第二章 数学模型概述

结构分析和曲线拟合

例2-3 十二胺降解实验数据如表2-7所示，使用 Excel 工作表进行曲线拟合。
表2-7 十二胺降解实验数据
2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
十二胺降解实验和模型 mg/L
y = -0.0568x + 2.0367 2 R = 0.9004 y = 2.3e 2 R = 0.9673 y = 2.1608e-0.0519x R2 = 0.9726 10 20 30
作业
已知一组实验数据, 就下列模型进行参数 估计并说明哪种模型结构更适合实验 数据。(1) y =abx；(2) y =ax b
x 1 y 1.36 2 3.69 4 7 10 15 20 25 30 40
27 5.5E2 1.1E4 1.6E6 2.4E8 3.6E10 5.3E12 1.2E14
数学模型:方程式,函数,逻辑式 图象模型:流程图,方向图,框图； 计算机程序 : 计算程序 ,模拟程 序 相似模型:(实物放大缩小)
具体模型
建筑模型，风洞实验模型
模拟模型:静态模型 线形模型/非线模型 确定性模型/随机模型 模拟模型/管理模型 集中参数模型/分布参数模型 通常环境系统分析模型——动态模型/非线模 型/随机模型/分布参数模型


物理简化法； 数学简化法。
2.2 数学模型的建立


2.2.1 对模型的基本要求 2.2.2 建立数学模型的过程 2.2.3 数学模型的验证和误差分析
2.2.1 对模型的基本要求
1.根据模型结构分类

利用对客观系统的结构和运动规律的认识和 理解建立模型-演绎法-机理模型-白箱模型 利用对系统的输入、输出数据的观察建立模 型-归纳法-经验或统计模型-黑箱模型
表2-5 出水COD对应入水COD回归统计结果 Multiple R 0.630237
Intercept
X Variable 1 标准误差
43.25682
0.136996 26.22009
观测值
24

因此，出水COD对应入水COD的线性 回归的模型形式是： Y = 0.137X + 43.257

灰箱模型：介于机理和经验之间
2. 对模型的基本要求

依据充分；
足够的精确度； 可操作、实用


2.2.2建模过程

数据的收集与分析
实测数据/ 历史数据 变量/变量；变量/时间；变量/空间


模型结构的选择与确定 模型参数估值 模型验证与修正 模型的应用和反馈
建立数学模型的步骤
观测数 据组Ⅰ
用最优化方法进行复杂模型的参数估值



使用 Excel电子表格，对于因变量 y 相应于自 变量 X（可以是包含多个元素的向量）的试验 或观测数据，由经验给定参数的初值开始， 计算计算值与观测值之间的误差，用最优化 方法进行参数估值，使该参数取值条件下误 差的平方和最小。 例2-5 已知河流平均流速为4.0km／h，饱和溶 解氧(DO)为lO.Omg／L，河流起点的BOD(L0) 浓度为20mg／L，沿程的溶解氧 (ＤＯ)的测定数据如下：

广义定义: 数学公式+ 计算方法和计算过程

特征: 抽象性(数学规律→突破约束→反应本质)
2.数学模型的优点

多变量模拟；
可以任意改变模型参数和结构，有利于发现事 物的本质特征； 不需要实验设备和空间，速度快，费用低； 具有描述目标系统的状态外，具有分析能力。


3.模型的分类
抽象模型
模型


2.3 Excel 在建立数学模型的应用
2.3.1 污水处理的线性回归分析 2.3.2 结构分析和曲线拟合 2.3.3 用Excel进行参数估计

2.1 数学模型的定义和分类

1.定义:根据所观察到的现象，归结成一套反映
其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对 象的运动规律，这套公式和算法称为数学模型。
-0.0547x
(h)
40
从获得的三个数学模型来看，指数模型 R2 与实验数据拟合的相关系数高达 98.6%（R2=0.9726）,应是较好的 选择。
2.3.3 用Excel进行参数估计
用Copy计算式结合多元线性回归进行复杂
模型参数估值

例2-4 根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：

讨论题
用建立数学模型的方法讨论，用一盆水清洗 衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服， 哪个效果好。 设，一盆水水量 L， 定义： M 中包含有一些元素(分量)， 衣服中污染物质量M， 每个元素(分量)分别对应和代 余水量L ，残余物比 1 表 S 中的一个元素(分量)； 较；
M 中的上述分量之间应存在 一定的关系，这种个关系可 以用于与 S 的分量间关系进 行类比。
2.3 Excel 在建立数学模型的应用

2.3.1 污水处理的线性回归分析 2.3.2 结构分析和曲线拟合 2.3.3 用Excel进行参数估计
污水处理的线性回归分析

例2-2 某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台 帐如表2-4所示，试根据3月份的数据建立其出水 COD对应入水COD的线性回归模型，然后用 4月 份的数据进行验证。
ka x ux
c c s (c s c 0 )e
k d L0 (e ka kd

ka x ux
e

kd x ux
)
第二章 数学模型概述 学习难点的阐述
通过例题例2-2学习，进一步阐述该学习难点， 用具体计算和图形展示

误差的取值、累积频率曲线； 认识中值误差(累积频率为50％)的概念和采用来 作为衡量模型精确度的度量。
某系统由5个要素组成，已知各子系统之 间的联系图如下，
求（1）系统的相邻矩阵； （2）指出哪两个系统要素之间经过长度 为2的通道可以到达。
模型结 构选择
参数 估计
检验与验 证
模型 应用
观测数据组Ⅱ
图2-4 模型的建立过程
模型的结构选择
(1)白箱模型 根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物 理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模 型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。 (2)灰箱模型 即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模 型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过 程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。 (3)黑箱模型 即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模 型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。 根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起 经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。
环境系统分析
欧晓霞
大连民族学院环境工程系 Office: 634 Email: ouxiaoxia@
2. 数学模型概述

2.1 数学模型的定义和分类 2.2 数学模型的建立
2.2.1 建立数学模型的过程 2.2.2 对模型的基本要求 2.2.3 数学模型的验证和误差分析

掌握数学建模方法。
第二章 数学模型概述



学习要点为： (1) 满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型，它具 有高度的抽象性和经济性。环境系统工程中的数学模型是 应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、 生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关 系的数学方程。 (2) 数学模型的建立过程包括：数据的搜集和初步分析、模 型的结构选择、估计模型的参数以及模型的检验和修正等。 难点 (3) Microsoft Excel 提供了一组数据分析工具，要使用分析 工具库进行数学模型的验证和误差分析，必须对所提供的 分析函数定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解。 (4) 练习掌握用 Excel解决环境问题的线性回归分析、曲线拟 重点 合及参数估计等数学建模问题。
y c a x1 b ln x2


试根据表2-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数 估值，并讨论其是否可信。 解：首先建立Excel的工作表，输入已知的实验数据，在新 的两列中分别通过输入计算式和用 Copy 命令求得对应的 x10.5 和 ln(x2)，该反应测定的原始实验数据和两列中间计 算结果均列入 表2-8。