模糊综合评价法原理及案例分析
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昆明理工大学
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9
一、模糊综合评价法的思想和原理
基本思想：用属于程度代替属于或不属于.刻画“中介状态”.
基本原理：首先确定被评价对象的因素（指标）集合评价（等
级）集；再分别确定各个因素的权重及它们的隶属度矢量，获得 模糊评判矩阵；最后把模糊评判矩阵与因素的权矢量进行模糊运 算并进行归一化，得到模糊综合评价结果.
r11 r12
B
A
R
a1, a2,
, am
r21 rm1
r22 rm2
r1n
r2n rmn
b1 , b2 ,
, bn
其中：bj表示被评级对象从整体上看对评价等级模糊子集元
2020/3/29 素vj的隶属程度。
昆明理工大学
18
二、模糊综合评价法的模型和步骤
常用的模糊合成算子有以下四种：
价客体进行认识的活动. 什么是指标？ 指标是根据研究的对象和目的，能够确定地反映研究
对象某一方面情况的特征依据. 什么是指标体系？ 指标体系是由多个相互联系、相互作用的评价指标，
按照一定的层次结构组成的有机整体. 什么是综合评价？ 综合评价是指通过一定的数学模型将多个评价指标值
“合成”为一个整体性的综合评价值.
M，
m
bj
i 1
ai
rij
max
1i m
min
ai , rij
, j 1,2, , n
M•，
m
bj
i 1
ai , rij
max
1im
ai , rij
,
j
1,2,
,n
2020/3/29
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
M(∧,⊕)
bj
min1 ,
m
min ai , rij
20世纪80~90年代：人工神 经网络综合评价法、灰色综 合评价法
各种现代综合评价具体方法 的整体思路是统一的.
2020/3/29
5
确定评价对象 确立指标体系 确定指标权重 确定评价等级 建立数学模型 评价结果分析
昆明理工大学
6
导论
模糊数学概述
量
确定性
不确定性
经典数学 随机性 模糊性
随机数学 模糊数学
评判集、评价集、决断集、评语集、等级集实为同一涵义. 每一个评价等级可对应一个模糊子集. 什么是模糊子集？ 论域上的模糊集合称为模糊子集. 经典集合的指示函数扩展为模糊集合的隶属函数.
2020/3/29
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13
二、模糊综合评价法的模型和步骤
3、确定评价因素的权重向量
设A=(a1,a2,…,am)为权重(权数)分配模糊矢量，其中ai
表示第i个因素的权重,要求0«ai,Σai=1.
A反映了各因素的重要程度. 在进行模糊综合评价时，权重对最终的评价结果会产
生很大的影响，不同的权重有时会得到完全不同的结 论. 现在通常是凭经验给出权重，但带有主观性. 什么是权重？ 权重是以某种数量形式对比、权衡被评价事物总体中 诸因素相对重要程度的量值.
其特点在于评判逐对象进行，对被评价对象有唯一的评价值，
不受被评价对象所处对象集合的影响.
综合评价的目的是要从对象集中选出优胜对象，因此，最后要
将所有对象的评价结果进行排序.
评判的意思是指按照给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、
判别.
综合的意思是指评判条件包含多个因素或多个指标.
综合评判就是要对受多个因素影响的事物做出全面评价.
2020/3/29
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14
二、模糊综合评价法的模型和步骤
确定权重的方法：
专家估计法(专家估测法)、德尔菲（Delphi）法(专家调查法)、特征值法.
加权平均法:当专家人数不足30人时,可用此法.首先多位专家各自独立地给 出各因素的权重，然后取各因素权重的平均值作为其权重.
频率分布确定权数法:当专家人数不低于30人时,采用此法. 找出最值 确 定分组③计算频率④取最大频率所在分组的组中值为其权重.
量处理，不妨用“1，2，3，…，m”以此表示各等级， 并称其为各等级的秩。
两种经典的综合评判决策：
总分法：S=ΣSi.加权综合评定法:E=ΣaiSi （2）两两比较法：顺序法和优序法. 在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科
学.——康德
2020/3/29
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导论
现代综合评价方法的 产生：
20世纪60年代：模糊综合评 判方法
20世纪70~80年代：层次分 析法、数据包络分析法
模糊综合评价法学习汇报
地点：昆工质量院 时间：2013年11月中旬
2
汇报提纲
导论 一、模糊综合评价法的思想和原理 二、模糊综合评价法的模型和步骤 三、模糊综合评价方法的优缺点 四、模糊综合评价法的应用案例分析 五、参考文献 结束
2020/3/29
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3
导论
术语
什么是评价? 评价是评价主体根据一定的评价目的和评价标准对评
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4
导论
常见的综合评定方法分为两类：
（1）综合评定法：直接评分法(专家打分综合法)、总分法、加权 综合评定法、AHP+模糊综合评判、模糊神经网络评价法、待定 系数法及分类法.
现代综合评价方法：层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)、 数据包络分析法(Data Envelopment Analysis,DEA)、人工神经网络 评价法(Artificial Neural Network,ANN)、灰色综合评价法、模糊综 合评定法
模糊概念导致模糊现象。 在客观世界中，存在着大量的模糊现象。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 模糊综合评价方法是借助模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量
评价，即对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。 评价、评判、评语、评定、评议、评估实为同一涵义.
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,
j 1, 2, , n
i1
M(•,⊕)
m
bj min1 ,
ai rij ,
i 1
j 1, 2 , , n
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
6、对模糊综合评价结果进行分析
模糊综合评价的结果是被评价对象对 各等级模糊子集的隶属度，它一般是 一个模糊矢量，而不是一个点值，因 而他能提供的信息比其他方法更丰富. 对多个评价对象比较并排序，就需要 进一步处理，即计算每个评价对象的 综合分值，按大小排序，按序择优.将 综合评价结果B转换为综合分值，于 是可依其大小进行排序，从而挑选出 最优者.
2020/3/29
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
模糊综合评判决策的 数学模型
因素集
定权
综合，即多元.
评判集
重
三个要素:（U,V,R） 四个步骤:
单因素评判
的
模型改进：
确
算子层次
综合评判
算子：即运算法则，类似加减乘除.
对隶属度的运算：Zadeh算子（取大、取小算子）、有界和、
价集V之间的一种模糊关系，即 影响因素与评价对象之间的“合 理关系”。
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
在确定隶属关系时，通常是由专家或与评价问题相关 的专业人员依据评判等级对评价对象进行打分，然后 统计打分结果，然后可以根据绝对值减数法求得
rij
1, (i j) 1 c k 1 xik
环和算子、乘积算子、有界积、Einstain(爱因斯坦)算子、
Hamacher(哈梅彻)算子、Yager(雅戈尔)算子
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
1、确定评价对象的因素集
设U={u1,u2,…,um}为刻画被评价对象的m种评价因素 (评价指标).其中:m是评价因素的个数,有具体的指标体 系所决定.
如果说关肇直院士（及后来的蒲保明院士和 李国平院士）是我国模糊集合论研究的倡导 者及推动者，那么汪培庄便是我国模糊集合 论研究的先驱者或开拓者之一.刘应明(川大)
模糊综合评定法：汪培庄(北京师范大学数 学系)提出了模糊数学的一种具体应用方法.
2020/3/29
L.A. Zadeh(1921～) 美国工程院院士,生 于苏联巴库,1949年 获哥伦比亚大学电 机工程博士.
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
处理模糊综合评价矢量B=(b1，b2，…，bn)常用的两种 方法：
(1)最大隶属度原则
若模糊综合评价结果矢量中 br
max
1 jn
bj
，
则被评价对象总体上来讲隶属于第r等级.
(2)加权平均原则 将等级看作一种相对位置，使其连续化。为了能定
模糊协调决策法:贴近度与择近原则，近似方法.
模糊关系方程法:矩阵作业法(中国学者)
层次分析法(AHP):美国运筹学家T.L.Saaty(撒汀)于20世纪70年代提出的一 种把定性分析与定量分析相结合的对复杂问题作出决策的有效方法.根据 问题分析，分为三个层次：目标层G、准则层C和方案层P,然后采用两两 比较的方法确定决策方案的重要性，即得到决策方案相对于目标层G的 重要性的权重，从而获得比较满意的决策. 明确问题，建立层次结构. 构造判断矩阵.③层次单排序及其一致性检验.④层次总排序及其组合一致 性检验.
8
一、模糊综合评价法的思想和原理
模糊数学的产生：1965年，美国伯克利加利 福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授、 自动控制专家L.A. Zadeh（扎德） 发表了 文章《模糊集》(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )，第一次成功 滴运用精确的数学方法描述了模糊概念，从 而宣告了模糊数学的诞生.他所引进的模糊 集（边界不明显的类）提供了一种分析复杂 系统的新方法.因发展模糊集理论的先驱性 工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教 育勋章。
统计数学将数学的应用范围从必然现象领域扩大到偶然现象领域. 模糊数学将数学的应用范围从精确现象领域扩大到模糊数学领域.
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一、模糊综合评价法的思想和原理
轻、重、热、冷、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、 强、弱、软、硬、美、丑、稀、稠、锐、钝、深、浅
模糊（Fuzzy）概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线， 外延不清楚
r11 r12 r1n
R
r21 rm1
r22 rm2
r2n rmn
其中rij表示某个被评价对象从因 素ui来看对等级模糊子集vj的隶 属度。一个被评价对象在某个因
素ui方面的表现是通过模糊矢量 ri 来刻画的，ri称为单因素评价 矩阵，可以看作是因素集U和评
ri=(ri1,ri2,…，rin) 归一化处理：Σrij=1, 目的是消除量纲的影响
x jk , (i
j)
其中：c适当选取，要求 0 rij 1
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
5、多指标综合评价（合成模糊综合评价结果矢量）
利用合适的模糊合成算子将模糊权矢量A与模糊关系矩
阵R合成得到各被评价对象的模糊综合评价结果矢量B。 模糊综合评价的模型为：
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
4、进行单因素模糊评价，确立模糊关系矩阵R
单独从一个因素出发进行评价，以确定评价对象对评价集合V 的隶属程度，称为单因素模糊评价(one-way evaluation).
在构造了等级模糊子集后，就要逐个对被评价对象从每个因素
ui上进行量化，也就是确定从单因素来看被评价对象对各等级模糊 子集的隶属度，进而得到模糊关系矩阵：
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
2、确定评价对象的评语集.
设 对V象=可{v能1,v做2，出…的,v各n}种，总是的评评价价者结对果被组评成价 的评语等级的集合.
其 为总中的：评vj代价表结第果j个数评.一价般结划果分，为j=3~1,52个,…等,n级. n.
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性 将评价因素分成若干类,把每一类都视为单一评价因素， 并称之为第一级评价因素.第一级评价因素可以设置下 属的第二级评价因素,第二级评价因素又可以设置下属 的第三级评价因素,依此类推.
即U=U1∪U2∪…∪Us.(有限不交并) 其中Ui={ui1,ui2,…，uim},Ui∩Uj=Φ,任意i≠j,i,j=1,2,…，s. 我们称{Ui}是U的一个划分(或剖分),Ui称为类(或块).
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一、模糊综合评价法的思想和原理
基本思想：用属于程度代替属于或不属于.刻画“中介状态”.
基本原理：首先确定被评价对象的因素（指标）集合评价（等
级）集；再分别确定各个因素的权重及它们的隶属度矢量，获得 模糊评判矩阵；最后把模糊评判矩阵与因素的权矢量进行模糊运 算并进行归一化，得到模糊综合评价结果.
r11 r12
B
A
R
a1, a2,
, am
r21 rm1
r22 rm2
r1n
r2n rmn
b1 , b2 ,
, bn
其中：bj表示被评级对象从整体上看对评价等级模糊子集元
2020/3/29 素vj的隶属程度。
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
常用的模糊合成算子有以下四种：
价客体进行认识的活动. 什么是指标？ 指标是根据研究的对象和目的，能够确定地反映研究
对象某一方面情况的特征依据. 什么是指标体系？ 指标体系是由多个相互联系、相互作用的评价指标，
按照一定的层次结构组成的有机整体. 什么是综合评价？ 综合评价是指通过一定的数学模型将多个评价指标值
“合成”为一个整体性的综合评价值.
M，
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1i m
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ai , rij
, j 1,2, , n
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,n
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
M(∧,⊕)
bj
min1 ,
m
min ai , rij
20世纪80~90年代：人工神 经网络综合评价法、灰色综 合评价法
各种现代综合评价具体方法 的整体思路是统一的.
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确定评价对象 确立指标体系 确定指标权重 确定评价等级 建立数学模型 评价结果分析
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导论
模糊数学概述
量
确定性
不确定性
经典数学 随机性 模糊性
随机数学 模糊数学
评判集、评价集、决断集、评语集、等级集实为同一涵义. 每一个评价等级可对应一个模糊子集. 什么是模糊子集？ 论域上的模糊集合称为模糊子集. 经典集合的指示函数扩展为模糊集合的隶属函数.
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
3、确定评价因素的权重向量
设A=(a1,a2,…,am)为权重(权数)分配模糊矢量，其中ai
表示第i个因素的权重,要求0«ai,Σai=1.
A反映了各因素的重要程度. 在进行模糊综合评价时，权重对最终的评价结果会产
生很大的影响，不同的权重有时会得到完全不同的结 论. 现在通常是凭经验给出权重，但带有主观性. 什么是权重？ 权重是以某种数量形式对比、权衡被评价事物总体中 诸因素相对重要程度的量值.
其特点在于评判逐对象进行，对被评价对象有唯一的评价值，
不受被评价对象所处对象集合的影响.
综合评价的目的是要从对象集中选出优胜对象，因此，最后要
将所有对象的评价结果进行排序.
评判的意思是指按照给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、
判别.
综合的意思是指评判条件包含多个因素或多个指标.
综合评判就是要对受多个因素影响的事物做出全面评价.
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
确定权重的方法：
专家估计法(专家估测法)、德尔菲（Delphi）法(专家调查法)、特征值法.
加权平均法:当专家人数不足30人时,可用此法.首先多位专家各自独立地给 出各因素的权重，然后取各因素权重的平均值作为其权重.
频率分布确定权数法:当专家人数不低于30人时,采用此法. 找出最值 确 定分组③计算频率④取最大频率所在分组的组中值为其权重.
量处理，不妨用“1，2，3，…，m”以此表示各等级， 并称其为各等级的秩。
两种经典的综合评判决策：
总分法：S=ΣSi.加权综合评定法:E=ΣaiSi （2）两两比较法：顺序法和优序法. 在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科
学.——康德
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导论
现代综合评价方法的 产生：
20世纪60年代：模糊综合评 判方法
20世纪70~80年代：层次分 析法、数据包络分析法
模糊综合评价法学习汇报
地点：昆工质量院 时间：2013年11月中旬
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汇报提纲
导论 一、模糊综合评价法的思想和原理 二、模糊综合评价法的模型和步骤 三、模糊综合评价方法的优缺点 四、模糊综合评价法的应用案例分析 五、参考文献 结束
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术语
什么是评价? 评价是评价主体根据一定的评价目的和评价标准对评
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导论
常见的综合评定方法分为两类：
（1）综合评定法：直接评分法(专家打分综合法)、总分法、加权 综合评定法、AHP+模糊综合评判、模糊神经网络评价法、待定 系数法及分类法.
现代综合评价方法：层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)、 数据包络分析法(Data Envelopment Analysis,DEA)、人工神经网络 评价法(Artificial Neural Network,ANN)、灰色综合评价法、模糊综 合评定法
模糊概念导致模糊现象。 在客观世界中，存在着大量的模糊现象。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 模糊综合评价方法是借助模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量
评价，即对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。 评价、评判、评语、评定、评议、评估实为同一涵义.
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bj min1 ,
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
6、对模糊综合评价结果进行分析
模糊综合评价的结果是被评价对象对 各等级模糊子集的隶属度，它一般是 一个模糊矢量，而不是一个点值，因 而他能提供的信息比其他方法更丰富. 对多个评价对象比较并排序，就需要 进一步处理，即计算每个评价对象的 综合分值，按大小排序，按序择优.将 综合评价结果B转换为综合分值，于 是可依其大小进行排序，从而挑选出 最优者.
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
模糊综合评判决策的 数学模型
因素集
定权
综合，即多元.
评判集
重
三个要素:（U,V,R） 四个步骤:
单因素评判
的
模型改进：
确
算子层次
综合评判
算子：即运算法则，类似加减乘除.
对隶属度的运算：Zadeh算子（取大、取小算子）、有界和、
价集V之间的一种模糊关系，即 影响因素与评价对象之间的“合 理关系”。
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
在确定隶属关系时，通常是由专家或与评价问题相关 的专业人员依据评判等级对评价对象进行打分，然后 统计打分结果，然后可以根据绝对值减数法求得
rij
1, (i j) 1 c k 1 xik
环和算子、乘积算子、有界积、Einstain(爱因斯坦)算子、
Hamacher(哈梅彻)算子、Yager(雅戈尔)算子
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
1、确定评价对象的因素集
设U={u1,u2,…,um}为刻画被评价对象的m种评价因素 (评价指标).其中:m是评价因素的个数,有具体的指标体 系所决定.
如果说关肇直院士（及后来的蒲保明院士和 李国平院士）是我国模糊集合论研究的倡导 者及推动者，那么汪培庄便是我国模糊集合 论研究的先驱者或开拓者之一.刘应明(川大)
模糊综合评定法：汪培庄(北京师范大学数 学系)提出了模糊数学的一种具体应用方法.
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L.A. Zadeh(1921～) 美国工程院院士,生 于苏联巴库,1949年 获哥伦比亚大学电 机工程博士.
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
处理模糊综合评价矢量B=(b1，b2，…，bn)常用的两种 方法：
(1)最大隶属度原则
若模糊综合评价结果矢量中 br
max
1 jn
bj
，
则被评价对象总体上来讲隶属于第r等级.
(2)加权平均原则 将等级看作一种相对位置，使其连续化。为了能定
模糊协调决策法:贴近度与择近原则，近似方法.
模糊关系方程法:矩阵作业法(中国学者)
层次分析法(AHP):美国运筹学家T.L.Saaty(撒汀)于20世纪70年代提出的一 种把定性分析与定量分析相结合的对复杂问题作出决策的有效方法.根据 问题分析，分为三个层次：目标层G、准则层C和方案层P,然后采用两两 比较的方法确定决策方案的重要性，即得到决策方案相对于目标层G的 重要性的权重，从而获得比较满意的决策. 明确问题，建立层次结构. 构造判断矩阵.③层次单排序及其一致性检验.④层次总排序及其组合一致 性检验.
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一、模糊综合评价法的思想和原理
模糊数学的产生：1965年，美国伯克利加利 福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授、 自动控制专家L.A. Zadeh（扎德） 发表了 文章《模糊集》(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )，第一次成功 滴运用精确的数学方法描述了模糊概念，从 而宣告了模糊数学的诞生.他所引进的模糊 集（边界不明显的类）提供了一种分析复杂 系统的新方法.因发展模糊集理论的先驱性 工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教 育勋章。
统计数学将数学的应用范围从必然现象领域扩大到偶然现象领域. 模糊数学将数学的应用范围从精确现象领域扩大到模糊数学领域.
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一、模糊综合评价法的思想和原理
轻、重、热、冷、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、 强、弱、软、硬、美、丑、稀、稠、锐、钝、深、浅
模糊（Fuzzy）概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线， 外延不清楚
r11 r12 r1n
R
r21 rm1
r22 rm2
r2n rmn
其中rij表示某个被评价对象从因 素ui来看对等级模糊子集vj的隶 属度。一个被评价对象在某个因
素ui方面的表现是通过模糊矢量 ri 来刻画的，ri称为单因素评价 矩阵，可以看作是因素集U和评
ri=(ri1,ri2,…，rin) 归一化处理：Σrij=1, 目的是消除量纲的影响
x jk , (i
j)
其中：c适当选取，要求 0 rij 1
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
5、多指标综合评价（合成模糊综合评价结果矢量）
利用合适的模糊合成算子将模糊权矢量A与模糊关系矩
阵R合成得到各被评价对象的模糊综合评价结果矢量B。 模糊综合评价的模型为：
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
4、进行单因素模糊评价，确立模糊关系矩阵R
单独从一个因素出发进行评价，以确定评价对象对评价集合V 的隶属程度，称为单因素模糊评价(one-way evaluation).
在构造了等级模糊子集后，就要逐个对被评价对象从每个因素
ui上进行量化，也就是确定从单因素来看被评价对象对各等级模糊 子集的隶属度，进而得到模糊关系矩阵：
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二、模糊综合评价法的模型和步骤
2、确定评价对象的评语集.
设 对V象=可{v能1,v做2，出…的,v各n}种，总是的评评价价者结对果被组评成价 的评语等级的集合.
其 为总中的：评vj代价表结第果j个数评.一价般结划果分，为j=3~1,52个,…等,n级. n.
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性 将评价因素分成若干类,把每一类都视为单一评价因素， 并称之为第一级评价因素.第一级评价因素可以设置下 属的第二级评价因素,第二级评价因素又可以设置下属 的第三级评价因素,依此类推.
即U=U1∪U2∪…∪Us.(有限不交并) 其中Ui={ui1,ui2,…，uim},Ui∩Uj=Φ,任意i≠j,i,j=1,2,…，s. 我们称{Ui}是U的一个划分(或剖分),Ui称为类(或块).