建立适当的坐标系求平面的法向量
专题：平面的法向量
总结反思
在空间直角坐标系下，如何求平面的法向量？ 在空间直角坐标系下，如何求平面的法向量？
1.用常用方法求平面的法向量 1.用常用方法求平面的法向量 设平面法向量的方法： 设平面法向量的方法：
r r 跟向量a =(m,0,0)垂直的法向量 n = (0, y, z ) 垂直的法向量
r r 跟向量a =(n,m,0)垂直的法向量 n = (− 1 , 1 , z) 垂直的法向量 n m 2.利用特殊平面的法向量结论 利用特殊平面的法向量结论： 2.利用特殊平面的法向量结论：
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探究规律
问题4：平面 是原点， 在 轴上 问题 ：平面AOBD，O是原点，A在z轴上 ， 是原点 则平面AOBD的一个法向量为 点B(a,b,0),则平面 则平面 的一个法向量为 1 1 (− , ,0) z a b ____________
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D E(0, 3 ,0) y
C(1,0,0)
随堂练习
2.在棱长为 的正方体 1中，P、 Q、R分别为棱 在棱长为3的正方体 的正方体AC 、 、 分别为棱
A1D1、AB、BC的一个三等分点，A1P=AQ=BR=1， 的一个三等分点， 、 的一个三等分点 ， 、 求平面PQR的一个法向量 z 的一个法向量. 求平面 的一个法向量 D1 C1 1 1 (1, , ) P (2,0,3) 2 2 A1 B1
D O
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C y R(2,3,0) B
x
A
Q (3,1,0)
随堂练习
3.已知 已知ABCD是上下底边长分别为 和6，高为 3 的 是上下底边长分别为2和 ， 是上下底边长分别为
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系用向量的方法证明平行与垂直关系知识点一：求平面的法向量例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，AB＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·AB = 0， n ·AC → = 0.即⎩⎨⎧x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2yz ＝0.令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．“用向量法”求法向量的解题步骤：（1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(222111c b a b c b a a ==；（3）根据法向量的定义列出方程组⎪⎪⎨⎧=•0a n ；练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。
知识点二：利用向量方法证平行关系（1）线线平行：设直线1l 、2l 的方向向量分别为、，则ll λ=⇔⇔////21（2）线面平行：①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；②设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则0//=⋅⇔⊥⇔μμαl ；③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行：①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量νμ//；②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：11//ODC C B 面.证方法一：∵1B C =1A D ，∴D A C B 11//，又11ODC D A 面⊂,11ODC C B 面⊄∴11//ODC C B 面证法二： ∵1B C =11B C +1B B =1B O +1OC +1D O +OD=1OC +OD .∴1B C，1OC ，OD 共面.又B 1C ⊄面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.证法三: 如图建系空间直角坐标系xyz D -，设正方体的棱长为1，则可得B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，1B C＝(－1,0，－1)，OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－1，1OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则10,0,n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又 1B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴1B C ⊥n ，∴B 1C∥平面ODC 1.【反思】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C 共线；二是说明1B C 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C 与平面的法向量垂直．练习：如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC所在平面互相垂直，CF BE //，︒=∠=∠90CEF BCF ，3=AD ，2=EF .求证：//AE 平面DCF .证明：如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz.设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ， 则C(0,0,0)，A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →＝(0，b ，－a)， CB ＝(3，0,0)，BE＝(0，b,0)，所以CB·AE → = 0，CB·BE = 0，从而CB⊥AE ，CB ⊥BE.所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF ，所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系（1）线线垂直：设直线1l 、2l 的方向向量分别为、，则021=⋅⇔⊥⇔⊥l l（2）线面垂直：①设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则αk a a l =⇔⇔⊥//；②由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。
平面法向量的求法法向量怎么求
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
高中数学选择性必修一课件：用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)
(3)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，△ PAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°， E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系， 求平面 DEF 的一个法向量．
1.4.1
1.4 空间向量的应用 用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)
空间中点、直线和平面的向量表示
要点 1 点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可 以用向量O→P来表示．我们把向量O→P称为点 P 的位置向量．
要点 2 直线的方向向量 用向量表示直线 l，就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意 一点．如图 1，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B＝a，设 P 是直线 l 上的 任意一点，由向量共线的条件可知，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t， 使得A→P＝ta，即A→P＝tA→B.
【解析】 以点 A 为原点，AD，AB，AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， C(1，1，0)，D(12，0，0)，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 SAB， ∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝12，0，0是平面 SAB 的一个法向量．
平面的法向量
g = xm + yn , l g = xl m + yl n , l
∵ l m = 0, l n = 0 , ∴ l g = 0, 即l ⊥ g .
g l m
m
n
n g
l ∴ l ⊥ g , 即 l 垂 直 于 平 面 α内 任 一 直 线 . ⊥ α .
6.有关平面的斜线概念， 6.有关平面的斜线概念， 有关平面的斜线概念 三垂线定理及其逆定理 P104
答：a⊥PO
为什么呢？ 为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α a α
P
PA⊥a ② a⊥平面PAO
AO⊥a PO 平面PAO
①
③
a⊥PO
a α A o
数式板书
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 三垂线定理描述的是PO(斜线) AO(射 PO(斜线 影)、a(直线)之间的垂直关系。 a(直线 之间的垂直关系。 直线) 2、a与PO可以相交，也可以异面。 PO可以相交，也可以异面。 可以相交 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 平面内的一条直线垂直的判定定理。 4、三垂线定理的图形是由“四线一面”五 三垂线定理的图形是由“四线一面” 个部件组成——垂线 斜线、射影、面内一线、 垂线、 个部件组成——垂线、斜线、射影、面内一线、 平面
高中数学选修2 高中数学选修2－1
3.2.2平面的法向量与 3.2.2平面的法向量与 平面的向量表示
关于平面法向量的问答
关于平面法向量的问答324100 浙江省江山中学 杨作义提问：在立体几何的求解（夹角、距离的计算）中，若用坐标法，常要求平面的法向量，教材对此介绍不多，只有一个定义：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.没有涉及应用研究.请问：怎样求平面的法向量？回答：根据平面法向量的定义，求平面的法向量的方法通常有两个： 一是尽量在图中找出垂直于平面的向量作为法向量 ；二是如果找不到，那么就设向量(,,)n x y z = 为平面α的法向量，在平面α内取两个不共线向量,a b ，因为法向量n 垂直于平面α，所以,n a n b ⊥⊥，则由方程组00a nb n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可列出两个含有,,x y z 的方程，两个方程中有三个未知数，求不出唯一的解，但是可以根据题目情况、计算的方便，取z （或x 或y ）等于一个具体的数，就变成了两个未知量、两个方程的方程组了，解出唯一的解，就是所求的平面法向量n .提问：在平面法向量的求法中，设平面法向量为(,,)n x y z =，列出含有三个未知数,,x y z 的两个方程后，用赋值法令,,x y z 之一为一简单的数（例如0,1或-1要视情况而定），但到底设哪个呢？这样求得的法向量可能不同，那么，最后求夹角、距离等的答案岂不要不一样？回答：这主要涉及对平面法向量的概念和相关计算公式的理解问题.法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数条直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的方向向量.因此，一个平面存在无数个法向量，而且这些法向量之间相互平行（共线）.我们在求平面法向量时，把法向量和平面内的两个不共线的向量做数量积，得到含有三个未知数的两个方程，其实有无数组解，这也验证了一个平面的法向量有无数个.我们做题时只取其中比较简单的一个即可，具体让,,x y z 之一哪个等于多少，可以怎么简单怎么取.下面再看看我们是如何应用法向量来计算相关空间角和距离的.1．求直线和平面所成的角如图1，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO 于O ，连结OA ，则∠PAO 为斜线PA 和平面α所成的角记为θ，易得： ||sin |cos ,||cos ,|||||n PA OP PA n PA n PA θ∙===. nPO图12．求二面角的大小在二面角βα--l 中，1n 和2n 分别为平面α和β的法向量，若二面角βα--l 的大小为θ，则12|cos ||cos ,|n n θ==1212||||||n n n n ∙(依据两平面法向量的方向或实际图形来确定θ是锐角或是钝角).3．求点到平面的距离如图2，点P 为平面α外一点，点A 为平面α内的任一点，平面α的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO 于O ，记∠OPA=θ，则点P 到平面α的距离为：||cos d PO PA θ==||||||||||||n PA n PA PA n PA n ∙∙==. 看来无论你取的平面法向量方向怎样，大小如何，最后算出来的角是一样的，最多只有互余或互补之分.平面法向量的大小、方向也不会影响距离的计算.提问：在求二面角时，一个平面的法向量与另一个平面的法向量可能因为坐标取值不同方向相同、方向相反或者不清楚方向，那么，我们怎样决定求出向量的夹角大小是二面角的大小还是二面角的补角的大小呢？回答：通过建立空间坐标系将几何问题代数化，把求二面角的大小转化为求平面法向量的夹角的大小，使原本繁琐的推理论证，变得思路清晰，操作程序化的运算，优越性显而易见.但是两个半平面的法向量所成的角与二面角“相等”或“互补”，确实是个学习难点.一般地，我们可以结合“图”观察决定取锐角或钝角（一般适用于图形便于观察的题），然而在二面角比较接近90或者图形放置的位置不适宜时，容易估错.下面介绍一个比较便于理解和使用的方法：若两个法向量的方向同时指向二面角的内部（或外部），则二面角的大小与法向量的夹角互补；若两个法向量的方向一个指向二面角的内部，一个指向外部，则二面角的大小与法向量的夹角相等。
(完整版)平面的法向量
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
例 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直u，uur所uuu以r uAuuBr，AD，
解: 在 内作不r与urm r,nu重r 合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
ur ur r r ur r ur r r
g xm yn , l g xl m yl n , l
3.
平面的向量表示：
AMgn
r
0
给定一点rA和一个向量 n,那么过点
l
r
A,以向量n 为法向量的平面是完全
确定的.
n
M
A
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，上节我们用直线的方向向量表 示了空间直线、平面间的平行
如何用平面的法向量表示空间两平面平 行、垂直的位置关系呢？
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( x, ( x,
∴
yห้องสมุดไป่ตู้
z
y, z)
y, z)
3x 4
3x 2
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
高二数学新教材选择性必修第一册1.4.1 空间向量的应用(一)(精讲)(解析版)
1.4.1 空间向量应用（一）考法一 平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． (3)在平面SCD 中，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析【解析】设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)． (1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AC BD 为正方形ABCD 的对角线，给出下列命题：①BC 为平面P AD 的法向量； ②BD 为平面P AC 的法向量； ③CD 为直线AB 的方向向量；④直线BC 的方向向量一定是平面P AB 的法向量． 其中正确命题的序号是______________ 【答案】②，③，④【解析】①因为底面ABCD 是正方形，所以//BC AD ，由AD ⊂平面P AD 知BC 不是平面P AD 的法向量； ②由底面ABCD 是正方形知BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ，BD 为平面P AC 的法向量，②正确；③因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，则CD 为直线AB 的方向向量，③正确； ④易知BC AB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AB A =，PA ⊂平面P AB ，AB平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，故④正确.故答案为：②，③，④考点二 空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．（1）求证：PB ∥平面EFG . （2）证明平面EFG ∥平面PBC 【答案】见解析 【解析】证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .【一隅三反】1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ． 【答案】见解析【解析】 法一 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ． 法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA →－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量. 所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线//l 平面α，且l 的一个方向向量为()2,,1a m =，平面α的一个法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =______. 【答案】8-【解析】由题意，知a n ⊥，∴0a n ⋅=，即()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，∴8m =-. 故答案为：8-考法三 空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二 取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【一隅三反】1．（2018·浙江高三其他）已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ） A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α【答案】A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.2．（2020·安徽池州。
空间向量法解决立体几何问题全面总结
a α
b
(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:
• 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). • 第二步(列):根据n· a = 0且n· b = 0可列出方程组 x1 x y1 y z1z 0 x2 x y2 y z2 z 0 • 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. • 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越 好),便得到平面法向量n的坐标.
1
• (3)平面与平面的位置关系 • 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 • n α • n α • n
1 1
n2
2
β
β
• ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β • ②若n1⊥n2,即n1 · n2= 0,则α⊥β
• 例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是 BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FD
• (2)直线与平面的位置关系 • 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n, 且L α. • ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α • ②若a⊥n,即a· n = 0,则a ∥ α.
n a L n a
α L
α
• • • •
例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E ⊥平面DBC1; A1 (2)AB1 ∥ 平面DBC1
z C1 B1 A E D C x B y
• 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则 • A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3,2), C1(1,0,2). • 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 x 2 z x 2z 0 • 3 y 0 解之得 y 0 ， • 取z = 1得n=(-2,0,1) • (1) A1E (2,0,1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 • (2) AB1 (1, 3,2) ,而 AB n =-2+0+2=0 • ∴AB1 ∥平面DBC1
人教版【高中数学】选修2-1第三章平面的法向量与平面的向量表示讲义
案例（二）----精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 平面的法向量1.平面法向量的定义(1)定义:已知平面a 如果向量n 的基线与平面a 垂直,则向量n 叫做平面a 的法向量或说向量n 与平面a 正交.(2)平面法向量的性质:①平面a 的一个法向量垂直于与平面a 共面的所有向量;②一个平面的法向量有无数个,一个平面的所有法向量互相平行.2.平面的法向量的求法方法一:找到一条与已知平面垂直的直线,则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量方法二:待定系数法,即若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:①设出平面的法向量为n=(x,y,x)；②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2)；③根据法向量的定义,建立关于x,y,z 的方程组⎩⎨⎧=∙=∙;0,0b n a n ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.这里需要说明的是:①方法二必须建立空间直角坐标系,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系,视具体情况而定;②在求平面的法向量时,要先找有没有和平面垂直的直线,若没有则用待定系数法;③在利用方法二求解平面的法向量时,方程组⎩⎨⎧=∙=∙;0,0b n a n 有无数多个解,只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值,即可确定平面的一个法向量.赋予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.3.平面法向量的作用详解:设n 1,m 2分别是平面a,β的法向量,m 是直线l 的方向向量,则有:①l ∥a 或l ⊂a ⇔m ⊥n 1⇔m ·n 1=0；②l ⊥a ⇔m ∥n 1；③a ∥β或a 与β重合⇔n 1∥n 2；④a ⊥β⇔=n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0.知识点二 三垂线定理及其逆定理.三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系.①三垂线定理的符号描述如右图,PO 、PA 分别是平面a 的垂线、斜线,OA 是PA 在a 内的射影,a ⊂a,且a ⊥OA,则a ⊥PA.②三垂线定理的逆定理的符号描述如上图,PO 、PA 分别是平面a 的垂线、斜线,OA 是PA 在a 内的射影,a ⊂a,且a ⊥PA,则a ⊥OA.关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明a ⊥b 的一个程序:一垂、二射、三证,即:第一:找平面及平面的垂线;第二:找射影线(或斜线),这时a,b 便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影);第三:证明射影(或斜线)与直线a 垂直,从而得出a,b 垂直.典型例题分析题型1 求平面的法向量【例1】已知平面a 经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面a 的一个法向量.解析 用待定系数法求解平面a 的法向量.答案 因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),所以=(1,-2,-4),=(2,-4,-3).设平面a 的法向量为n=(x,y,z),依题意,应有n ·=0,n ·=0,即有⎩⎨⎧=--=--,0342,042z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.0,2z y x 令y=1,则x=2,所以平面a 的一个法向量为n=(2,1,0 方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数解取其中的一个解即可,但要注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量.【变式训练1】 已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC 的一个单位法向量 答案 因为A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),所以=(-3,4,0),=(-3,0,5).设平面ABC 的法向量为n=（x,y,z)依题意，应有n ·=0,n ·=0,即有⎩⎨⎧=+-=+-,053,043z x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,53,43x z x y ,即平面A 的法向量为n(x ，43x,53x),所以平面ABC 的单位向量为n 0=n n =(76920,76915,76912)或n 0=-n n =(-76920,-76915,-76912). 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求平面ACD 1的法向量n 和单位法向量n 0.解析 首先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解平面的法向量.答案 建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),C(0,1,0).设平面ACD1的法向量n=(x,y,1).得AC =(-1,1,0),AD =(-1,0,1).又n ⊥面ACD,得n ⊥,n ⊥,所以有⎩⎨⎧=-∙=-∙,0)1,0,1()1,,(,0)0,1,1()1,,(y x y x 得⎩⎨⎧==,1,1y x ∴n=(1,1,1), n 0=n n =111)1,1,1(++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,33,33. 方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,应该说是个基本方法,它具有操作简单的特点,应切实掌握其实,对于本题来说,却未必是一个好的方法,这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DB 1⊥AD 1,DB 1⊥CD 1,从而DB 1⊥平面ACD 1,所以1DB 就是平面ACD 1的一个法向量.【变式训练2】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在BC,DD 1上是否存在点E,F,使B 1是平面ABF 的法向量?若存在,请证明你的结论,并求出点E,F 满足的条件;若不存在,请说明理由.答案 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),B 1(1,1,0).设F(0,0,h),E(m,1,1),则=(0,1,0),B 1=(m-1,0,1),=(1,0,1-h).∵·E B 1=0,∴AB ⊥B 1E. 若F B 1是平面ABF 的法向量,则F B 1·=m-1+1-h=m-h=0,∴h=m 即E,F 满足D 1F=CE 时,F B 1是平面ABF 的法向量.所以存在,且E,F 满足D 1F=CE.题型2 三垂线定理及其逆定理的应用【例3】 如下图,下列5个正方体图形中,线段l 是正方体的条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)① ② ③④ ⑤ 解析 本题以正方体为依托,主要考查直线与平面垂直的判定,比较深刻地考查了空间想象能力.为了得到本题答案,必须对5个图形逐一进行判别.对于给定的正方体,l 位置固定,截面MNP 变动,l 与面MNP 是否垂直,可以从正、反两方面进行判断,MN 、NP 、MP 三条线中,若有一条不垂直l ,则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条相交直线与l 都垂直,则可断定l ⊥ 面MNP.答案 解法一:如果记正方体对角线l 所在的对角线截面为a,各图可讨论如下:在图①中,MN 、NP 在平面a 上的射影为同一直线,且与l 垂直故l ⊥面MNP.事实上,还可这样考虑:l 在上底面的射影是MP 的垂线,故l ⊥MP ；在左侧的射影是MN 的垂线,故l ⊥MN,从而l ⊥面MNP.在图②中,由MP ⊥面a,可证明MN 在平面a 上的射影不是l 的垂线,故l 不垂直于MN.从而l不垂直于面MNP.在图③中,点M在a上的射影是l的中点,点P在a上的射影是上底面的中点,知MP在a 上的射影不是l的垂线,得l不垂直于面MNP.在图④中,平面a平分线段MN,故l⊥MN,又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直,从而l⊥MP,故l⊥平面MNP.在图⑤中,点N在平面a上的射影是对角线l的中点,故M、P在平面a上的射影分别是下、下底面对角线的4等分点,三个射影在同一条直线上,且l与这一直线垂直从而l⊥面MNP.至此,得①④⑤为本题答案.解法二：建立空间直角坐标系O-xyz,设正方体的棱长为2,则对角线l的方向向量可取为l=(2,2,-2).对图①,有=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),=(0,0,-1)-(1,0,0)=(-1,0,-1),由l·MP=0,l·=0,得l⊥面MNP.对图②,有MN=(2,2,-1)-(1,0,-2)=(1,2,1),由l·≠0知l与面MNP不垂直.对图③,有=(0,1,0)-(2,0,-1)=(-2,1,1),由l·MP≠0知与面MNP不垂直.对图④,有MP=(1,0,-2)-(2,0,-1)=(-1,0,-1),=(0,2,-1)-(2,0,-1)=(-2,2,0),由l·=0,l·=0,得l⊥面MNP.对图⑤,有MP=(2,1,0)-(1,0,-2)=(1,1,2),MN=(0,2,-1)-(1,0,-2)=(-1,2,1),由l·=0,l·=0,得l⊥面MNP综合得本题答案为①④⑤.方法指导从解法二可以看到:应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便,操作也比较简单,无须多动脑筋,只需要计算正确即可.【变式训练3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上的点,且BE=BF=BG,求证:BD1⊥平面EFG.答案如下图所示,因为四边形ABCD是正方形,BE=BF,所以EF∥AC,又因为AC⊥BD,所以EF ⊥BD.因为BD 为BD 1在平面AB 上的射影,所以BD 1⊥EF(三垂线定理).同理BD 1⊥EG,故BD 1⊥平面EFG.【例4】 如右图,P 是△ABC 所在平M 面外一点,且PA ⊥平面ABC,若O,Q 分别是△ABC 和△PBC 的垂心,求证:OQ ⊥平面PBC.解析 欲证线面垂直,只须证明OQ 垂直于面PBC中的两条相交线,据重心,结合PA ⊥面ABC,利用三垂线定理其逆定理及求解答案PAE BC PE BC PBC Q AE BC ABC O 平面的垂心是的垂心是⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒∆⊥⇒∆. 因为OQ ⊂平面PAE,所以OQ ⊥BC,因为PA ⊥平面ABC,BFC 平面ABC 所以BF ⊥PA,又因为O 是△ABC 的垂心,所以BF ⊥AC,所以BF ⊥平面PAC,则FM 是BM 在平面PAC 上的射影. 因为BM ⊥PC,根据三垂线定理的逆定理,可得FM ⊥PC,从而PC ⊥平面BFM,又OQ ⊂平面BFM,所以OQ ⊥PC,又PC ∩BC=C,所以OQ ⊥平面PBC.方法指导 三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直,特别是异面直线垂直的常用工具. 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的问题时,解决问题的关键是找准“一面三线”.【变式训练4】如下左图,在正三棱柱ABC=A 1B 1C 1中,AB 1⊥BC 1,求证:A 1C ⊥BC 1.答案 如上右图,取BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1,由正三棱柱的性质知AD ⊥面BCC 1B 1,A 1D 1⊥面BCC 1B 1,所以B 1D 、CD 1分别为AB 1、A 1C 在面BCC 1B 1上的射影.因为AB 1⊥BC 1,所以B 1D ⊥BC 1(三垂线定理的逆定理)又D 、D 1分别为BC 、B 1C 1的中点,所以B 1D ∥CD 1,所以CD 1⊥BC 1,所以BC 1⊥A 1C(三垂线定理).题型3 利用法向量证明平行与垂直【例5】已知正方体OABC-O 1A 1B 1C 1的棱长为1,E 是C 1O 1上的点,且C 1E=21EO 1,F 是CC 1上的点,且C 1F=21FC. (1)求平面A 1BC 1的一个法向量；(2)证明EF ∥平面A1BC1.解析 一建立恰当的空间直角坐标系,用待定系教法求出平面A 1BC 1的一个法向量n,然后证明EF ⊥n.答案 建立如右图所示的空间直角坐标系,则B(1,1,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1).(1)设n=(x,y,z)是平面A 1BC 1的一个法向量,则n ⊥1,n ⊥1BC ,从而n ·1=0,n ·1BC =0 ∵1=(0,-1,1),1BC =(-1,0,1),∴⎩⎨⎧=+-=+-,0,0z x z y x=z=y.取x=y=z=1,则n=(1,1,1)为平面A 1BC 1的一个法向量.(2) 要证明EF ∥平面A 1BC 1只要证明⊥n.∵E(0,32,1)F(0,1,32),=(0,31,-31).∵n ·EF =31-31=0,∴n ⊥EF ,∴E ∥平面A 1BC 1. 又EF 不在平面A 1BC 1内,∴EF ∥平面A 1BC 1.方法指导 由于有了第(1)小题,所以产生了上面第(2)小题的证明方法对于第(2)小题的证明也可以由EF =F C 1-E C 1=31(C C 1-11O C )=31(B B 1-11A B )=31B A 1,得∥B A 1,∴∥平面A 1BC 1,又EF ⊄平面A 1BC 1,故EF ∥平面A 1BC 1.或由=(0,31,-31),B A 1=(0,1,-1)=3EF 来证明.【变式训练5】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点,求证:(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.答案 如下图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0，0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C 1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1),所以1FC =(0,2,1)、=(2,0,0)、=(0,2,1). 设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)分别是平面ADE 、平面B 1C 1F 的法向量,则n 1⊥,n 1⊥AE ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙==∙,02,0211z y n x n∴⎩⎨⎧-==,2,0y z x 取y=1.则n 1=(0,1,-2).同理可求n 2=(0,1,-2).(1) ∵n1·1FC =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n 1⊥1FC ,又FC 1￠平面ADE,FC 1∥平面ADE.(2) n 1∥n 2,∴平面ADE ∥平面B 1C 1F.【例6】 在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中,E 是棱BC 的中点,试在棱CC 1上求一点P,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.解析 若要在棱CC 1上求一点P,使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE,需建立恰当的空间直角坐标系,并设出点P 的坐标,求出平面A 1B 1P 与平面C 1DE 的法向量,建立方程求出点P 的坐标,确定点P 的位置.答案 如右图,以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则P(0,1,a),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1)E(21,1,0), C 1(0,1,1)∴11B A =(0,1,0,A 1=(-1,1,a-1) ,DE =(21,1,0)1DC =(0,1,1). 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1=(x,y,z),则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,011111A n B A n ⇒⎩⎨⎧=-++-=.0)1(,0z a y x y 令z=1,则得x=a-1,所以平面A1BD 的一个法向量为n1=(a-1,0,1).设平面C1DE 的一个法向量为n2=(x,y,z), 则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0122DC n n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.0,021z y y x 令y=1,则得x=-2,z=-1,所以平面CB 1D 1的一个法向量为n 2=(-2,1,-1).因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE,所以n 1·n 2=0,⇒-2(a-1)-1=0,解得a=21,所以当P 为CC 1的中点时,平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE.规律总结 此题是确定点P 的位置,但考查的是两个平面垂直的充要条件,解决本题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量.这里法向量的坐标一个都不能求错,否则将得到错误答案.【变式训练6】 如下图,△ABC 是一个正三角形,EC ⊥平面ABC,BD ∥CE,且CE=CA=2BD,M 是EA 的中点.求证:平面DEA ⊥平面ECA.答案 不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),EA =(3,1,-2),CE =(0,0,2),ED =(0,2,-1),设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1=(x 1,y 1,z 1)、n 2=(x 2,y 2,z 3),所以得⎩⎨⎧==-+,02,0231111z z y x ⇒⎩⎨⎧=-=,0,3111z x y ⎩⎨⎧=-=-+,02,02322222z y z y x ⇒⎩⎨⎧==,2,32222y z y x 不妨取n 1=(1,-3,0),n 2=(3,1,2)从而计算得n 1·n 2=0,所以两个法向量相互垂直,两个平面就相互垂直.规律 方法 总结(1)求平面法向量的方法:求一个平面的法向量的坐标的方法步骤:①建立空间直角坐标系,设出平面的法向量为n=(x,y,z)②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a0,b1,c1),b=(a2,b2,c2).③根据法向量的定义建立关于x 、y 、x 的方程组⎩⎨⎧=∙=∙.0,0b n a n ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.(2)用空间向量证明平行问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于平行的定理,再通过向量运算来解决.(3)用空间向量证明垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于垂直的定理,再通过向量运算来解决.定时巩固检测基础训练1. 下列说法中不正确的是（）A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面a共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面a的一个法向量【答案】 D(点拨:a与b所在直线必须为相交直线时,n才是平面a的一个法向量,否则不是.)2. 给定下列命题:①若n1,n2分别是平面a，β的法向量,则n1∥n2⇔a∥β；②若n1,n2分别是平面a,β的法向量,则a∥β⇔n1·n2=0；③若n是平面a的法向量,且向量a与平面a 共面,则a·n=0；④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面定不垂直其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】 C(点拔:①③④正确,②中a∥p=mn∥m,)3. 给定下列命题:①若a是平面a的斜线,直线b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b;②若a是平面a的斜线,平面β内的条直线b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b;③若a是平面a的斜线,直线b⊂a,且b垂直于a在平面β内的射影,则a⊥b；④若a是平面a的斜线,直线b⊂a,且b垂直于a在平面a内的射影,则a⊥b.其中,正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.3【答案】 B(点拨:根据三垂线定理及其逆定理判断只有④正确.)4. Rt△ABC的斜边BCC平面a,顶点A∉a,则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边所成的图形只能是 ( )A.一条线段或一个直角三角形B一条线段或一个锐角三角形C.一条线段或一个锐角三角形D.一个锐角三角形或一个直角三角形【答案】 C(点拨:当平面ABC ⊥平面a 时,Rt △ABC 在平面内的射影是一条线段.当平面ABC 与平面a 斜交时,如右图所示,过A 作AO ⊥a,连接BO,CO,在△BOC 中,AB 2一AO 2=BO 2,在Rt △AOC 中,AC 2-AO 2=CO 2,②在Rt △ABC 中,AB2+AC2=BC2,③在Rt △ABC 中,cos ∠BOC=COBO BC CO BQ ∙∙-+2222,④ 将①②③代入④,得cos ∠BOC=COBO AO ∙∙-22<0,所以∠BOC 是钝角,所以△BOC 是钝角三角形.)5. 设A 是空间任意一点,n 为空间任一非零向量,则适合条件·n=0的点M 的轨迹是 .【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面(点拨:AM ·n=0称为一个平面的向量表示式,这里考察的是基本概念.)能力提升6. 已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC 的单位向量是 .【答案】 ±（31，-32，32）(点拨:设单位法向量n=(x,y,z), 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0354,022,1222z y x z y x z y x 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==32,32,31z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=.32,32,31z y x ） 7. 如下图,PA 垂直于⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影,给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC.其中真命题的序号是 .【答案】①②③(点拨:利用三垂线定理及其逆定理判断即可.)8. 如右图所示,在四棱锥P一ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】 DM⊥PC(点拨:由三垂线定理可知BD⊥PC,当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面BMD.所以平面MBD⊥平面PCD.)9. 如右图,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°. (1)求证:BD⊥平面ADC; (2)若H为△ABC的垂心,求证:H是D在平面ABC内的射影【答案】 (1)因为AD=BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°,所以△ADB≌△ADC,AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC为正三角形,所以AB=BC,所以△ABD≌△CBD,所以△BDC为直角三角形,∠BDC=90°,BD⊥CD.又BD⊥AD,所以BD⊥平面ADC.（2）如右图所示,设D在△ABC内的射影为H′,连接CH′并延长交AB于E,因为CD⊥AD,且CD⊥DB,所以CD⊥面ADB,所以CD⊥AB,由三垂线定理的逆定理得CE⊥AB.同理,连接BH′并延长交AC于F,可得BF⊥AC,所以H′为△ABC的垂心,即D在平面ABC内的射影为△ABC的垂心,所以H′与H重合,即H是D在平面ABC内的射影.。
高考数学第一章空间向量与立体几何4-1第1课时空间中点直线和平面的向量表示练习含解析新人教A版选择性
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．知识点一 空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．知识点二 空间中直线的向量表示式直线l 的方向向量为a ，且过点A .如图，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋t a ，① 把AB →＝a 代入①式得 OP →＝OA →＋tAB →，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 思考 直线的方向向量是不是唯一的？答案 直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．知识点三 空间中平面的向量表示式 1．平面ABC 的向量表示式空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.③ 我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式． 2．平面的法向量如图，若直线 l ⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以 a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P |a ·AP →＝0}．思考 平面的法向量是不是唯一的？答案 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( √ )2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( × ) 3．直线的方向向量是唯一的．( × )一、直线的方向向量例1 (1)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A (0，y ，3)和B (－1,2，z )两点，则y －z 等于( )A ．0B ．1 C.32 D ．3答案 A解析 ∵A (0，y ，3)和B (－1,2，z )，AB →＝(－1,2－y ，z －3), ∵直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－1,3) ，故设AB →＝k m . ∴－1＝2k ,2－y ＝－k ，z －3＝3k . 解得 k ＝－12，y ＝z ＝32.∴y －z ＝0.(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线 BC 1 的一个方向向量为________．答案 (不唯一)(0,0,1) (0,1,1)解析 ∵DD 1∥AA 1，AA 1—→＝(0,0,1)，直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0，1,1), 故直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．反思感悟 理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一．跟踪训练1 (1)(多选)若M (1,0，－1)，N (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)答案 AB解析 ∵M ，N 在直线l 上，∴MN →＝(1,1,3)，故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l 的一个方向向量．(2)从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长|AB →|＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(18,17，－17)B. (－14，－19,17)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫6，72，1D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－112，13答案 A解析 设B 点坐标为 (x ，y ，z ) ，则 AB →＝λa (λ>0)，即(x －2，y ＋1，z －7)＝λ(8,9，－12) ，因为|AB →|＝34，即64λ2＋81λ2＋144λ2＝34，得λ＝2，所以x ＝18，y ＝17，z ＝－17.二、求平面的法向量例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，C (1，3，0)， 于是AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12.AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 延伸探究本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量？ 解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即直线PC 的一个方向向量． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0,1，3)． 反思感悟 求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．1．若A ( －1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1)答案 A解析 因为AB →＝(2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线l 的一个方向向量．2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若a ∥b ，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10 D ．6和10 答案 A解析 由题意得2－4＝－3x ＝5y，且x ≠0，y ≠0，所以x ，y 的值分别是6和－10.3．若n ＝(2，－3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1) 答案 D解析 求与n 共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．4．(多选)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是( )A.AB →B.AA 1—→C.B 1B —→D.A 1C 1—→ 答案 BC5．已知平面α经过点O (0,0,0)，且e ＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________． 答案 x ＋2y －3z ＝0解析 由题意得e ⊥OM →，则OM →·e ＝(x ，y ，z )·(1,2，－3)＝0， 故x ＋2y －3z ＝0.1．知识清单： (1)直线的方向向量． (2)平面的法向量． 2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．1．已知向量a ＝(2, －1,3)和b ＝(－4,2x 2,6x )都是直线l 的方向向量，则x 的值是( ) A ．－1 B ．1或－1 C ．－3 D ．1答案 A解析 由题意得a ∥b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝2，6x ＝－6，解得x ＝－1.2．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( ) A. (4,2，－2) B. (2,0,4) C. (2，－1，－5) D. (4，－2，－2)答案 D解析 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行， 又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，故选D.3．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A.PA →⊥AB → B.PC →⊥BD → C.PC →⊥AB →D.PA →⊥CD →答案 C解析 ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴BD ⊥PA . 又AC ⊥BD ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∴PC ⊥BD .故选项B 成立，选项A 和D 显然成立．故选C.4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1) D ．(－1，－1，－1)答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是( )A ．平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0) B ．平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)C ．平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1) D ．平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1) 答案 AC解析 ∵AD →＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ， ∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴A 正确；∵CD →＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD →＝－1≠0， ∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴ B 不正确；∵B 1C —→＝(0,1，－1)，CD 1—→＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B 1C —→＝0，(1,1,1)·CD 1—→＝0，B 1C ∩CD 1＝C ， ∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴C 正确；∵BC 1—→＝(0,1,1)，而BC 1—→·(0,1,1)＝2≠0， ∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即D 不正确．6．已知平面ABC ，且A (1,2，－1)，B (2,0，－1)，C (3，－2,1)，则平面ABC 的一个法向量为________．答案 (2,1,0)(答案不唯一)解析 AB →＝(1，－2,0)，AC →＝(2，－4,2)， 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x －4y ＋2z ＝0，令y ＝1，得x ＝2，z ＝0，故平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,0)．7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案π2或π3解析 由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0，即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.8.在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的是________．(填序号) 答案 ①②③解析 DD 1—→＝AA 1—→＝(0,0,1)，故①正确；BC 1—→＝AD 1—→＝(0,1,1)，故②正确；直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)，故③正确；向量AC 1—→的坐标为(1,1,1)，与平面B 1CD 不垂直，∴④错．9．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2, －2)． (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内的任意一点，试写出x ，y ，z 满足的关系式．解 (1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，∴BC →＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量． (2)由题意AM →＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC →⊥平面α，AM ⊂α， ∴BC →⊥AM →，∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0.∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量．证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， D 1F —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A 1D 1—→＝(－1,0,0)．∵AE →·D 1F —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝12－12＝0，又AE →·A 1D 1—→＝0， ∴AE →⊥D 1F —→，AE →⊥A 1D 1—→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)， 所以AB ∥平面yOz .12．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32答案 B解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.13．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( ) A ．(1，－4,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12D ．(0，－1,1)答案 D解析 因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D.14．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.答案 2∶3∶(－4)解析 由已知得，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，－74， AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74， ∵a 是平面α的一个法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ，∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．15．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥DB →.其中正确的是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确，由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误．16.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x . 取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．。
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
4 根据法向量定义解方程组
nnab00,,取其中一组解,即为法向量.
典 例 剖 析 (学生用书P77)
题型一 判断线与线、面与面的位置关系
例1:解答下列问题: (1)设a、b分别是l1、l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的
位置关系. ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0);
3.若直线的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α的法向量
v=(a2,b2,c2).(1)l∥α或 lα⇔u⊥v⊂⇔____u_·_v_=_0____⇔___a_1_a_2_+_b_1_b_2+_c. 1c2=0 (2)l⊥α⇔u∥v⇔____u_=_k_v______⇔__a_1_=_k_a_2,_b_1_=_k_b_2,_c_1_=.kc2
a 1 b, 3
a b , l1 l2 .
② a 5,0,2,b 0,4,0
a b 0 , a b , l1 l2 .
2 ① u 1, 1,2 , v (3,2 , 1 ),
2 u v 3 2 1 0 , u v , ;
② u 0,3,0 ,v 0,5,0 ,
u 3 v , u v , . 5
③ u 2, 3, 4 , v 4, 2,1 ,
u v 0, 2 3 1 . 4 2 4
u与v不共线,也不垂直.
平面 与平面 相交(不垂直).
规律技巧:(1)直线的方向向量与直线位置关系间的内在联系 是:l1∥l2⇔a∥b,l1⊥l2⇔a⊥b,据此可以判断两直线的位置 关系.
名 师 讲 解 (学生用书P77)
1.空间点、线、面的位置 (1)在空间中,任取一个定点O为基点,那么空间任一点P的位置
平面的法向量
平面的法向量平面的法向量确定平面位置的重要向量，指与平面垂直的非零向量，一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。
例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。
平面的法向量1法向量简介法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
法向量适用于解析几何。
由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。
定义：三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。
曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面的向量。
法线是与多边形的曲面垂直的理论线，一个平面存在无限个法向量。
在电脑图学的领域里，法线决定着曲面与光源的浓淡处理，对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。
如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
每一个平面存在无数个法向量。
计算：对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。
用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。
如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为。
如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为。
如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。
例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。
通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。
平面法向量的求法及其应用
平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:ca M =cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。
高考数学复习：利用空间向量证明空间中的位置关系
为
.若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
6
【解析】(1)四边形ADD1A1为正方形,连接AD1,A1D∩AD1
=F,则F是AD1的中点,又因为点E为AB的中点,连接EF,则
EF为△ABD1的中位线,所以EF∥BD1.
又因为BD1⊄平面A1DE,EF⊂平面A1DE,
所以BD1∥平面A1DE.
MN∥平面BB1C1C.
2.以下四组向量是平面α,β 的法向量,则能判断
α,β平行的是
(
)
①a=(1,2,1),b=(1,-2,3);
②a=(8,4,-6),b=(4,2,-3);
③a=(0,1,-1),b=(0,-3,3);
④a=(-3,2,0),b=(4,-3,3).
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③
2 ,
a
3
2 1
2 2
所以M（a， a， a），N（ a， a，a）．
3 3
3 3
a 2
0， a）．
所以 MN＝（－ ，
3 3
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以 C1D1 =(0,a,0).
所以 MN·C1D1 =0.所以 MN⊥C1D1 .
因为C1D1是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以
【解析】选B.因为在②中a=2b,所以a∥b,所以α∥β,
③-3a=b,所以α∥β,而①④a不平行于b,所以α不平
行于β,所以只有②③能判断α,β平行.
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥CA, A1A=BA=CA,点M,N
分别是AC,AB的中点,过点C作平面α,使得α∥A1M,
α∥B1N,若α∩B1C1=P,则 C1P 的值为
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 直线的方向向量及平面
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。
vtk法向量 法平面计算
vtk法向量法平面计算
计算VTK中的法向量和法平面涉及到计算机图形学和可视化方面的知识。
在VTK中，法向量通常是指表示三维几何对象表面法线的向量。
法向量在计算机图形学中具有重要作用，它们用于光照计算、阴影生成和渲染等方面。
在VTK中，可以通过各种滤波器和算法来计算法向量。
其中，最常用的是通过PolyDataNormals滤波器来计算法向量。
该滤波器可以计算多边形数据集的法向量，并将其作为点数据或单元数据添加到数据集中。
通过设置滤波器的参数，可以选择计算点数据的法向量还是单元数据的法向量，以及是否对法向量进行标准化等。
对于法平面的计算，可以利用法向量来求解。
法平面通常指的是与给定法向量垂直的平面。
在VTK中，可以通过法向量和点来定义一个平面，并进行相应的计算。
例如，可以通过计算法向量和一个点的点积来得到平面方程中的常数项，从而得到法平面的方程。
除了使用VTK内置的滤波器和算法，还可以利用VTK提供的Python接口自定义计算法向量和法平面的方法。
通过编写自定义的代码，可以根据具体需求来计算和处理法向量和法平面。
总之，在VTK中计算法向量和法平面涉及到使用相应的滤波器、算法和编程接口来实现。
需要根据具体的数据和需求来选择合适的
方法，并进行相应的参数设置和计算处理。
希望这些信息能够帮助
到你理解VTK中法向量和法平面的计算。
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rr
组
n r
a r
0
n ab
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
z 2.如图, ABCD是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD， AF // DE ， DE 3AF ， BE
与平面 ABCD所成角为 600 .(Ⅰ)平面 BDE ；(Ⅱ)平面 ACE；(Ⅲ) 面 BDE⊥面 ACE
求平面的法向量
直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
r a
B
A
向量
r a
uuur uuur AB，AP
称为直线ｌ的方向向量
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
E
FD
Ax
C
y
B
4.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，
平面 PAD⊥底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2， BC= 1 AD=1，CD= 3 ．
2
（Ⅰ）若点 M 是棱 PC 的中点，求平面 BMQ 的法向量；
叫做平面 的法向量.
l
r
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
A
互相平行;
z 1. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 且 AD // BC ， ABC PAD 90 ，侧面 PAD 底面 ABCD . 若 PA AB BC 1 AD . 2
z
（Ⅱ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；
P
D Q A
x
M
C B
y
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr 的法向量分别为 u, v ，则
r r rr
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
rr r r
线线平行 l ∥ m ra ∥ br ar kbr；来自ADE
F
B
G
C
2013年全国新课标Ⅰ卷 18题
如 图 ， 直 棱 柱ABC A1B1C1中 ，D, E分 别 是AB, BBz 1的
中点，AA1 AC CB
2 AB. 2
(1)证 明 ：BC1 //平 面A1CD;
x
y
2013年全国新课标Ⅰ卷 18题
如图，直棱柱ABC
A1B1C1中，D,
E分别是AB,
z
BB1的
中点，AA1 AC CB
2 AB. 2
y
x
感谢下 载
线面垂直 l ⊥ ar ∥ ur ar rku ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面垂直 ⊥ ur⊥ vr ur v r0. 面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
5.在如图的多面体中，EF ⊥平面 AEB ，AE EB , AD // EF ，EF // BC ，BC 2AD 4 ， EF 3， AE BE 2， G 是 BC 的中点． (Ⅰ)求平面 DEG 的法向量；(Ⅱ) 求证： BD EG ；
（Ⅰ）平面 ABCD
(2)平面 PAC ； （3）平面 PCD
.
P
A
B
x
C
Dy
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程