数学分析反常积分习题解答

大学高等数学57 反常积分详解剖析

a
a
b
b
f (x)dx F(x) F(b) F() ；
f (x)dx F(x) F() F() ．
若 F() 与 F() 存在，则称相应无穷区间上的无穷
限积分收敛，否则发散．
例1. 计算反常积分
解: 思考:
[arctan x ]
π ( π) π 22
分析:
原积分发散 !
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极限
为函数 f ( x)在无穷区间[a,)上的反常积分，
记作：
b
a
f
( x)dx
lim
b a
f
( x)dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.
定义无穷限积分
定义 2 设函数 f ( x)在区间(,b]上连续，取
a
b，如果极限 lim a
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
练习1.
计算反常积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
b
a
f
(
x)dx
存在，则称此极限
为函数 f ( x)在无穷区间(,b]上的反常积分，

含参量反常积分答案

§2 含参量反常积分一一致收敛性及其判别法设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰（1）都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有()(,),cx f x y dy x I φ+∞=∈⎰，（2）称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。

如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。

首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。

定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。

总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。

都有(,)()cf x y dy x φε+∞-<⎰，即(,)cf x y dy ε+∞<⎰则称含参量反常积分（1）在I 上一致收敛于()x φ，或简单地说含参量积分（1）在I 上一致收敛。

定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分（1）在I 撒谎能够一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,M A A>时，对一切x I ∈，都有12(,)A f x y dy Aε<⎰. （3）由定义1，我们还有以下含参量积分一致收敛的判别准则. 定理19.8 含参量积分(,)cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛的充分且必要条件是lim ()0,A F A →+∞=其中()(,).Ax I F A SUPf x y dy +∞∈=⎰例1 证明含参量反常积分sin cxydy y+∞⎰在[],δ+∞上一致收敛（其中0δ>），但在()0,+∞内不一致收敛。

证作变量代换u xy =，得sin sin ,x Axyu dy du y uA +∞+∞=⎰⎰ 其中0A >.由于0sin u du u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，使当'A M >时，就有'sin .udu u A ε+∞<⎰取A M δ>,则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由（5）式有sin Axydy yε+∞<⎰，因此lim ()0,A F x →+∞=从而由定理19.8，（4）式在[),δ+∞上一致收敛，又因为0sin sin lim ,0AA uu du du u u++∞+∞→=⎰⎰(0,)(0,)sin sin sin ()supsup 2x Ax x xyu u F A dy du du y uu A π+∞+∞+∞∈+∞∈+∞==≥=⎰⎰⎰（其中sin 2u dy u π+∞=⎰将在本节例6中证明），所以由定理19.8，（4）式在()0,+∞上不一致收敛。

反常积分习题(1)

反常积分习题(1)反常积分是微积分中的一类特殊问题，在求解过程中常常需要细致入微地分析问题，找到合适的方法和技巧。

下面，本文将介绍一些反常积分的习题，并结合解题方法进行分析。

一、对于无限区段积分1. $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}$此类习题往往需要将其化为极限问题，一般可以将积分式中的$x$用$\lim_{n\to\infty}n$来代替，即$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x\lnx}=\int_{1}^{\infty}\frac{d(\ln x)}{\lnx}=\lim_{n\to\infty}\int_{1}^{n}\frac{d(\ln x)}{\lnx}=\lim_{n\to\infty}\ln(\ln n)$$因此，该积分的值为$\ln(\ln\infty)=\infty$。

2. $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}(p>1)$如果将$p\le1$的情况考虑，式子将会无解，因此本题中规定$p>1$。

显然，当$p>1$时，积分的结果是发散的。

因为$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}=\begin{cases}\infty &p\le1\\\frac{1}{1-p} & p>1\end{cases}$$二、对于无界函数积分1. $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx$解法较多，这里介绍两种：一种是利用广义瑕积分的极限定义，即$$\int_{R}^{\infty}\frac{\sinx}{x}dx=\lim_{t\to\infty}\int_{R}^{t}\frac{\sin x}{x}dx$$然后，较为复杂的就是证明该积分收敛，即$\lim_{R\to0}\lim_{t\to\infty}\int_{R}^{t}\frac{\sinx}{x}dx$存在。

第十一章反常积分习题课

第十一章反常积分习题课一概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．2．叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()ba f x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰b buau a f x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰b buaf x dx f x dx ．3．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4．叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→x x ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞adx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dxx x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的．从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足于是有()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰，于是而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(l i m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞ x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞⎰收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx n ε+=<⎰．故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则3322sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛．因为2133330010sin 1cos 21cos 21cos 2222x x x x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰， 311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x ++→→-==，因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx -在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x-⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点．1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则s i n xx在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x ⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰badxx F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba b adx x F dx x f dx x f εεεε00lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]a b -,0上连续，有()()()⎰==+→ba dx x F G G 0limεε，即()().⎰⎰=b a b a dx x F dx x f 故()⎰ba dx x f 可看成正常积分。

数学分析 Ch12 反常积分与含参积分习题

第十二章反常积分习题12.1 反常积分的概念和计算⒈物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。

一个带电量+q 的点电荷产生的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为F kqr =2（k 为常数），求距电场中心x 处的电位。

解⎰+∞==xx kqdr rq kU 2。

⒉证明：若⎰+∞a dx x f )(和⎰+∞a dx x g )(收敛，k k 12和为常数，则[]⎰+∞+a dx x g k x f k )()(21也收敛，且⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+aaadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121。

证设⎰+∞a dx x f )(⎰+∞→=Aa A dx x f )(lim ，⎰+∞a dx x g )(⎰+∞→=Aa A dx x g )(lim ，则 []⎰+∞+a dx x g k x f k )()(21[]⎰+=+∞→AaA dx x g k x f k )()(lim 21 ⎰+∞→=AaA dx x f k )(lim1⎰+∞→+AaA dx x g k )(lim2⎰⎰+∞+∞+=a a dx x g k dx x f k )()(21。

⒊计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：⑴ e sin -+∞⎰205x xdx ;⑵ e cos -+∞⎰302x xdx ;⑶ 112x x dx ++-∞+∞⎰;⑷122220()()x a x b dx +++∞⎰)0,0(>>b a ;⑸ ⎰∞+∈0)(e 2R a dx x ax ;⑹ )(ln 12R ∈⎰∞+p dx xx p;∞ xq 图⑺ 11232()/x dx +-∞+∞⎰;⑻ 120(e e )x x dx +-+∞⎰; ⑼ 1140x dx ++∞⎰； ⑽ ln xx dx 12++∞⎰。

解（1）e sin -+∞⎰205x xdx ⎰∞+--=025cos e 51x d x ⎰∞+--=025cos e 5251xdx x⎰∞+--=025sin e 25251x d x ⎰∞+--=025sin e 25451xdx x ，所以e sin -+∞⎰205x xdx 295=。

数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)

第十九章含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1：若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时，有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛，根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛，又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛，根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛；同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。

数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)

第十九章含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1：若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时，有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛，根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛，又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛，根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛；同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。

反常积分例题

反常积分例题这里的题目来自裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》。

广义积分就是我刚才讲的知识内容，华东师范大学第四版数学分析第十一章。

本文主要考虑广义积分的计算问题。

粗略而言，反常积分是正常积分和极限工具的结合，所以定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式，换元积分，分部积分这些方法都是适用的。

4.5.1 反常积分的计算1. 计算反常积分 I=\int_{-\infty}^{+\infty}|t-x|^{1/2}\frac{y}{(t-x)^2+y^2}dt.解本题中 t-x 的形式有堆砌之嫌，个人以为不妨直接命题I=2\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt uy}{u^2+y^2}dt.关键的步骤，令 \sqrt{u/y}=v ，则 I=4\sqrt y\int_0^{+\infty}\frac{v^2}{1+v^4}dv=4\sqrt y J ，下面计算 J=\int_0^1\frac{1}{1+v^4}dv +\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+v^4}dv=J_1+J_2 .令 w=1/v ，得J_1=\int_1^{+\infty}\frac{w^2}{1+w^4}dw ，从而J=\int_1^{+\infty}\frac{1+w^2}{1+w^4}dw=\int_1^{+\inft y}\frac{1}{(v-1/v)^2+2}d(v-1/v)=\frac{\pi}{2\sqrt2} ，代入得到 I=\sqrt{2y}\pi .2. 证明I=\int_0^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})dx=\frac{1}{a}\int_ 0^{+\infty}f(\sqrt{t^2+4ab})dt, a, b>0 .证明由 ax+b/x=\sqrt{t^2+4ab} ，我们令 t=ax-b/x ，则x=\frac{1}{2a}(t+\sqrt{t^2+4ab}),dx=\frac{1}{2a}(1+\frac{t}{\sqrt{t^2+4ab}})dt, 代入可得结论。

3[1].积分与反常积分习题解答2010_31810233

ai + ai +1
2
1 | x − a1 |
p1
| x − an | pn
，
I0 = ∫
a1 −1
−∞
f ( x)dx， I i = ∫ai−1 2 + ai f ( x ) dx
0 1 +I n +1
n
(i = 1 … n )
， I
n +1
=∫
+∞
an +1
f ( x)dx ，
+∞ f ( x)dx = I + I + 则 ∫−∞
p
p
=∫
2
1
由比阶判别法推出 p > 1 收敛， p ≤ 1 发散． 5．将广义积分分为两部分： I1 = 先看 I1 ，当 x → 0 时，若 q ≥ 0 ，则
+
∫
1 0
p +∞ x arctan x x p arctan x , I = 2 ∫1 2 + xq ． 2 + xq
x p arctan x p 与 x arctan x 同阶，故只当 − p − 1 < 1 ，即 p > −2 时， I1 收敛； 2 + xq
x p arctan x p −q 若 q < 0 ，则与x arctan x 同阶，故只当 − p − 1 + q < 1 ，即 p > q − 2 时， I1 q 2+ x
收敛．再看 I 2 ，当 x → +∞ 时，
积分与广义积分习题解答
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若q ≥ 0，则收敛；若 q < 0 ，则
= ∑ ∫kn−1 | f ′(ξ k )( x −

数学分析21.8反常二重积分（含习题及参考答案）

数学分析21.8反常⼆重积分（含习题及参考答案）第⼆⼗⼀章重积分 8 反常⼆重积分⼀、⽆界区域上的⼆重积分：定义1：设f(x,y)为定义在⽆界区域D 上的⼆元函数. 若对于平⾯上任⼀包围原点的光滑封闭曲线γ, f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D 的交集 D ∩E γ=D γ上恒可积. 令d γ=min{22y x +|(x,y)∈γ}. 若极限σγγd y x f Dd ??∞→),(lim存在且有限，且与γ的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛，并记σd y x f D),(=σγγd y x f Dd ??∞→),(lim，否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分发散，或简称σd y x f D),(发散.定理21.17：设在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, γ1, γ2,…, γn ,…为⼀列包围原点的光滑封闭曲线序列，满⾜：(1)d n =inf{22y x +|(x,y)∈γn }→+∞, (n →∞)；(2)I=σd y x f nD n),(sup <+∞, 其中D n 为γn 所围的有界区域E n 与D 的交集，则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛，且有σd y x f D),(=I.证：设γ’为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为E ’, 并记D ’=E ’∩D. ∵∞→n lim d n =+∞, ∴存在n, 使得D ’?D n ?D. 由f(x,y)≥0,有σd y x f D ??'),(≤σd y x f n),(sup , ?ε>0, ?n 0, 使得σd y x f nD ??0),(>I-ε. 对充分⼤的d ’, 区域D ’⼜可包含D 0n, 使得σd y x f D ??'),(>I-ε. 由I-ε<σd y x f D ??'),(≤I, 知f(x,y)在D 上的反常⼆重积分存在，且σd y x f D),(=I.定理21.18：若在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, 则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛的充要条件是：在D 的任何有界⼦区域上f(x,y)可积，且积分值有上界.例1：证明反常⼆重积分σd eDy x ??+-)(22收敛，其中D 为第⼀象限部分，即D=[0,+∞)×[0,+∞).证：设D R 是以原点为圆⼼, 半径为R 的圆与D 的交集，即该圆第⼀象限部分. ∵) (22y x e +->0，∴⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22关于R 递增.⼜σd eRD y x ??+-)(22=dr r e d Rr ??-0202πθ=)1(4D y x R ??+-+∞→)(22lim =)1(4lim 2R R e -+∞→-π=4π. 即对D 的任何有界⼦区域D ’, 总存在⾜够⼤的R ，使得D ’?D R , ∴σd e D y x ??' +-)(22≤σd e RD y x ??+-)(22≤4π.由定理21.18知，反常⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22收敛，⼜由定理21.17有，σd e Dy x ??+-)(22=4π.注：由例1结论，可推出反常积分?+∞-02dx e x 的值(常⽤于概率论). 考察S a =[0,a]×[0,a]上的积分σd eaS y x ??+-)(22=??--ay ax dy edx e22x dx e .由D a ?S a ?aD2(如图)知σd eaD y x ??+-)(22≤σd eaS y x ??+-)(22=202??? ???-ax dx e ≤σd e aDy x ??+-222)(. 令a →+∞, 则得202lim ??? ???-+∞→a x a dx e =σd e D y x ??+-)(22=4π, ∴?+∞-02dx e x =2π.例2：证明：若p>0, q>0, 则B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.证：令x=u 2, 则dx=2udu, Г(p)=?+∞--01dx e x x p =2?+∞--0122du e u u p , 从⽽ Г(p)Г(q)=4?+∞--+∞--?0ydx exy q x p =4??----+∞→?Ry q Rx p R dy e y dx ex1201222lim.令D R =[0,R]×[0,R], 由⼆重积分化为累次积分计算公式有σd eyxy x D q p R)(121222+---??=??----?Ry q Rx p dy e y dx ex1201222.∴Г(p)Г(q)= 4σd e y x y x D q p R R)(121222lim +---+∞2+---??, 其中D 为平⾯上第⼀象限部分. 记D r ={(x,y)|x 2+y 2≤r 2, x ≥0, y ≥0}. 于是有 Г(p)Г(q)=4σd e y x y x Dq p )(121222+---??=4σd e y x y x D q p r r)(121222lim +---+∞→??,应⽤极坐标变换，有Г(p)Г(q)=4??----++∞→rr q p q p r rdr e r d 012122)(2202sin cos lim θθθπ=4??--+--+∞→rr q p q p r dr e r d 01)(22012122sin cos lim πθθθ=2?+Γ?--201212)(sin cos πθθθq p d q p =B(p,q)Г(p+q). ∴B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.定理21.19：函数f(x,y)在⽆界区域D 上的反常⼆重积分收敛的充要条件是|f(x,y)|在D 上的反常⼆重积分收敛.证：[只证充分性]设σd y x f D|),(|收敛，其值为A. 作辅助函数f +(x,y)=2),(|),(|y x f y x f +, f -(x,y)=2),(|),(|y x f y x f -, 则0≤f +(x,y)≤|f(x,y)|, 0≤f -(x,y)≤|f(x,y)|.∴在D 的任何有界⼦区域σ上, 恒有σd y x f D+),(≤σd y x f D|),(|=A,σd y x f D即f +(x,y)与f -(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. ⼜f(x,y)=f +(x,y)-f -(x,y), ∴f(x,y)在D 上的反常⼆重积分也收敛.定理21.20：(柯西判别法)设f(x,y)在⽆界区域D 的任何有界⼦区域上⼆重积分存在, r 为D 内的点(x,y)到原点的距离r=22y x +. (1)若当r ⾜够⼤时, |f(x,y)|≤p rc, 其中常数c>0, 则当p>2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛；(2)若f(x,y)在D 内满⾜|f(x,y)|≥p rc,其中D 是含有顶点为原点的⽆限扇形区域, 则当p ≤2时，反常⼆重积分σd y x f D),(发散.⼆、⽆界函数的⼆重积分定义2：设P 为有界区域D 的⼀个聚点，f(x,y)在D 上除点P 外皆有定义，且在P 的任何空⼼邻域内⽆界，△为D 中任何含有P 的⼩区域，f(x,y)在D-△上可积. ⼜设d 表⽰△的直径，即 d=sup{221221)()(y y x x -+-|(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈△}. 若极限-→D d d y x f σ),(lim存在且有限，且与△的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. 记作-D d y x f σ),(=-→D d d y x f σ),(lim 0,否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分??Dd y x f σ),(发散.定理21.21：(柯西判别法)设f(x,y)在有界区域D 上除点P(x 0,y 0)外处处有定义, 点P(x 0,y 0)为瑕点，则： (1)若在点P 附近有|f(x,y)|≤a rc, 其中c 为常数, r=2020)()(y y x x -+-, 则当a<2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛； (2)若在点P 附近有|f(x,y)|≥a rc, 且D 含有以点P 为顶点的⾓形区域, 则当a ≥2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛.习题1、试讨论下列⽆界区域上⼆重积分的收敛性： (1)??≥++1σ?d y x y x y p≤≤++1022)1(),(, (0解：(1)令x=rcos θ, y=rsin θ, 则≥++12222)(y x m y x d σ=??+∞12201rdr r d m πθ=??+-+∞→d m d dr r d 11220lim πθ=-2π?+-+∞→d m d dr r 11 2lim . ∵?+-+∞→dm d dr r 112lim 当2m-1>1时, 收敛；当2m-1≤1时, 发散；∴≥++12222)(y x m y x d σ当m>1时, 收敛；当m ≤1时, 发散. (2)由区域的对称性和被积函数关于x,y 的偶性得原积分=4??+∞+∞++001111dy ydx x q p . ∵?+∞+011dx x p当p>1时, 收敛；当p ≤1时, 发散. ∴原积分当p>1, q>1时收敛，其它情况发散.(3)∵0y x y x )1(),(22++?≤p x M)1(2+,∴当p>21时, 由σd x My p ??≤≤+102)1(收敛，得原积分收敛；当p<21时, 由σd x my p ??≤≤+1∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x )cos(22)(22. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则+∞∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x)cos(22)(22=??+∞-0220cos 2dr r re d r πθ=π?-+∞→du d udu e 0cos lim=2π.3、判别下列积分的收敛性： (1)≤++12222)(y x m y x d σ；(2)??≤+--12222)1(y x m y x d σ. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则(1)??≤++12222)(y x m y x d σ=??102201rdr r d m πθ=2π?+-→1120lim d m d dr r . ∵?+-→1 120lim dm d dr r 当2m-1<1时, 收敛；当2m-1≥1时, 发散；∴??≤++1 2222)(y x m y x d σ2222)1(y x m y x d σ =??-10220)1(rdr r d d m σθπ=π?-→-d m d du u 01)1(lim . ∴当m<1时, 由?-→-dmd du u 01)1(lim 收敛知，原积分收敛；当m ≥1时, 由?-→-dm d du u 01)1(lim 发散知，原积分发散.。

第十一章反常积分

第十一章反常积分课后习题全解§1 反常积分概念1.讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）2.x xe dx +∞-⎰；（2）2x xe dx +∞--∞⎰;(3)0+∞⎰dx; (4) 20(1)dx x x +∞+⎰; (5)2445dxx x +∞-∞++⎰; (6) sin ;0x e xdx -+∞⎰(7)sin ;xe xdx +∞-∞⎰ (8)0+∞⎰解：（1）由于22211(1),lim 0022x u x u u u xe dx e xe dx ---→+∞=-=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为12（2）由于222001(1),lim 02x u x u xe dx e xe dx u u ---→-∞=--=⎰⎰则222000x x x xe dx xe dx xe dx ---+∞+∞=+=-∞-∞⎰⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为0（3）由于2(1lim 2u u u →+∞==⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为2（4）由于221(ln ||),lim 1ln 211(1)1(1)u u u dx xdx x x x x x x →+∞=-+=-+++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为1-ln2（5）22lim 004454454u u dx dx x x x x π→+∞+∞==++++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为4π（6）由于11sin [1(sin cos )],lim sin 0022x ux u u u e xdx u u e e xdx ---→+∞=-+=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且积分为12（7）1sin lim sin lim [1(sin cos )]02x x u u u e xdx e adx u u e →+∞→+∞+∞===-=∞⎰则0sin sin sin 0x x xe xdx e adx e xdx +∞+∞=+=∞-∞-∞⎰⎰⎰所以该无穷不收敛（8）由于ln |limu uuu →+∞=+=+∞⎰⎰所以该无穷积分分散2．讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值（1）()p b dx a x a -⎰；（2）2101dxx -⎰；（3）2⎰；（4）1⎰；（5）1ln ;0xdx ⎰ （6）;⎰（7）1⎰ （8）10(ln )p dxx x ⎰解：（1）被积函数f(x)=1()px a -在（a,b ）上连续，从而在任何[u,b]⊂(a,b)上可积，x=a 为其瑕点，依定义2求得lim ()()p pu a b b dx dxa u x a x a →+=--⎰⎰而1()111lim{()Pb a p p p pu a bdxu x a --<-∞≥→+=-⎰ 当P<1时，该遐积分收敛至1()1pb a p---；当P ≥1时，该瑕积分发散（2）该积分函数f(x)=211x-在[0，1]上连续，从而在任何[0,u]⊂[0,1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2求得221111lim lim [ln(1)ln(1)]00112u u u dx dx u u x x --→→==+--=+∞--⎰⎰因此该瑕积分发散（3）被积函数[0，1]∪（1，2）上连续,x=1为其瑕点，依定义2得1111lim lim lim(22u u u u u ---→→→===-=⎰⎰⎰111222lim lim lim(221u u u +++→→→===-=⎰⎰⎰则21241=+=⎰⎰⎰，瑕积分收敛（4）被积函数[0，1]上连续，从而在任何[0，u]⊂[0，1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2得111lim lim(11u u u--→→===⎰⎰（5）被积函数f(x)=lnx 在（0，1）上连续，从而在任何[u ，1]⊂（0，1）上可积，x=0为其瑕点，依定义2得0011ln lim ln lim[1(ln 1)]10u u xdx xdx u u u ++→→==---=-⎰⎰ 因此该瑕积分收敛至-1（6）令2sin ,[0,],2x t t π=∈则22sin(1cos2)2t t dtππ==-=⎰⎰（7）令2sin,[0,],2x t tπ=∈则21220002dtπππ===⎰⎰⎰（8）被积分函数f(x)=1(ln)px x在（0，1）连续,x=0，1为其瑕点，因1111220001lim lim[(ln2)(ln)](ln)(ln)1p pp puu udx dxux x x x p+--→+→==--=∞-⎰⎰因此该瑕积分分散§2 无穷积分的性质与收敛判别（教材上册P275）1．证明定理11.2及其推论1解：（1）定理11.2的证明;由()g x dxa+∞⎰收敛，根据柯西准则，任给ε>0,存在G≥a,当21u u>>G时，总有21|()|uug x dxε<⎰2211|()|()||()|||()|u uu uf xg x f x dx g x dxε≤⇒≤<⎰⎰在由柯西准则，证得|()|f x dxa+∞⎰收敛（2）推论1的证明：（ī）|()|lim,()0()xf xC g xg x→+∞=>⇒取2cε=，存在M>0,当x>M时，有30()|()|()22c Cg x f x g x<<<<+∞3|()|(),2f x Cg x<由定理11。

习题5-4 反常积分

·高等数学练习册·习题答案
习题 5-4
（1）
反常积分
1．判别下列反常积分的收剑性，如收敛，则计算反常积分的值：

0
e t sin t dt
0 0
I e t sin t dt sin t d (e t ) e t sin t
0

e t cos t dt
0

0 0 cos t d (e ) e cos t
t t 0

0
e ( sin t ) dt
t 0

0 (1) I 1 I 1 I 2
（2）

2
dx x 2 x 2
2

dx dx arctan( x 1) ( ) 2 x 2x 2 ( x 1) 1 2 2
所以，我们下面仅讨论 k 0 时的情形。（1） k 1 时，
b a
lim ln( x a ) 不存在，
xa b

a
dx 发散； xa
b b
dx 1 （2） k 1 时， ( x a ) k 1 k a ( x a) k 1 a
① 0 k 1 时， lim ( x a)
(6)

23Leabharlann 21 x x2 1 xx
2
1
dx
2

3 1
u x
dx
1 2
2
du dx

1
1 1 u2 4
1 2
0
dx 2
0

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