高三数学一轮复习-排列组合题型汇总(附详解)

高三数学一轮复习——排列、组合（理）2013.1

一、分步计数原理、分类计数原理：弄清是“分布”还是“分类”

例1、(1)某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．

解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种．

(2)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）D

A、26

B、24

C、20

D、19

3 5 12

B 4 6 A

6 76 12

8

解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法：

第一类：12 5 3

第二类 ： 12 6 4

第三类 ：12 6 7

第四类；：12 8 6

可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4；

第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D

(3)如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）C

D

A

A、8种

B、12种

C、16种

D、20种

B C

解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有=4种方法；

第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这

样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法；

根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法

二、排队问题：

例2、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

(1)甲在排头

(2)甲不在排头，也不在排尾

(3)甲、乙不相邻

(4)甲乙之间有且只有两人

(5)甲乙丙三人必须在一起

(6)甲乙丙三人两两不相邻

(7)甲在乙的左边（不一定相邻）

(8)甲乙丙三人按从高到矮，自左向右的顺序

(9)甲不在排头，乙不在排尾

(10)排3排，前排2人，中排2人，后排3人

三、定序问题：常用方法：(1) 考虑位置“插空法”(2) 整体考虑

用“除法”

例3、(1)10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

(2) 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2

人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )C

A． B． C． D．

(3)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个

新节目，如果将这两个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为____ __

解：实质是7个节目的排列，因原定的5个节目顺序不改变，故排这5个

节目是一个组合，有

种方法，再排新插入的两个节目有

种方法，故

(4)一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？解：分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种

四、排数问题：注意数字“0”

例4、1、由0，1，2，3，4，5这六个数字。

(1)能组成多少个无重复数字的四位数？

(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？

(3)能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？

(4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？

解：（1）

(2)

(3)

(4)

2、由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的三位数.

(1)若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？

(2)若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？

(3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x.

解(1)5必在个位，所以能被5整除的三位数共有A23＝6个.

(2)∵各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，

∴这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成，

∴共有2×A33＝12个.

(3)显然x≠0，∵1,2,4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A31×A32次，

∴这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)×A31×A32，即(1＋2＋4＋

x)×A31×A32＝252，

∴7＋x＝14，∴x＝7.

3、用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 12 （用数字作答)

4、3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一

起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）

解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5×4×2＝40个．这40个三位数中含数字6的有2×3×2＋1×4×2＝20个，故6可做9用时，可得三位数40＋20＝60个

五、分组（平均分组）问题：先分堆再分配，注意平均分堆的算法

例5、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？

(1)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)平均分成三份，每份2本；

(3)甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

(5)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；

(6)分成三份，一份4本，另两份每份1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本（均只要求列式）

解：（1）； （2） （3）

（4） （5） （6）

（7）

六、不配对问题：

例6、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有 种？ 9

(2)编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有__ __种

解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种

(3)有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有 种？44

七、相同元素问题：隔板法

例7、(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？