立体几何-空间角题型

立体几何-空间角求法题型

空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面针对几何法举例说明。 一、异面直线所成的角：

【例】如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，

12AA =。E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

解：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ，

有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。则E 1D 1//EC 1

于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。 在Rt △BE 1F 中，

2222115126E F E F BF =

+=

+=

。

在Rt △D 1DE 1中，

222221111112

2

2

13214

D E DE DD AE AD DD =+=++=++= 在Rt △D 1DF 中，22

11222222124224

FD FD DD CF CD DD =+=++=++=

在△E 1FD 1中，由余弦定理得：

222111111111cos 2D E FD E F E D F D E FD +-∠==⨯⨯

∴直线1EC 与1FD

所成的角的余弦值为

14

。 可见，“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线l 1、l 2的夹角的余弦为：

cos AC BD AC BD

β⋅=

⋅。

二、线面角

【例】已知直三棱柱111,,ABC A B C AB AC F -=为1BB 上一点，

12,BF BC a FB a ===。

（1）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A D 、的任意一点，证明：1EF FC ⊥； （2）若113A B a =，求1FC 与平面11AA B B 所成角的正弦值。

提示：（1）转证线面垂直；证明FC1与面ADF 垂直（2）sin θ=。 三、二面角的求法：

几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图（1）。

②利用三垂线定理及其逆定理，图（2）最常用。 ③作棱的垂面，图（3）。

A

B F C

E 1

A 1

B 1

C

D

另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；

几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。 【例】如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，

90BAD FAB ∠=∠=，12BC AD

∥，12

BE AF

∥。 （Ⅰ）证明：C D F E ，，，四点共面；

（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的正切值。

解：（Ⅰ）延长DC 交AB 的延长线于点G ，由1

2

BC AD

∥得 1

2

GB GC BC GA GD AD ===，延长FE 交AB 的延长线于点G '， 同理可得12G E G B BE G F G A AF ''===''．故G B GB

G A GA

'='，即G '与G 重合， 因此直线CD EF ，相交于点G ，即C D F E ，，，四点共面。

（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，2AD =．取AE 中点M ，则BM AE ⊥，又由已知得，AD ⊥平面ABEF ，故AD BM ⊥，BM 与平面ADE 内两相交直线

A O B

M N

α

β α β

A

O P A B O

P α

β （1）

（2）

（3）

F

A

B

C

D

E

AD AE ，都垂直，

所以BM ⊥平面ADE ，作MN DE ⊥，垂足为N ，连结BN ，由三垂线定理知

BN ED ⊥，BNM ∠为二面角A ED B --的平面角，

213223

AD AE BM MN DE ⨯=

==，， 故6

tan 2

BM BNM MN ∠==，所以二面角A DE B --的正切值为。

【空间角的几何求解练习】

1．（1）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则 A 1B 与AC 1所成的角为（ ）

（A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200

（2）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．

1

3

B

．

3

C

．

3

D ．

23

（3）Rt ABC ∆的斜边在平面α内，顶点A 在α外，BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠，则BA C '∠的范围是________________。

（4）从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线，A 为垂足，B 为斜足，射线BC α⊂，

这时PBC ∠为钝角，设,PBC x ABC y ∠=∠=，则（ ） A.x y > B.x y = C.x y < D.,x y 的大小关系不确定

（5）相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内

的

射影所成的角是（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条

线

段与平面α所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 。 （7）PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB

所成角的余弦值是（ ）

A ．2

1

B ．22

C ．36

D ．33

（8）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，

,M N 分别是1,A A AB 上的点，若0

190NMC ∠=，

A B

C

D 1A 1

B 1

C 1

D M

N