数学分析 反常积分习题解答

0 1 x
0 1时，积分收敛
例：讨论反常积分 ln(1 x) dx的敛散性：
0
xp
1 p 2 时，积分收敛
例 设 f 在 0,上连续, 0 a b .证明:
(ⅰ) 如果 lim f x k ,则 x
0
f
ax
x
f
bx dx
f
0 kln
b a
;
(ⅱ) 如果 f x dx 收敛,则 0x
b
反常积分 f (x)dx 收敛 a
0 , 0 , , ' (0, ),
b '
f (x)dx .
b
定理8.2.3’ (Cauchy判敛法)
设在[a,b)上有 f (x) 0, 若当x 属于b 的某个左邻
域 [b 0 , b) 时, 存在正常数K, 使
b
(1) 若 f (x) K , p 1 f (x)dx ;
g(x) 在 [a,b] 上单调. 则 [a,b], 使
b
b
f (x)g(x)dx g(a) f (x)dx g(b) f (x)dx.
a
a
证 只就函数f(x) 在区间[a,b]上连续 , g(x) 在 [a,b]上可导
的特殊情况施证.
积分第二中值定理的特例:
(1)若g(x) 在 [a,b] 上单调增加, 且 g(a) 0, 则 [a,b],
lim f (x) c,
x (x)
则
ⅰ〉 0 c f (x)dx和 (x)dx 同敛散 :
a
a
ⅱ 〉c 0 (x)dx 时， f (x)dx
a
a
ⅲ> c (x)dx 时， f (x)dx
a
a
Cauchy判敛法:
在比较判敛法中, 以 dx
1 xp
为比较对象, 即取 (x) 1 ,
f (x) dx 收敛,称 f (x)dx 为绝对收敛.
a
a
收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛.
绝对收敛→收敛，反之不成立
反例
y 2 1
O 1 23 1 2
f x 222nxnxnx222n222n2nnn3n13,2,1 ,
2n x 2n 1 ,
2
2n 1 x 2n 3 ,
2
2
2n 3 x 2n 3.
2
2n 1
2n
2n 2 x
f xdx 0 0
f xdx 2 lim 1 1 1
0
n 2
n
二 非负函数无穷积分判敛法:
若非负函数 f 在任何有限区间a, A上可积，
A
则有 F ( A) f (x)dx 单调不减，因此 a f 在[a, ) 上不可积 f (x)dx a
a
(2) 0 c , p 1 f (x)dx .
a
如果0 c ,则
lim x p f (x) c f (x) :
x
c xp
x 2
例 讨论积分
dx
0 x5 1
的敛散性.
例：讨论积分 x ex dx 的收敛性。 0 x e x dx 1
比较判别法是对所给的被积函数做适当的放 大(如果预判为收敛)或缩小(如果预判为发散)
dx
的敛散性.
1 x x x2 1
1
x x2 1
x x x2 1
x
x 1 xx
Cauchy判敛法的极限形式:
推论(Cauchy判敛法的极限形式) 设是在[a, ) (0, )
上恒有 f ( x) 0, 且
则 lim x p f (x) c, x
(1) 0 c , p 1 f (x)dx ,
8
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
2
Dirichlet 判别法:
5
设F ( A) A f (x)dx在区间 [ a , ) 上有界, a
g(x)
在
[a,b]
上单调有界且
lim
x
g
(
x)
0
,
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
Abel 判别法和Dirichlet 判敛法统称为 A—D 判别法。
xp
则得到以下的Cauchy判敛法. 以下取 a > 0 .
定理8.2.3 (Cauchy判敛法 )
设 在[a, ) (0, )上恒有 f (x) 0, K
为正常数.
(1)
若 f (x)
K , p 1 xp
f (x)dx ;
a
(2)
若
f (x)
K xp
,
p
1
f (x)dx .
a
例 讨论
则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
1
e dx
例 讨论积分
的敛散性.
0 x p ln x
例 证明积分
1
0
1 xp
sin
1 x
dx
当
p 2 时收敛.
例 判别积分的收敛性: (ⅰ) 1 ln x dx ; (ⅱ) 2 x dx
0x
1 ln x
例 讨论反常积分 ( ) x 1 dx 的敛散性.
0
f
ax
x
f
bx dx
f
0ln
b a
.
例 讨论积分 sin x dx 的敛散性. 1x
例
讨论积分
sin x
1
arctan x dx x
的敛散性.
四. 无界函数反常积分收敛判敛法: 无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反
常积分. 以只有一个奇点 x b 为例, 列出相应的结果如下:
定理8.2.1’ (Cauchy收敛原则)
§ 2 反常积分的收敛判别法
一. 无穷限积分收敛的Cauchy准则:
定理8.2.1 (Cauchy收敛原则)
反常积分 f (x)dx 收敛 0 , A ,
a A
A, A A, 有 f (x)dx A
反常积分不收敛的 A语言如何表达？
绝对收敛
定义 8.2.1 设 f 在任何有限区间a, A上可积,如果
比较判别法
定理 8.2 设定义在[a,) 上 0 f (x) K(x),
K 是正数，则
(ⅰ) 当
(x)dx 收敛时,
f xdx 也收敛;
a
a
(ⅱ) 当
f xdx 发散时,
(x)dx 必发散.
a
a
比较判敛法的极限形式:
推论(比较判敛法的极限形式) 设在区间[ a , )
上函数(x) 0 , f (x) 0,
a
定理 8.2.5’
b
(1) Abel 判别法: 设积分 f (x)dx 收敛, g(x) 在 [a,b] a b
上单调有界, 则积分 f (x)g(x)dx 收敛. a
b
(2) Dirichlet 判别法: 设 F () f 在区间 ( 0 , b a] a
上有界, g(x) 在 [a,b) 上单调有界且 lim g(x) 0 , xb b
(b x) p
a
(2) 若
f
(x)
(b
K x)
p
,
p
1
b a
f (x)dx .
推论(Cauchy判敛法的极限形式)
设在 [a, b) 上恒有 f (x) 0, 且
lim(b x)p f (x) l,
xb
则
b
(1) 0 l , p 1 f (x)dx ,
a b
(2) 0 l , p 1 f (x)dx .
将不易判别的函数转化成易于判定敛散性的 函数甚至是已知敛散性的函数
所谓适当，即是放大后的无穷积分应为收敛 的，而缩小后的无穷积分应为发散的
对于简单的函数进行适当的放大或缩小是可 能的，但若被积函数比较复杂,则要适当放缩就不 易了，可用极限形式的判别法
三. 一般函数反常积分的收敛判敛法:
定理8.2.4 ( 积分第二中值定理) 设函数 f(x) 在区间[a,b]上可积 ,
b
b
使 f (x)g(x)dx g(b) f (x)dx;
a源自文库
(2)若g(x) 在 [a,b]单调减少, 且 g(b) 0,
则 [a,b],
b
使 f (x)g(x)dx g(a) f (x)dx.
a
a
..
Abel 判别法:
定 理
设积分 f (x)dx收敛 , g(x) 在 [a,b] 上单调有界, a