用空间向量求距离

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用向量法求空间距离

G
x
F
A
D
C
E
果断地用坐标法处理.
y
B
例 2: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面 ABCD，且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), D C
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
D N C B
M
A
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz a ,0),C(0, a ,0),P(0,0, a) 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,
距离
用向量法求空间距离
教学目标：
借助空间向量来解决立体几何中的两种距离 1、两点间的距离 2、点到平面间距离
一、如何用向量法求解两点间的距离呢？
B(x2，y2，z2) A(x1，y1，z1)
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
例1、已知A(-1,2，-6), B(5,-2，3)，求A,B两点之间的距离。
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题

(1,1,
1), CC1
(0, 0,
1).
D1
A1
x
E
C1 y
B1
设平面AEC1的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴
1 2
y
z
0
, 取y 2,则z 1, x 1.
点C到平面AEC1
的距离为
|
CC1 |n
|
n
|
6 .
6
x y z 0 ∴平面AEC1的一个法向量为n (1, 2,1).
如图示，已知平面α的法向量为n ，A是平面α内的定点，P是平面α外一点. 过点P
作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则 n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离d
就是AP在直线l上的投影向量 PQ 的长度. 因此
l
d PQ |AP||cos AP, n| |AP| |AP n| |AP n| . |AP||n| |n|
的距离PQ.
A
Ql
设 AP a ，则向量AP在直线l上的投影向量AQ | a | cosa, uu (a u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ | AP |2 | AQ |2 a 2 (a u)2 .
若直线l的法向量为 n，则点P到直线l的距离为d PQ |AP||cos AP, n| |AP n| .
P• β
d
n Q
αA
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
AB的中点.
z
(1) 求点B到直线AC1的距离;
D
C
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
解 : (1) 如图示,以D1为原点建立空间直角坐标系, 则有

用空间向量求距离

计算点到直线距离
利用向量数量积的性质，有$vec{PQ} cdot vec{n} = 0$，进而求得点
$P$到直线的距离$d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$。
公式在实际问题中应用场景
几何问题
01
在平面几何中，点到直线的距离公式可用于求解点到直线的最
计算向量$vec{AB}$
$vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 z_1)$。
计算向量$vec{AB}$的模
得出两点间距离公式
$|vec{AB}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
$d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
公式在实际问题中应用场景
1 2 3
空间几何问题
在解决涉及三维空间中点、线、面等几何元素的问题时，两点间距离公式可用于计算两点之间的距离。
物理问题
在物理学中，两点间距离公式可用于计算质点之间的距离，进而解决与距离相关的物理问题，如万有引力、电场强度等。
工程测量
在土木工程、水利工程等领域，两点间距离公式可用于测量地面上两点之间的水平距离或空间中两点之间的直线距离。
短距离、判断点与直线的位置关系等问题。
物理问题
02
在物理学中，点到直线的距离公式可用于计算电场强度、磁场
强度等物理量在空间中的分布情况。
工程问题
03
在工程领域中，点到直线的距离公式可用于计算建筑物之间的

空间向量点到平面距离求法

空间向量点到平面距离求法在三维空间中，我们经常需要计算一个给定点到一个给定平面的距离。

这个问题可以被称为”空间向量点到平面的距离求法”。

本文将详细介绍该求解方法。

1. 定义首先，我们需要明确一些基本的几何概念。

一个平面可以由一个点和一个法向量来唯一确定。

记平面上的一点为P，平面的法向量为n。

对于空间中的任意一点Q，我们定义点Q到平面的距离为点Q到平面的垂直距离，记作d(Q,Pn)。

2. 求解方法为了求解点Q到平面的距离，我们需要以下步骤：2.1 平面的方程首先，我们需要确定平面的方程。

一个平面P可以表示为Ax + By + Cz + D = 0的形式，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。

2.2 平面法向量的求解平面的法向量可以通过两个非平行的向量的叉乘来求解。

假设平面上的两个向量为v1和v2，则平面的法向量n可以通过n = v1 × v2来计算。

2.3 点到平面的距离公式根据点到平面的距离定义，点Q到平面P的距离可以表示为：d(Q,Pn) = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|x|表示x的绝对值。

2.4 距离求解算法根据上述公式，我们可以编写一个求解点到平面距离的函数，输入为点Q的坐标，平面的法向量和常数项，输出为点Q到平面的距离。

function distance_to_plane(Q, n, D) {let [x, y, z] = Q;let [A, B, C] = n;let distance = Math.abs(A * x + B * y + C * z + D) / Math.sqrt(A**2 + B**2+ C**2);return distance;}3. 示例下面我们通过一个示例来演示如何使用上述方法计算点到平面的距离。

假设有一个平面P，其方程为2x + 3y - z + 4 = 0。

点Q的坐标为(1, -2, 3)。

空间向量求点到平面的距离

空间向量求点到平面的距离空间向量求点到平面的距离是在几何学中一项重要的概念，它用于表达物理世界里的位置关系。

它的概念可以应用于许多不同的情况，如人们在分析受力时，可以利用这个概念来求解力的位置和大小，在建筑设计时，可以确定结构的外形，以及检验结构的稳定性等等。

在计算空间向量求点到平面的距离时，首先需要了解的是，平面的定义，它是由三点组成的，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，其中za=zb=zc。

定义垂直空间向量的模式是：u=(x1-x2，y1-y2，0)，v=(x3-x2，y3-y2，0)，w=(x4-x2，y4-y2，z4-z2)，其中x4，y4和z4是待测点的坐标。

根据向量数学的定义，平面的法向量可以用下式表示：N=(u×v)，法向量的模为|N|=(u^2+v^2+w^2)^(1/2)。

距离就是点到平面的距离，可以用点P到平面的距离的点的坐标w=(x4，y4，z4)和法向量N的点积来求解，公式为：d=|N w|/|N|。

在实际应用中，需要注意的是，当法向量N为零向量时，表示平面不存在，此时距离d无法求解。

对于求解点到平面的距离，除了以上介绍的公式之外，还可以用另一种方法，即直接解三角形的方法，它把问题分解成若干个三角形，求解各个三角形边长，再利用余弦定理求解距离。

空间向量求点到平面的距离的计算方法有很多，如向量计算法、直接解三角形法等，但它们都有同样的一般性，即把空间作为一个整体，针对具体的问题使用相应的算法，以此来求解点到平面的距离。

此外，距离的结果也及其重要，因为它是一个客观量，它往往会影响最终的结果，比如分析受力时，结果会对受力结构的稳定性有很大的影响。

针对空间向量求点到平面的距离，在实际应用中，有几个重要的问题需要注意，首先需要明确平面的定义，以及垂直空间向量的模式；其次，根据向量数学的定义，可以得出平面的法向量，得出法向量的模；最后，根据点的坐标和法向量的模，即可求出点到平面的距离。

高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(三)——空间向量求距离

G
x D F A
C
E
y
B
例1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 :
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 z B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． E F ( 2 , 2 , 0 ), E G ( 2 , 4 , 2 ), D C
G
x D
F A
C
E
y
B
练习3: 正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的距离
D1 A1 Z B1
DD
C1 d
1
n
n
G A X
D
B
C Y
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C 与平面A1BC1的距离
D1 A1 Z B1
AD
n
C1 d
n
D
A X B
C Y
| PA n | = |n |
.
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4， CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
∴n M C 2 2 ax ay 0
a , 0, 0) N (
2 2
a,
1 2
a,
1 2
a)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)

2 30
.
5
4.求点到平面的距离
①等体积法(将点面距离看作三棱锥的高)
D1
P35-2(3).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F
分别是线段DD1的中点，求点A1到平面AEB1的距离.
B1
A1
析 : 设点A1到平面AEB1的距离hA1 .
C1
E
VA1 AEB VB1 AEA1 ,

a
2 8
4
C1
A
C
B
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量及直线l的方向向量 )
2
d a (
②等面积法(将点线距离视为三角形的高)
a l 2
)
|l |
[变式]棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段DC1上的动点，
求点M到直线AD1的距离的最小值.
D1
析 : 建系Dxyz , A(a,0,0), D1 (0,0, a ), 设M (0, x, x )
AB (0,2,0), AC1 (2,2,2), AB AC1 4, | AB | 2, | AC1 | 2 3,
D
C
2
A
B
点B到直线AC1的距离为 AB (
AB AC1 2
4 2 2 6
) 4(
)
3
2 3
| AC1 |
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量及直线l的方向向量或单位方向向量 )
D1
a a
析 : 建系Dxyz, A(a,0,0), D1 (0,0, a ), M (0, , )
2 2
a a

利用空间向量求距离

1.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，求点P(4,3,2)到l的距
离
2.已知直线AB∥平面α，平面α的法向量n＝(1,0,1)，平面α内一点C的坐标
为(0,0,1)，直线AB上点A的坐标为(1,2,1)，求直线AB到平面α的距离
3.已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求点A到面BDC1的距离．
4.单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点B1到直线AC的距离。

5.已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SD⊥面ABCD，且SD＝AD＝1，求异面直线SB与AC的距离．
6.在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，求点D′到平面B′EF的距离
7.在已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝3，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求A1B1与平面ABE 的距离
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝4，AB ＝2，以AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N，求点N到平面ACM的距离．。

空间向量中点到平面的距离公式

空间向量中点到平面的距离公式
空间中点到平面的距离可以使用向量的方法来求解。

假设空间中平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0, y0, z0)为空间中的任意点，则点P到平面的距离可以表示为点P到平面的法向量的投影。

设平面的法向量为n=(A, B, C)，则点P到平面的距离d可以表示为d = |(n·OP)|/|n|，其中·表示向量的点积，|n|表示向量n的模长，OP为点P到平面上的任意一点Q的向量。

另一种常用的方法是通过点到平面的距离公式来求解。

设点
P(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有d =
|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

这个公式也可以用来求解点到平面的距离。

从几何的角度来看，点到平面的距离实际上就是点到平面的垂直距离，可以通过这两种方法来求解。

这些公式和方法可以帮助我们在空间解决点到平面的距离问题。

利用空间向量求空间距离

23 3
.
练习6:如图, ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的距离为1，求AC与SD的距离。
Sz
B
Ay
xC
D
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n .
A O

∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥
平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的
中点，求点B到平面GEF的距离。
z
G
xD F
A
E
C B
y
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
△ABC 中, AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点,
求异面直线CE 与 AB1 的距离.
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
CE
设CE,
AB(11的,1,公0)垂, A线B1的方(2向,2,向4),量为n
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题

探究已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F

3.2.3空间距离的向量求法

DB (2,2,0), DN (0,1,2),
设平面BDMN的一个法向量为
z
n ( x, y, z), 则
2 x 2 y 0 n (2, 2,1), y 2z 0
x
O
y
| AB n | | 2 (2) | 4 d . 2 2 2 n 3 2 (2) 1
P d O
n

PA n ( PO OA) n PO n,
| PA n || PO n || PO || n |
| PA n | | PA n | PO ，即d n n
例1.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF 的距离。
n
| PA n | ★所以计算公式还是: d n
例2.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F,M,N 分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点. 求平面AEF和平面BDMN的距离.
解： (2)如图建立空间直角坐标系,则A(2,0,0), B(2, 2,0), N (0,1, 2), AB (0, 2,0),
解:∵BD//平面C1MN, ∴只需求点B与平面C1MN的距离，如图建立直角坐标系,则B(2,2,0), M (1, 2,0), N (0,1,0), C1 (0, 2, 2),
NM (1,1, 0), NC1 (0,1, 2) BM (1, 0, 0)
z
y x
x y 0 x 2z , 令z 1, 则n (2, 2,1), y 2 z 0 y 2 z | n BM | | (1) 2 | 2 d . |n| 22 (2) 2 12 3

空间向量法求点到直线的距离

空间向量法求点到直线的距离在数学中，空间向量法被广泛应用于计算点到直线的距离。

这种方法基于向量运算和空间几何原理，能够精确计算点与直线之间的距离，并且具有良好的几何直观性。

在本文中，我们将探讨空间向量法的基本原理和应用，以及它在几何分析和实际问题中的重要性。

1. 空间向量法的基本原理在空间中，点和直线都可以用向量来表示。

令P(x1, y1, z1)为空间中的一个点，L为由直线上一点A(x0, y0, z0)和方向向量V(a, b, c)确定的直线。

为了计算点P到直线L的距离，我们首先需要找到直线L上距离P最近的一点Q。

根据向量的性质，向量PQ与直线L的方向向量V垂直。

我们可以通过向量的内积来确定这个垂直关系。

具体而言，向量PQ与方向向量V的内积为零，即(PQ)·V = 0。

展开计算后，我们得到以下方程：(x1 - x0) * a + (y1 - y0) * b + (z1 - z0) * c = 0这代表了点P到直线L的距离，我们可以将其作为基本公式用来计算点到直线的距离。

2. 空间向量法的应用空间向量法在几何分析中有着广泛的应用。

通过使用向量和内积的概念，可以精确计算点到直线的距离，从而解决许多与几何相关的问题。

在三维空间中，我们经常需要计算一条直线上某个点到另一条直线的最短距离。

利用空间向量法，我们可以轻松地解决这类问题。

空间向量法还在实际问题中发挥着重要作用。

在机器学习中，我们常常需要评估数据点与回归直线之间的距离，以确定模型的准确性。

空间向量法为我们提供了一种有效的计算方法，使得我们能够快速而准确地进行数据分析和模型评估。

3. 个人观点和理解对于我个人而言，空间向量法是一种非常强大和实用的数学方法。

它不仅可以解决几何分析中的许多问题，还可以应用于实际情境中。

通过利用向量运算和内积的思想，我们能够精确计算点到直线的距离，从而更好地理解几何关系和模型性能。

在学习和研究空间向量法时，我发现了它的简洁性和灵活性。

空间向量求点到直线的距离

空间向量求点到直线的距离
在立体几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和
直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，
点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，现在在立
体几何的高考中似乎很少考到了，但空间的点P到直线AB的距离的求法，（在竞赛中）还是应该理解和掌握的。

具体地说，就是过点P作直线AB
的垂线PM，且与直线AB相交于点M.那么线段PM的长度，就是我们所要
求的距离.但在实际操作中，有时我们往往很难找出我们所做的AB的垂线
时的垂足具体在什么地方？既然所要求解的距离（线段）都难以作出来，
那么求解就更加困难了。

所以，在本文中，我们来给大家介绍一下：立体
几何中，“用空间向量方法求点到直线的距离公式”。

利用空间向量求空间距离

探究：探究：如何用向量法求点到平面的距离
⋅P
分析:过 P 作 PO⊥ α 于 O,连结 OA. 过 ⊥ 连结
r uuu uuu r 则 d=| PO |= | PA | ⋅ cos ∠APO . uuu r r uuu r r ∵ PO ⊥ α , n ⊥ α , ∴ PO ∥ n . uuu r r cos∠ ∴cos∠APO=|cos 〈 PA, n〉 |.
的边长为4，例1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为，的边长为 CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 ABCD， AB、 ⊥平面ABCD CG=2,E、分别是AB AD的中点求点B到平面GEF的距离。的中点， GEF的距离 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
E
B
y
2 11 的距离为 . 即点 B 到平面 EFG 的距离为 11
的边长为4，例1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为，的边长为 CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 ABCD， AB、 ⊥平面ABCD CG=2,E、分别是AB AD的中点求点B到平面GEF的距离。的中点， GEF的距离 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
y
练习6:如图, 练习如图, 如图 ABCD 正形 SB ⊥ 面 ABCD 且与是方，， SA ABCD 成角 45° 点到 ABCD 面所的为 ° ， S 面的 SD 距。距为，y
A
x
MA ⋅ n a uuur r a = 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ∴ MA 在 n 上的射影长 d = r 2 2 n
练习3: 练习正方体AC 棱长为，与平面GB 正方体 1棱长为1，求BD与平面 1D1的与平面距离 DD1 ⋅ n Z C1 d = D1 n B