苏州大学概率期末试题

的起点无关（时间以小时计）．某天12时至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为 。

3．设Y X ,相互独立，且同服从于参数为λ的指数分布，),max(Y X Z =，则Z 的分布函数为： ．4．设随机变量X 与Y 相互独立，且2)()(,)()(σμ====Y D X D Y E X E ，概率论与数理统计考试试题一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。

）1．一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击中击中目标这一事件)3,2,1(=i ，则3次射击 中至多2次击中目标的事件为( )： 321321321321)(;)(;)(;)(A A A D A A A C A A A B A A A A ⋃⋃⋃⋃2. 袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。

则第一次和第二次都取到黄球的概率是( )；()715A ； ()49100B ； ()710C ； ()21D3. 设随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤<+=.,0;10,)(其它x bx a x f 且 83}21{=≤X P ，则有( )；.21,21)(;1,21)(;0,1)(;2,0)(========b a D b a C b a B b a A4．设()2~,X N μσ，1234,,,X X X X 为X 的一个样本， 下列各项为μ的无偏估计，其中最有效估计量为（ ）。

1234()224;A X X X X ++- 411();4i i B X =∑14()0.50.5;C X X + 123()0.10.50.4D X X X ++ 5. 设1,,n X X 是来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσ，对于σ已知和σ未知时的期望μ的假设检验，应分别采用的方法为（ ）。

A U 检验法和T 检验法B T 检验法和U 检验法C U 检验法和2χ检验法 D T 检验法和F 检验法二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。

）1. 若X 服从自由为n 的t 分布，则X 2服从自由度为 ， 的F 分布。

2．在长度为t 的时间间隔内到达某港口的轮船数X 服从参数为t 的泊松分布，而与时间间隔则2)(Y X E -= ．5．从服从正态分布的),(2σμN 的总体中抽取容量为9的样本，样本均值1500=x ，样本标准差为14=s ，则总体均值μ的置信水平为95%的置信区间为 ．三、计算下列各题（1～4小题每题8分，5、6小题每题10分，共52分）1. 设事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 发生多少次的概率最大？2. 据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？3. 由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率．4. 设随机变量X 在区间],0[π上服从均匀分布，求随机变量X Y sin =的概率密度()Y f y ．5. 设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴y ,轴及直线1x y +=所围成， ⑴ 求),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，⑵ 计算{}P Y X <。

6. 某工厂生产的设备的寿命X (以年计)的概率密度为,()00,x x e f x x ->⎧=⎨<⎩． 工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可予以调换．若出售一台设备可赢利150元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．四、（10分）总体X 的概率密度为1,01()0,x x f x θθ-⎧<<=⎨⎩其它(0)θ>，1,,n X X 是来自总体X 的样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.五、（8分） 若某地区一天出生的婴儿人数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，以Y 表示其中男婴的个数，每一新生婴儿为男性的概率是p ，求：（1） 已知某一天出生的婴儿人数为n ，其中有m 个是男婴的概率．（2） X 与Y 的联合概率分布． （3） Y 的概率分布律．附：0.0250.0250.050.05(8) 2.306;(9) 2.262;(8) 1.860;(9) 1.833t t t t ====(1.67)0.9525Φ=；(1.96)0.9750Φ=；(1.65)0.9505Φ=。

课程名称 概率论与数理统计一．1．C ； 2.A ； 3.D ； 4.B ； 5.A 。

二． 1．1,n ； 2．11e --； 3．2(1)z eλ-- ； 4．22σ 5．[114.24,135.76]。

三．1. 设A 发生0k 次概率最大，因A 发生次数X 服从二项分布B(n ，p)，()(1)k k n knP X k C p p -==-,故000)(1)(0)(1)P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎨=≥=-⎩（,解得0(1)1()(1)[1(1)n p n+1p n p k n+p n p +-+⎧=⎨+⎩或为整数（）]不为整数 ………8分；2. 设{}{}A B ==任意挑选一人为男性患有色盲，， 已知 (|)5%,(|)0.25%,()0.5P B A P B A P A ===，则有()(|)0.55%(|)0.95240.55%0.50.25%()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===⨯+⨯+． ……… 8分；3. 令1,2,,1001,0i i i X i ⎧==⎨⎩第个部件正常工作，第个部件不能正常工作.，.则有{1}0.9,()0.9,()0.09i i i P X E X D X ====,12100,,,X X X 相互独立. …………… 3分；于是 10010011905851( 1.67)(1.67)0.952533i i i i X P X P ==⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎪⎪≥=≥-≈-Φ-=Φ=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑. …… 8分；4. 当01y <<时，(){}{0arcsin }{arcsin }Y F y P sinX y P X y P y X ππ=≤=≤≤+-≤≤ arcsin 0arcsin 112y ydx dx acrsiny πππππ-=+=⎰⎰； …………… 3分；当0y ≤时，(){}0Y F y P sinX y =≤=；当1y ≥时，(){}1Y F y P sinX y =≤=。

…………… 5分；于是，,01;()0,Y x f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它. …………… 8分；5. ),(Y X 的联合概率密度为 2,(,);(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它.(1) 2(1),01;()(,)0,X x x f x f x y dy ∞-∞-<<⎧==⎨⎩⎰其它.， …………… 5分； ⑵ 11012{}(,)2yyy xP Y X f x y dxdy dy dx -<<===⎰⎰⎰⎰。

…………… 10分；6. 设赢利为Y ，则有300,1;150, 1.X Y X -<⎧=⎨≥⎩ …………… 4分；101()300{1}150{1}300150xx E Y P X P X e dx e dx ∞--=-<+≥=-+⎰⎰1450300e -=-. … 10分； 四. 矩估计法： 10()1E X x dx θθθθ==+⎰，令 ˆˆ1X θθ=+，得 ˆ1X X θ=- 。

…… 5分 极大似然估计法：11()()(01,1,,)nni i i L x x i n θθθ-==<<=∏，令ln ()0d L d θθ= ， 则有1ln 0ni i nx θ=+=∑，于是 1ˆln nii nXθ==-∑。

………… 10分五. （1）{|}(1),0,1,,m m n mn P Y m X n C p p m n -===-=； …………… 3分；（2）{,}{}{|}P Y m X n P X n P Y m X n ====== (1),0,1,,0,1,,!()!nm n m ep p n m n m n m λλ--=-==-；………… 3分；（3）{}{,}(1)!()!nm n m n m n m e P Y m P Y m X n p p m n m λλ-∞∞-=======--∑∑(),0,1,!mpp e m m λλ-==. ………… 2分.| 课程名称—概率论与数理统计 | 一. 选择题（每小题3分，共15分）1.C2.D3.B4.C5.A 装 二. 填空题（每小题3分，共15分）| 1.0.4 2. 0.2 3.18.4 4. 125.12(n-1)|三. （10分）0()()()22Y X X yy y F y F F >=--时， ………………4分28()()y Y Y f y F y -'== ………………8分0()0Y y F y ≤=时,28,0()0,0yY y f y y -⎧>=≤⎩………………10分| 四. （10分）,)X Y (的可能取值（0，0），（0，1）（1，0）（1，1）………2分1{1,1}()()()8P X Y P AB P A P B A =====………………4分 1{1,0}()()()8P X Y P AB P A P AB ====-= ………………6分()1{0,1}()()()8P AB P X Y P AB P AB P A B ====-= (8)分1115{0,0}18888P X Y ===---= ………………10分五. （10分）（1）由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，得A ＝1 …………2分（2）1()0xxDE XY xydxdy dx xydy -===⎰⎰⎰⎰ 2()3DE X xdxdy ==⎰⎰ ………6分 ()0DE Y ydxdy ==⎰⎰ cov ,)()()()0X Y E XY E X E Y (＝－＝ ……………9分（3）0XY ρ= X 与Y 不相关 …………10分六.（10分）设同时开着的灯数为X，(10000,0.7)X b……………2分(0,1)N （近似）……………5分{69007100}210.971P X≤≤=Φ-=…………10分七.（10分）111()(2E X dxθθθθ++==+⎰+1)x……………3分解12Xθθ+=+，得θ的矩估计量为211XX--……………5分1()1()niiL xθθθ=+∏n＝（）1ln ln1lnniiL n xθθ==+∑（）+……………7分令1lnln01niid L nxdθθ==+=+∑得θ的极大似然估计量为11lnniinX=--∑…………10分八.（10(0,1)XN ………………3分{1.4 5.4}21P X P<<=<=Φ-……………7分解210.95Φ-≥得34.6n≥n至少取35 ……………10分九.（10分）T =(1)Xt n -0.005{(1)}0.99P T t n<-=………4分0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n-<<+-=..................8分所求为（1485.61，1514.39） (1)11 试题参考答案一 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、B2、A3、C4、A5、D 二 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、212、313、⎩⎨⎧=-0)(x e x f λλ 00≤>x x ,21λ 4、y +21 5、1 三 A 表示合格品事件，B 产品检验合格事件(1)887.005.01.098.09.0)(=⨯+⨯=B P (2)994.0887.098.09.0)|(=⨯=B A P 四 ⎩⎨⎧>>--=--其它00,0)1)(1(),(2y x e e y x F y x 32}),{(}{=∈=<G Y X P Y X P 五 ||Y X Z -= ，⎰⎰-=l l dxdy y x l Z E 002||1)(=3l 六 μμ=)(1E , μμ=)(2E , 故都是μ的无偏估计 …… 4分18736144191361)(1==++=μD , 259254251254)(2=++=μD , …… 4分 因为)(2μD <)(1μD , 故2μ更有效. …… 2分七 )(21)(21θθ+=X E 2122122)(41)(121)(θθθθ++-=X E S n n X )1(3^1--=θ S n n X )1(3^2-=+=θ 注：答案不唯一，方法和答案正确，参照此给分八 95.0}10|{|1>≤∑=n i i X P =⇒>≤≤-∑=95.0}12/1012/12/10{1n n X n P ni i 2⇒>-Φ95.01)/320(n 312≤n。