第二章-共轴光学系统
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第2章 共轴球面系统
β=
y′ l ′ r = y l r
l ′ r nl ′ = lr n ′l
因此横向放大率为: β
=
y′ nl′ = y n ′l
(1 )
2.2 单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
2.
y′ nl ′ nu 讨论: 讨论:β = = = y n′l n′u ′
β > 1, 放大像 β < 1, 缩小像
(1)式表示物像位置的关系 物像位置的关系;(2)式称为阿贝 物像位置的关系 阿贝 不变量公式,它表示单个折射球面物方和像方的 不变量 Q值相等;(3)式表示近轴光线经球面折射后物 物 像方孔径角的关系. 像方孔径角 例题:有一折射球面,其参数为 r = 20mm, n = 1, n′ = 1.5163, 物距为 l = 60mm ,求像距的值.
2.1光线经单个折射球面的折射 2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式 近轴光线的光路计算公式: 近轴光线的光路计算公式
Lr sinI = sinU r U′ =U + I I′ n ′ = sinI sinI n′ sinI′ ′ = r(1+ L ) ′ sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度 表示为: i = h / r
物点由A1移动到A2点,物方截距l2-l1,像方截距 l'2-l'1,则轴向放大率为: n′ α = β1 β 2 ——平均沿轴放大率
n
结论:只有当dl很小时,才能满足
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
5.角放大率 5.角放大率
2.2 单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
2.2 单个折射球面的成像放 大率及拉赫不变量
第二章_共轴球面系统的物像关系
uk
u1 , h1 解法二
u ' n' un
' un
l1
解法三
h n' n r
' un 1 un
' ' un , ln
' un 1 un ' ln 1 ln d n
ri ' u'
同样可得：
l' r
l 'u ' u ' i ' r
' 显然 h lu l 'u,代入上式，并在第一式两边同乘以n， 第二式两侧同乘以n '
nh nu ni r
n' h n' u ' n' i ' r
将以上二式相减，并考虑到
n sin I n' sin I '
d—由前一面顶点算起到下一面顶点。
2．角度： 一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
应用时，先确定参数的正负号，代入公式计算。 算出的结果亦应按照数值的正负来确定光线的相对位置。 推导公式时，也要使用符号规则。
注意 为了使导出的公式具有普遍性，推导公式时，几何 图形上各量一律标注其绝对值，永远为正
反射情形 看成是折射的一种特殊情形： n’= －n 把反射看成是n’= －n 时的折射。 往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形， 只需将n’用－n代入即可，无需另行推导。
Q
P
I
I’
-U A O φ C Uˊ Aˊ
l ' f (n, n' , r , l )
第二章 共轴球面系统(1)
符号规则的应用举例：
20º 20º
20º 20º
100
100
符号规则的应用举例：
光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则
表示该几何量的方位。 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的 公式具有普遍性。
举例：
透镜的结构参数： r1 = 10
d=5
n1 = 1.0 n1’ = n2 = 1.5163 (K9)
r2 = -50
n2’ = 1.0
§ 2-3
近轴成像
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小，则这 些角度的正弦值可近似地用弧度值来代替， 并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时， 其他各量均用相应小写字母来表示。 此时，由于u角很小，光线很靠近光轴， 这样的光线称为近轴光线（或称傍轴光线）。 近轴光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
〈讨论〉
③ 当一物点位于反射镜的球心时，此时 I= -I″= 0 ，即说明从球心发出的 光线被球面镜反射后，反射光线按原 路返回；也就是说，从C点发出的任 何光线经球面镜反射后，仍会聚于C点。
何谓理想光学系统？
此即是把近轴区成完善像的范围扩 大到整个光学系统的任意空间；亦即当 任意大范围的物体以任意宽的光束经光 学系统后均能成完善像的光学系统。
A
-u
C
A’ B’
- u’
O
-l’ -l
球面反射镜的成像特性
1、焦距公式：
f ′= f = r / 2 2、物像关系：
（2-18）
1 / l′+ 1 / l = 2 / r
β=-l’/l α= - β 2 γ= -1 / β
应用光学【第二章】第三部分
这就是高斯公式。由物点位置和大小（ l , y）可求 出像点位置和大小（ l ' , y ' ）。
应用光学讲稿
§ 2-10 光学系统的放大率
共轴理想光学系统只是对垂直于光轴的平面所成的像
才和物相似，绝大多数光学系统都只是对垂直于光轴
的某一确定的物平面成像。共轭面的成像性质是用这 对共轭面的放大率来表示的。
y' x' y f'
y' f x' y x f'
将以上二式交叉相乘，得
xx ' ff '
应用光学讲稿
二. 高斯公式 表示物点和像点位置的坐标为： ——以物方主点H为原点算到物点A；
l
l'
——以像方主点H'为原点算到像点A'。
关系如下： 代入牛顿公式
xl f
x' l ' f '
如果轴上某一物点F，和它共轭的像点位于轴上无限 远，则F称为物方焦点。 通过F垂直于光轴的平面称为物方焦平面 它和无限远的垂直于光轴的像平面共轭。
应用光学讲稿
物方焦点和物方焦平面性质 1、过物方焦点入射的光线，通过光学系统后平 行于光轴出射。 2、由物方焦平面上轴外任意一点下发出的所有光 线，通过光学系统以后，对应一束和光轴成一定夹角 的平行光线。
应用光学讲稿
求像：只须找出由物点发出的两条光线的共轭光线， 交点就是该物点的像。最常用的两条特殊光线是: 1. 通过物点和物方焦点F入射的光线 ，共轭光线平行于光 轴出射。 2.通过物点平行与光轴入射的光线 ，共轭光线通过像 方焦点F' 二共轭光线交点B '，即为B点的像。
应用光学讲稿
应用光学讲稿
§ 2-10 光学系统的放大率
共轴理想光学系统只是对垂直于光轴的平面所成的像
才和物相似，绝大多数光学系统都只是对垂直于光轴
的某一确定的物平面成像。共轭面的成像性质是用这 对共轭面的放大率来表示的。
y' x' y f'
y' f x' y x f'
将以上二式交叉相乘，得
xx ' ff '
应用光学讲稿
二. 高斯公式 表示物点和像点位置的坐标为： ——以物方主点H为原点算到物点A；
l
l'
——以像方主点H'为原点算到像点A'。
关系如下： 代入牛顿公式
xl f
x' l ' f '
如果轴上某一物点F，和它共轭的像点位于轴上无限 远，则F称为物方焦点。 通过F垂直于光轴的平面称为物方焦平面 它和无限远的垂直于光轴的像平面共轭。
应用光学讲稿
物方焦点和物方焦平面性质 1、过物方焦点入射的光线，通过光学系统后平 行于光轴出射。 2、由物方焦平面上轴外任意一点下发出的所有光 线，通过光学系统以后，对应一束和光轴成一定夹角 的平行光线。
应用光学讲稿
求像：只须找出由物点发出的两条光线的共轭光线， 交点就是该物点的像。最常用的两条特殊光线是: 1. 通过物点和物方焦点F入射的光线 ，共轭光线平行于光 轴出射。 2.通过物点平行与光轴入射的光线 ，共轭光线通过像 方焦点F' 二共轭光线交点B '，即为B点的像。
应用光学讲稿
工程光学(第二章)
L' r(1 sin I ' ) （2－4） sinU '
i lru r
i' n i n'
u' u i i'
l' r(1 i' ) u'
称为小 l 公式
ni
E
n’
h φC
O
r
当无限远物点发出的平行光入射时，有 继续用其余三个公式。
i h r
小 l 公式也称为近轴光线的光路追迹公式
例2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
L1 B
L2 B’
A1
A
A’
B1
对于L1而言，A1B1是AB的像;
对L2而言，A1B1是物，A’B’是像，则A1B1称为中 间像
※物所在的空间为物空间，像所在的空 间为像空间，两者的范围都是 （-∞,+∞）
※ 通常对于某一光学系统来说，某一 位置上的物会在一个相应的位置成一个 清晰的像，物与像是一一对应的，这种 关系称为物与像的共轭。
n' u' nu h( n' n ) r
将 l u = l’ u’ = h 代入，消去u和u’ , 可得
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
rl
r l'
也可表示为
n' n n' n l' l r
上式称为单个折射球面物像位置公式
n' u' nu h( n' n ) r
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
nI
应用光学第二章共轴球面系统的物像关系
l ' f (n, n ', l , r )
第4节 近轴光学的基本公式 和他的实际意义
• 物像位置关系式
• 推导出 l ' f (n, n ', l , r )
h n ' u ' nu (n ' n) r
L1’
I1 I1’ L1’ U1’
35.96893
11.06815 7.27365 35.96893 2.79450
34.5908
22.57512 14.66568 34.5908 5.90945
32.22743
35.14835 22.31332 32.22743 9.83503
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
• 折射光线位置：
– L’：折射光线与光轴的交点A’到球面顶点的距离。 – U’：折射光线与光轴的夹角。
• 其他已知量：
–球面半径r； –折射球面前后的折射率n、n’。
O
P
n n’ I r L’ L I’
φ
U C’
A’
U
A
第1节 共轴球面系统中的光路计算公式
• 共轴球面系统的光路计算公式
• 已知：L、U、r、n、n’；求L’、U’。 • 对△APC应用正弦定理得到：
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
起始角度U1 L1 r1 -1° -100 10 -2° -100 10 -3° -100 10
(L1-r1)/r1 sinU1
sinI1 I1
-11 -0.017452
0.19198 11.06815
-11 -0.034899
0.38389 22.57512
第2章 共轴球面系统的物像关系
12
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
工程光学第2章 共轴球面光学系统
10
共轴球面光学系统
§2.4
共轴球面系统的成像
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
, n3 n2 , , nk nk 1 n2 n1 , u3 u2 , , uk uk 1 u2 u1 , y3 y2 , , yk yk 1 y2 y1
a b 2
单个反射球面成像
1 1 2 l l r f f r 2
b 1
物点位于球心时
a 1
g 1 b
g 1
9
共轴球面光学系统
b l l
a b 2
g 1 b
J uy uy
球面镜的拉赫不变量
结论
a<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
I
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
o
U
r
l'
y
-l
7
共轴球面光学系统
结论：
1.
b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。
共轴球面光学系统
§2.4
共轴球面系统的成像
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
, n3 n2 , , nk nk 1 n2 n1 , u3 u2 , , uk uk 1 u2 u1 , y3 y2 , , yk yk 1 y2 y1
a b 2
单个反射球面成像
1 1 2 l l r f f r 2
b 1
物点位于球心时
a 1
g 1 b
g 1
9
共轴球面光学系统
b l l
a b 2
g 1 b
J uy uy
球面镜的拉赫不变量
结论
a<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
I
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
o
U
r
l'
y
-l
7
共轴球面光学系统
结论：
1.
b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。
第二章球面和共轴球面系统分析
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
应用光学第二章球面与共轴球面系统
sin I L r sinU r
n
IE
n′
I′
sin I n sin I n
h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
U U I I r
L r r sin I
-L
L′
sinU
说明：
1）L′＝f (U、L、n、n′、r) 2）当L为定值时，L′随U变化而变化，象方光束失去同心性， 成不完善象，形成球差。
d）光线与法线夹角I、I′ 以光线转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” e）光轴与法线的夹角φ 以光轴转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” f）折射面的间隔d，一般取“＋” g）所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
二、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算） 给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′ 其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
1
4）三者关系：
nk 2 n1 1 n1 nk
4. 拉赫不变量： J n1u1 y1 nk uk yk
意义： J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用J来
校对光路计算是否正确。
例：厚透镜：
例：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球 面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂 直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，求箭头 经玻璃棒成像后像的位置、大小、正倒、虚实。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
工程光学 章节2 球面系统
3. 光路计算是根据给定的光学系统，由物求像或由像 求物的过程。 4. 光路计算是根据几何光学的基本定律利用成像光路 图建立起的物象计算式。
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
应用光第二章 共轴球面系统的物像关系
2
➢符号规则
• 光线的传播方向：自左向右为正 • 线段
• 沿轴:以球面顶点o为起点，自左向右为正，－L，r，L′ • 垂轴 h，光轴为起点，向上为正，向下为负。 • 球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为正，反之为负
• 角度(一律以锐角来度量，顺时针转为正，反之为负；正切方法）
• 光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′ • 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′
近轴条件有
h lu lu
8
光焦度
物理意义
n' n r
>0 会聚 ＝0 平面折射 <0 发散
l l'
l'
f
'
n,
n' /(
n)
n,
/
r
l f -n /(n' n) -n / r
f ' n' fn
n n n n l l r
n, / f ' -n / f
第二章 共轴球面系统的物像关系 Coaxial Spherical System
1
➢基本概念
•光轴：若光学系统由球面组成，它们的球心位于同一直线上，
则称为共轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。实际 上，光学系统的光轴是系统的对称轴
•子午面：通过物点和光轴的截面 • 物方截距 •像方截距 •物方孔径角 •像方孔径角
1) r2
(n 1)2 d nr1r2
1 f
4. 计算主平面位置。
lH
n(r2
r1d r1) (n 1)d
lH'
n(r2
r2d r1) (n 1)d
63
5. 两个主平面之间的距离。
➢符号规则
• 光线的传播方向：自左向右为正 • 线段
• 沿轴:以球面顶点o为起点，自左向右为正，－L，r，L′ • 垂轴 h，光轴为起点，向上为正，向下为负。 • 球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为正，反之为负
• 角度(一律以锐角来度量，顺时针转为正，反之为负；正切方法）
• 光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′ • 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′
近轴条件有
h lu lu
8
光焦度
物理意义
n' n r
>0 会聚 ＝0 平面折射 <0 发散
l l'
l'
f
'
n,
n' /(
n)
n,
/
r
l f -n /(n' n) -n / r
f ' n' fn
n n n n l l r
n, / f ' -n / f
第二章 共轴球面系统的物像关系 Coaxial Spherical System
1
➢基本概念
•光轴：若光学系统由球面组成，它们的球心位于同一直线上，
则称为共轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。实际 上，光学系统的光轴是系统的对称轴
•子午面：通过物点和光轴的截面 • 物方截距 •像方截距 •物方孔径角 •像方孔径角
1) r2
(n 1)2 d nr1r2
1 f
4. 计算主平面位置。
lH
n(r2
r1d r1) (n 1)d
lH'
n(r2
r2d r1) (n 1)d
63
5. 两个主平面之间的距离。
第二章共轴球面系统
dx' x' α= = dx x
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
共轴光学系统定义
共轴光学系统定义1. 引言共轴光学系统是一种光学系统，其中光线在传输过程中沿着同一轴线传播。
它是现代光学工程中常见的一种设计方式，广泛应用于显微镜、望远镜、摄像机等领域。
本文将对共轴光学系统进行全面详细的介绍和分析。
2. 共轴光学系统的组成共轴光学系统由以下几个主要组成部分构成：2.1 物体物体是指待观察或待测量的对象。
在共轴光学系统中，物体位于光轴上方或下方，并且通常与该轴垂直。
2.2 光源光源是产生可见光的设备，可以是自然光源（如太阳）或人工光源（如白炽灯、激光器等）。
在共轴光学系统中，光源位于物体的一侧。
2.3 凸透镜凸透镜是一个具有凸面的透明介质，可以使入射到其表面上的平行光线聚焦到焦点上。
它是共轴光学系统中最基本的光学元件之一。
2.4 物镜物镜是共轴光学系统中的另一个重要光学元件，位于物体一侧。
它通常是一个复杂的透镜系统，用于放大、聚焦和形成实像。
2.5 目镜目镜位于物体的另一侧，用于观察物体。
它通常由一个或多个透镜组成，可以进一步放大和调整实像。
2.6 平台和支架平台和支架用于支撑和定位各个光学元件，使其能够正确地相互对准和对焦。
3. 共轴光学系统的工作原理共轴光学系统中的光线传输遵循以下几个基本原则：3.1 入射角度不变原理入射到凸透镜表面上的平行光线在经过折射后仍保持平行，并且与光轴垂直。
这是由折射定律决定的。
3.2 共焦原理共轴光学系统中的物镜和目镜都具有相同的焦距。
这样，在物镜形成的实像处，目镜可以进一步放大该实像，并使其在视网膜上形成清晰的像。
3.3 光轴对称原理共轴光学系统中的光线在传输过程中沿着同一轴线传播，保持光轴对称。
这有助于保持图像的准确性和清晰度。
4. 共轴光学系统的应用共轴光学系统在许多领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：4.1 显微镜共轴光学系统是显微镜中常见的设计方式。
通过使用物镜和目镜，可以实现高倍率放大并观察微小的样本结构。
4.2 望远镜望远镜通常使用共轴光学系统来聚焦远处的天体，并通过目镜放大观察。
包装印刷印刷光学之共轴球面光学系统培训课件
像方孔径角 u i u i
像方截距
l r r i u
在近轴光路中，l´不随u角改变而改变。
高斯像
物点发出的一束细光束，经折射后交于 一点，成完善像，称为高斯像。
高斯像的位置由l´决定，通过高斯像点
垂直于光轴的相面，称为高斯相面。构 成物像关系的这对点成为共轭点。
近轴光学校对公式： h lu lu
天生我材必有用，千金散尽还复来。06:01:2406:01: 2406:0112/12/2020 6:01:24 AM
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.12.1206:01:2406:01Dec-2012-Dec-20
得道多助失道寡助，掌控人心方位上 。06:01:2406: 01:2406:01Sat urday, December 12, 2020
完善像
某一物点发出球面波，与之对应的是一束以该 物点为中心的同心光束，若经过光学系统之后 仍为球面波，那对应的光束仍为同心光束，称 该同心光束的中心为该物点经光学系统所成的 完善像。
物体可以看称有无数物点组成，那么物体上每 一个点经过光学系统所成的完善像点的集合就 是该物体经光学系统后所成的完善像。
安全在于心细，事故出在麻痹。20.12.1220.12.1206: 01:2406:01:24Decem ber 12, 2020
加强自身建设，增强个人的休养。2020年12月12日 上午6时 1分20.12.1220.12.12
扩展市场，开发未来，实现现在。2020年12月12日 星期六 上午6时 1分24秒06:01:2420.12.12
当β>0时，由于y’和y同号，成正像。此时l’和
l也同号，即物和像在球面的同一侧，若物为实 物，则像为虚像，物为虚物则像为实像。
工程光学第二章知识点
第二章共轴球面光学系统第一节符号规则●常见的光学系统有多个光学零件组成，每个光学零件往往由多个球面组成●这些球面的球心在一条直线上即为“共轴球面系统”●这条直线称为“光轴”●折射球面的结构参数：曲率半径r、物方折射率n、像方折射率n'●入射光线的参数：物方截距L、物方孔径角U●像方量在相应的物方量字母旁加“ ’ ”区分●光线的传播方向为自左向右●规定符号规则如下：●1）沿轴线段（如L、L’和r）●以顶点为原点，与光线方向相同为正，相反为负●2）垂轴线段（如h、y和y’）●以光轴为基准，光轴以上为正，以下为负●3）光线与光轴的夹角（如U、U’）●光轴转向光线；角量均以锐角计、顺时针为正、逆时针为负●4）光线与法线的夹角（如I、I’、I”）●光线转向法线●5）光轴与法线的夹角（如φ）●光轴转向法线●6）折射面间隔d●前一面顶点到后一面顶点，与光线方向相同为正，相反为负；在折射系统中，d恒为正●物方截距、像方截距、物方孔径角、像方孔径角等物理量是可以有正负的，但作为几何量AO、OA’、∠EAO、∠EA’O等应为正值；在负值物理量前加负号，以保证相应几何量为正●根据物像的位置判断物像的虚实●负（正）物距对应实（虚）物●正（负）像距对应实（虚）像第二节物体经过单个折射球面的成像1，单球面成像的光路计算已知折射球面的结构参数曲率半径r ，物方折射率n ，像方折射率n ’已知入射光线AE 的参数物方截距L ，物方孔径角U （轴上物点）求出射光线参数像方截距L ’，像方孔径角U ’（轴上像点）光路计算2在ΔAEC 中用正弦定律，有 sin sin()I U r L r -=-导出求入射角I 的公式sin sin L r I U r -=（2-1）由折射定律可以求得折射角I ’sin sin n I I n '=='（2-2）由角度关系，可以求得像方孔径角U ’U U I I ''=+-（2-3） 在ΔA ’EC 中应用正弦定律，得像方截距L ’ sin sin I L r r U ''=+' （2-4）式（2-1）至（2-4）就是子午面内实际光线的光路计算公式，利用这组公式可以由已知的L 和U 求L ’和U ’ sin sin L r I U r -= sin sin n I I n '=='U U I I ''=+-sin sin I L r r U ''=+'当物点A 位于轴上无限远处时，相应的L=∞，U=0，则式（2-1）须改变为sin hI r =（2-5）●若L 是定值，L ’是U 的函数，即从同一点发出的光线，孔径角不同，将在像方交在不同的点上 ● 同心光束经过单球面后不再是同心光束●这种误差被称为“球差” ●球差是各种像差中最常见的一种●如果把孔径角U 限制在很小的范围内，光线距光轴很近，称为“近轴光”，U 、U ’、I 和I ’都很小，式（2-1）~（2-4）中的正弦值用弧度来表示 ● 用小写字母u 、u ’、i 、i ’、l 和l ’表示近轴量● l r i u r n ii n u u i i i l r r u -='='''=+-''=+'（2-6）~（2-9） ● 当入射光线平行于光轴时，也以h 作为入射光线的参数，有●h i r =（2-10） ●近轴光线l ’与u 无关，即当物点位置确定后，其像点位置与孔径角u 无关，物点发出的同心光束经折射后在近轴区仍为同心光束 ●在近轴区成的是完善像，这个完善像通常称为“高斯像” ● 近轴区最常用的物像位置公式●n n n n l l r ''--='（2-14） ●已知物点位置l 求像点位置l ’时（或反过来）十分方便 ●1、轴上物点：轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射以后聚交一点，即轴上物点近轴成像时是符合理想成像条件的。
第二章-共轴光学系统
物点参数为 (l1,u1, y1)
（1）对第一面做单个球面成像计算求得 (l1,u1, y1)
（2）用过渡公式由 (l1,u1, y1) 求得 (l2,u2, y2 ) （3）对第二面做单个球面成像计算求得 (l2 ,u2 , y2 )
……
（4）对第K面做单个球面成像计算求得(lk ,uk , yk )
I I '也U非' 常小。
sin x x x 为弧度值
用弧度值代替正弦值
u ~ sinU i ~ sin I l~L
u'~ sinU ' i ~ sin I l'~ L'
（2－1）～（2－4）式变为：
i (l r)u / r i n i / n u u i i l r r i/ u
处，如下图所示。
试求：像距、像高和垂轴放大率。
C
A
O
§2.4 共轴球面系统的成像
过渡公式luny2222l1uny111,,,undy3313,l3uny222l2d2 h2 h1 d1u1, h3 h2 d2u2
K个折（反）射面，系统参数为 r1, r2 , rk ; n1, n2 , nk1; d1, d2 dk1
dl
利用（2-14）式
n n n n l l r
对其求导
ndl l2
ndl l2
0
dl dl
nl2 nl 2
dl n (nl)2 n 2
dl n nl n
由上式可见：
n n
2
0
所以物和像同方向移动。
且一般： （除非 、1 n ） n
提问：立方体成像还是立方体吗？
③、角放大率
sin(180o I ) sin(U )
（1）对第一面做单个球面成像计算求得 (l1,u1, y1)
（2）用过渡公式由 (l1,u1, y1) 求得 (l2,u2, y2 ) （3）对第二面做单个球面成像计算求得 (l2 ,u2 , y2 )
……
（4）对第K面做单个球面成像计算求得(lk ,uk , yk )
I I '也U非' 常小。
sin x x x 为弧度值
用弧度值代替正弦值
u ~ sinU i ~ sin I l~L
u'~ sinU ' i ~ sin I l'~ L'
（2－1）～（2－4）式变为：
i (l r)u / r i n i / n u u i i l r r i/ u
处，如下图所示。
试求：像距、像高和垂轴放大率。
C
A
O
§2.4 共轴球面系统的成像
过渡公式luny2222l1uny111,,,undy3313,l3uny222l2d2 h2 h1 d1u1, h3 h2 d2u2
K个折（反）射面，系统参数为 r1, r2 , rk ; n1, n2 , nk1; d1, d2 dk1
dl
利用（2-14）式
n n n n l l r
对其求导
ndl l2
ndl l2
0
dl dl
nl2 nl 2
dl n (nl)2 n 2
dl n nl n
由上式可见：
n n
2
0
所以物和像同方向移动。
且一般： （除非 、1 n ） n
提问：立方体成像还是立方体吗？
③、角放大率
sin(180o I ) sin(U )
工程光学第二章
近轴区的特点
l u lu h
和 （1）-（4）式说明：
对于一个确定位置的物体，无论 u 为何值，l’ 均为定值，即近轴光路
能获得唯一像。即： l’ 与 u 无关，与 l 有关。 证明做为作业
近轴区内以细光束成像都是完善的，该像称为高斯像，通过高斯像点且垂
直于光轴的平面称为高斯像面，A 与 A’ 点称为共轭点。
练习：推倒垂轴放大率公式，寻找 p17推倒中的错误
近轴区成像的放大率和传递不变量 轴向放大率
dl nl 2 n 2 2 dl nl n
两放大率关系
α 恒为正，物点沿轴向移动时，其像点沿同方向
移动。
近轴区成像的放大率和传递不变量 角放大率
u l n n' l n 1 u l n' nl n'
物方焦距
例题
已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它 发出一同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线，分别求它们经折射球面后的 光路。（即求像方截距L’ 和像方倾斜角U’ E n n’ ）
A O -240mm C
U U I I
l r i u r n l r i i u n r
第四式 轴上点 无限远
h r n l r i i u n r i
u u i i
i l r (1 ) u
u u i i
l r (1 i ) u
第二章：共轴球面光学系统
2.1 基本概念与符号规则 2.2 单个折射球面成像
2.3 单个反射球面成像 2.4 共轴球面光学系统成像
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每面折射前后的 Q不变，称为阿贝不变量。
nu nu n n h r
n n n n l l r
❖ 近轴区域的物象公式
3、近轴光路的放大率
①、横向放大率（垂轴放大率）
定义：
横向放大率 y '
y
近轴物高 y 近轴像高 y
作BCB' 直线通过球心C，
因为通过球心的光线不折射，
所以 ABC与相A似BC：
球面间 距d/mm
6.5 2.0
折射率n
1 1.5163 1.6475
1
已知物体距透镜组240mm，物高20mm， 问像的
位置和大小？
得到像方截距：
L' sin I r r （2－4） sinU
物距L=-; 物方孔径角U =0;
sin I h （2－5） r
sin I ' n sin I nh
n'
nr
得到像方截距：
L' sin I r nh sinU nsinU
2. 近轴光路计算公式
U非常小，这个区域称之为近轴区，则
物点参数为 (l1,u1, y1)
（1）对第一面做单个球面成像计算求得 (l1,u1, y1)
（2）用过渡公式由 (l1,u1, y1) 求得 (l2,u2, y2 ) （3）对第二面做单个球面成像计算求得 (l2 ,u2 , y2 )
……
（4）对第K面做单个球面成像计算求得(lk ,uk , yk )
I I '也U非' 常小。
sin x x x 为弧度值
用弧度值代替正弦值
u ~ sinU i ~ sin I l~L
u'~ sinU ' i ~ sin I l'~ L'
（2－1）～（2－4）式变为：
i (l r)u / r i n i / n u u i i l r r i/ u
处，如下图所示。
试求：像距、像高和垂轴放大率。
C
A
O
§2.4 共轴球面系统的成像
过渡公式luny2222l1uny111,,,undy3313,l3uny222l2d2 h2 h1 d1u1, h3 h2 d2u2
K个折（反）射面，系统参数为 r1, r2 , rk ; n1, n2 , nk1; d1, d2 dk1
dl
利用（2-14）式
n n n n l l r
对其求导
ndl l2
ndl l2
0
dl dl
nl2 nl 2
dl n (nl)2 n 2
dl n nl n
由上式可见：
n n
2
0
所以物和像同方向移动。
且一般： （除非 、1 n ） n
提问：立方体成像还是立方体吗？
③、角放大率
第二章 共轴球面光学系统
§2.1 符号法则
❖ 基本参量：物距L，像距L‘，光线入射高度
h，球面半径r
1、光路方向通常 规定： 光线从左到右传 播定为光路正 向，反之取负。
2、线量的正负号（直角坐标系） 原点：球面顶点0；横轴：光轴。 正：线段向右，向上为正；负：线段向左，向 下为负。
3、角度的正负号 孔径角：轴上物像点对光学系统的张角。 物方孔径角、像方孔径角、球心角、入射 角、折射角正负与其正切值正负一致。
y l r y (l) r
所以
y l r nl
y l r nl
利用 lu lu h
nu
nu
l u l u
0
0
1
1
表示正立像； 表示倒立像； 放大像； 缩小像。
②、轴向放大率
物平面沿轴方向移动一微量 dl 像平面沿轴方向移动一微量 dl'。
定义： 轴向放大率 dl
结论：L、U为负；h、 L’、 U’、I、I’ 、
为正。
符号规则的意义： 物象的虚实和正倒。
1、负物距对应实物；正物距对应虚物。
2、正像距对应实像；负像距对应虚象。 3、像高和物高符号相反则成倒立像，反之 成正立像。
§2.2 物体经单个折射球面的成像
1、单球面成像 的光路计算
在AE中C，利用正弦定律
n l y
n r
nl
n
y nl dl nl2 dl nl 2 u n • 1
u n
J nuy nuy
当n=׳-n
1 l
1 2 lr y
l
yl dl l2 dl l2 u 1
u
J uy uy
例2、凹面镜的曲率半径为160 mm，一 个
高度为20mm的物体放在反射镜前 100mm
角放大率 u l
u l
n (nu) n 1 n nu n
n 2
n
nl
nuy
nuy
J
y nl
拉赫不变量
例1、半径为r=20mm的一折射球面，两边的折射 率为n=1，n’=1.5163，当物体位于距球面顶点 l=-60mm时，求：
sin(180o I ) sin(U )
r (L)
r
sin I L r sinU r
在E点应用折射定律得：
（2－1）
sin I ' n sin I （2－2） n'
由图中可知： I 'U ' I U
像方孔径角
U ' U I I ' （2－3）
在 A' E中C
sin I ' sinU ' L'r r
123 ; 123 ; 1 2 3 .
例3、有一个玻璃球，直径为2R，折射率为
1.5。一束近轴平行光入射，将会聚于何处？ 若后半球镀银成反射面，光束又将会聚于何 处？
例4、有一共轴球面系统为一双胶合透镜组，
如下图所示，其结构参数见下表：
序号
0 1 2 3
球面半 径r/mm
36.48 -17.539 -44.64
（1）轴上物点A的成像位置。 （2）垂轴物面上距轴上10mm处物点B的成像位置。
B
A
O
C
A’
lA
r
lA’
§2.3 单个反射球面的成像
折射定律 当n=׳-n 反射定律
nsin i nsin i 当n=׳-n i i
单个折射球面的成 当n=׳-n 单个反射球面的成
像公式
像公式
n
l
（2－6 ~ 9）
❖ 近轴光线的光路计算公式
lu lu h
u h / l u h/l i (l r)u / r i (l r)u / r
代入 ni ni 得：
n(l r)u n(l r)u
r
r
n(l r) h n(l r) h
rl
r l
n(1 1) n(1 1) Q r l r l