第十一章压杆稳定

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第十一章压杆的稳定 - 工程力学

第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。

如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。

直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。

然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。

杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。

本章研究细长压杆的稳定。

§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。

物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。

若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。

如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。

(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。

对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。

如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。

当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。

若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。

在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。

如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。

静力学11、压杆稳定

Fcr
2 EI l2
μ= 1
2 EI Fcr (0.7l)2
μ= 0.7
2 EI Fcr (0.5 l ) 2
μ= 0.5
2EI Fcr (2l )2
μ= 2
2 EI Fcr l 2
μ= 1
§11.4 欧拉公式的适用范围.经验公式
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.细长压杆的临界应力：临界力除以压杆横截面面积
0
Pcr d EI
k
2d
将边界条件代入统一微分方程的通解得：
式 0
如图
k 0
1 0 k2
0 1 0
1 0 0
0 0 k
2
C1
C C
2 3
0
sinkL
coskL L 1
k 2 sinkL k 2 coskL 0 0
1 0
Cd4
有非零解的充要条件为：系数行列式值为零；
解得压杆失稳特征方程为：coskL 0
解： (1) 2 E I
Pcr ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
2E I正
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
( l)2 2E I圆
d2 2
a4 4
I正 I圆
12
d4
12
d4
3
( l)2
64
64
例5：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构
成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大荷载。
60
2. cr=S时: 强度破坏，采用强度公式。
≤ S—粗短杆(小柔度杆)；
表 1 直线公式的系数 a 和 b

第十一章压杆稳定

各方向约束情况不同时：
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。

材料力学-第十一章-压杆稳定

＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2

工程力学压杆的稳定问题

稳定安全系数一般大于强度安全系数。
例题： 1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一
端固定、一端铰支的压杆。已知杆长 l=2m ，直径 d=65mm，材料的E=210GPa，p=288MPa，顶杆工作时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数nst=3.0。试校核该顶杆的稳定性。
①

90
②

l
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2E I 2E I Pcr 1 2 ， Pcr 2 2 l1 l2
要使P最大，只有 N1、 N2 都达
到临界压力，即
P
（） 1 （） 2
①

P cos P sin
2E cr 2 p
或写成：
2E p
令： 2 E p
p
欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
如对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
E p p
2
2 206 109
200 106
应用欧拉公式
654 1012 2 (210 109 ) ( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
Fcr 925.2 103 5.16 n 3 18.3 10 9.8 F
该杆满足稳定性要求
＞ nst 3.0
x l时：v 0
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,)
n k l

材料力学09第十一章压杆稳定问题

n 2 2 EI Fcr 2 l
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
约束越弱，μ系数越大，临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯一的平衡状态；
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直线平衡状态；临界力压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值

第11章压杆稳定性问题

相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解：一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上，杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆

第11章压杆稳定

压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，
若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量
E=200GPa，sp=200MPa。求压杆的临界应力。
解：
iy 1 3 ( 0 . 03 0 . 02 ) Iy 12 0.0058m A 0.03 0.02
3.压杆失稳：
弹性杆件稳定直线平衡
F Fcr
F Fcr
F Fcr
F Fcr
微小扰动恢复直线平衡不稳定直线平衡
F Fcr
弯曲除去扰动
v
弯曲
微小扰动
新的弯曲平衡随遇平衡
除去扰动
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡

压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
一、两端铰支的细长压杆：
x
Fcr
F M(x)=Fw
l m w B m
m
x
m
B y F
x
y
Fcr
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x ) 该截面的弯矩
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
2
（ a）
m
F 令k 得 w '' k 2 w 0 (b) EI
16
4.压杆的临界压力：稳定平衡临界状态
过渡
临界压力：Fcr
不即：使压杆保持在微稳弯状态下平衡的最小定轴向力。平衡
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态

第十一章压杆稳定

第十一章压杆稳定本章主要介绍压杆稳定的概念、压杆的临界力与临界应力的计算及适用条件，并简介中长杆的临界应力计算的经验公式和临界应力总图以及提高压杆稳定的措施。

第一节压杆稳定的概念在前面讨论受压直杆的强度问题时，认为只要满足杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。

然而，在事实上，这个结论只适用于短粗压杆。

而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式却呈现出与强度问题截然不同的现象。

例如，一根长300mm的钢制直杆，其横截面的宽度和厚度分别为20mm和1mm，材料的抗压许用应力等于140MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为2800N。

但是实际上，在压力尚不到40N时，杆件就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。

显然，这不属于强度性质的问题，而属于下面即将讨论的压杆稳定的范畴。

为了说明问题，取如图11—1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。

当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图11—1a、b所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图11—1c、d所示，则原有的直线平衡状态为不稳定的平衡。

如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破获。

上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。

显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡，具有临界的性质，此时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。

第 11 章压杆的稳定性问题

直线形状平衡稳定的
第 11 章压杆的稳定性问题 2.不稳定性
F F>Fpcr
压杆稳定性的基本概念
直线平衡平衡状态转变为弯曲平衡状态，扰动除去后，不能够恢复到直线平衡状态，则称原来的直线平衡状态是不稳定的。
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线形状平衡不稳定的
第 11 章压杆的稳定性问题
第 11 章压杆的稳定性问题
P
A
(a )
三类不同压杆的判断
h
y
b
h
B
y
P 解：正视图平面弯曲截面绕 z 轴转。 3 P
x
P
z
l
A bh 1.0
iz Iz A
bh Iz 12

h 2 3
z
l
iz
1 2300 2
60
3
132.8 P 100
σp σe σs
压杆稳定性的基本概念
三、三种类型压杆的不同临界状态
σ
σb
ε
第 11 章压杆的稳定性问题欧拉临界力 §11-2 细长压杆的临界载荷---欧拉临界力
一、两端铰支的细长杆
F x F x
F
l M w x w w
压杆
微弯下平衡
内力与变形
第 11 章压杆的稳定性问题
x
欧拉临界力
M =F w EI w〞= － M =－F w
欧拉临界力
二、其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
方法1：同欧拉公式，微分方程 + 边界条件方法2：相当长度法在压杆中找出长度相当于两端铰支的一段（即两端曲率为零或弯矩为零），该段失稳曲线为半波正弦曲线，该段临界力即压杆的临界力。

山东建筑大学期末工程力学第11章压杆稳定

上的工作应力超过材料的极限应力 ( b 或 S ) 时, 就会因其强度不足而失去压杆承载能力. 以此建立起强度条件 .
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题：一长为300 mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为
一, 两端为绞支（球形绞支），长为 l 的细长压杆。
当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2

m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为

E F cr cr A ( l / i )

l
i
称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约
束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min

第11章压杆稳定

答案初弯曲、压力偏心、材料不均匀和支座缺陷
(Buckling of Columns)
3、图示矩形截面细长压杆，两端用圆柱铰连接。其约束在纸平面内可视为两端铰接，在垂直于纸面的平面内可视为两端固定，从稳定性考虑，截面合理的长、宽比为h/b= `
压杆在纸平面内的工作柔度为λ=μL/i=1.0L/h/(2×1.732)；在垂直于纸面的平面内的工作柔度为λ’=μL/i=0.5L/b/(2×1.732)；
(Buckling of Columns) 1、一受压的圆截面杆件，已知材料的机械性质参数σ p， σ s,σ b，E,杆长L，直径D，长度系数ｕ，并设已知压杆临界应力的线性经验公式常数a、b为已知。欲计算压杆的临界压力，写明计算过程，列出有关的公式。 (1)计算工作柔度λ =μ L/i，计算第一特征柔度 λ 1=(π 2E/σ P)1/2 σ
(Buckling of Columns) 7、两根细长压杆a与b的长度、横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为圆形和正方形，则二压杆的临界压力Pacr和Pbcr的关系为（）。 C A.Pacr=Pbcr；B.Pacr＜Pbcr；C.Pacr＞Pbcr；D.不确定 8、材料和柔度都相同的两根压杆（ A. B. C. D. ）。A 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；临界应力不一定相等，临界压力一定相等；临界应力和压力都一定相等；临界应力和压力都不一定相等。
(Buckling of Columns)
1、图示中的桁架结构，两细长杆的长为L，与铅垂线的夹角相等，均为α。但EI1>EI2,则结构的临界载荷为。
Fcr＝2 cosαπ2EI2/L2
2、在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在，，以及等不利因素。

第十一章压杆稳定

§ 11—3 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式
F
cr
1、两端铰支
F
A
cr
Fcr
EI
2
l2
l
B
2、一端固定另端自由 l 2 EI Fcr ( 2l ) 2
F
cr
A
B
l
F
A
cr
3、一端固定，一端夹支（两端固定）
0.5l
A
4、一端固定另端铰支
0 .7 l
l
Fcr
2 EI
Fcr,1 : Fcr,2 : Fcr,3 I min,1 : I min,2 : I min,3 1: 9.34:17.32
例11.2 两端球铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的弹性模量E＝200GPa，考虑采用矩形、等边角钢∟45×6、环形三种不同截面，如图11.5所示。试比较这三种截面压杆的稳定性。
2、若F 2k l ，即 F 2kl，则在干扰解除后，杆不仅不能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的。
一、弹性系统平衡的稳定性 1、若 F 2k l ，即 F 2kl ，则在干扰解除后，杆将自
动恢复至初始位置，说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的平衡是稳定的。 2、若F 2k l ，即 F 2kl，则在干扰解除后，杆不仅不能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的。 δ
F F
3、若F 2k l ，即 F 2kl，则杆既可在竖直位置保持平衡，也可在微小偏斜状态保持平衡，说明在该荷载作用下，杆处于临界平衡状态或称为随遇平衡状态。弹性系统在某位置的平衡性质不但与外荷载的大小有关，而且与系统的自身构成特性有关。

建筑力学第11章压杆稳定

第11章压杆稳定[内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。

本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。

11.1 压杆稳定的概念工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。

前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。

但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。

杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。

我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。

所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。

为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。

图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。

当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。

因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。

P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值crP时，杆件虽位置上保持平衡。

但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P=cr然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。

因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。

P=cr(a) (b) (c)图11-1 图11-2继续增大压力P ，当轴向压力P 略大于cr P 时，由于外界不可避免地给予压杆侧向的干扰作用（例如轻微的振动，初偏心存在，材料的不均匀性，杆件制作的误差等），该杆件将立即发生弯曲，甚至折断，从而杆件失去承载能力。

材料力学第11章压杆稳定

长度系数
一端固定，另一端自由两端铰支
2 1
一端固定，另一端铰支
2 0.7
3
两端固定
1 0.5
2
第十一章压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围二、中柔度压杆的临界应力三、小柔度压杆的临界应力四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围临界应力总图
2E 2
O 小 0 中 p 大
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求
F
查表：i imin iy 2.50 cm, A 55.4 cm2
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
Fcr
Fcr
2EI
Fcr (2l)2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
b=20
b 2.57 MPa
h=45
cr a b y 289.6 MPa
Fcr cr A 261 kN y
n
Fcr F
4.35
nst
∴ 连杆安全
l 1=800

材料力学(单辉祖)第十一章压杆稳定问题

形心主惯矩I的选取准则
Pcr
=
π 2EI
l2
若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形铰)，I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即此时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力，得到直杆的实际临界力(最小值)。
25
欧拉公式
求解上述非线性微分方程，得挠曲线中
点挠度δ 与压力P之间的近似关系
δ = 2 2l π
其图形为
P Pcr
⎡ − 1⎢1 −
⎣
1 2
⎛⎜⎜⎝
P Pcr
−1⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎦
P
A
Pcr
可见，只有当P ≥Pcr时，压杆 B 才可能存在非直线的平衡态，
即直杆发生失稳，并且挠度δ
与压力P之间存在一对一关系，
M (x) = Pcrv(x) − Q(l − x)
x Pcr
Q A
M(x)
m
m
l
x
BQ MB y Pcr
39
Example-1
x
代入挠曲线近似微分方程
Pcr
EI
d 2v dx 2
=
−M
(x)
=
− Pcr v( x)
+
Q(l
−
x)
令 k 2 = Pcr
EI
则控制微分方程化简为
d 2v dx 2
+
k 2v
28
欧拉公式
思考题
29
不同约束下压杆临界力的欧拉公式 • 压杆长度系数
30
长度系数
问题：
考虑下端固定、上端自由并在上端承受轴向压力作用等截面细长杆，几何尺寸见图确定此压杆临界压力

第十一章压杆稳定

第十一章压杆的稳定 - 工程力学

静力学11、压杆稳定

第十一章 压杆稳定

材料力学-第十一章-压杆稳定

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材料力学09第十一章 压杆稳定问题

第11章 压杆稳定性问题

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第十一章 压杆稳定

第 11 章 压杆的稳定性问题

山东建筑大学期末工程力学第11章压杆稳定

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建筑力学 第11章 压杆稳定

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