n维欧氏空间中的点集——【多元函数微分学】
n维欧氏空间定义
n维欧氏空间定义在n维欧氏空间中，我们可以进行各种有趣的探索和想象。
这是一个抽象的数学概念，但我们可以用生动的语言描绘它，让读者仿佛身临其境。
想象一下，我们置身于一个n维空间中，无论是二维、三维还是更高维度，我们能够感受到其中的奇妙之处。
空间中充满了各种形状和结构，它们交织在一起，形成了独特的景象。
在这个n维空间中，我们可以观察到不同维度的几何体。
比如，在二维空间中，我们能看到各种各样的平面图形，如圆、三角形和矩形等。
而在三维空间中，我们能够看到更加立体的形状，如球体、立方体和锥体等。
当然，在更高维度的空间中，我们可能无法直观地想象几何体的形状，但我们可以用数学语言进行描述。
在n维欧氏空间中，距离的概念也有所改变。
在二维空间中，我们可以用直线距离来描述两点之间的距离。
而在三维空间中，我们可以通过勾股定理来计算点之间的距离。
但在更高维度的空间中，我们需要使用更复杂的数学工具来计算距离。
除了几何形状和距离，n维欧氏空间还有许多其他有趣的性质。
比如，我们可以探讨向量在空间中的运动和变换。
我们可以考虑向量的长度、方向和角度，以及向量之间的运算规则。
这些概念在物理学、工程学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
在n维欧氏空间中，我们还可以探讨点的分布和集合的性质。
我们可以研究点的密度、连通性和紧致性等特征。
这些概念在拓扑学和概率论等领域中有着重要的应用。
n维欧氏空间是一个富有想象力和探索性的领域。
通过生动的语言和形象的描述，我们可以将这个抽象的数学概念呈现给读者，让他们感受到其中的奇妙之处。
无论是几何形状、向量运算还是点的分布，n维欧氏空间都是一个充满挑战和乐趣的领域。
让我们一起踏上这个数学之旅，探索未知的世界吧！。
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
维欧氏空间中的点集
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限
n维欧氏空间定义
n维欧氏空间定义
在n维欧氏空间中，我们可以想象一个抽象的世界，其中存在着超越我们常见的三维空间的更多维度。
这个空间可以用来描述复杂的现象和问题，如高维数据分析、量子力学等。
在这个虚拟的世界里，我们可以拥有超越普通人类感知能力的洞察力。
在n维欧氏空间中，物体的位置可以用n个坐标来表示。
例如，在三维空间中，一个点可以由(x, y, z)来表示，其中x、y、z分别代表了该点在三个轴上的位置。
而在n维空间中，一个点的位置则需要n个坐标来描述。
这让我们可以想象，如果我们生活在一个n维空间中，我们的感知将会是怎样的呢？
在这个虚拟的世界里，我们可以自由地在不同维度之间穿梭，探索未知的领域。
我们可以想象，如果我们能够进入四维空间，我们将能够看到物体在时间上的变化，甚至可以预测未来的发展趋势。
而在更高维的空间中，我们将能够看到更加复杂的现象，如量子纠缠、黑洞等。
然而，尽管在n维欧氏空间中我们可以拥有更多的洞察力和理解力，但我们也会面临更多的困惑和挑战。
在这个虚拟的世界里，我们可能会遭遇到无法想象的现象和问题，挑战我们的思维和理解能力。
我们需要不断学习和探索，以适应这个新的世界。
在n维欧氏空间中，我们也可以与其他生命体进行交流和互动。
他
们可能来自不同的维度，拥有不同的感知和思维方式。
通过与他们的交流，我们可以更好地理解自己和这个世界，拓宽我们的视野和思维。
在n维欧氏空间中，我们可以拥有更广阔的世界观和更深入的洞察力。
这个虚拟的世界给予我们思考和探索的机会，使我们能够更好地理解自己和宇宙的奥秘。
让我们一起踏入这个神秘的世界，探索其中的奥妙吧！。
高等数学多元函数微分学 - 简明版
盾 。记
| a b | r, r .
2
由于重极限存在并且 lim f ( x, y) a，，存在 ， ( x , y )( x0 , y0 )
当 | x x0 | | y y0 | 时，| f ( x, y) a | 。记
由于
lim
y y0
f
( x,
y)
(x,
y0 )
（1）
因此有
0 0 ( p U ( p0, ) D f ( p) U ( f ( p0 ), ))
即
0, 0, p D,
( p p0 | f ( p) f ( p0 ) | )
也就是
lim
p p0
f ( p)
f ( lim p p0
p)
f ( p0 )
则称函数在 p0 点处是连续的。
3.多元函数
（1）多元函数的定义-本质上就是n维空间某个子集 到实数集的映射。
符号与概念:自变量、因变量、定义域、值域（这个 集合的表示）；自然定义域约定。
【例6-1】一定量的理想气体的压强p，体积V和绝对温 度T之间具有关系 p RT , 其中R为常数.
V
【例6-2】长方体体积V是它的长x，宽y，高z的三元函
对照一元函数函数连续的定义，可以看出，这里的 多元函数连续定义，并没有本质区别。所不同的是， 这里的点不是一个数，而是一个“多维点”，它是 由n个数描述的。因此在具体分析多元函数连续性的 时候，所要分析的情形也可能复杂一些。
比如说，下面用函数增量的形式表述多元（这里以
二元函数为例）函数的连续性，就会产生一些新的概 念。记
（2）连续函数的某些性质
（i）对四则运算的封闭性-初等函数的连续性。
14 欧氏空间中的点集
x0 R n , r > 0 , 则 x0 的 r -邻域 U ( x0 , r ) 是 R n 中的开集. 因此 U ( x0 , r ) 又称为以 x0
(1) 空集 和全空间 R n 是开集.
(2) 任意个开集的并集是开集.
(3) 有限个开集的交集是开集.
证明
(1). 显然. (2). 设 { A , Î I } 是 R n 中的一族开集Î I 使得 x Î A . 因为 A 是开集, 存在 x 的一个邻域 U ( x, ) 使得 U ( x, ) Ì A .
为中心, 以 r 为半径的开球. 例 1 设 f ( x ) 是 定 义 在 R n 上 的 连 续 函 数 . 则 对 任 意 实 数 a, 记 E = {x Î R n : f ( x) > a}. 设 x0 Î E , 则 f ( x0 ) > a. 由于 f ( x) 在 x0 连
{x Î R n : f ( x) > a} 和 {x Î R n : f ( x) < a} 都是开集.
( x1 ,, xn ) + ( y1 ,, yn ) = ( x1 + y1 ,, xn + yn ),
λ( x1 ,, xn ) = ( λx1 ,, λxn ). x = ( x1 , , xn ) 称为是 R n 中的点或向量 , 称 xi (i = 1, , n) 为 x 的第 i 个坐标 . 对
多元微积分教学大纲
二、偏导数的计算
三、导数的应用
四、重积分计算
五、第二类曲线曲面积分
六、Green公式，Gauss公式，Stokes公式
七、常微分方程
〔注：平时或期中考试可以使用计算机网络辅助的考试方式〕
教材及主要参考书
中文
外文
教材
《大学数学多元微积分及其应用》萧树铁主编章纪民萧树铁编著高等教育出版社，2003第2版
主要参考书
《微积分III》清华大学微积分编写组，清华大学出版社，2003
《微积分教程（下）》扈志明韩云瑞，清华大学出版社，2000
先修要求、适用院系及专业
本科《多元微积分》课程教学大纲
一、课程基本情况
课程编号
10420884
开课单位
数学科学系
课程名称
中文名称
多元微积分
英文名称
Calculus of Several Variables
教学目的与重点
通过对本课程的学习使学生掌握多元函数的极限、微分、积分的概念和基本计算方法，理解与一元函数相应概念的异同，掌握解决相应实际问题的基本思路，同时进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
课程负责人
苏宁
课程类型
□文化素质课□公共基础课□学科基础课
□专业基础课□专业课□其它
教学方式
□讲授为主□实验/实践为主□专题讨论为主
□案例教学为主□自学为主□其它
授课语言
□中文□中文＋英文（英文授课>50%）
□英文□其他外语
学分学时
学分
4
总学时
64
考核方式及成绩评定标准
总成绩=期中考试（20-30）+作业（10-20）+期末考试（50-60）
第2章 欧式空间中的点集
N ( x0 , r ) 是 R n 中的开集，因此，我们也称 N ( x0 , r ) 为以 x0 为中心，以 r 为半径的开球。
定理 2.5（开集的基本性质）开集具有如下性质： （1） （2） （3） 空集 及全空间 R n 是开集； 任意多个开集的并是开集； 有限个开集的交是开集。
证明 （1） 显然。 （2） 设 A
2.2
开集、闭集与完备集
开集与闭集是本章的重点，特别是开集与闭集的构造，必须熟炼地掌握，实际上，在下 一章我们将看到开集、闭集与测度理论密切相关，是构成测度理论的一个重要环节。 定义 2.3 设 E R n ，若 E 中每个点都是 E 的内点，则称 E 为开集。 由开集的定义易知 E 是开集当且仅当 E E 0 ，任何非空有限集都不是开集，每个开区 间 ( a, b), ( a, ), ( , b) 都是 R1 上的开集（在 R 2 中就不是） 。若 x0 R ， r 0 ，则邻域
A ， I 是 R n 中的一族开集， 任取 x 则存在 I I
- 41 -
使 x A ，因 A 是开集，存在 x 的邻域 N ( x, ) 使得 N ( x, ) A ，于是更有
N ( x, ) A ， I A 的内点，这表明 A 是开集。 因此 x 是 I I
■ 利用距离可考虑有界集 设 M R n ，若有正数 K 0 ，使对任意 x ( x1 , x2 , xn ) M ，都有
xi K (i 1, 2, , n) ，
则称 M 为有界集。
- 38 -
显然 M 有界的充要条件是：存在正数 K ' 0 ，使对一切 x M 都有 d( x, o) K ' 。
多元函数微分学知识点
多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。
在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。
本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。
多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。
而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。
偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。
对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。
偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。
第二个知识点是全微分。
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。
全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。
全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。
例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。
最后一个知识点是梯度。
梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。
梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。
通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。
多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。
在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。
在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。
综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。
n维欧氏空间中的点集
xk M 。
收敛点列必为有界点集
3. 点列的收敛满足线性性；
4. 若 xk 收敛于 a, 则它的任意子列也收敛于 a.
2009年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
9
5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列.
See P.3 定理1.3, Bolzano-Weierstrass定理 定义 如果对n维欧氏空间中的点列 { xk }，若
2009年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
20
Rn中的有界集和紧集
定义 设 A 是 R n 中 的 一 个 点 集 ， 若 M 0 ， x M , x A， 则称 A是有界集， 否则称为无界集。
定义 设 A是 R n 中的一个点集， 若 A是有界闭集， 则A 称为紧集。
See P.9定义1.6
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
点列的极限 (I) e-N式定义：
若 xk k 1 为 n 维向量空间 Rn 中一个点列， 点 a R n ,若e 0, N N ， k N，有 ( xk , a ) e , 则称该点列收敛于 a，记作 lim xk a . k
定义(连通集)— 如果对于点集A 内任何两点， 都可用折线连结起来，且该 折线上的点都属于 A , 称之．
2009年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系 21
开域、闭域、区域
See P.9定义1.7
开域——若非空开集 A 具有连通性, 即 A中任意两 点之间都可用一条完全含于A的有限折线相连接,
南京航空航天大学 理学院 数学系
2
1. n维Euclid欧氏空间
See P.2
所有 n 元有序实数组( x1 , x2 , , xn ) 的全体所构成的 集合 Rn 按照以下定义的加法和数乘运算：
1n维欧氏空间中点集
外点 外点
(1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点； (2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点； (3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点； (4) E中的点要么是聚点，要么是孤立点； (5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集 分别包含这两个闭集。
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
13
有界闭集和紧集
有限覆盖定理：设F为n维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖F的开集族：
Ui
iI ,
F
Ui
iI
存在有限个开集同样覆盖F。
F
n
Ui
i 1
定义：设M为度量空间X的子集，若对于X的任意一族覆盖M的开集， 一定存在其中有限个开集仍然覆盖M，则称M为X的紧集。
有许多便于应用的性质 )．
(ii) 闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开
集; 开集的余集为闭集. 利用此性质, 有时可以通 过讨论 Ec 来认识 E.
南京航空航天大学 理学院 数学系
3
度量空间中点集的一些基本概念——邻域
定义(邻域)： 距离空间(X,d)中所有和定点P0的距离小于定数 的点的
全体，即集合P | d (P, P0 ) 称为点 P0的 邻域，记作U (P0, )或U (P0 )
显然，在1, 2 , 3, U (P0 , )分别是以P0 为中心以为 半径的开区间、
称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间。 由性质(2)立刻可以得到度量的对称性，即d(x,y)=d(y,x).
若(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空间， 称为(X,d)的子空间。
实变函数论课件4n维空间中的点集、聚点、内点、界点
同处
两者都是用来研究原拓扑 空间的子集。
关系
限制拓扑可以导出子空间 的拓扑结构。
4n维空间中的子空间的性质
1 性质一
2 性质二
一个子空间可以具有独特的拓扑结构。
子空间的性质可以由原拓扑空间推导得 出。
紧致性的定义及性质
定义
一个点集是紧致的，如果它的每个开覆盖都 有有限子覆盖。
性质
紧致性是一种重要的拓扑性质，可以应用于 各种数学问题的研究中。
闭区间
平面
区间的两个端点都属于闭集。 平面可以同时是开集和闭集。
限制拓扑与子空间的概念
1 限制拓扑
2 子空间
顾名思义，限制拓扑是将拓扑空间限制 在某个子集上的方法。
子空间是原拓扑空间的一个子集，其中 的拓扑结构是通过限制拓扑而得到的。
限制拓扑与子空间的异同
异处
限制拓扑是一种方法，而 子空间是一个具体的拓扑 结构。
4n维空间中的紧致点集的例子
闭球
闭球是紧致的点集。
紧致集合
一些特定的集合，如有界闭 集，也是紧致的。
拓扑正弦曲线
用于展示紧致性概念的一个 经典曲线。
连通性的概念及性质
1 概念
一个点集是连通的，如果它不能被分割成两个非空的、开不交的集合。
2 性质
连通性在对点集进行分类和描述时非常有用。
4n维空间中的连通点集的例子
4n维空间中的点集表示方法
坐标表示法
通过坐标系中的坐标来表示 点集。
图形表示法
通过绘制图形来表示点集。
集合表示法
通过集合符号来表示点集。
开集与闭集的定义及关系
开集
一个集合中的每个点都是 该集合的内点。
闭集
§1.4 Rn中的点集
心, 以 r 为半径的开球.
定理 2 (开集的基本性质)开集具有如下的性质:
(i). 空集 ∅ 和全空间 R n 是开集.
(ii). 任意个开集的并集是开集. (iii). 有限个开集的交集是开集.
证明
(i) 是 显 然 的 . 往 证 (ii). 设 { At , t ∈ T } 是 X 中 的 任 意 一 族 开 集 . 任 取
n n n
n
R n = {x = ( x1 ,
对任意 x = ( x1 ,
, x n ) : x1 ,
, x n ∈ R1 }.
, xn ) ∈ R n , 令 x = x12 +
(
2 2 xn .
)
1
称 x 为 x 的范数. 注意若 x∈ R ,
1
则 x 就 是 x 的 绝 对 值 . 设 x = ( x1 ,
, k . 令 ε = min{d ( x 0 , xi ), i = 1,
c c
k}, 则 ε > 0. 由 ε 的取法
c
知道 U ( x0 , ε ) ∩ A = ∅ , 即 U ( x 0 , ε ) ⊂ A . 因此 x0 是 A 的内点. 所以 A 是开集. 充 分 性 . 设 A 为 开 集 . 则 对 任 意 x0 ∈ A , 存 在 x0 的 一 个 邻 域 U ( x0 , ε ), 使 得
∞
n
= {0} 不是开集.
聚点与闭集 定义 3 设 A 是 R 的子集. (1). 设 x0 ∈ R . 若对任意 ε > 0 , U ( x 0 , ε ) 中包含有 A 中的无限多个点, 则称 x0 为 A
n n
的一个聚点(图 4—1 中的 x1 ). (2). 由 A 的聚点的的全体所成的集称为 A 的导集, 记为 A′. (3). 若 A′ ⊂ A, 则称 A 为闭集. (4). 集 A ∪ A′ 称为 A 的闭包, 记为 A. 例 如 , 每 个 有 界 或 无 穷 闭 区 间 [a, b], (−∞, a ], [a, + ∞) 都 是 直 线 R 上 的 闭 集 . 若
7(1)n维欧氏空间中某些概念
z
z f (x, y)
M
y
O
y
x
P
D
x
1
第一节 n维欧氏空间中某些概念
N维欧氏空间 邻域 内点，外点，边界点，聚点
开集，闭集，区域
小结 思考题 作业
第八章 多元函数微分法及其应用
2
一、 N维欧氏空间
1. 平面点集 n 维空间
一元函数
R1
平面点集
R2
n 维空间
Rn
(1) 平面点集
称为 Rn 中的单位坐标向量(或一组基). 则对 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , 有 x x1e1 x2e2 , , xnen
8
R2
二、邻域 (Neighborhood)
设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 0, 令
U (P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
Rn R R R {( x1, x2 , xn ) xi R, i 1,2,}.
n 维空间中的每一个元素 ( x1, x2 ,, xn )称为空间中 的一个点,数xk 称为该点的第k个坐标.
下面在 Rn 中引进代数运算及内积和范数。
4
定义１.设 x ( x1, x2 , , xn ), y ( y1, y2 , , yn ) Rn ,
(1) E1 {(x, y) 1 x2 y2 4}
(2) E2 {(x, y) x2 y2 1} (0, 2)
(3) E3 {(x, y) x 0, y 0}
13
平面区域(重要)
设D是开集. 如对D内任何两点, 都可用折线连
多元函数微分学简介
多元函数微分学简介多元函数微分学是微积分的重要分支之一，研究的对象是多元函数的导数和微分。
与一元函数微分学相比，多元函数微分学涉及到多个自变量的情况，因此需要对每个自变量进行偏导数的求解。
在多元函数微分学中，我们首先要了解多元函数的概念。
多元函数是指具有多个自变量的函数，常用的表示方法为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为函数值。
多元函数可以用来描述现实世界中的各种现象和问题，如经济学中的供求关系、物理学中的场和力等等。
与一元函数中的导数类似，多元函数的导数是描述函数在某一点附近的变化率的概念。
在多元函数中，我们需要求解偏导数来描述函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数的求解方法与一元函数中的导数求解方法类似，只需将其他自变量视为常数进行求解即可。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数的定义如下：∂f/∂x1 = lim(h→0) [f(x1+h, x2, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xn)] / h∂f/∂x2 = lim(h→0) [f(x1, x2+h, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xn)] / h...∂f/∂xn = lim(h→0) [f(x1, x2, ..., xn+h) - f(x1, x2, ..., xn)] / h其中，∂f/∂x1表示对x1的偏导数，h表示自变量的微小增量。
通过求解偏导数，我们可以得到多元函数在每个自变量方向上的变化率。
在多元函数微分学中，还有一个重要的概念是全微分。
全微分是描述多元函数在某一点附近的变化量与自变量的关系。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分的定义如下：df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn其中，df表示函数值的微小增量，dx1, dx2, ..., dxn表示自变量的微小增量，∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn表示偏导数。
第5讲n维空间中的点集
定理9（Borel有限覆盖定理）设F是有界
闭集，F {G | A}
是一簇开集， G
F，
则一定存在F中有限个开集 n
G1 ,, Gn
，使得
i 1
Gi
F。
证明：首先证明，一定存在 0，使得对
任意 x F，O(x, ) 包含在某个 G 中。假若
不然，则对任意则对任意 n，存在 xn F，
i1 n
n
F ' ( Fi )' Fi ' Fi F
，
因此 F 为i闭1 集。i1证毕。i1
第5讲 n维空间中的点集
定理8 任意一簇开集之并为开集，任 意有限个开集之交仍为开集。
证明：设 G G ,G ( A) 为开集，则
A
F Gc Rn G (Rn G ) ，
由定理
6，每个 R n
形为
S2 ，再次用平行于坐标轴的直线将
S
分为四个
2
第5讲 n维空间中的点集
K 小正方形，则每个小正方形的边长 22 ，同理，其
中至少有一个小闭正方形含中无穷多个点，记此小 闭
正方形为 S3 。依此方式进行下去，可得一串小闭正方
形 Sn ， Sn 外还有 Sn1
的边长为 K ，且含 E 中无穷多个点。此
定义3 若集合 E 的每一个点都它的内点，则 称 E 为开集。
定义4 若 E E ，则称 E 为闭集。
按上述定义易得 定理5 E，E 恒为闭集。
第5讲 n维空间中的点集
证明：假设 x (E) ，则对 x 的任意邻
域 O(x, ) ，
E
(O(x, ) {x}) E ，
任取 x1 (O(x, ) {x}) E ，则由 x1 E 知 对 x1 的任意邻域 O(x1, ) ，
第一节 n维欧氏空间 实变函数课件
y,必有O(x,12 x )
O(
y,
1 2
y
)
否则, 若z O(x,12x ) O( y,12 y )
则d (x,( z, ,
y)
1 2
x
1 2
y
max{ x ,
y}
这与（*）式矛盾，
所以
{O(
x,
1 2
x
)
|
x
A}
是一簇两两不交的开区间，
从而A至多可数。
⒊聚点的等价描述
第二章 n 维空间中的点集
第一节 n维欧氏空间
⒈度量空间
定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足
⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）
则称(X,d)为度量空间.
⒉欧氏空间中各类点的定义
点P0的δ邻域： O( p0 , ) { p | d ( p0 , p) }
P0为 E的接触点： 0,有O( p0, ) E
记 E 为 E的闭包（接触点全体）
P0为 E的聚点： 0, 有O( p0 , ) (E { p0})
记 E' 为 E的导集（聚点全体） 接触点、聚点 不一定属于E
定义：称点列{pn}
收敛于p0
,
记为：lnim
pn
p 0
若
lim
n
d
(
pn
,
p0
)
0,
即 0, N 0, n N , 有pn O( p0 , )
Pn P0 δ
定理：下列条件等价：
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y
y
闭区域
y
o
x
y
o 1 2x
o
x
o 1 2x
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域
；点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 有界集: 对于平面点集E, 如果存在某一正数r, 使得
E U(O,r), 其中O为坐标原点.
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三、 平面点集R2的基本知识
平面点集:
xoy平面上满足某一条件的一切点的集合
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U ( P0 ,δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
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则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D
。 。
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例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
O.
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R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
二、Rn中点列的极限
N维欧氏空间点集的初步知 识
n维欧氏空间 n维欧氏空间中的各类点集
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一、 n 维欧氏空间
n 元有序数组
记作 R n ,即 Rn R R R
的全体称为 n 维欧氏空间,
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点,
称为该点的第 k 个坐标 .
当所有坐标
称该元素为 R n中的零元,记作
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
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E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若点集 E E , 则称 E 为闭集；
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
5
2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集 E 及一点 P :
• 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
4
说明：若不需要强调邻域半径 0 δ
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆
邻域可以互相包含.
。P0
平面上的方邻域为
U(P0,δ ) (x, y)
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