin n n 〈〉=u r u u r ， 所以二面角11D AC B --. （Ⅲ）依题意，可设111A E AB λ=u u u r u u u u r ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ， 又(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3NE n NE n NE n ⋅〈〉===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得2λ=，所以线段1A E2.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点. （1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4p l y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p p p∆=->+==， ∵直线py 4=平分AFB ∠， ∴AF BF k k 0+=， ∴1212pp y y 440x x --+=，即：12121212p px1x1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =．（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx bpy =+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pk pb∆=+>+==-， ∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴pb 2=．∴直线AB 的方程为：py kx 2=+．假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQPQ3PA PB +=，作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、， ∴121212p pPQPQOQOQy y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='，∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p ·4k 2p PA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'， 对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立. ()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<， ()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立， ()f x ∴在()0,+∞为增函数。
2020年全国3卷高考理科数学全真模拟冲刺试卷(三)
2020年全国3卷高考理科数学全真模拟冲刺试卷（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|x2−2x+1>0，B={y|y=√x2+14}，则A∩B＝（）A.(1, +∞)B.[12,+∞)C.[12, 1)U(1, +∞) D.[12,1)2. 复数z满足(2+i)z＝|3+4i|（i为虚数单位）则z对应的点所在象限为（）A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限3. 已知平面向量a→与b→满足：a→=(√3, −1)，|b|→=3，|a→−2b→|=2√13，则向量a→与b→的夹角θ＝（）A.π3B.π6C.5π6D.2π34. 函数f(x)=e|x|−2√x2−1的大致图象为（）A. B.C. D.5. 已知点A(−2, 3)在抛物线C:y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则以原点为圆心，且与直线AF相切的圆的半径为（）A.2B.65C.5D.√136. 已知各项均为正数的等比数列{a n}满足2a1，12a3，a2成等差数列，若存在两项a m，a n，使得√a m a n=4a1，则2m +8n的最小值为（）A.103B.3 C.18 D.927. 执行如图所示的程序框图，如果随机输入的m∈[−1, 1]，则事件“输出的n∈[−1, 1]”发生的概率为（）A.25B.15C.45D.358. 已知随机变量ξ的分布列为：若P(ξ2<x)=1112，则实数x的取值范围是（）A.4≤x<9B.4<x≤9C.x≤4或x>9D.x<4或x≥99. 我国南北朝时期数学家、天文学家-祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思个是两等高几何体，若在每一等高处的两截面面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足祖暅原理，则该不规则几何体的体积为（）A.8−π3B.2π3C.8−2π3D.8−2π10. 已知函数f(x)=√3+2sinωxcosωx−2√3cos2ωx(ω>0)在区间(0, π)内有且只有一个极值点，则ω的取值范围为()A.(0,1112] B.(0,512] C.[512,1112] D.(512,1112]11. 已知F1，F2是双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0b>0)与椭圆C2:x225+y29=1的公共焦点，点P，Q分别是曲线C1，C2在第一第三象限的交点，四边形PF1QF2的面积为6√6，设双曲线C1与椭圆C2的离心率依次为e1，e2，则e1+e2＝（）A.2√10+35B.2√10+45C.3√5+35D.3√5+4512. 已知偶函数f(x)的定义域是(−∞, 0)∪(0, +∞)，其导函数为f(x)，对定义城内的任意x，都有2f(x)+ xf′(x)>2成立，则不等式x2f(x)−4f(2)<x2−4的解集为（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.{x|x≠0, ±2}C.(−∞, −2)∪(0, 2)D.(−∞, −2)∪(2, +∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分已知实数xy满足{2x−y≥0x−y≤0x+y−3≥0，则目标函数z＝2x+y的最小值为________．若二项式(1+ax)n 的展开式中，x 3的二项式系数为10，该项系数为−80，则x 4的系数为________．已知四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝2√6，BD ＝4√3，△BCD 为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为________．已知数列{a n }中，a 1＝1，n(a n+1−a n )＝a n +1，n ∈N ∗，若对任意的正整数n 及α∈[−32, 32]，不等式2a n+1n+1≥t 2+2at −1总成立，则实数的取值范围为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosBcosC =b2a−c ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√13，a +c ＝5，求△ABC 的面积．某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与患感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月份至3月份每月5日.20日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：该小组确定的研究方案是：先从这六组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验（1）求剩余的2组数据中至少有一组是20日的概率；（2）若选取的是1月20日，2月5日，2月20日，3月5日四组数据． ①请根据这四组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^（a ^，b ^用分数表示）； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与剩余的检验数据的误差均不超过1人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问1中所得线性回归方程是否理想？附参考公式：：b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑−i=1n xi 2nx 2=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a ^=y −bx已知曲线C 上任意一点P(x, y)满足√x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1=2√2，直线l 过点F(1, 0)，且与曲线C 交于A ，B 两点． （1）求曲线C 的方程；（2）设点M(2, 0)，直线AM 与BM 的斜率分别为k 1，k 2，试探求k 1与k 2的关系．如图所示的几何体中，ABCD 是菱形，∠ABC ＝60∘，PA ⊥平面ABCD ，AP // BF // DE ，AP ＝AB ＝2BF ＝2DE ＝2．（1）求证：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）求平面PBC 与平面PCE 构成的二面角的正弦值．设a ∈R ，函数f(x)＝alnx +12x 2+(a +1)x ． （1）求函数f(x)的单调区间；（2）设ϕ(x)=f(x)−12x 2−(a +2)x 若(x)有两个相异零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：lnx 1+lnx 2−2lna<0．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]已知直线C 1的参数方程为{x =2+ty =t （t 为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 2的极坐标方程为ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ＝9．（1）求直线C 1的普通方程（写成一般式）和椭圆C 2的直角坐标方程（写成标准方程）；（2）若直线C 1与椭圆C 2相交于A ，B 两点，且与x 轴相交于点E ，求|EA +EB|的值． [选修45：不等式选讲]已知f(x)＝|x +a|(a ∈R)．（1）若f(x)≥|2x +3|的解集为[−3, −1]，求a 的值；（2）若对任意x ∈R ，不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年全国3卷高考理科数学全真模拟冲刺试卷（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数常图陆变化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】圆锥曲三的综合度题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的体都连表面积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求解线都接归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面因平面京直二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修45：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】绝对值射角不等开绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷3(含答案)
绝密★启用前2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合21A xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}lg 0B x x =<，则A B ⋃= （ ） A ．{}01x x << B ．{}02x x << C ．{}12x x << D ．R 2．已知复数3412iz i-+=+，则z = （ ）A B ．3 C D 3．设等差数列{}n a 的前10项和为20，且51a =，则{}n a 的公差为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设3a =8，b =log 0.50.2，c =log 424，则（ ）A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．b <c <a5．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ．34 B ．78 C ．1516 D ．23246．已知m 是两个数2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ）A ．2或2 B ．2 C ．2D 7．运行如图所示程序，则输出的S 的值为 （ ）A. 1452 B. 45 C. 1442 D. 14628．将函数2sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）图像向右平移3π个单位长度后与原函数图像重合，则ω的最小值为 （ ） A ．6 B ．3πC ．2D ．129．已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为 （ ）A．3 B．23 C．(π D．3或2310．已知实数,a b 满足320{20 360a b b a a b +-≥-+≥+-≤，则当0,4πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin cos cos 2b a b θθθ+-的最大值是 （ ）A ．5B ．2 CD11．过点()21，的直线交抛物线252y x =于A 、B 两点(异于坐标原点O )，若OA OB OA OB +=-，则该直线的方程为 （ ）A ．30x y +-=B ．250x y +-=C ．250x y -+=D ．20x y -= 12．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()1'ln f x x f x x<-，则使得()()210xf x ->成立的x的取值范围是（ ）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()1,0{ 2,0x e x f x x +<=≥，则方程()()212f x f x +=的解集是_________．14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =，3c =，且cos cos a bA B=，则ABC 的面积等于__________．15．如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR xOP yOQ =+(),x y R ∈的最小值为__________．16．设函数()()21,,x x xf xg x x e +==对任意()12,0,,x x ∈+∞不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，13a =，{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a n +=+．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足：()12n nan b =-+，求{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，//ED FC ，CB CD CF ==．（I ）求证：AD BE ⊥；（II ）求二面角F BD C --的余弦值．19．（本小题满分12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示．（I ）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求(3679.50)P Z <≤；（II ）在（I ）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：： （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据与公式14.5≈，若()2,X N μσ~，则①()0.6827P X μσμσ-<≤≤=； ②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=； ③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+=．20．（本小题满分12分）已知点P 为曲线C 上任意一点，()()0,1,0,1A B -，直线PA 、PB 的斜率之积为12-． （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在过点()2,0Q -的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得BM BN =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()212f x x =，()ln g x a x =． （I ）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值； （II ）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）若[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f xg x g x f x +-'<''成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=．（I ）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：22||PM PN +为定值．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()123f x mx x =++-．（I ）当2m =时，若()4f x =，求x 的取值范围；（II ）若()2281a f a+≤对任意正实数a 恒成立，求实数m 的取值范围．2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷3答案1．【答案】B 【解析】{}{}{}2102,lg 001,A x x x B x x x x x ⎧⎫=>=<<=<=<<⎨⎬⎩⎭故{}02A B x x ⋃=<<．故选B ．2．【答案】C 【解析】()()()()34123451012,1212125i i i iz i z i i i -+--++====+∴=++- 故选C ．3．【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的前10项和为()()110110105202a a a a +=+=，∴1104a a +=，又∵51a =，∴63a =，∴公差652a a -=，故选B ．4．【答案】A 【解析】由题意可得：a =log 38<2=log 39,b =log 0.50.2=log 25=log 425>c =log 424>2， 则：a <c <b ．本题选择A 选项．点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6．【答案】B 【解析】由题意得216m =，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214y x +=，故离心率为2c e a ====；当4m =-时，曲线方程为2214y x -=，故离心率为c e a ====．所以曲线的离心率为B ．学#8．【答案】A 【解析】∵函数数2sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>的图象向右平移3π个单位后与原图象重合，23n n Z ππω∴=⨯∈，，6n n Z ω∴=∈，， 又0ω>，故其最小值是6．故选A ． 【点睛】本题考查由y Asin x ωϕ=+（） 的部分图象确定其解析式，本题判断出是周期的整数倍，是解题的关键．9．【答案】D 【解析】由题意圆锥底面半径为1r =，球的半径为2,R = 如图设1OO x =，则x 2h R x ++＝＝或2h R x --＝＝所以，圆锥的体积为((221112333V Sh ππ+⨯⨯⨯+＝＝＝，或((221112333V Sh ππ⨯⨯⨯＝＝＝，故选D ．10．【答案】C 【解析】如图，可行域：11sin 2cos 22222a b θθθθ⎫=+=+⎪⎭．cos ϕ=sin ϕ=，原式()2θϕ=+，当()sin 21θϕ+=20{360b a a b -+=+-=，解得3{ 1a b ==，代入原式=，故选C ．12．【答案】D 【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <，则()g x 是区间()0,+∞上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，当x ∈(0，1)时，g (x )>0，∵lnx <0，f (x )<0，(x 2-1)f (x )>0；当x ∈(1，+∞)时，g (x )<0，∵lnx >0，∴f (x )<0，(x 2-1)f (x )<0． ∵f (x )是奇函数，当x ∈(-1，0)时，f (x )>0，(x 2-1)f (x )<0，∴当x ∈(-∞，-1)时，f (x )>0，(x 2-1)f (x )>0． 综上所述，使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃．故本题选D ．学%点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．13．【答案】[)0,∞+【解析】∵函数f （x ）=1,0{ 2,0x e x x +<≥，方程f （1+x 2）=f （2x ），∴当x ＜0时，2=e 2x +1，解得x =0，不成立；当x ≥0时，f （1+x 2）=f （2x ）=2，成立．∴方程f （1+x 2）=f （2x ）的解集是{x |x ≥0}．故答案为：{x |x ≥0}．【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．15．【答案】4R M N 、、共线，所以由OR OM ON =+，有1λμ+=， 又因为M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，所以1122OR OM ON OP OQ λμλμ=+=+，111222x y λμ∴+=+＝ 原题转化为：当12x y+＝12y x=-，==结合二次函数的性质可知，当14x=．【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点R M N、、共线，由OR OM ON=+，有1λμ+=”的应用．17．【答案】（1）21na n=+．（2）nT=()()1184123nn--+-．【解析】试题分析：（1）利用公式11,2{,1n nnS S naS n--≥==可求的通项na的表达式．（2）由（1）()2112n nnb+=-+，即数列{}n b由两个不同公比的等比数列相加，采用分组求和可求得前n项和．试题解析：（1）由21n nS a n+=+①，得()21111n nS a n+++=++②则②①得21na n=+．当13a=时满足上式，所以数列{}n a的通项公式为21na n=+．（2）由（1）得()2112n nnb+=-+，所以12n n T b b b =+++()()()2111n⎡⎤=-+-++-⎣⎦+()3521222n ++++()()()()31112141114nn⎡⎤-⨯--⨯-⎣⎦=+--- ()()1184123n n --=+-．【点睛】当数列的递推关系是关于()11,,,0n n n n f a a S S --=形式时，我们常采用公式11,2{ ,1n n n S S n a S n --≥==，统一成n a 或统一成n S 做．18．【答案】(1)证明见解析；(2)5【解析】试题分析：(1)由题意结合角的关系可得90ADB ∠=︒，AD BD ⊥，由线面垂直的性质可得ED AD ⊥，故AD ⊥平面BED ，AD BE ⊥．(2)结合(1)的结论可知,,CA CB CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在的直线为轴，y 轴，轴建立空间直角坐标系，计算可得平面BDF 的一个法向量为)m =，而()0,0,1CF =是平面BDC 的一个法向量，据此计算可得二面角F BD C --的余（2）由（1）知，AD BD ⊥，同理AC BC ⊥，又FC ⊥平面ABCD ，因此,,CA CB CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在的直线为轴，y 轴，轴建立如图的空间直角坐标系，不妨设1CB =，则()0,0,0C ，()0,1,0B，1,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1F ，因此33,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1BF =-．设平面BDF 的一个法向量为(),,m x y z =，则0m BF ⋅=，0m BD ⋅=，∴30 220x y y z -=-+=，所以x ==，取1z =，则)m =，由于()0,0,1CF =是平面BDC 的一个法向量，则cos m <，m CF CF CF m⋅>===，所以二面角F BD C --的余弦值为19．【答案】（1）0．8186．（2）见解析．【解析】试题分析：（1）使用加权平均数公式计算得到EZ ，然后利用正态分布的有关知识计算即可； （2）利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，再列表即可．（2）易知()1()2P Z P Z μμ<=≥=，获赠话费X 的可能取值为20，40，60，80． ()13320248P X -=⨯=；()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=； ()13111336024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11118024432P X ==⨯⨯=． X 的分布列为：∴2040608037.58321632EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）()22102x y x +=≠；（2）0y =． 【解析】试题分析：（I ）设点(),,0P x y x ≠，由111·2PA PBy y k k x x +-⋅==-，整理得可得2212x y +=．（II ）设点()()1122,,,M x y N x y ，取MN 的中点H ，则1212,22xx y y H ++⎛⎫⎪⎝⎭，则BM BN =可转化为1212+121+x 2y y k x -⋅=-，联立直线与椭圆，结合韦达定理建立关于斜率k 的方程，求解即可②当0k =时，,M N 为椭圆C 的左右顶点，显然满足BM BN =，此时直线的方程为0y =． 综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为0y =．21．【答案】（1）2a =-（2）[)1,+∞（3）()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得()23y '=，解得实数的值；（2）设12x x >，构造函数()()2F x h x x =-，则转化为()F x 在()0,+∞上为增函数，即得()0F x '≥在()0,+∞上恒成立，参变分离得()2max2a x x≥-，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数()1ln am x x a x x+=-+，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围． 试题解析：解：（1）由()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，得()ay x x x'=-． 由题意，232a-=，所以2a =-．（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x +-'<''等价于00001ln ax a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．构造函数()1ln a m x x a x x+=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．()()()()222211111x ax a x a x a a m x x x x x --+--='++--==． 因为0x >，所以10x +>，令()0m x '=，得1x a =+．①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增．只需()120m a =+<，解得2a <-．②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值． 令()()11ln 110m a a a a +=+-++<即()11ln 1a a a ++<+，可得()()11ln 1*a a a++<+． 令1t a =+，即1t e <≤，不等式()*可化为1ln 1t t t +<-． 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立．③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()10am e e a e+=-+<，解得211e a e +>-． 综上所述，实数的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭． 22．【答案】（1）2{2x cos y cos αα==，（ α为参数），221x y -=．（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标互换公式222{ x cos y sin x y ρθρθρ==+=，可得曲线C 方程．（2）由（1）可知()1,0M -，()1,0N ，由圆的参数方程得()2cos ,2sin P αα，代入可得定值．【点睛】直角坐标与极坐标互换公式222{ x cos y sin x y ρθρθρ==+=，圆的参数方程经常用来表示以点代图的题．23．【答案】（1）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）[]8,6-． 【解析】试题分析：⑴将2m =时代入，然后根据几何意义和不等式进行计算(2) 当0a >时，22882a a a a+=+利用基本不等式，计算可得结果 解析：（1）当2m =时，()2123f x x x =++- ()()2123|4x x ≥+--=， 当且仅当()()21230x x +-≤时，等号成立，故1322x -≤≤，即的取值范围13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
2020年高考数学(理)冲刺模拟卷(三)(全国版含答案解析)
D．99
3
【答案】B
【解析】因为在数列{an}中，若对任意的 n∈N*均有 an＋an＋1＋an＋2 为定值，所以 an＋3＝an，即数列{an}
4 x2
1
x
0
0
，即
2
x
1
,故选：C
2.已知 a R ,那么“ a 1”是“ 1 1 ”的（ ） a
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要 条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
3.已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，σ2)，且 P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<4)＝( )
x2 4x, x 0
∴ f x 0, x 0
.
x2 4x, x 0
当 x 0 时，由 f x x 得 x2 4x x ，解得 x 5 ；
当 x 0 时， f x x 无解；
当 x 0 时，由 f x x 得 x2 4x x ，解得 5 x 0 .
重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截
下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，
若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6 斤
B．9 斤
C．9.5 斤
D．12 斤
6 ， sin A 1
AB AC 5
5
SABC
1 2
AB
AC
sin
A
2 2
.
2020高考数学仿真模拟试卷三及答案解析点拨(65张)
之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形(这个矩形的长不小于 宽)，上底面矩形的长为 3，宽为 2，“刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积 的最大值为( )
10．已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线交抛物线于 A，B
两点，O 为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB 的面积为( )
A. 6
B．2 2
C．2 3
D．4
答案 A
解析 由题意，易知直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为
y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得 y2－4ky－4＝0，设 A(x1，y1)，B(x等差数列前 n 项和公式及通项公式，得
S9＝9a1＋9×2 8d＝27， a10＝a1＋9d＝8，
解得ad1＝＝1－，1，
an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选 C.
6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体 的体积为( )
4套仿真模拟
2020高考仿真模拟(三)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时 间 120 分钟．
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为实数集 R，集合 A＝{x|x2－3x<0}，B＝{x|log2x>0}，则
则 y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，则|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝4 1＋k12，由弦长公
式可得
1＋k12×|y1－y2|＝41＋k12＝6，∴k2＝2，|y1－y2|＝2 6.三角形的面
积为 S＝12|OF|×|y1－y2|＝12×1×2 6＝ 6.故选 A.
2020年全国高考数学(理科)仿真冲刺模拟试卷3(含答案)
绝密★启用前2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合21A xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}lg 0B x x =<，则A B ⋃= （ ） A ．{}01x x << B ．{}02x x << C ．{}12x x << D ．R 2．已知复数3412iz i-+=+，则z = （ ）A B ．3 C D 3．设等差数列{}n a 的前10项和为20，且51a =，则{}n a 的公差为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设3a =8，b =log 0.50.2，c =log 424，则（ ）A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．b <c <a5．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ．34 B ．78 C ．1516 D ．23246．已知m 是两个数2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ）A ．2或2 B ．2 C ．2D 7．运行如图所示程序，则输出的S 的值为 （ ）A. 1452 B. 45 C. 1442 D. 14628．将函数2sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）图像向右平移3π个单位长度后与原函数图像重合，则ω的最小值为 （ ） A ．6 B ．3πC ．2D ．129．已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为 （ ）A．3 B．23 C．(π D．3或2310．已知实数,a b 满足320{20 360a b b a a b +-≥-+≥+-≤，则当0,4πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin cos cos 2b a b θθθ+-的最大值是 （ ）A ．5B ．2 CD11．过点()21，的直线交抛物线252y x =于A 、B 两点(异于坐标原点O )，若OA OB OA OB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则该直线的方程为 （ ）A ．30x y +-=B ．250x y +-=C ．250x y -+=D ．20x y -= 12．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()1'ln f x x f x x<-，则使得()()210xf x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()1,0{ 2,0x e x f x x +<=≥，则方程()()212f x f x +=的解集是_________．14．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =，3c =，且cos cos a b A B=，则ABC V 的面积等于__________．15．如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR xOP yOQ =+u u u v u u u v u u u v(),x y R ∈的最小值为__________．16．设函数()()21,,x x xf xg x x e +==对任意()12,0,,x x ∈+∞不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，13a =，{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a n +=+．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足：()12n nan b =-+，求{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，FC ⊥平面ABCD ，//ED FC ，CB CD CF ==．（I ）求证：AD BE ⊥；（II ）求二面角F BD C --的余弦值．19．（本小题满分12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示．（I ）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求(3679.50)P Z <≤；（II ）在（I ）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：： （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据与公式14.5≈，若()2,X N μσ~，则①()0.6827P X μσμσ-<≤≤=； ②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=； ③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+=．20．（本小题满分12分）已知点P 为曲线C 上任意一点，()()0,1,0,1A B -，直线PA 、PB 的斜率之积为12-． （Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在过点()2,0Q -的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得BM BN =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()212f x x =，()ln g x a x =． （I ）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值； （II ）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）若[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f xg x g x f x +-'<''成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=．（I ）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：22||PM PN +为定值．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()123f x mx x =++-．（I ）当2m =时，若()4f x =，求x 的取值范围；（II ）若()2281a f a+≤对任意正实数a 恒成立，求实数m 的取值范围．2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷3答案1．【答案】B 【解析】{}{}{}2102,lg 001,A xx x B x x x x x ⎧⎫=>=<<=<=<<⎨⎬⎩⎭Q 故{}02A B x x ⋃=<<．故选B ．2．【答案】C 【解析】()()()()34123451012,1212125i i i iz i z i i i -+--++====+∴=++-Q 故选C ．3．【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的前10项和为()()110110105202a a a a +=+=，∴1104a a +=，又∵51a =，∴63a =，∴公差652a a -=，故选B ．4．【答案】A 【解析】由题意可得：a =log 38<2=log 39,b =log 0.50.2=log 25=log 425>c =log 424>2， 则：a <c <b ．本题选择A 选项．点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6．【答案】B 【解析】由题意得216m =，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214y x +=，故离心率为2c e a ====；当4m =-时，曲线方程为2214y x -=，故离心率为c e a ====．所以曲线的离心率为B ．学#8．【答案】A 【解析】∵函数数2sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>的图象向右平移3π个单位后与原图象重合，23n n Z ππω∴=⨯∈，，6n n Z ω∴=∈，， 又0ω>，故其最小值是6．故选A ． 【点睛】本题考查由y Asin x ωϕ=+（） 的部分图象确定其解析式，本题判断出是周期的整数倍，是解题的关键．9．【答案】D 【解析】由题意圆锥底面半径为1r =，球的半径为2,R = 如图设1OO x =，则x 2h R x ++＝＝或2h R x --＝＝所以，圆锥的体积为((221112333V Sh ππ+⨯⨯⨯+＝＝＝，或((221112333V Sh ππ⨯⨯⨯＝＝＝，故选D ．10．【答案】C 【解析】如图，可行域：11sin 2cos 22222a b θθθθ⎫=+=+⎪⎭．cos ϕ=sin ϕ=，原式()2θϕ=+，当()sin 21θϕ+=20{360b a a b -+=+-=，解得3{ 1a b ==，代入原式=，故选C ．12．【答案】D 【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <，则()g x 是区间()0,+∞上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，当x ∈(0，1)时，g (x )>0，∵lnx <0，f (x )<0，(x 2-1)f (x )>0；当x ∈(1，+∞)时，g (x )<0，∵lnx >0，∴f (x )<0，(x 2-1)f (x )<0． ∵f (x )是奇函数，当x ∈(-1，0)时，f (x )>0，(x 2-1)f (x )<0，∴当x ∈(-∞，-1)时，f (x )>0，(x 2-1)f (x )>0． 综上所述，使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃．故本题选D ．学%点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．13．【答案】[)0,∞+【解析】∵函数f （x ）=1,0{ 2,0x e x x +<≥，方程f （1+x 2）=f （2x ），∴当x ＜0时，2=e 2x +1，解得x =0，不成立；当x ≥0时，f （1+x 2）=f （2x ）=2，成立．∴方程f （1+x 2）=f （2x ）的解集是{x |x ≥0}．故答案为：{x |x ≥0}．【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．15．【答案】4R M N 、、共线，所以由OR OM ON =+u u u v u u u u v u u u v ，有1λμ+=， 又因为M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，所以1122OR OM ON OP OQ λμλμ=+=+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ，111222x y λμ∴+=+＝ 原题转化为：当12x y+＝12y x=-Q，==结合二次函数的性质可知，当14x=．【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点R M N、、共线，由OR OM ON=+u u u v u u u u v u u u v，有1λμ+=”的应用．17．【答案】（1）21na n=+．（2）nT=()()1184123nn--+-．【解析】试题分析：（1）利用公式11,2{,1n nnS S naS n--≥==可求的通项na的表达式．（2）由（1）()2112n nnb+=-+，即数列{}n b由两个不同公比的等比数列相加，采用分组求和可求得前n项和．试题解析：（1）由21n nS a n+=+①，得()21111n nS a n+++=++②则②①得21na n=+．当13a=时满足上式，所以数列{}n a的通项公式为21na n=+．（2）由（1）得()2112n nnb+=-+，所以12n n T b b b =+++L ()()()2111n⎡⎤=-+-++-⎣⎦L +()3521222n ++++L()()()()31112141114nn⎡⎤-⨯--⨯-⎣⎦=+--- ()()1184123n n --=+-．【点睛】当数列的递推关系是关于()11,,,0n n n n f a a S S --=形式时，我们常采用公式11,2{ ,1n n n S S n a S n --≥==，统一成n a 或统一成n S 做．18．【答案】(1)证明见解析；(2)5【解析】试题分析：(1)由题意结合角的关系可得90ADB ∠=︒，AD BD ⊥，由线面垂直的性质可得ED AD ⊥，故AD ⊥平面BED ，AD BE ⊥．(2)结合(1)的结论可知,,CA CB CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在的直线为轴，y 轴，轴建立空间直角坐标系，计算可得平面BDF 的一个法向量为)m =，而()0,0,1CF =u u u v是平面BDC 的一个法向量，据此计算可得二面角F BD C --的余（2）由（1）知，AD BD ⊥，同理AC BC ⊥，又FC ⊥平面ABCD ，因此,,CA CB CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CF 所在的直线为轴，y 轴，轴建立如图的空间直角坐标系，不妨设1CB =，则()0,0,0C ，()0,1,0B，1,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1F，因此3,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v，()0,1,1BF =-u u u v ．设平面BDF 的一个法向量为(),,m x y z =v，则0m BF ⋅=u u u v v ，0m BD ⋅=u u u v v ，∴30 20x y y z -=-+=，所以x ==，取1z =，则)m =，由于()0,0,1CF =u u u v 是平面BDC 的一个法向量，则cos m <，m CF CF CF m⋅>===u u u vu u u v u u u v，所以二面角F BD C --19．【答案】（1）0．8186．（2）见解析．【解析】试题分析：（1）使用加权平均数公式计算得到EZ ，然后利用正态分布的有关知识计算即可； （2）利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，再列表即可．（2）易知()1()2P Z P Z μμ<=≥=，获赠话费X 的可能取值为20，40，60，80． ()13320248P X -=⨯=；()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=； ()13111336024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11118024432P X ==⨯⨯=． X 的分布列为：∴2040608037.58321632EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）()22102x y x +=≠；（2）0y =． 【解析】试题分析：（I ）设点(),,0P x y x ≠，由111·2PA PBy y k k x x +-⋅==-，整理得可得2212x y +=．（II ）设点()()1122,,,M x y N x y ，取MN 的中点H ，则1212,22xx y y H ++⎛⎫⎪⎝⎭，则BM BN =可转化为1212+121+x 2y y k x -⋅=-，联立直线与椭圆，结合韦达定理建立关于斜率k 的方程，求解即可②当0k =时，,M N 为椭圆C 的左右顶点，显然满足BM BN =，此时直线的方程为0y =． 综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为0y =．21．【答案】（1）2a =-（2）[)1,+∞（3）()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得()23y '=，解得实数的值；（2）设12x x >，构造函数()()2F x h x x =-，则转化为()F x 在()0,+∞上为增函数，即得()0F x '≥在()0,+∞上恒成立，参变分离得()2max2a x x≥-，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数()1ln am x x a x x+=-+，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围． 试题解析：解：（1）由()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，得()ay x x x'=-． 由题意，232a-=，所以2a =-．（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x +-'<''等价于00001ln ax a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．构造函数()1ln a m x x a x x+=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．()()()()222211111x ax a x a x a a m x x x x x --+--='++--==． 因为0x >，所以10x +>，令()0m x '=，得1x a =+．①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增．只需()120m a =+<，解得2a <-．②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值． 令()()11ln 110m a a a a +=+-++<即()11ln 1a a a ++<+，可得()()11ln 1*a a a++<+． 令1t a =+，即1t e <≤，不等式()*可化为1ln 1t t t +<-． 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立．③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()10am e e a e+=-+<，解得211e a e +>-． 综上所述，实数的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭． 22．【答案】（1）2{2x cos y cos αα==，（ α为参数），221x y -=．（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标互换公式222{ x cos y sin x y ρθρθρ==+=，可得曲线C 方程．（2）由（1）可知()1,0M -，()1,0N ，由圆的参数方程得()2cos ,2sin P αα，代入可得定值．【点睛】直角坐标与极坐标互换公式222{ x cos y sin x y ρθρθρ==+=，圆的参数方程经常用来表示以点代图的题．23．【答案】（1）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）[]8,6-． 【解析】试题分析：⑴将2m =时代入，然后根据几何意义和不等式进行计算(2) 当0a >时，22882a a a a+=+利用基本不等式，计算可得结果 解析：（1）当2m =时，()2123f x x x =++- ()()2123|4x x ≥+--=， 当且仅当()()21230x x +-≤时，等号成立，故1322x -≤≤，即的取值范围13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
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2020高考仿真模拟卷(三)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P ＝{(x ，y )|y ＝k }，Q ＝{(x ，y )|y ＝2x }，已知P ∩Q ＝∅，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(1，＋∞)答案 C解析 由P ∩Q ＝∅可得，函数y ＝2x 的图象与直线y ＝k 无公共点，所以k ∈(－∞，0]．2．“(綈p )∨q 为真命题”是“p ∧(綈q )为假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 (綈p )∨q 为真命题包括以下三种情况：p 假q 真、p 假q 假、p 真q 真；p ∧(綈q )为假命题包括以下三种情况：p 假q 真、p 假q 假、p 真q 真；所以“(綈p )∨q 为真命题”是“p ∧(綈q )为假命题”的充要条件．3．欧拉公式 e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i 为纯虚数，则复数sin2a ＋i 1＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 e a i ＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以cos a ＝0，sin a ≠0，所以a ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以2a ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin2a ＝0，所以sin2a ＋i 1＋i ＝i1＋i ＝i (1－i )2＝12＋12i ，在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12位于第一象限．4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①②B ．②④C ．②③D ．①④答案 D解析 从上下方向上看，△P AC 的投影为①图所示的情况； 从左右方向上看，△P AC 的投影为④图所示的情况； 从前后方向上看，△P AC 的投影为④图所示的情况．5．(2019·陕西西安八校4月联考)已知(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中，x 3的系数为56，则实数a 的值为( )A ．6或－1B ．－1或4C ．6或5D ．4或5答案 A解析 因为(x ＋1)6(ax －1)2＝(x ＋1)6(a 2x 2－2ax ＋1)，所以(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中x 3的系数是C 36＋C 26(－2a )＋C 16a 2＝6a 2－30a ＋20，∴6a 2－30a ＋20＝56，解得a ＝6或－1.故选A.6．(2019·内蒙古呼伦贝尔统一考试一)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值为( )A ．－32 B ．32 C ．12 D ．－12答案 B解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象，则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0的最大值为32.故选B.7．已知3sin α－cos α＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝( )A ．0B ．43C ．－43 D ．23答案 C解析 依题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝π2，故α＋π3＝π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23； 而⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝π，故⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－43.8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若|PF |＝5，则△PFK 的面积为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x ，可得 F (1,0)，K (－1,0)，准线方程为x ＝－1， 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，即x 0＝4， 不妨设P (x 0，y 0)在第一象限，则P (4,4)， 所以S △PKF ＝12|FK |·|y 0|＝12×2×4＝4.9．如图，△GCD 为正三角形，AB 为△GCD 的中位线，AB ＝3AE ，BC ＝3BF ，O 为DC 的中点，则向量FE→，OF →夹角的余弦值为()A ．12B ．－12 C ．－22 D ．22答案 B解析 解法一：以O 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，设△GCD 的边长为4，则A (－1，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3，B (1，3)，C (2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，233，FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，33，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，233， FE →·OF→＝－149，|FE →|＝273，|FO →|＝273，cos 〈FE→，OF →〉＝－149273×273＝－12.解法二：设△GCD 的边长为4，连接OE ，OA ，如图，易得△ADO 为正三角形，∠OAE ＝60°，AO ＝2，AE ＝23，由余弦定理得OE ＝273，同理得EF ＝273，OF ＝273，∴∠EFO ＝60°，∴cos 〈FE →，OF →〉＝cos120°＝－12.10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒； 王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 C解析 由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意，故跑第三棒的人是丙．11．已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有S △IPF 1－S △IPF 2≥13S △IF 1F 2成立，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,3]D ．(1,3] 答案 D解析 设△PF 1F 2的内切圆的半径为r ，由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ， S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由题意，得12|PF 1|·r －12|PF 2|·r ≥13cr ， 故c ≤32(|PF 1|－|PF 2|)＝3a ， 故e ＝ca ≤3，又e >1，所以双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋32，若对任意给定的m ∈[0,2]，关于x 的方程f (x )＝g (m )在区间[0,2]上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1C ．(0,1)∪{－1}D ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18答案 B解析 f ′(x )＝6ax 2－6ax ＝6ax (x －1)， ①当a ＝0时，f (x )＝1，g (x )＝32， 显然不可能满足题意；②当a >0时，f ′(x )＝6ax (x －1)， x ，f ′(x )，f (x )的变化如下：又因为当a >0时，g (x )＝－a 4x ＋32是减函数， 对任意m ∈[0,2]，g (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2＋32，32，由题意，必有g (m )max ≤f (x )max ，且g (m )min >f (0)，故⎩⎪⎨⎪⎧32≤1＋4a ，－a 2＋32>1，解得18≤a ＜1；③当a <0时，g (x )＝－a 4x ＋32是增函数，不符合题意． 综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m解析 根据三角形内角和为180°，所以∠BAC ＝30°， 由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB sin45°＝50sin30°. 解得AB ＝50 2 m.14．(2019·广东广州综合测试一)已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.答案 178解析 由题意得f (2)＝8＋a log 32＝6，变形得a log 32＝－2， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋a log 312＝18－a log 32＝178.15．已知实数x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤π，x ≥π6，y ≥0，则sin(x ＋y )的取值范围为________(用区间表示)．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分所示)． 设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，z 取得最大值2π3，所以π6≤x ＋y ≤2π3，所以sin(x ＋y )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.16．(2019·广东测试二)圆锥Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180°的扇形．正四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′，B ′，C ′，D ′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则圆锥的高为________，此正四棱柱的体积的最大值为________．答案 2364327解析 设圆锥的母线长为l ，圆锥底面周长为2π×2＝4π＝π×l ， ∴l ＝4，∴圆锥的高为42－22＝2 3.设正四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′的底面边长为2a ，高为h ，则2－2a2＝h23，即23－6a ＝h ，正四棱柱的体积V ＝4a 2h ＝4a 2(23－6a )，设f (a )＝4a 2(23－6a )，f ′(a )＝4a (43－36a )，令f ′(a )＝0得a ＝223，当0<a <223，f ′(a )>0，当a >223，f ′(a )<0，故f (a )的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫223＝64327.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{log 13a n }是公差为－1的等差数列，且a 2＋2是a 1，a 3的等差中项．(1)证明：数列{a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，且T n <M 恒成立，求实数M 的取值范围．解 (1)证明：依题意，log 13a n ＋1－log 13a n ＝－1，故log 13a n ＋1a n ＝－1，故a n ＋1a n＝3；2分故数列{a n }是公比为3的等比数列．因为2(a 2＋2)＝a 1＋a 3，故2(3a 1＋2)＝a 1＋9a 1，4分 解得a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.6分(2)依题意，1a n ＝13n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，13为公比的等比数列，8分故T n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n＝1＋13＋…＋13n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32，10分 故M ≥32，即实数M 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.12分18．(2019·湖南师大附中考前演练五)(本小题满分12分)在五边形AEBCD 中，BC ⊥CD ，CD ∥AB ，AB ＝2CD ＝2BC ，AE ⊥BE ，AE ＝BE (如图1)．将△ABE 沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O (如图2)．(1)求证：平面ABE ⊥平面DOE ；(2)求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小．解 (1)证明：由题意AB ＝2CD ，O 是线段AB 的中点，则OB ＝CD .又CD ∥AB ，则四边形OBCD 为平行四边形，又BC ⊥CD ，则AB ⊥OD ，因AE ＝BE ，OB ＝OA ，则EO ⊥AB ，2分又EO ∩DO ＝O ，则AB ⊥平面EOD ，又AB ⊂平面ABE ，故平面ABE ⊥平面EOD . 4分(2)由(1)易知OB ，OD ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OD ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，△EAB 为等腰直角三角形，O 为线段AB 的中点，且AB ＝2CD ＝2BC ，则OA ＝OB ＝OD ＝OE ，取CD ＝BC ＝1，则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，E (0,0,1)，则CD→＝(－1,0,0)，DE →＝(0，－1,1)，设平面ECD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧－x ＝0，－y ＋z ＝0，令z ＝1，得平面ECD 的一个法向量n ＝(0,1,1)，因为OD ⊥平面ABE ，则平面ABE 的一个法向量为OD→＝(0,1,0)，8分设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝|0×0＋1×1＋0×1|1×12＋12＝22， 因为θ∈(0,90°)，所以θ＝45°，故平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为45°.12分19．(2019·东北三省四市一模)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)求四边形MB 2NB 1的面积的最大值． 解 (1)解法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)， ∵MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， ∴直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ， ① 直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ， ②2分 ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2，又∵x 2018＋y 29＝1，∴y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0).6分解法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)， ∵MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， ∴直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ， ① 直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ， ②2分 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0，又x 2018＋y 209＝1，∴x ＝－x 02，故⎩⎨⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1得y 29＋x 292＝1.∴点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0).6分解法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1k x －3， ①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1.2分 则直线MB 2的斜率为kMB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .∴直线NB 2：y ＝2kx ＋3， ②由①②解得，点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0).6分(2)解法一：设N (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由(1)解法二得x 1＝－x 02， 四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x 1|＋|x 0|)＝3×32|x 0|＝92|x 0|，9分∵0<x 20≤18，∴当x 20＝18时，S 的最大值为2722.12分 解法二：由(1)解法三得四边形MB 2NB 1的面积 S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722， 当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722.12分20．(2019·吉林长春质量监测二)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋bx －1(b ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝ln x 有两个实数根，求实数b 的取值范围． 解 (1)由题可得f ′(x )＝e x ＋b ，当b ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当b <0时，当x ≥ln (－b )时，f ′(x )>0，f (x )在(ln (－b )，＋∞)上单调递增； 当x <ln (－b )时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，ln (－b ))上单调递减. 4分(2)令g (x )＝e x＋bx －1－ln x ，g ′(x )＝e x＋b －1x ，易知g ′(x )单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为x 0，g ′(x 0)＝0，即e x 0 ＋b －1x 0＝0，则b ＝1x 0－e x 0 ，故若有g (x )有两个零点，需满足g (x 0)<0，即e x 0＋bx 0－1－ln x 0＝e x 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0－e x 0 x 0－1－ln x 0＝e x 0 －e x 0 x 0－ln x 0<0，7分令h (x )＝e x －e x x －ln x ，则h ′(x )＝－e x x －1x <0， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．又h (1)＝0，所以e x 0 －e x 0 x 0－ln x 0<0的解集为(1，＋∞)， 由b ＝1x 0－e x 0 ，所以b <1－e.9分又当b <1－e 时，e x ＋bx －1－ln x >x ＋bx －ln x ， 则g (e b )>e b ＋b e b －ln e b ＝(b ＋1)e b －b ， 令t (x )＝(x ＋1)e x －x ＝(x ＋1)(e x －1)＋1，由于x <1－e ，所以x ＋1<2－e<0，e x <1，所以(x ＋1)(e x －1)>0，故t (x )＝(x ＋1)e x －x >0，所以g (e b )>0，故g (e b )g (x 0)<0，g (x )在(0，x 0)上有唯一零点，另一方面，在(x 0，＋∞)上，当x →＋∞时，由e x 增长速度大，所以g (x )>0，综上有b <1－e.12分21．(2019·福建厦门第一次(3月)质检)(本小题满分12分)某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图(如图1)：产品的质量指数在[50,70)的为三等品，在[70,90)的为二等品，在[90,110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件 1.5,3.5,5.5(单位：元)，以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．(1)求每件产品的平均销售利润；(2)该公司为了解年营销费用x (单位：万元)对年销售量y (单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用x i 和年销售量y i (i ＝1，2,3,4,5)数据做了初步处理，得到的散点图(如图2)及一些统计量的值．表中u i ＝ln x i ，v i ＝ln y i ，u －＝15∑i ＝15u i ，v －＝15∑i ＝15v i ，根据散点图判断，y ＝a ·x b 可以作为年销售量y (万件)关于年营销费用x (万元)的回归方程．①建立y 关于x 的回归方程；②用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？(收益＝销售利润－营销费用，取e 4.159＝64)参考公式：对于一组数据：(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u －)(v i －v －)∑i ＝1n (u i －u －)2，α^＝v ^－β^u －.解 (1)设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5,3.5,5.5， 由直方图可得一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15，2分 所以P (ξ＝1.5)＝0.15，P (ξ＝3.5)＝0.45，P (ξ＝5.5)＝0.4， 所以随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝1.5×0.15＋4元. 4分(2)①由y ＝a ·x b 得，ln y ＝ln (a ·x b )＝ln a ＋b ln x ， 令u ＝ln x ，v ＝ln y ，c ＝ln a ，则v ＝c ＋bu ，由表中数据可得，b ^＝∑i ＝1n(u i －u －)(v i －v －)∑i ＝1n (u i －u －)2＝0.411.64＝0.25，则c ^＝v －－b ^ u －＝24.875－0.25×16.305＝4.159，所以v ^＝4.159＋0.25u ，7分即ln y ^＝4.159＋0.25ln x ＝ln ⎝⎛⎭⎫e 4.159x 14 ， 因为e4.159＝64，所以y ^＝64x14 ，故所求的回归方程为y ＝64x14 .9分②设年收益为z 万元，则z ＝[E (ξ)]y －x ＝256x14 －x ，10分设t ＝x14 ，f (t )＝256t －t 4，则f ′(t )＝256－4t 3＝4(64－t 3)，当t ∈(0,4)时，f ′(t )>0，f (t )在(0,4)上单调递增，当t ∈(4，＋∞)时，f ′(t )<0，f (t )在(4，＋∞)上单调递减．所以，当t ＝4，即x ＝256时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos θ，y ＝3＋7sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(1)试判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)若直线θ＝π3(ρ∈R )与直线l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点，求|AM |·|AN |的值．解 (1)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝7， 圆心C (0，3)，半径r ＝7，2分 直线l 的普通方程为x ＋3y －2＝0，3分 ∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0＋3×3－2|12＋(3)2＝12<r ，∴直线l 与圆C 相交.5分(2)曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ－4＝0， 将θ＝π3代入ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，得ρ＝1，7分 将θ＝π3代入ρ2－23ρsin θ－4＝0得ρ2－3ρ－4＝0， 则ρ1＝4，ρ2＝－1.8分∴|AM |＝ρ1－ρ＝3，|AN |＝ρ－ρ2＝2，9分 ∴|AM |·|AN |＝3×2＝6.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝ln (|x －2|＋|ax －a |)(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的值域；(2)若∀x ∈R ，都有f (x )＋1≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln (|x －2|＋|x －1|)，∵|x －2|＋|x －1|≥|(x －2)－(x －1)|＝1，3分∴ln (|x －2|＋|x －1|)≥ln 1＝0，即函数f (x )的值域为[0，＋∞).5分 (2)由f (x )＋1≥0，即ln (|x －2|＋|ax －a |)≥－1， 得|x －2|＋|ax －a |≥1e ， 令g (x )＝|x －2|＋|ax －a |，则函数g (x )的最小值g (x )min ＝{g (1)，g (2)}min ，7分∴只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥1e ，g (2)≥1e ，9分解得a ≤－1e 或a ≥1e ，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.10分。