建立适当的坐标系求平面的法向量
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叫做平面 的法向量.
l
ห้องสมุดไป่ตู้
r
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
A
互相平行;
z 1. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 且 AD // BC ， ABC PAD 90 ，侧面 PAD 底面 ABCD . 若 PA AB BC 1 AD . 2
求平面的法向量
直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
r a
B
A
向量
r a
uuur uuur AB，AP
称为直线ｌ的方向向量
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
E分别是AB,
z
BB1的
中点，AA1 AC CB
2 AB. 2
y
x
感谢下 载
z
（Ⅱ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；
P
D Q A
x
M
C B
y
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr 的法向量分别为 u, v ，则
r r rr
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
rr r r
线线平行 l ∥ m ra ∥ br ar kbr；
A
D
E
F
B
G
C
2013年全国新课标Ⅰ卷 18题
如 图 ， 直 棱 柱ABC A1B1C1中 ，D, E分 别 是AB, BBz 1的
中点，AA1 AC CB
2 AB. 2
(1)证 明 ：BC1 //平 面A1CD;
x
y
2013年全国新课标Ⅰ卷 18题
如图，直棱柱ABC
A1B1C1中，D,
rr
组
n r
a r
0
n ab
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
z 2.如图, ABCD是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD， AF // DE ， DE 3AF ， BE
与平面 ABCD所成角为 600 .(Ⅰ)平面 BDE ；(Ⅱ)平面 ACE；(Ⅲ) 面 BDE⊥面 ACE
（Ⅰ）平面 ABCD
(2)平面 PAC ； （3）平面 PCD
.
P
A
B
x
C
Dy
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
E
FD
Ax
C
y
B
4.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，
平面 PAD⊥底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2， BC= 1 AD=1，CD= 3 ．
2
（Ⅰ）若点 M 是棱 PC 的中点，求平面 BMQ 的法向量；
线面垂直 l ⊥ ar ∥ ur ar rku ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面垂直 ⊥ ur⊥ vr ur v r0. 面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
5.在如图的多面体中，EF ⊥平面 AEB ，AE EB , AD // EF ，EF // BC ，BC 2AD 4 ， EF 3， AE BE 2， G 是 BC 的中点． (Ⅰ)求平面 DEG 的法向量；(Ⅱ) 求证： BD EG ；
l
ห้องสมุดไป่ตู้
r
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
A
互相平行;
z 1. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 且 AD // BC ， ABC PAD 90 ，侧面 PAD 底面 ABCD . 若 PA AB BC 1 AD . 2
求平面的法向量
直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
r a
B
A
向量
r a
uuur uuur AB，AP
称为直线ｌ的方向向量
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
E分别是AB,
z
BB1的
中点，AA1 AC CB
2 AB. 2
y
x
感谢下 载
z
（Ⅱ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；
P
D Q A
x
M
C B
y
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr 的法向量分别为 u, v ，则
r r rr
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
rr r r
线线平行 l ∥ m ra ∥ br ar kbr；
A
D
E
F
B
G
C
2013年全国新课标Ⅰ卷 18题
如 图 ， 直 棱 柱ABC A1B1C1中 ，D, E分 别 是AB, BBz 1的
中点，AA1 AC CB
2 AB. 2
(1)证 明 ：BC1 //平 面A1CD;
x
y
2013年全国新课标Ⅰ卷 18题
如图，直棱柱ABC
A1B1C1中，D,
rr
组
n r
a r
0
n ab
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
z 2.如图, ABCD是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD， AF // DE ， DE 3AF ， BE
与平面 ABCD所成角为 600 .(Ⅰ)平面 BDE ；(Ⅱ)平面 ACE；(Ⅲ) 面 BDE⊥面 ACE
（Ⅰ）平面 ABCD
(2)平面 PAC ； （3）平面 PCD
.
P
A
B
x
C
Dy
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
E
FD
Ax
C
y
B
4.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，
平面 PAD⊥底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2， BC= 1 AD=1，CD= 3 ．
2
（Ⅰ）若点 M 是棱 PC 的中点，求平面 BMQ 的法向量；
线面垂直 l ⊥ ar ∥ ur ar rku ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面垂直 ⊥ ur⊥ vr ur v r0. 面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
5.在如图的多面体中，EF ⊥平面 AEB ，AE EB , AD // EF ，EF // BC ，BC 2AD 4 ， EF 3， AE BE 2， G 是 BC 的中点． (Ⅰ)求平面 DEG 的法向量；(Ⅱ) 求证： BD EG ；